第10讲 余弦定理、正弦定理的应用（3大知识点+9大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修二）

第10讲 余弦定理、正弦定理的应用 目录 题型归纳 1 题型01 正、余弦定理判定三角形形状 2 题型02 求三角形中的边长或周长的最值或范围 5 题型03 几何图形中的计算 9 题型04 求三角形面积的最值或范围 14 题型05 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 20 题型06 距离测量问题 24 题型07 高度测量问题 30 题型08 角度测量问题 34 题型09 正、余弦定理的其他应用 39 分层练习 43 夯实基础 43 能力提升 52 知识点01距离测量问题 [方法技巧] 处理距离问题的策略 (1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．　　 知识点02高度测量问题 [方法技巧] 求解高度问题应注意的问题 (1)理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)等的定义． (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．　　 知识点03角度测量问题 [方法技巧] 解决角度问题的注意事项 (1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． (2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值． (3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．　　 题型01正、余弦定理判定三角形形状 【例1】（23-24高一下·湖北·期中）已知的三边长分别为4，6，8，则这个三角形为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】设边长为8的边对应的角为，利用余弦定理可判断. 【详解】设边长为8的边对应的角为， 由余弦定理可得， 所以为钝角，因此，三角形为钝角三角形， 故选：C. 【变式1】（23-24高一下·福建龙岩·期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则该三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据特殊角的三角函数值可得，即可结合正弦定理求解． 【详解】由，,则， 由，则， 由于，则， ，均为三角形的内角，，即， 故该三角形的形状是等腰三角形． 故选：B． 【变式2】（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知中，内角，，的对边分别为，，，，则的形状是 . 【答案】直角三角形 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由正弦定理以及两角和的正弦公式整理可得，进一步有，即可求解. 【详解】由正弦定理以及，可得， 所以 ， 化简可得：， 因为，，所以，，则， 因为，所以，则的形状是直角三角形； 故答案为：直角三角形 【变式3】（22-23高一下·河北沧州·期末）已知的内角的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，证明：是直角三角形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】化简条件，利用余弦定理即可求得； 利用正弦定理，把题中边的关系化为角的关系，进一步计算即可求得. 【详解】（1）由整理可得， 由余弦定理可得， 又，. （2）由及正弦定理，可得， ， ，，， ，即是直角三角形. 题型02 求三角形中的边长或周长的最值或范围 【例2】（22-23高一下·安徽安庆·期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为钝角三角形，且，则c的取值不可能的是（    ） A．3 B．4 C．9 D．12 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】分为钝角或为钝角两种情况，求出的取值范围，得到答案. 【详解】，故， 为钝角三角形，则为钝角或为钝角， 若为钝角，则有， 即解得； 若为钝角，则有， 即，解得． 即或． 因为，而9不能满足上述取值范围. 故选：C 【变式1】（23-24高一下·四川成都·期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角函数与解三角形综合 【分析】化简为，结合余弦定理可求解；根据两角差的正弦公式及同角三角函数关系化简，进而结合正切函数的图象及性质求解即可． 【详解】由， 整理得，所以， 又，则,故， ， 因为为锐角三角形， 所以，即，所以， 即， 所以的取值范围为． 故选：B 【变式2】（22-23高一下·江西南昌·期末）中，，延长至，使得，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】设，则，再求出，分别在和利用正弦定理求出，再根据三角函数的性质即可得解. 【详解】设，则， 因为，所以， 又，所以， 由，得， 在中，由正弦定理， 得， 在中，由正弦定理， 得， 则， 由，得， 则当时，取得最大值，为. 故答案为：.    【点睛】关键点点睛：设，将都用表示，再分别在和利用正弦定理求出，是解决本题的关键. 【变式3】（23-24高一下·湖北武汉·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，其中S为的面积. (1)求角A； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）利用三角形面积公式与余弦定理代入已知条件，整理得，从而得解； （2）利用基本不等式与两边之和大于第三边求得，进而得解. 【详解】（1）因为，，， 所以，则，即， 又，所以. （2）的周长为， 因为，即， 因为，所以， 所以，则，即， 又，所以，即， 所以的周长的取值范围为 题型03 几何图形中的计算 【例3】（23-24高一下·重庆·期末）某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若，则CP的最大值为（    ）    A．6km B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】设，根据锐角三角函数可得，再在中利用余弦定理得到，再由三角恒等变换公式及三角函数的性质求出，即可得解． 【详解】设，， 则， 在中，， 在中， 所以当时，，， 所以最大值为． 故选：C． 【变式1】（22-23高一下·吉林·期末）在中，，，，的角平分线交BC于D，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】根据余弦定理求得的长，再利用，即可求得答案. 【详解】在中,由余弦定理得,    则，即， 解得，（负值舍）， 而AD平分，即， 又，故， 则， 故选：B 【变式2】（22-23高一下·广西南宁·期末）已知，， ，AD平分交BC于点D，则 ． 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】先根据余弦定理求出,再根据角平分线定理结合面积求值即可. 