第02讲 整式乘法（6个知识清单+8类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版2024）

第02讲 整式乘法 目录 题型归纳 1 题型01 计算单项式乘单项 3 题型02 利用单项式乘法求字母或代数式的值 4 题型03计算单项式乘多项式及求值 6 题型04单项式乘多项式的应用 8 题型05 计算多项式乘多项式 10 题型06 （x+p）（x+q）型多项式乘法 12 题型07 多项式乘多项式——化简求值 14 题型08 整式乘法混合运算 16 分层练习 18 夯实基础 18 能力提升 30 知识点1．单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 知识点2．单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 知识点3．多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 知识点4．整式的除法 整式的除法： （1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式． 关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式． （2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式． 知识点5．整式的混合运算 （1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． （2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 知识点6．整式的混合运算—化简求值 先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值． 有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 题型01计算单项式乘单项 1．（21-22七年级下·江苏徐州·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏徐州·期中） ． 3．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）（1）计算： （2）计算： 题型02利用单项式乘法求字母或代数式的值 4．（七年级下·江苏无锡·期中）若□·3xy=27x3y4 ， 则□内应填的单项式是（    ） A．3x3y4 B．9x2y2 C．3x2y3 D．9x2y3 5．（七年级下·江苏扬州·期中）已知单项式3x2y3与﹣5x2y2的积为mx4yn，那么m﹣n＝ ． 6．（21-22七年级下·江苏盐城·阶段练习）化简求值： (1)当a＝2022时，求－3a2(a2－2a－3)＋3a(a3－2a2－3a)＋2022的值． (2)求xn(xn＋9x－12)－3(3xn+1－4xn)的值，其中x＝－2，n＝3． 题型03计算单项式乘多项式及求值 7．（七年级下·江苏盐城·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（21-22七年级下·江苏苏州·期末）计算的结果等于 ． 9．化简 (1)； (2)． 题型04单项式乘多项式的应用 10．（七年级下·江苏镇江·期中）如图1的8张宽为a，长为的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　　） A． B． C． D． 11．（21-22七年级下·江苏盐城·期中）长为a，宽为的长方形，它的面积为 ．（结果为最简） 12．（22-23七年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 题型05计算多项式乘多项式 13．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记；．已知，则的值是（    ） A．4 B．5 C． D． 14．（2024七年级下·江苏·专题练习）计算： ． 15．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）计算． (1)； (2)． 题型06（x+p）（x+q）型多项式乘法 16．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）若，则a、b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 17．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）若，则值是 ． 18．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 题型07多项式乘多项式——化简求值 19．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）已知，则的值为（      ） A． B．9 C． D．8 20．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）若，，则 ． 21．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中． 题型08整式乘法混合运算 22．（七年级下·江苏扬州·期中）6张长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，S始终保持不变，则a，b满足（    ） A．a＝b B．a＝2b C．a＝3b D．a＝4b 23．（2023·江苏·中考真题）若圆柱的底面半径和高均为，则它的体积是 （用含的代数式表示）． 24．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）计算： (1) (2) 夯实基础 一、单选题 1．计算：，□表示（    ） A． B． C．－8 D． 2．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，其运算的实质为（  ） A．同底数幂的乘法法则 B．乘法交换律 C．乘法结合律 D．乘法分配律 3．若定义，则（　　） A． B． C． D． 4．计算y2（﹣xy3）2的结果是（　　） A．x3y10 B．x2y8 C．﹣x3y8 D．x4y12 5．下列计算正确的是（　　） A．（a）＝a B．a+a＝a C．（3a）•（2a）＝6a D．3a﹣a＝3 6．已知长为a，宽为b(a>b)的长方形的周长为14，面积为10，则ab(a+b)的值为（    ） A．40 B．50 C．60 D．70 7．已知（其中），则M，N的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 8．聪聪计算一道整式乘法的题：，由于聪聪将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为．这道题的正确结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．计算：（a﹣3）（a+7）＝ ． 10．若，则 . 11．计算：(2a－3b)·(－3a)＝ ；(－3x2)(－x2＋2x－1)＝ ；(－2x3y)·(3xy2－3xy＋1)＝ ． 12．小明在计算一个多项式M乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是．则这个多项式是 ，正确的结果是 ． 13．若关于x的多项式除以，所得商恰好为，则 ． 14．计算的结果是 ． 三、解答题 15．计算： 16．计算 (1)； (2)． 17．