第02讲 平行线的概念及其判定（3个知识清单+9类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2024）

第02讲 平行线的概念及其判定 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01平面内两直线的位置关系.................................................................................................................................................2 题型02立体图形中平行的棱.........................................................................................................................................................5 题型03用直尺、三角板画平行线.................................................................................................................................................7 题型04平行公理的应用.................................................................................................................................................................8 题型05平行公理推论的应用........................................................................................................................................................10 题型06同位角相等两直线平行...................................................................................................................................................14 题型07内错角相等两直线平行...................................................................................................................................................16 题型08同旁内角互补两直线平行................................................................................................................................................18 题型09垂直于同一直线的两直线平行........................................................................................................................................21 分层练习.........................................................................................................................................................................................23 夯实基础.........................................................................................................................................................................................23 能力提升........................................................................................................................................................................................39 知识点1．平行线 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b； 读作：直线a平行于直线b． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 知识点2．平行公理及推论 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 知识点3．平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 题型01平面内两直线的位置关系 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是平面上五条直线，，，，相交的情形．根据图中标示的角度，下列叙述正确的是（   ） A．和平行，和平行 B．和平行，和不平行 C．和不平行，和平行 D．和不平行，和不平行 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）在如图所示的方格纸中，找出互相平行的线段，并用符号表示出来为 ． 3．（21-22七年级下·全国·单元测试）在图中，    (1)分别找出三组互相平行、互相垂直的线段，并用符号表示出来． (2)找出一个锐角、一个直角、一个钝角，将它们表示出来． 题型02立体图形中平行的棱 4．（22-23七年级·江苏苏州·期末）如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（　　） A． B． C． D． 5．（20-21七年级下·全国·课后作业）如图，在长方体中，与平行的棱是 ． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，字母“”是运用画“平行线段”这种基本作图方法书写的艺术字． (1)请在正面，上面，右面上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 题型03用直尺、三角板画平行线 7．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 8．（22-23七年级下·河南郑州·期中）如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了 ．    9．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在方格纸上有点、和直线．过点画；过点画． 题型04平行公理的应用 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知是平面内任意一点，过点画一条直线与的边平行，则这样的直线（   ） A．有一条 B．有两条 C．不存在 D．以上情况都有可能 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，取一张长方形的硬纸板，将硬纸板对折使与重合，为折痕．