【详解】因为中，， ， 所以， 整理得，解得,（舍负）． AD平分，则， 由，得， 即， 整理得，所以． 故答案为：． 【变式3】（23-24高一下·湖北·阶段练习）如图所示，圆内接四边形中，，为圆周上一动点，. (1)求四边形ABCD周长的最大值; (2)若，求AC的长. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】（1）方法1、连接BD，在中，由余弦定理求得，设，在中，由正弦定理求得，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解； 方法2、连接BD，在中，由余弦定理求得，在中，由余弦定理，化简得到，结合基本不等式，即可求解； （2）在中，由余弦定理得，进而求得，利用勾股定理得到，在中，由正弦定理得，再在中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】（1）解：方法1、连接BD，因为，所以， 在中，由余弦定理得，解得， 设，则， 再在中，由正弦定理得， 所以， 所以，当且仅当时，周长的最大值为. 方法2、连接BD，因为，所以， 在中，由余弦定理得，可得， 在中，由余弦定理得 所以， 因为当且仅当时等号成立， 所以， 所以周长的最大值为. （2）解：依题意得，设， 在中由余弦定理得，可得， 所以，解得，所以， 可得，所以， 在中，由正弦定理，所以， 则， 在中，由余弦定理得， 所以. 题型04 求三角形面积的最值或范围 【例4】（21-22高一上·福建福州·期末）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即的面积，其中分别为的内角的对边，若，且，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】先根据求出关系，代入面积公式，利用二次函数的知识求解最值. 【详解】因为，所以， 即； 由正弦定理可得，所以 ； 当时，取到最大值. 故选：A. 【变式1】（21-22高一上·江西景德镇·期末）在锐角中，分别为角的对边，已知，则的面积S的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】根据条件求出，利用三角形面积公式得到，采用极端值方法求出的最值，进而得到的范围，求出面积的取值范围. 【详解】，因为为锐角三角形，故， ，当BC⊥AB时，，当CB⊥AC时，，故，所以. 故选：C 【变式2】（22-23高一下·四川成都·期中）在中，若，AD是BC边上的高，，则AD的最大值为 ． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】先利用余弦定理求出角，再利用基本不等式结合三角形得面积公式求出三角形面积得最大值，再利用等面积法即可得解. 【详解】因为， 所以， 又，所以， 由，得， 所以，当且仅当时，取等号， 又， 所以，即， 所以AD的最大值为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·重庆万州·期中）在中，角所对的边分别是，若是边上的一点，且. (1)若时，求面积的最大值； (2)若 ①求角的大小； ②当取得最大值时，求的面积. 【答案】(1)1 (2)①；②. 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）根据线段的比值关系与余弦定理求出，再求出面积表达式，求出最大值即可. （2）根据数量积表达式和正弦定理化简，得到，再由余弦定理即可求解；根据两次余弦定理得到，换元求最大值，从而求得，求得面积即可. 【详解】（1）由题意可得，， 根据余弦定理得， 所以， 所以的面积为， 当，即时，面积最大，最大值为1. （2）①由， ， 则， 由正弦定理得，化简得， 所以， 又因为，所以. ②因为，由，可得 ， 整理得， 又因为，所以， 令为锐角， 则，其中为锐角， 当，即时，取得最大值. 此时，， 解得， 的面积为. 【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形中的最值问题.关键点是求得之后，利用换元表示出，从而进行三角函数化简得到的最小值，并求得此时的值，代入面积公式即可求解. 题型05 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【例5】（20-21高一下·黑龙江双鸭山·期末）设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】由正弦定理的边化角公式化简得出，，，最后由结合正弦函数的性质得出的取值范围. 【详解】由以及正弦定理得，所以 即，又B为钝角，所以，故 于是 ，因为，所以 由此，即的取值范围是 故选：A 【变式1】（22-23高一下·广东广州·期中）锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则的取值范围为 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用、正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】由题设有，结合正弦边角关系、差角正弦公式及锐角三角形内角性质得，进而确定的范围，再将目标式化为求范围即可. 【详解】由题设，结合正弦边角关系得， 所以，又，则或（舍）， 所以，又为锐角三角形，则，得， 所以，而，所以 ，而， 所以. 故答案为： 【变式2】（22-23高一下·湖北武汉·期末）已知锐角中，，则的取值范围 . 【答案】 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】由正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简已知等式知，分别讨论或，结合题意即可求出，由正弦定理将化简为，代入即可求出答案. 【详解】因为，所以， 所以，由正弦定理可得：， 在中，因为， 又， 所以 所以， ①当时，且， 若是锐角三角形，则， 所以，不成立； ②当时，且， 所以，所以， 则，且， 且， ， 又，，， ，所以. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别为，且满足 (1)求角的值； (2)若且，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简求得，进而求得的值； （2）根据题意，得到因，求得，，化简得到，结合，利用三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以， 因为，所以或， （2）解：因为且，所以， 由正弦定理得，所以， 则， 又由，可得，所以，可得， 则，所以即的取值范围 题型06 距离测量问题 【例6】（23-24高一下·山东临沂·期中）一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔的南偏西，距灯塔64海里的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向处，则该船航行的速度为（    ） A．海里/小时 B．