已知的展开式中不含项，常数项是． (1)求m、n的值； (2)求的值． 18．﹣3x•（2x2﹣x+4） 19．计算： ⑴； ⑵； ⑶； ⑷； ⑸； ⑹； 20．【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题"代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式=，所以a＋3=0，则． (1)若关于x的多项式的值与x无关，求m的值 【能力提升】 (2)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 能力提升 一、单选题 21．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 22．如图，在一个长为，宽为的长方形地面上，四个角各有一个边长为的正方形草坪，其中阴影部分为花坛，则花坛的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 23．若，，则 ． 24．在一个长为，宽为，高为的长方体容器中，放入尽可能多的半径为的小球，当放入最多小球时，所有小球的体积之和与长方体容器容积的比值为 ．（球的体积公式：，其中为球的半径） 25．计算： (1)． (2)． 26．计算 (1) (2) 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 整式乘法 目录 题型归纳 1 题型01 计算单项式乘单项 3 题型02 利用单项式乘法求字母或代数式的值 4 题型03计算单项式乘多项式及求值 6 题型04单项式乘多项式的应用 8 题型05 计算多项式乘多项式 10 题型06 （x+p）（x+q）型多项式乘法 12 题型07 多项式乘多项式——化简求值 14 题型08 整式乘法混合运算 16 分层练习 18 夯实基础 18 能力提升 30 知识点1．单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 知识点2．单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 知识点3．多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 知识点4．整式的除法 整式的除法： （1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式． 关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式． （2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式． 知识点5．整式的混合运算 （1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． （2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 知识点6．整式的混合运算—化简求值 先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值． 有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 题型01计算单项式乘单项 1．（21-22七年级下·江苏徐州·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则化简求出答案即可． 【详解】解：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了单项式乘以单项式，正掌握运算法则是解题关键． 2．（23-24七年级下·江苏徐州·期中） ． 【答案】/ 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式法则和同底数幂相乘的运算法则是解题的关键． 运用单项式乘以单项式法则计算即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）（1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2）2 【知识点】计算单项式乘单项式、零指数幂、负整数指数幂 【分析】此题考查了整式和实数的混合运算能力． （1）运用单项式乘单项式进行求解； （2）先计算负整数指数幂、零次幂和绝对值，再计算加减，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ． 题型02利用单项式乘法求字母或代数式的值 4．（七年级下·江苏无锡·期中）若□·3xy=27x3y4 ， 则□内应填的单项式是（    ） A．3x3y4 B．9x2y2 C．3x2y3 D．9x2y3 【答案】D 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【详解】因为9x2y3·3xy=27x3y4，则□内应填的单项式是9x2y3， 故选：D． 【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．（七年级下·江苏扬州·期中）已知单项式3x2y3与﹣5x2y2的积为mx4yn，那么m﹣n＝ ． 【答案】﹣20. 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】将两单项式相乘后利用待定系数即可取出m与n的值． 【详解】解：3x2y3×（﹣5x2y2）＝﹣15x4y5， ∴mx4yn＝﹣15x4y5， ∴m＝﹣15，n＝5 ∴m﹣n＝﹣15﹣5＝﹣20 故答案为﹣20 【点睛】本题考查单项式乘以单项式，解题关键是熟练运用整式的乘法法则，本题属于基础题型． 6．（21-22七年级下·江苏盐城·阶段练习）化简求值： (1)当a＝2022时，求－3a2(a2－2a－3)＋3a(a3－2a2－3a)＋2022的值． (2)求xn(xn＋9x－12)－3(3xn+1－4xn)的值，其中x＝－2，n＝3． 【答案】(1)2022 (2)x2n，64 【知识点】计算单项式乘单项式、利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】（1）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求值即可； （2）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【详解】（1）解：原式= =2022； （2）解：原式= =； 当x＝－2，n＝3时，则 ； 【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 题型03计算单项式乘多项式及求值 7．（七年级下·江苏盐城·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、计算单项式乘多项式及求值 【详解】A、a2+a2=2a2，故错误； B、2a（a+1）=2a2+2a，故错误； C、（ab）2=a2b2，正确； D、a6÷a3=a3，故错误； 故选C． 8．（21-22七年级下·江苏苏州·期末）计算的结果等于 ． 【答案】/-a+2a2 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】去括号即可求解． 【详解】． 【点睛】本题考查了整式的运算，掌握整式去括号得计算方法是解题的关键． 9．化简 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了乘方混合运算，单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据幂的乘方，同底数幂乘法运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型04单项式乘多项式的应用 10．