把长方形平放在桌面上，另一个面无论怎么改变位置，总有存在，理由是 ． 12．（24-25七年级下·全国·随堂练习）工人师傅在铺设电缆时，为了检查三条电缆是否平行，只检查了其中两条电缆是否与第三条平行．你认为这种做法对吗？请给出合理解释． 题型05平行公理推论的应用 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，若，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．延长后才平行 C．垂直 D．无法确定 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）工人师傅在铺设电缆时，为了检验三条电缆线是否平行，工人师傅只检查了其中两条电缆线是否与第三条平行．其依据是 ． 15．（23-24七年级下·全国·期末）如图，点是外一点，过点作 交于点，以为边作． (1)若，则与的关系是 ； (2)若与直线交于点（点不与点重合），写出三者之间的数量关系，画出相应的图形，并对其中的一种进行证明． 题型06同位角相等两直线平行 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上行驶，那么两次拐弯的角度可能为（   ） A．第一次右拐，第二次右拐 B．第一次右拐，第二次右拐 C．第一次右拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次左拐 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线与直线分别交于点，，且．在不加辅助线的基础上，若增加一个条件使得，则这个条件可以是 ． 18．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，点P是的边上一点，请你用尺规作出经过点P的的平行线（在原图上作画，不写作法，保留作图痕迹） 题型07内错角相等两直线平行 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）将两把完全一样的三角尺按如图所示的方式放置，则边的依据是 ． 21．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图①是一个落地书架，图②是其部分示意图．已知，，试说明与，与的位置关系． 题型08同旁内角互补两直线平行 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）在后稷故里稷山县，有个流传三千多年的独特年俗，就是除夕日农民在自家院子地面上绘“麦囤”图案，以期风调雨顺，四时平安，五谷丰登．乐乐为了验证“麦囤”图案中一组线段是否平行，测量了其中一些角的度数，如图，其中能说明的是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是一条直线，，则与的位置关系是 ． 24．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，平分，平分，且，试说明：． 题型09垂直于同一直线的两直线平行 25．（21-22七年级下·河南漯河·期末）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到ab，理由是（   ） A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 26．（2024七年级下·浙江·专题练习）设，，为同一平面内三条不同直线，若，，则与的位置关系是 ． 27．（21-22七年级下·北京·期中）完成下面的证明： 已知：如图，，，． 求证：． 证明：∵，（已知）， ∴（_______________）． ∴//___________（同位角相等，两直线平行）． ∵（已知）， ∴//__________（_______________）． ∴（_______________）． ∴（_______________）． 夯实基础 一、单选题 1．小明列举生活中的几个例子：①马路上的斑马线；②笔直的火车铁轨；③直跑道线；④长方形门框的上下边；⑤商品包装上的条形码．其中是平行线的有（   ） A．①②③ B．③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 2．如图，直线，与直线相交，给出下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能判断的是（    ） A．①②⑤ B．①③④ C．②③④⑤ D．①③④⑤ 3．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 4．下列图形中，由，能得到的是（　　） A． B． C． D． 5．下列命题正确的是（      ） A．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有相交、垂直和平行 B．平方根是它本身的数只有0 C．-32的平方根是±3 D．的平方根是±5 6．在下列说法中，正确的有（    ）个． ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；    ②已知、的两边分别平行，那么； ③垂直于同一条直线的两条直线平行；            ④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离． A．3 B．2 C．1 D．0 7．在如图的几何体中，上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么图形中与平行的线段有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 8．下列命题：①内错角相等；②两个锐角的和是钝角；③，，是同一平面内的三条直线，若，，则；④，，是同一平面内的三条直线，若，，则．其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．下列说法：（1）两点之间的所有连线中，线段最短；（2）相等的角是对顶角；（3）过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；（4）长方体是四棱柱．其中正确的有 （填正确说法的序号）． 10．平行线的基本事实：过 与这条直线平行． 11．（1）平行公理是： ． （2）平行公理的推论是如果两条直线都与 ，那么这两条直线也 ．即三条直线，若，则 ． 12．如图，在四边形中，连接，其中若，则；若，则；若，则；若，，则判断正确的是 ． 13．已知：在同一平面内，三条直线a，b，c．下列四个命题为真命题的是 ．（填写所有真命题的序号） ①如果ab，，那么；     ②如果，，那么； ③如果ab，cb，那么ac；       ④如果，，那么bc． 14．如图，某学员在练车场练习驾驶小轿车．一开始向左拐弯行驶一段距离后，再向右拐弯．经过两次拐弯后，轿车行驶的方向与最初行驶的方向_______（填“相同”或“不同”）． 三、解答题 15．如图，，，，，将下列推理过程补充完整： (1)（已知） （ ） (2)（已知） （内错角相等，两直线平行） (3)（已知） ，（ ） 16．已知：如图，，点B，A，D在同一条直线上，AE是的角平分线．求证：． 17．如图所示，已知平分，求证： ． 18．如图，AB∥CD，CB∥DE．求证：∠B＋∠D＝180°．完成下面的证明过程． 证明：∵AB∥CD，                                      ∴∠B＝∠C（ ）． ∵CB∥DE， ∴∠C＋∠D＝180°（ ）． ∴∠B＋∠D＝180°（ ）． 19．如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 20．