海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】根据题意利用正弦定理求得，进而可得该船航行的速度. 【详解】如图所示， 在中，由题意可知：海里， 由正弦定理可得（海里）， 且该船航行时间为4小时，所以该船航行的速度为海里/小时. 故选：A. 【变式1】（23-24高一下·江西萍乡·期中）如图，，两地之间隔了一个湖，在与，同一平面内取一点，测得，，，则，两地之间的距离为 . 【答案】 【知识点】距离测量问题 【分析】由余弦定理可得答案. 【详解】由余弦定理得 . 故答案为：. 【变式2】（23-24高一下·湖北孝感·期中）如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到达处，在测得山顶的仰角为. (1)若，求山的高度； (2)若，求的余弦值. 【答案】(1) (2) 【知识点】距离测量问题 【分析】（1）过点作于点，易得，设，根据，可得关于的方程，解之，再求得的长即可； （2）在中，可得，根据，推出，结合以及的取值范围，求得的值即可. 【详解】（1）过点作于点，则四边形是矩形， 在中，， 所以， 设， 在中，， 所以， 在中，， 所以，即， 所以，解得， 所以山的高度为. （2）在中，， 所以， 在中，， 所以， 在中，， 所以，即， 所以， 整理得， 又， 所以，整理得， 所以， 因为为 锐角，所以. 【变式3】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，某海域在A，B两处分别设有停靠码头，B在A北偏东30°相距海里处，现由甲，乙两艘货船分别从A，B两处向C处航行．甲货船从A处以海里/小时的速度沿着正东方向行驶，乙货船从B处以3海里/小时的速度向沿东偏南45°的方向行驶，当航行至1小时，甲货船到达E处，乙货船到达F处，此时乙货船因故障停止航行并发出求救信号，甲接到信号后立即掉转方向并以海里/小时的速度行至F处施展抢修工作． (1)求码头B和甲船位置E处相距多少海里． (2)若抢修工作共经历1小时，抢修结束后乙船仍以原速度驶向C处，则自乙船从B处出发到乙船行至C处为止，共经过了多长时间， 【答案】(1) (2)小时 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】（1）在中，由余弦定理解三角形得. （2）在中，解三角形得，得到，在中，由余弦定理解三角形得，在中由正弦定理求得，结合已知即可求得结果. 【详解】（1）由题意知 在中， 由余弦定理得 所以 （2）由题意， 在中， 由正弦定理得，即 所以（舍去） 所在 又 在中， 由余弦定理得 ， ∴甲接到信号后行至F，用时为小时， 在中， , 由正弦定理得，即,解得： ， 则抢修结束后乙船仍以原速度驶向C处，用时为小时， ∴自乙船从B处出发到乙船行至C处为止，共用时为小时. 题型07 高度测量问题 【例7】（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】高度测量问题 【分析】根据题中条件，先得到，，在中，根据正弦定理可求得，进而在中，可求得. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以，所以， 又，， 所以， 在中，由正弦定理可得， 所以， 在中，因为， 所以. 故选：B. 【变式1】（23-24高一下·四川达州·期中）龙爪塔位于通川区朝阳寺内， 龙爪塔据传因崖壁有石纹，下临深潭，影似龙爪而得名.龙爪塔相传由鲁班修建，据文物部门考证，该塔建于唐朝年间，乾隆十二（1747）年增刻本《达州志·舆地图》已绘有龙爪山图，先后经嘉庆十八（1813）年和光绪十四（1888）年两次补修.1987年11月按原貌对塔进行了维修，1989年对游人开放.为了测量塔的高度AB，选取与塔底B在同一水平面的两个基点C与D，现测得米，在C点测得塔顶的仰角，则塔的高度为 （参考数据） 【答案】33米 【知识点】高度测量问题 【分析】在中，利用正弦定理求出，再借助给定的仰角计算作答. 【详解】在中，，则， 由正弦定理，得， 由在点仰角为，得米. 故答案为：33米 【变式2】（23-24高一下·浙江·期中）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高. (1)求两点AC间的长度； (2)求山MN的高度. 【答案】(1) (2)200 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】（1）解直角三角形即可求得答案； （2）应用正弦定理求出,再结合直角三角形即可求； 【详解】（1）在中，因为，，， 所以， （2）在中，因为，，可得， 因为，所以， 在直角中，可得 【变式3】（22-23高一下·山东青岛·期中）如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东方向，然后向正东方向前进20米到达D，测得此时塔底B在北偏东方向.    (1)求点D到塔底B的距离； (2)若在点C测得塔顶A的仰角为，求铁塔高. 【答案】(1)米 (2)米 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】（1）在中，利用正弦定理可求出的长； （2）利用正弦定求得，再解直角三角形求得. 【详解】（1）由题意可知，，故， 在中， 由正弦定理， 得，即， 所以（米）. 因此点D到塔底B的距离为米； （2）在中， 由正弦定理， 得， 得 ， 在中，， 所以铁塔高为米. 题型08 角度测量问题 【例8】（20-21高一下·北京·期中）如图，是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔，．若某科研小组在坝底点测得，坝底至塔顶距离米，则大坝的坡角的余弦值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角度测量问题 【分析】中利用正弦定理求得的值，根据即可求出. 【详解】因为，，， 在中，由正弦定理可得 ， 即，解得， 由， 所以， 所以大坝的坡角的余弦值为. 故选：D 【变式1】（23-24高一下·河北沧州·期中）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．已知飞机在点时，测得，在点时，测得，，千米，则 千米． 【答案】 【知识点】几何图形中的计算、角度测量问题 【分析】由题意判断是等边三角形，为等腰三角形，取的中点，解直角三角形即可. 【详解】由题意可得是等边三角形，千米.记直线与直线的交点为， ，所以，为的中点， 所以为等腰三角形，由， 所以千米. 故答案为：. 【变式2】（22-23高一下·贵州铜仁·期中）信阳南湾湖以源远流长的历史遗产，浓郁丰厚的民俗风情而著称；以幽、朴、秀、奇的独特风格，山、水、林、岛的完美和谐而闻名，是融自然景观、人文景观、森林生态环境、森林保健功能于一体，是河南省著名的省级风景区．如图，为迎接第九届开渔节，某渔船在湖面上A处捕鱼时，天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北方向上有一个小岛C可躲避恶劣天气，在小岛C的正北方向有一航标灯D距离小岛25海里，渔船向小岛行驶50海里后到达B处，测得，海里．    (1)求A处距离航标灯D的距离AD； (2)求的值； 【答案】(1)（海里） (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题、角度测量问题 【分析】（1）在中利用余弦定理即可求解； （2）在中利用正弦定理即可求解； 【详解】（1）∵，，， ∴在中由余弦定理得， ∴（海里）． （2）∵，由正弦定理得， ∴． 