（七年级下·江苏镇江·期中）如图1的8张宽为a，长为的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】分别表示出左上角阴影部分的面积S1和右下角的阴影部分的面积S2，两者求差，根据当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，即可求得a与b的数量关系． 【详解】解：设左上角阴影部分的面积为，右下角的阴影部分的面积为， S1=（BC-3）×，S2=（BC-）×5 =（BC -3）×-(BC-）×5． = = 当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变， ， ． 故选择：． 【点睛】本题考查了多项式乘以单项式在几何图形问题中的应用，数形结合并根据题意正确表示出两部分阴影的面积之差是解题的关键． 11．（21-22七年级下·江苏盐城·期中）长为a，宽为的长方形，它的面积为 ．（结果为最简） 【答案】2ab＋3ac 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】根据长方形面积公式列式计算即可． 【详解】解：长方形面积为： a（2b＋3c）＝2ab＋3ac 故答案为：2ab＋3ac 【点睛】本题考查了单项式乘多项式的实际运用，掌握其运算法则是解本题的关键． 12．（22-23七年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、单项式乘多项式的应用 【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方计算法则计算； （2）先提取公因式，然后由单项式乘多项式法则作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式，幂的乘方与积的乘方等，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 题型05计算多项式乘多项式 13．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记；．已知，则的值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查多项式乘以多项式、整式的加减，由系数可知，再根据题中新定义，将已知等式左边展开化简，然后使一次项系数相等即可求解． 【详解】解：∵系数为5， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 故选：B． 14．（2024七年级下·江苏·专题练习）计算： ． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式乘多项式法则，合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同． 根据多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加解答． 【详解】解：, 故答案为：． 15．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【知识点】同底数幂相乘、计算多项式乘多项式 【分析】此题主要考查了多项式乘多项式、同底数幂的乘法，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则即可； （2）根据同底数幂的乘法及合并同类项计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型06（x+p）（x+q）型多项式乘法 16．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）若，则a、b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，熟练的利用多项式乘以多项式的法则进行运算是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选B． 17．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）若，则值是 ． 【答案】 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，正确计算出是解题的关键． 根据多项式乘以多项式的计算法则把等式左边去括号得到m的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】幂的混合运算、（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】（1）利用积的乘方和幂的乘方，同底幂的乘法法则，同底数幂的除法法则来进行计算求解； （2）利用多项式乘以多项式的运算法则来求解． 【详解】（1） ； （2） 【点睛】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方，同底幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，多项式乘以多项式的运算法则．理解相关法则是解答关键． 题型07多项式乘多项式——化简求值 19．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）已知，则的值为（      ） A． B．9 C． D．8 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、多项式乘多项式——化简求值 【分析】根据，得到，进而得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，正确推出是解题的关键． 20．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）若，，则 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、多项式乘多项式——化简求值 【分析】先利用多项式乘多项式法则计算乘法，再整体代入求值． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式法则，已知式子的值求代数式的值，掌握整式的乘法法则是解决本题的关键． 21．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】5 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、多项式乘多项式——化简求值 【分析】直接利用合并同类项法、完全平方公式、平方差公式展开化简，再把已知数据代入得出答案． 【详解】解： ∵， ∴ 原式． 【点睛】此题主要考查了整式的加减—化简求值，涉及到完全平方公式及平方差公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 题型08整式乘法混合运算 22．（七年级下·江苏扬州·期中）6张长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，S始终保持不变，则a，b满足（    ） A．a＝b B．a＝2b C．a＝3b D．a＝4b 【答案】D 【知识点】整式乘法混合运算、单项式乘多项式的应用 【分析】表示出左上角和右下角部分的面积，求出它们的差，根据它们的差与BC无关即可求出a与b的关系式． 【详解】解：如图， 设S1的长为x，则宽为4b，S2的长为y，则宽为a， 则AB＝4b+a，BC＝y+2b， ∵x+a＝y+2b， ∴y﹣x＝a﹣2b， ∴S＝S2﹣S1 ＝ay﹣4bx ＝ay﹣4b（y﹣a+2b） ＝（a﹣4b）y+4ab﹣8b2， ∵S始终保持不变， ∴a﹣4b＝0， 则a＝4b． 