“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，所有与平行线有关的角都存在于这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁，当发现题目的图形“不完整”时，要通过适当的辅助线将其补完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”．在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题： 如图①，已知，若，，则的度数是________． 分析：从图形上看，由于没有一条直线截与，所以无法直接运用平行线的相关性质，这就需要构造出“两条平行线被第三条直线所截”基本图形后，才可以运用平行线的条件或性质．过点作，根据平行于第三条直线的两直线平行，可得，这样可将图形转化，进而可以求出． [方法应用] 已知．    (1)如图②，若，，则________度； (2)如图②，写出、、之间的数量关系，并证明； (3)如图③，平分，平分，，求的度数． 能力提升 一、单选题 21．有8条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这8条直线的交点个数最多有（　　） A．21个 B．22个 C．23个 D．24个 22．下列图形中，由，能得到的是（　） A． B． C． D． 二、填空题 23．如图，直线，若，则 ． 24．如图，，，，则的度数是 ． 三、解答题 25．如图，在正方形网格中有四个格点O、A、B、C，按要求进行下列作图，并标出相应的字母（要求画图时用2B铅笔加黑加粗）． (1)画射线，画直线； (2)过点A画射线的垂线，垂足为点D； (3)过点O画直线的平行线． 26．已知，点、分别是、上两点，点在、之间，连接、． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． (3)如图3，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 平行线的概念及其判定 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01平面内两直线的位置关系.................................................................................................................................................2 题型02立体图形中平行的棱.........................................................................................................................................................5 题型03用直尺、三角板画平行线.................................................................................................................................................7 题型04平行公理的应用.................................................................................................................................................................8 题型05平行公理推论的应用........................................................................................................................................................10 题型06同位角相等两直线平行...................................................................................................................................................14 题型07内错角相等两直线平行...................................................................................................................................................16 题型08同旁内角互补两直线平行................................................................................................................................................18 题型09垂直于同一直线的两直线平行........................................................................................................................................21 分层练习.........................................................................................................................................................................................23 夯实基础.........................................................................................................................................................................................23 能力提升........................................................................................................................................................................................39 知识点1．平行线 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b； 读作：直线a平行于直线b． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 知识点2．平行公理及推论 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 知识点3．平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 题型01平面内两直线的位置关系 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是平面上五条直线，，，，相交的情形．根据图中标示的角度，下列叙述正确的是（   ） A．和平行，和平行 B．和平行，和不平行 C．和不平行，和平行 D．和不平行，和不平行 【答案】C 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题主要考查了平行线的判定，对顶角相等，解题时关键是掌握平行线判定定理，根据同旁内角不互补，可得两直线不平行；根据内错角相等，可得两直线平行． 