【变式3】（21-22高一下·贵州黔东南·期中）如图，某运动员从市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在市南偏东方向距市的处有一艘小艇，小艇与海岸距离为，若小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.    (1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？ (2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、角度测量问题 【分析】（1）设小艇以每小时的速度从处出发，沿方向行驶，小时后与运动员在处相遇，利用余弦定理求出关于的函数，根据二次函数知识可求出的最小值； （2）由正弦定理可求出结果. 【详解】（1）如图，设小艇以每小时的速度从处出发，沿方向行驶，小时后与运动员在处相遇，    在中，，故 由余弦定理求得， 则， 整理得， 当时，即时，，故. 即小艇至少以每小时的速度从处出发才能追上运动员. （2）当小艇以每小时的速度从处出发， 经过时间小时追上运动员， 故， 又，由正弦定理得，解得， 故. 即小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角为. 题型09 正、余弦定理的其他应用 【例9】（21-22高一下·广东深圳·期中）海上某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的北偏西，距离为海里处；货轮由处向正北航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为（    ） A． B． C． D．12 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正、余弦定理的其他应用 【分析】根据给定信息作出图形，在中用正弦定理求AD，用余弦定理计算作答. 【详解】如图所示，，，    在中，，由正弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 灯塔与处之间的距离为海里. 故选：C 【变式1】（21-22高一下·江苏盐城·期中）某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31km的公路B处有一个人正沿着此公路向A走去，走20km到达D，此时测得DC距离为21km，若此人必须在30分钟内从D处到达A处，则此人的最小速度为（    ） A．30km/h B．45km/h C．14km/h D．15km/h 【答案】A 【知识点】正、余弦定理的其他应用 【分析】结合正弦定理、余弦定理求得，从而求得速度. 【详解】， 在三角形中，由余弦定理得, 则为锐角，. 在三角形中，由正弦定理得， 由余弦定理得, 即，解得， 所以, 所以最小速度为 km/h. 故选：A 【变式2】．（22-23高一下·浙江宁波·期中）如图，一座垂直建于地面的信号发射塔CD的高度为，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为，沿直线步行后在点观察塔顶，仰角为，若，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、距离测量问题、正、余弦定理的其他应用 【分析】根据题意可得，，在中，利用余弦定理求，即可得结果. 【详解】在Rt中，，则； 在Rt中，，则； 在中，由余弦定理， 可得， 所以步行速度为为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·湖南·期中）如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时． (1)求加油船到达小岛B所需的时间； (2)两艘船最少经过多少小时能相遇？ 【答案】(1)1小时 (2)3小时 【知识点】余弦定理解三角形、几何图形中的计算、正、余弦定理的其他应用 【分析】（1）根据含直角三角形的性质即可得到路程，再除以速度即可； （2）设t小时后恰与货船在C处相遇，在中利用余弦定理即可得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题意知，在中，，，，则 于是，而加油船的速度为60海里/小时， 所以加油船从港口A到小岛B的航行时间为1小时； （2）由（1）知，加油船从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合， 为使航行的时间最少，加油船从小岛B驶离后必须按直线方向航行，设t小时后恰与货船在C处相遇， 在中，，，， 所以，而在中，，，， 由余弦定理可得， 即， 即，解得或，故． 即加油船驶离港口A后，最少经过3小时能和货船相遇 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高一下·重庆渝中·期末）设中角，，所对的边分别为，，；若，，；则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理可得,故为锐角， 由于，因此均为锐角，故为锐角三角形， 故选：A 2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在三角形中，若，则是（    ）三角形． A．等腰 B．等腰或Rt C．等腰直角 D．Rt 【答案】B 【分析】利用正弦定理将边化角，结合角度范围，即可判断三角形形状. 【详解】由正弦定理，即， 因为，所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 故选：B 3．（21-22高一下·河北保定·期末）一艘船航行到点处时，测得灯塔与其相距30海里，如图所示.随后该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点，测得灯塔在其北偏东方向，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知的值，利用正弦定理即可求解. 【详解】解：由题意可知，，海里， 由正弦定理可得=，代入数据得. 故选：A. 4．（23-24高一下·甘肃白银·期中）新疆国际大巴扎丝绸之路观光塔，是乌鲁木齐的地标性建筑．如图，某同学为测量观光塔的高度，在观光塔的正西方向找到一座高为40米的建筑物，在地面上点处（，，三点共线且在同一水平面上）测得建筑物的顶部的仰角为，测得观光塔的顶部的仰角为，在建筑物的顶部处测得观光塔的顶部的仰角为，则观光塔的高为（    ）    A．米 B．80米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】由题意可得，结合正弦定理计算即可求解. 【详解】由题意可得，米，， 则． 在中，由正弦定理可得， 即，解得米． 故选：B 二、多选题 5．（23-24高一下·广西钦州·期中）某校数学兴趣小组欲对当地一唐代古塔进行测量，如图是该古塔的示意图，其中与地面垂直，从地面上点看塔顶的仰角为沿直线向外前进米到点处，此时看塔顶的仰角为根据以上数据得到塔高为米，则（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】BCD 【分析】利用正弦定理，选择合适的三角形进行求解即可求解出答案. 