故选：D． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算的应用，解题的关键是弄清题意，列出面积差的代数式及整式的混合运算顺序与运算法则． 23．（2023·江苏·中考真题）若圆柱的底面半径和高均为，则它的体积是 （用含的代数式表示）． 【答案】 【知识点】列代数式、整式乘法混合运算 【详解】根据圆柱的体积圆柱的底面积圆柱的高，可得 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查代数式和整式的乘法运算，牢记整式乘法的运算性质是解题的关键． 24．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】幂的混合运算、整式乘法混合运算 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是掌握相关运算顺序和运算法则． （1）先计算乘方，再计算乘法即可； （2）先利用单项式乘多项式、多项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 夯实基础 一、单选题 1．计算：，□表示（    ） A． B． C．－8 D． 【答案】D 【分析】运用单项式乘以多项式法则展开，再根据对应项相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式法则是解题的关键． 2．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，其运算的实质为（  ） A．同底数幂的乘法法则 B．乘法交换律 C．乘法结合律 D．乘法分配律 【答案】D 【分析】单项式与多项式相乘的法则，就是根据单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，就是乘法的分配律． 【详解】解：乘法的分配律：a（b+c）＝ab+ac． 故选：D． 【点睛】本题考查了单项式乘多项式法则的依据． 3．若定义，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的新定义运算．根据新定义运算直接计算即可求解． 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：D． 4．计算y2（﹣xy3）2的结果是（　　） A．x3y10 B．x2y8 C．﹣x3y8 D．x4y12 【答案】B 【分析】先根据积的乘方计算，再计算单项式的乘法. 【详解】y2（﹣xy3）2= y2·x2y6=x2y8. 故选B. 【点睛】本题考查了整式的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键. 单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系数相乘，字母部分的同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 5．下列计算正确的是（　　） A．（a）＝a B．a+a＝a C．（3a）•（2a）＝6a D．3a﹣a＝3 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A．（a2）3=a2×3=a6，故本选项正确； B．a2+a2=2a2，故本选项错误； C．（3a）•（2a）2=（3a）•（4a2）=12a1+2=12a3，故本选项错误； D．3a﹣a=2a，故本选项错误． 故选A． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和单项式乘法，理清指数的变化是解题的关键． 6．已知长为a，宽为b(a>b)的长方形的周长为14，面积为10，则ab(a+b)的值为（    ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】D 【分析】整理为与题意相关的式子，代入求值即可． 【详解】∵长和宽为a、b的长方形的周长为14，面积为10， ∴2(a＋b)＝14，ab＝10， 则a＋b＝7， 故ab(a＋b)＝7×10＝70. 【点睛】本题考查了对因式分解方法的掌握和代数式求值的方法. 7．已知（其中），则M，N的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、单项式乘以多项式、整式的加减，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据多项式乘以多项式、单项式乘以多项式法则求出，再根据整式的减法法则计算即可得． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 故选：A． 8．聪聪计算一道整式乘法的题：，由于聪聪将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为．这道题的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出m的值，代入原式求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：； 把代入原式得： ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 二、填空题 9．计算：（a﹣3）（a+7）＝ ． 【答案】a2+4a-21． 【分析】利用多项式乘多项式展开，再合并即可． 【详解】解：（a﹣3）（a+7）=a2-3a+7a-21= a2+4a-21． 故答案为：a2+4a-21． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟知整式混合运算的法则是解答此题的关键． 10．若，则 . 【答案】2 【分析】先化简等号左边的运算，然后求出m、n的值，再计算的值. 【详解】解：， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为2. 【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，以及同底数幂相乘，解题的关键是掌握单项式乘以单项式的运算法则. 11．计算：(2a－3b)·(－3a)＝ ；(－3x2)(－x2＋2x－1)＝ ；(－2x3y)·(3xy2－3xy＋1)＝ ． 【答案】 －6a2＋9ab 3x4－6x3＋3x2 －6x4y3＋6x4y2－2x3y 【分析】根据单项式乘以多项式的运算法则分别计算即可求解. 【详解】(2a－3b)·(－3a)＝－6a2＋9ab； (－3x2)(－x2＋2x－1)＝3x4－6x3＋3x2； (－2x3y)·(3xy2－3xy＋1)＝－6x4y3＋6x4y2－2x3y． 故答案为－6a2＋9ab；3x4－6x3＋3x2；－6x4y3＋6x4y2－2x3y. 【点睛】本题考查了单项式乘以多项式的运算，灵活运用运算法则是解决问题的关键. 12．小明在计算一个多项式M乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是．则这个多项式是 ，正确的结果是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，从而可求解得，再利用单项式乘多项式的法则进行求解即可． 【详解】解：由题意可得： ； 则正确的结果是：， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 13．若关于x的多项式除以，所得商恰好为，则 ． 【答案】 【分析】利用可求出，进一步可得：，，，进一步可求出，，，相加即可求出． 