【详解】解：， 和不平行， 对顶角相等， ，， ， 和平行， ， 和平行， 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）在如图所示的方格纸中，找出互相平行的线段，并用符号表示出来为 ． 【答案】 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查了平行线的定义，根据同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线即可求解． 【详解】解：由图可得，， 故答案为：． 3．（21-22七年级下·全国·单元测试）在图中，    (1)分别找出三组互相平行、互相垂直的线段，并用符号表示出来． (2)找出一个锐角、一个直角、一个钝角，将它们表示出来． 【答案】(1)（答案不唯一），（答案不唯一） (2)锐角（答案不唯一），是直角（答案不唯一），是钝角（答案不唯一） 【知识点】角的分类、垂线的定义理解、平面内两直线的位置关系 【分析】（1）根据平行线和垂直的定义即可解答； （2）根据角的分类方法进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，（答案不唯一），（答案不唯一）； （2）解：锐角，是直角，是钝角． 【点睛】本题主要考查了平行线的定义，垂线的定义，角的分类，熟知相关知识是解题的关键． 题型02立体图形中平行的棱 4．（22-23七年级·江苏苏州·期末）如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】立体图形中平行的棱 【分析】根据平行线的定义，结合正方体的特征直接判断即可． 【详解】解：由图可知，与棱平行的棱有，，， 故选D． 【点睛】本题考查平行线的判断，解题的关键是掌握平行线的定义和正方体的特征． 5．（20-21七年级下·全国·课后作业）如图，在长方体中，与平行的棱是 ． 【答案】棱，棱，棱． 【知识点】立体图形中平行的棱 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 【详解】在长方体中，与平行的棱是棱，棱，棱， 故答案为：棱，棱，棱． 【点睛】本题主要考查平行线的定义，熟练掌握长方体的结构特点是解答本题的关键． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，字母“”是运用画“平行线段”这种基本作图方法书写的艺术字． (1)请在正面，上面，右面上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)正面：；上面：；右面：．（答案不唯一） (2)．理由见解析 【知识点】立体图形中平行的棱、平行公理推论的应用 【分析】本题考查了平行线的定义，平行公理． （1）根据平行线的定义解答即可； （2）根据平行于同一条直线的两直线平行解答即可． 【详解】（1）解：正面：；上面：；右面：．（答案不唯一）； （2）解：．理由如下： ， ． 题型03用直尺、三角板画平行线 7．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【答案】B 【知识点】用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查了画平行线，根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①， 故选：B． 8．（22-23七年级下·河南郑州·期中）如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了 ．    【答案】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【知识点】用直尺、三角板画平行线 【分析】根据平行公理可得答案． 【详解】解：由图可得，过直线外一点，能且只能画出一条平行线， 这反映了：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】本题考查平行公里，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在方格纸上有点、和直线．过点画；过点画． 【答案】见解析 【知识点】用直尺、三角板画平行线 【分析】用直尺和三角板通过平移过点画；过点画，即可求解． 【详解】解：如图所示，即为所求， 题型04平行公理的应用 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知是平面内任意一点，过点画一条直线与的边平行，则这样的直线（   ） A．有一条 B．有两条 C．不存在 D．以上情况都有可能 【答案】D 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查平行公理，根据“经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”，分四种情况“当点P在边上且不与点O重合时；当点P在边上且不与点O重合时；当点P不在边或边上时；当点P与点O重合时”分别讨论可得答案． 【详解】解：当点P在边上且不与点O重合时，过点可以画一条直线与边平行； 当点P在边上且不与点O重合时，过点可以画一条直线与边平行； 当点P不在边或边上时，过点可以画一条直线与边平行，一条直线与边平行，共两条； 当点P与点O重合时，不存在过点P的直线与的边平行； 故选：D． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，取一张长方形的硬纸板，将硬纸板对折使与重合，为折痕．把长方形平放在桌面上，另一个面无论怎么改变位置，总有存在，理由是 ． 【答案】平行于同一条直线的两条直线平行 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查了平行公理推论，根据平行于同一条直线的两条直线平行即可求解，正确理解平行公理推论是解题的关键， 【详解】解：∵，， ∴， 理由：平行于同一条直线的两条直线平行， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行． 12．（24-25七年级下·全国·随堂练习）工人师傅在铺设电缆时，为了检查三条电缆是否平行，只检查了其中两条电缆是否与第三条平行．你认为这种做法对吗？请给出合理解释． 【答案】这种做法是对的．理由如下：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟知平行于同一条直线的两条直线互相平行是解答此题的关键．根据平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：这种做法是对的．理由如下： ∵平行于同一条直线的两条直线互相平行， ∴为了检验三条电线是否互相平行只检查了其中两条是否与第三条平行即可． 故答案为：这种做法是对的．理由如下：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 题型05平行公理推论的应用 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，若，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．延长后才平行 C．垂直 D．无法确定 【答案】A 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】本题考查了平行公理的推论，根据平行于同一条直线的两直线平行解答即可． 【详解】解：∵， ∴（平行于同一条直线的两直线平行）． 故选A． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）工人师傅在铺设电缆时，为了检验三条电缆线是否平行，工人师傅只检查了其中两条电缆线是否与第三条平行．其依据是 ． 