【详解】对于A，在中，由正弦定理得所以米，故A错误； 对于B，在中米，故B正确； 对于C，在中，由正弦定理得，所以米，故C正确； 对于D，在中，米，所以米，故D正确． 故选：BCD． 6．（23-24高一下·四川泸州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则是钝角三角形 【答案】CD 【分析】A中，由三角形内角和定理及诱导公式，可得，判断出A的真假；B中，由角的比值及三角形内角和定理，可得的大小，由正弦定理可得的值，判断出B的真假；C中，由正弦定理及三角形中大边对大角的性质可得，判断出C的真假；D中，由正弦定理及余弦定理可得角C为钝角，即判断出三角形的形状，可得D的真假. 【详解】A中，在三角形中，，所以A不正确； B中，，又因为，可得， 由正弦定理可得：，所以B不正确； C中，在三角形中，，由正弦定理可得，由大边对大角，可得，所以C正确； D中，因为， 由正弦定理可得，所以， 因为，所以C为钝角，即该三角形为钝角三角形，所以D正确. 故选：CD. 三、填空题 7．（20-21高一下·浙江·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是 三角形（填“锐角”、“钝角”、“直角”中的一个）． 【答案】钝角 【分析】根据大边对大角，余弦定理的推论即可解出． 【详解】设，则，显然，根据大边对大角， 因为，所以角为钝角， 故的形状是钝角三角形． 故答案为：钝角． 8．（23-24高一下·江苏泰州·期中）如图所示，某人在点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，速度为米/分钟，开始时刻物体位于点，一分钟后其位置在点，且，再过一分钟，该物体位于点，且，此时 . 【答案】4 【分析】和内，由正弦定理，，中，，，解得可求. 【详解】由正弦定理，内，有， 即. 内，有， 即. 所以， 中，得，又， 得，， 所以. 故答案为：4 四、解答题 9．（23-24高一下·江苏南京·期末）中，内角所对的边为，． (1)若，试确定的形状； (2)若，是的平分线，求长． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理求出，，得到为等边三角形； （2）在（1）基础上，由余弦定理得到，由勾股定理逆定理得到，由角平分线得到，求出答案. 【详解】（1）， 因为，所以， 又， 又，故， 化简得， 又，故为等边三角形； （2）由（1）知，， 又， 在中，由余弦定理得， 故， 由于，故为直角三角形，其中， 又是的平分线，故， 故，即，    故的长为 10．（23-24高一下·贵州黔东南·期末）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求角A的大小； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理得到，根据，求出； （2）由余弦定理得到，计算出，求出三角形面积. 【详解】（1）由正弦定理得， 因为，所以， 故，即， 因为，所以； （2），， 由余弦定理得， 故，解得， 故. 11．（22-23高一下·上海浦东新·期中）如图，甲船在距离A 港口24海里并在南偏西20°方向的C 处驻留等候进港，乙船在 A 港口南偏东40°方向的B 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里. (1)求∠ABC 的正弦值； (2)当乙船行驶20海里到达D 处时，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，求此时甲乙两船之间的距离. 【答案】(1) (2)海里 【分析】（1）利用正弦定理求∠ABC 的正弦值； （2）应用余弦定理求甲乙两船之间的距离. 【详解】（1）由题设，，，， 在△中，，则； （2）由题意，，由（1）及题图知：为锐角，则， 由， 所以海里. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题. 【详解】， ， ∴，即，为锐角， ∴，又， 由正弦定理可得， 所以 ，其中，， 因为为锐角三角形， 所以，则， 即：， 所以，又， ∴，即， 故的周长的取值范围是. 故选：D. 2．（23-24高一下·山东烟台·期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】利用正弦定理变化角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及两角和的正弦公式，结合三角形内角的范围和三角方程即可求解. 【详解】由及正弦定理，得 , 所以, 所以, 即， 即，解得或, 当时，又，,所以或（舍），所以为等腰三角形; 当时，又，所以，所以为直角三角形; 综上所述，为等腰或直角三角形. 故选：D. 3．（23-24高一下·天津河北·期中）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在河的这边测定，，，，则两点距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知利用两角和的正弦函数公式可求的值，根据正弦定理可求，在中，利用正弦定理可求，在中，根据余弦定理即可求解的值． 【详解】在中，，， 由正弦定理可得， 在中，，， 在中，， 可得． 故选：C． 4．（23-24高一下·天津西青·期末）天津广播电视塔是津门十景之一，被人们称为“天塔”，建成于1991年：它曾是亚洲第一高塔，现为集广播电视、观光旅游、娱乐餐饮于一体的4A级景区．某校一项目学习小组开展数学建模活动，欲测量天塔AB的高度．在天塔湖岸边上，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点、．测得，在、两观测点处测得天塔顶部的仰角分别为，则天塔的高约为（    ） A．414m B． C． D．207m 【答案】A 【分析】设，在和 中，求出，在中借助余弦定理求出的值，即的值. 【详解】设， 在中，有题意知，则， 在中，有题意知，则， 在中， ，， 由余弦定理可得：， 即，解得，即. 故选：A. 【点睛】解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 二、多选题 5．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，角所对的边分别为，下列说法正确的有（    ） A． B．若，则为锐角三角形 C．若，则 D．若，则为钝角三角形 【答案】ACD 【分析】作图分析，结合解直角三角形判断A；利用余弦定理判断B；利用正弦定理判断C；利用诱导公式以及余弦函数的单调性可判断D。 【详解】对于A，在中，作于D， 则,即，即，A正确； 对于B，由得， 结合，可知A为锐角，但不能确定B，C角的大小， 故不能确定为锐角三角形，B错误； 对于C，若，由正弦定理可得，则，C正确； 对于D，若，由于，则A为锐角； 若B为锐角，则，可得，则， 故为钝角三角形； 若B为钝角，则，可得，则，适合题意， 此时为钝角三角形； 综合以上可知为钝角三角形，D正确， 故选：ACD 6．