【详解】解：由题意可知： ， ∴， ∴，，， 解之得：，，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查多项式系数中的字母求值，单项式乘多项式，解题的关键是理解题意，找出，令其系数对应相等即可解答． 14．计算的结果是 ． 【答案】-18a3+6a2+4a． 【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，求出即可． 【详解】解：=-18a3+6a2+4a． 故答案为：-18a3+6a2+4a． 【点睛】此题考查单项式乘以多项式，正确把握运算法则是解题关键． 三、解答题 15．计算： 【答案】． 【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为． 【点睛】本题考查单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键. 16．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据多项式乘以单项式的法则即可求解； （2）根据多项式乘以多项式的法则即可求解． 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用法则，准确计算． 17．已知的展开式中不含项，常数项是． (1)求m、n的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)7 【分析】（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出，的值； （2）先将原式进行化简，然后将m与n的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 ， 由于展开式中不含项，常数项是， 则且， 解得：，； （2）由（1）可知：，， 原式 ． 【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 18．﹣3x•（2x2﹣x+4） 【答案】﹣6x3+3x2﹣12x． 【分析】根据单项式与多项式相乘,用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,计算即可. 【详解】解：﹣3x•（2x2﹣x＋4）， ＝﹣3x•2x2﹣3x•（﹣x）﹣3x•4， ＝﹣6x3＋3x2﹣12x． 【点睛】本题主要考查单项式与多项式相乘的运算法则,熟练掌握运算法则是解题的关键,计算时要注意运算符号. 19．计算： ⑴； ⑵； ⑶； ⑷； ⑸； ⑹； 【答案】⑴； ⑵；⑶；⑷；⑸；⑹； 【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果； （2）原式第一项利用多项式乘以多项式法则计算，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，再和并即可得到结果； （3）原式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果； （4）原式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果； （5）原式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果； （6）原式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果. 【详解】（1）= 3x2-6x+x-2= 3x2-5x -2； （2）=-2+3a-6-+2+2a=5a-6； （3）=x2+2x-5x-10=x2-3x-10； （4）=x2-2x+5x-10=x2+3x-10； （5）=x2-2x-5x+10=x2-7x+10； （6）= x2+2x+5x+10=x2+7x+10. 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题"代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式=，所以a＋3=0，则． (1)若关于x的多项式的值与x无关，求m的值 【能力提升】 (2)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1) (2)a=2b 【分析】（1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得． 【详解】（1）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得． （2）解：设， 由图可知，，， 则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． 能力提升 一、单选题 21．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方和幂的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂的乘法和除法，据此将各选项逐一分析即可得出答案．解题的关键是掌握相应的运算法则． 【详解】解：A．，故此选项符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：A． 22．如图，在一个长为，宽为的长方形地面上，四个角各有一个边长为的正方形草坪，其中阴影部分为花坛，则花坛的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】阴影部分的面积等于长方形的面积减去四个小正方形的面积，列出算式并化简即可. 【详解】阴影部分的面积= 故选B 【点睛】本题考查整式的运算，掌握整式的运算法则是关键. 二、填空题 23．若，，则 ． 【答案】 【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可． 【详解】∵a＋b＝−3，ab＝2， ∴(a＋2)(b＋2)＝ab＋2(a＋b)＋4＝2＋2×(−3)＋4＝0， 故答案为0. 【点睛】本题考查的知识点是整式的化简求值，解题关键是注意合并同类项. 24．在一个长为，宽为，高为的长方体容器中，放入尽可能多的半径为的小球，当放入最多小球时，所有小球的体积之和与长方体容器容积的比值为 ．（球的体积公式：，其中为球的半径） 【答案】/ 【分析】本题考查列列代数式，单项式的除法，根据题意求得长方体容器最多放个小球是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，每个小球的体积为：，长方体容器容积为， 沿长边最多摆放个小球，沿宽最多摆放个小球，沿高最多摆放个小球； 则长方体容器最多放个小球，则所有小球的体积之和为， ∴所有小球的体积之和与长方体容器容积的比值为， 故答案为：． 三、解答题 25．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据整式的加减运算、同底数幂的乘法运算以及积的乘方运算即可求出答案； （2）根据单项式的乘除法则进行计算即可． 【详解】（1） = = （2） = = 【点睛】本题考查同底数幂的乘法以及积的乘方运算，单项式的乘除，解决本题的关键是熟练掌握整式的运算法则． 26．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将(a-b)看作整体，根据同底数幂的乘法可以解答本题； （2）根据积的乘方、单项式乘单项式及合并同类项运算法则进行计算即可； 【详解】（1）解： = =； （2）解： = = = 【点睛】本题考查幂的运算，解答本题的关键是熟练掌握幂的运算的法则． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$