【答案】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】本题考查了平行公理的推论知识点，解题的关键是理解和运用平行公理的推论来判断直线的平行关系． 根据平行公理的推论来判断工人师傅检验电缆线平行的依据． 【详解】解：平行公理的推论为：平行于同一条直线的两条直线互相平行．在本题中，电缆线可以看作是直线，工人师傅通过检查其中两条电缆线是否与第三条平行，依据的就是“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，如果这两条电缆线都与第三条平行，那么这三条电缆线就互相平行．所以如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 故答案是：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 15．（23-24七年级下·全国·期末）如图，点是外一点，过点作 交于点，以为边作． (1)若，则与的关系是 ； (2)若与直线交于点（点不与点重合），写出三者之间的数量关系，画出相应的图形，并对其中的一种进行证明． 【答案】(1)相等或互补； (2)或或． 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）根据题意作图，根据平行线的性质即可求解； （2）分三种情况分别作图，根据平行线的性质解答即可求解； 本题考查了平行线的性质，平行公理的推理，正确作出辅助线并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴与的数量关系是相等或互补， 故答案为：相等或互补； （2）解：共有三种情况： ①如图，当与射线交于点时，． 证明：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ②如图，当与线段交于点时，． 证明：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； ③如图，当与射线交于点时，． 证明：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； 综上，数量关系为或或． 题型06同位角相等两直线平行 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上行驶，那么两次拐弯的角度可能为（   ） A．第一次右拐，第二次右拐 B．第一次右拐，第二次右拐 C．第一次右拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次左拐 【答案】D 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】此题主要考查了平行线的性质．两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，据此判断即可． 【详解】解：因为两次拐弯后，按原来的方向前进， 所以两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，且相等，因此四个选项中只有D选项正确． 故选：D． 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线与直线分别交于点，，且．在不加辅助线的基础上，若增加一个条件使得，则这个条件可以是 ． 【答案】 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键，即①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行． 根据平行线的判定，可利用同位角相等，两直线平行得出答案． 【详解】解：增加一个条件：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 18．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，点P是的边上一点，请你用尺规作出经过点P的的平行线（在原图上作画，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的尺规作图方法，根据平行线的尺规作图方法作图即可．根据同位角相等，两直线平行，过点P利用尺规作出即可解决问题． 【详解】连接，过点P利用尺规作出，直线即为所作． 题型07内错角相等两直线平行 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本考查了平行线的判定，根据，得出，即可求解． 【详解】A．因为，所以，故该选项不正确，不符合题意； B．因为，所以，故该选项正确，符合题意； C．因为，所以，故该选项不正确，不符合题意； D．，不能判定，故该选项不正确，不符合题意． 故选B． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）将两把完全一样的三角尺按如图所示的方式放置，则边的依据是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定知识点，解题的关键是找出图中相等的内错角来判定两直线平行． 通过观察两个一样的三角尺放置后的图形，找到与直线， 相关的内错角，根据平行线的判定定理得出结论． 【详解】如图，因为是两把完全一样的三角尺， 所以图中和是相等的（三角尺对应的角相等），而和是直线与被直线所截形成的内错角． 所以根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行，可以得出． 故答案为：内错角相等，两直线平行 21．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图①是一个落地书架，图②是其部分示意图．已知，，试说明与，与的位置关系． 【答案】，，理由见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，对顶角的定义，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 利用平行线的判定方法进行判定求解即可． 【详解】解：∵和是内错角，， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∵和是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 题型08同旁内角互补两直线平行 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）在后稷故里稷山县，有个流传三千多年的独特年俗，就是除夕日农民在自家院子地面上绘“麦囤”图案，以期风调雨顺，四时平安，五谷丰登．乐乐为了验证“麦囤”图案中一组线段是否平行，测量了其中一些角的度数，如图，其中能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等或内错角相等或同旁内角互补等方式，都能判定两直线平行，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，且与不是同位角、内错角、同旁内角这类关系，∴不能说明，故该选项是错误的； B、∵，且与是同旁内角，不互补，且不是之间的同旁内角，∴不能说明，故该选项是错误的； C、∵，且与是同旁内角，不互补，且不是之间的同旁内角，∴不能说明，故该选项是错误的； D、∵，且与是同旁内角，，∴能说明，故该选项是正确的； 故选：D． 23．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是一条直线，，则与的位置关系是 ． 【答案】 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 24．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，平分，平分，且，试说明：． 