（23-24高一下·重庆·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D．中边中线长为 【答案】ABD 【分析】根据余弦定理即可求解A，根据正弦定理即可求解BC，根据向量的模长公式即可求解D. 【详解】因为， 由余弦定理得，，所以，A正确， 由正弦定理得， 所以，，所以B正确，C错误， 设中边中线为,则,故故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 7．（23-24高一下·重庆涪陵·期中）中，，为边上一点，若，则 . 【答案】 【分析】设，有，，中，由正弦定理求出，得到，可求. 【详解】中，，为边上一点， ，如图所示，       设，由，则， 所以，，， 在中，由正弦定理可得， 因为，所以， 即，整理得，即， 所以，. 故答案为：. 8．（21-22高一下·吉林白山·期末）已知D是的边BC上一点，且，，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】设，，，则，，再在和中分别列出余弦定理，根据联立可得，再结合，得到，进而消去，结合基本不等式 求解最大值即可 【详解】 设，，，则，． 在中，； 在中，． 因为，所以， 所以，整理①． 因为，所以． 在中，， 即，结合①可得，所以，即，当且仅当时，等号成立． 故答案为： 四、解答题 9．（24-25高一上·全国·期中）已知的内角的对边分别为，若． (1)求角C的大小； (2)若的面积为，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式求解即可； （2）先利用三角形的面积公式求出，再根据余弦定理结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由，得， 所以， 因为，所以， 所以，所以； （2）因为，所以， 由余弦定理得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 10．（22-23高一下·广东·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B的值； (2)若D为AC的中点，且，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后结合三角恒等变换的公式求解即可； （2）利用得到，结合余弦定理解出，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得，， 则由得：， 在中，， ，则， ，， ， ，； （2）∵D为AC的中点，，，① 由余弦定理得，，② 联立①②，解得， ， 的面积. 11．（23-24高一下·上海松江·期末）在滴水湖公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，，其中． (1)若米，求烧烤区的面积？ (2)为了保证烧烤区的占地面积最大，那么需要修建多长的隔离防护栏？ (3)在（2）条件下，为了使得花卉观赏区的面积也尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【答案】(1) (2)修建的隔离防护栏长米时，烧烤区的占地面积最大 (3)设计观赏步道米时，花卉观赏区的面积最大 【分析】（1）先由余弦定理求出，即可由面积公式求解. （2）设米，先由余弦定理求出与的关系式，进而得，进而代入面积公式结合一元二次函数的性质研究最值即可得解. （3）先利用正弦定理求得，接着代入结合三角恒等变换公式计算即可求解. 【详解】（1）若，则， 又，所以， 所以烧烤区的面积为. （2）设米，则， 又，所以， 所以烧烤区的面积为， 所以当即时，烧烤区的面积最大为，此时米， 所以修建的隔离防护栏长米时，烧烤区的占地面积最大. （3）由（2）得米， 所以在中由题意得，即， 所以， 所以 ， 又，所以， 所以当即时，有最大值为， 此时，， 所以在（2）条件下，设计观赏步道米时，花卉观赏区的面积最大. 【点睛】思路点睛：对求花卉观赏区的面积最大值，先在中利用正弦定理得，接着代入结合三角恒等变换公式计算化简得，再利用三角函数值的有界性即可求出解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 余弦定理、正弦定理的应用 目录 题型归纳 1 题型01 正、余弦定理判定三角形形状 2 题型02 求三角形中的边长或周长的最值或范围 3 题型03 几何图形中的计算 4 题型04 求三角形面积的最值或范围 5 题型05 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 6 题型06 距离测量问题 7 题型07 高度测量问题 9 题型08 角度测量问题 11 题型09 正、余弦定理的其他应用 13 分层练习 15 夯实基础 15 能力提升 18 知识点01距离测量问题 [方法技巧] 处理距离问题的策略 (1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．　　 知识点02高度测量问题 [方法技巧] 求解高度问题应注意的问题 (1)理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)等的定义． (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．　　 知识点03角度测量问题 [方法技巧] 解决角度问题的注意事项 (1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． (2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值． (3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．　　 题型01正、余弦定理判定三角形形状 【例1】（23-24高一下·湖北·期中）已知的三边长分别为4，6，8，则这个三角形为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式1】（23-24高一下·福建龙岩·期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则该三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式2】（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知中，内角，，的对边分别为，，，，则的形状是 . 【变式3】（22-23高一下·河北沧州·期末）已知的内角的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，证明：是直角三角形. 题型02 求三角形中的边长或周长的最值或范围 【例2】（22-23高一下·安徽安庆·期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为钝角三角形，且，则c的取值不可能的是（    ） A．3 B．4 C．9 D．12 【变式1】（23-24高一下·四川成都·期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一下·江西南昌·期末）中，，延长至，使得，则的最大值为 . 【变式3】（23-24高一下·湖北武汉·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，其中S为的面积. (1)求角A； (2)若，求周长的取值范围. 题型03 几何图形中的计算 【例3】（23-24高一下·重庆·期末）某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若，则CP的最大值为（    ）    A．6km B． C． D． 【变式1】（22-23高一下·吉林·期末）在中，，，，的角平分线交BC于D，则（    ） A． B．2 C． D． 【变式2】（22-23高一下·广西南宁·期末）已知，， ，AD平分交BC于点D，则 ． 【变式3】（23-24高一下·湖北·阶段练习）如图所示，圆内接四边形中，，为圆周上一动点，. (1)求四边形ABCD周长的最大值; (2)若，求AC的长. 题型04 求三角形面积的最值或范围 【例4】（21-22高一上·福建福州·期末）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即的面积，其中分别为的内角的对边，若，且，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高一上·江西景德镇·期末）在锐角中，分别为角的对边，已知，则的面积S的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一下·四川成都·期中）在中，若，AD是BC边上的高，，则AD的最大值为 ． 【变式3】（23-24高一下·重庆万州·期中）在中，角所对的边分别是，若是边上的一点，且. (1)若时，求面积的最大值； (2)若 ①求角的大小； ②当取得最大值时，求的面积. 题型05 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【例5】（20-21高一下·黑龙江双鸭山·期末）设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高一下·广东广州·期中）锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则的取值范围为 【变式2】（22-23高一下·湖北武汉·期末）已知锐角中，，则的取值范围 . 【变式3】（23-24高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别为，且满足 (1)求角的值； (2)若且，求的取值范围． 题型06 距离测量问题 【例6】（23-24高一下·山东临沂·期中）一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔的南偏西，距灯塔64海里的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向处，则该船航行的速度为（    ） A．海里/小时 B．海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 【变式1】（23-24高一下·江西萍乡·期中）如图，，两地之间隔了一个湖，在与，同一平面内取一点，测得，，，则，两地之间的距离为 . 【变式2】（23-24高一下·湖北孝感·期中）如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到达处，在测得山顶的仰角为. (1)若，求山的高度； (2)若，求的余弦值. 【变式3】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，某海域在A，B两处分别设有停靠码头，B在A北偏东30°相距海里处，现由甲，乙两艘货船分别从A，B两处向C处航行．甲货船从A处以海里/小时的速度沿着正东方向行驶，乙货船从B处以3海里/小时的速度向沿东偏南45°的方向行驶，当航行至1小时，甲货船到达E处，乙货船到达F处，此时乙货船因故障停止航行并发出求救信号，甲接到信号后立即掉转方向并以海里/小时的速度行至F处施展抢修工作． (1)求码头B和甲船位置E处相距多少海里． (2)若抢修工作共经历1小时，抢修结束后乙船仍以原速度驶向C处，则自乙船从B处出发到乙船行至C处为止，共经过了多长时间， 题型07 高度测量问题 【例7】（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·四川达州·期中）龙爪塔位于通川区朝阳寺内， 龙爪塔据传因崖壁有石纹，下临深潭，影似龙爪而得名.龙爪塔相传由鲁班修建，据文物部门考证，该塔建于唐朝年间，乾隆十二（1747）年增刻本《达州志·舆地图》已绘有龙爪山图，先后经嘉庆十八（1813）年和光绪十四（1888）年两次补修.1987年11月按原貌对塔进行了维修，1989年对游人开放.为了测量塔的高度AB，选取与塔底B在同一水平面的两个基点C与D，现测得米，在C点测得塔顶的仰角，则塔的高度为 （参考数据） 【变式2】（23-24高一下·浙江·期中）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高. (1)求两点AC间的长度； (2)求山MN的高度. 【变式3】（22-23高一下·山东青岛·期中）如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东方向，然后向正东方向前进20米到达D，测得此时塔底B在北偏东方向.    (1)求点D到塔底B的距离； (2)若在点C测得塔顶A的仰角为，求铁塔高. 题型08 角度测量问题 【例8】（20-21高一下·北京·期中）如图，是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔，．若某科研小组在坝底点测得，坝底至塔顶距离米，则大坝的坡角的余弦值为（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·河北沧州·期中）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．已知飞机在点时，测得，在点时，测得，，千米，则 千米． 【变式2】（22-23高一下·贵州铜仁·期中）信阳南湾湖以源远流长的历史遗产，浓郁丰厚的民俗风情而著称；以幽、朴、秀、奇的独特风格，山、水、林、岛的完美和谐而闻名，是融自然景观、人文景观、森林生态环境、森林保健功能于一体，是河南省著名的省级风景区．如图，为迎接第九届开渔节，某渔船在湖面上A处捕鱼时，天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北方向上有一个小岛C可躲避恶劣天气，在小岛C的正北方向有一航标灯D距离小岛25海里，渔船向小岛行驶50海里后到达B处，测得，海里．    (1)求A处距离航标灯D的距离AD； (2)求的值； 【变式3】（21-22高一下·贵州黔东南·期中）如图，某运动员从市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在市南偏东方向距市的处有一艘小艇，小艇与海岸距离为，若小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.    (1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？ (2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角. 题型09 正、余弦定理的其他应用 【例9】（21-22高一下·广东深圳·期中）海上某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的北偏西，距离为海里处；货轮由处向正北航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为（    ） A． B． C． D．12 【变式1】（21-22高一下·江苏盐城·期中）某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31km的公路B处有一个人正沿着此公路向A走去，走20km到达D，此时测得DC距离为21km，若此人必须在30分钟内从D处到达A处，则此人的最小速度为（    ） A．30km/h B．45km/h C．14km/h D．15km/h 【变式2】．（22-23高一下·浙江宁波·期中）如图，一座垂直建于地面的信号发射塔CD的高度为，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为，沿直线步行后在点观察塔顶，仰角为，若，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为 . 【变式3】（23-24高一下·湖南·期中）如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时． (1)求加油船到达小岛B所需的时间； (2)两艘船最少经过多少小时能相遇？ 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高一下·重庆渝中·期末）设中角，，所对的边分别为，，；若，，；则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在三角形中，若，则是（    ）三角形． A．等腰 B．等腰或Rt C．等腰直角 D．Rt 3．（21-22高一下·河北保定·期末）一艘船航行到点处时，测得灯塔与其相距30海里，如图所示.随后该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点，测得灯塔在其北偏东方向，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·甘肃白银·期中）新疆国际大巴扎丝绸之路观光塔，是乌鲁木齐的地标性建筑．如图，某同学为测量观光塔的高度，在观光塔的正西方向找到一座高为40米的建筑物，在地面上点处（，，三点共线且在同一水平面上）测得建筑物的顶部的仰角为，测得观光塔的顶部的仰角为，在建筑物的顶部处测得观光塔的顶部的仰角为，则观光塔的高为（    ）    A．米 B．80米 C．米 D．米 二、多选题 5．（23-24高一下·广西钦州·期中）某校数学兴趣小组欲对当地一唐代古塔进行测量，如图是该古塔的示意图，其中与地面垂直，从地面上点看塔顶的仰角为沿直线向外前进米到点处，此时看塔顶的仰角为根据以上数据得到塔高为米，则（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．（23-24高一下·四川泸州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则是钝角三角形 三、填空题 7．（20-21高一下·浙江·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是 三角形（填“锐角”、“钝角”、“直角”中的一个）． 8．（23-24高一下·江苏泰州·期中）如图所示，某人在点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，速度为米/分钟，开始时刻物体位于点，一分钟后其位置在点，且，再过一分钟，该物体位于点，且，此时 . 四、解答题 9．（23-24高一下·江苏南京·期末）中，内角所对的边为，． (1)若，试确定的形状； (2)若，是的平分线，求长． 10．（23-24高一下·贵州黔东南·期末）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求角A的大小； (2)若，求的面积. 11．（22-23高一下·上海浦东新·期中）如图，甲船在距离A 港口24海里并在南偏西20°方向的C 处驻留等候进港，乙船在 A 港口南偏东40°方向的B 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里. (1)求∠ABC 的正弦值； (2)当乙船行驶20海里到达D 处时，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，求此时甲乙两船之间的距离. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东烟台·期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 3．（23-24高一下·天津河北·期中）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在河的这边测定，，，，则两点距离是（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高一下·天津西青·期末）天津广播电视塔是津门十景之一，被人们称为“天塔”，建成于1991年：它曾是亚洲第一高塔，现为集广播电视、观光旅游、娱乐餐饮于一体的4A级景区．某校一项目学习小组开展数学建模活动，欲测量天塔AB的高度．在天塔湖岸边上，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点、．测得，在、两观测点处测得天塔顶部的仰角分别为，则天塔的高约为（    ） A．414m B． C． D．207m 二、多选题 5．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，角所对的边分别为，下列说法正确的有（    ） A． B．若，则为锐角三角形 C．若，则 D．若，则为钝角三角形 6．（23-24高一下·重庆·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D．中边中线长为 三、填空题 7．（23-24高一下·重庆涪陵·期中）中，，为边上一点，若，则 . 8．（21-22高一下·吉林白山·期末）已知D是的边BC上一点，且，，，则的最大值为 ． 四、解答题 9．（24-25高一上·全国·期中）已知的内角的对边分别为，若． (1)求角C的大小； (2)若的面积为，求的最小值． 10．（22-23高一下·广东·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B的值； (2)若D为AC的中点，且，，求的面积. 11．（23-24高一下·上海松江·期末）在滴水湖公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，，其中． (1)若米，求烧烤区的面积？ (2)为了保证烧烤区的占地面积最大，那么需要修建多长的隔离防护栏？ (3)在（2）条件下，为了使得花卉观赏区的面积也尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$