【答案】见解析 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，首先根据角平分线的定义可得，，根据等量代换可得，进而得到，再根据同旁内角互补两直线平行可得． 【详解】解：因为平分，所以． 因为平分，所以， 所以． 又因为， 所以，， 所以． 题型09垂直于同一直线的两直线平行 25．（21-22七年级下·河南漯河·期末）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到ab，理由是（   ） A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【知识点】垂直于同一直线的两直线平行 【分析】三条直线AB、a、b位于同一平面内，且直线a与直线b都垂直于AB，即可根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行的性质来判断出ab． 【详解】∵直线AB、a、b位于同一平面内，且AB⊥a、AB⊥b ∴ab（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行） 故答案为B． 【点睛】本题考查了平行线判定的性质，根据已知题目反应出两条直线是同一平面内，且同时垂直于一条直线是本题的关键． 26．（2024七年级下·浙江·专题练习）设，，为同一平面内三条不同直线，若，，则与的位置关系是 ． 【答案】 【知识点】垂直于同一直线的两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，解题时利用了：在同一平面内，两条直线都与同一条直线垂直，则这两直线平行．根据在同一平面内，两条直线都与同一条直线垂直，则这两直线平行作答． 【详解】解：在同一平面内，，， ∴， 即与的位置关系是平行， 故答案为：． 27．（21-22七年级下·北京·期中）完成下面的证明： 已知：如图，，，． 求证：． 证明：∵，（已知）， ∴（_______________）． ∴//___________（同位角相等，两直线平行）． ∵（已知）， ∴//__________（_______________）． ∴（_______________）． ∴（_______________）． 【答案】见解析 【知识点】垂直于同一直线的两直线平行、根据平行线判定与性质证明 【分析】根据垂直定义得出∠ABD=∠CDF=90°，根据平行线的判定定理得出AB∥CD，AB∥EF，求出CD∥EF，再根据平行线的性质定理得出即可． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（垂直定义）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 【点睛】本题考查了平行线的性质定理和判定定理，能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键，平行线的性质定理：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 夯实基础 一、单选题 1．小明列举生活中的几个例子：①马路上的斑马线；②笔直的火车铁轨；③直跑道线；④长方形门框的上下边；⑤商品包装上的条形码．其中是平行线的有（   ） A．①②③ B．③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】本题了平行线，应结合生活实际进行解答． 根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的直线叫互为平行线判断即可． 【详解】解：①马路上的斑马线；②笔直的火车铁轨；③直跑道线；④长方形门框的上下边；⑤商品包装上的条形码．都属于平行线， 故选：D． 2．如图，直线，与直线相交，给出下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能判断的是（    ） A．①②⑤ B．①③④ C．②③④⑤ D．①③④⑤ 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行线的判定，直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案．正确把握平行线的几种判定方法是解题关键． 【详解】解：①∵， ∴，故此选项正确； ②无法得出，故此选项错误； ③∵， ∴，故此选项正确； ④∵，， ∴， ∴，故此选项正确； ⑤∵，， ∴， ∴，故此选项正确； 综上所述，正确的有①③④⑤． 故选：D． 3．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【答案】B 【分析】本题考查了画平行线，根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①， 故选：B． 4．下列图形中，由，能得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理逐一判断即可得出答案． 【详解】解：A、由，不能得到，此选项不符合题意； B、由，得到，不能得出，此选项不符合题意； C、由，不能得到，此选项不符合题意； D、由，能得到，此选项符合题意； 故选D． 5．下列命题正确的是（      ） A．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有相交、垂直和平行 B．平方根是它本身的数只有0 C．-32的平方根是±3 D．的平方根是±5 【答案】B 【分析】根据命题、平方根、两条直线位置关系的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有相交和平行，即选项A不正确； 平方根是它本身的数只有0，即选项B正确； ∵，且没有平方根 ∴选项C不正确； ∵，的平方根为 ∴选项D不正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了平方根、命题、两条直线位置关系的知识；解题的关键是熟练掌握平方根、命题的性质，从而完成求解． 6．在下列说法中，正确的有（    ）个． ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；    ②已知、的两边分别平行，那么； ③垂直于同一条直线的两条直线平行；            ④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】利用平行公理，平行线的性质定理，点到直线的距离的定义逐项判断即可． 【详解】解：同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，因此①错误； 、的两边分别平行时，或，因此②错误； 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，因此③错误； 从直线外一点到这条直线所画的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，故④错误； 故选：D． 【点睛】本题考查平行公理，平行线的性质定理，点到直线的距离的定义等，解题的关键是熟练掌握上述基本知识，不要漏掉前置条件． 7．在如图的几何体中，上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么图形中与平行的线段有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，梯形的性质，平行公理的推理，根据平行四边形和梯形的性质可得，，，进而由平行公理的推理可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵几何体的上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴图形中与平行的线段有，，，共条， 故选：． 8．下列命题：①内错角相等；②两个锐角的和是钝角；③，，是同一平面内的三条直线，若，，则；④，，是同一平面内的三条直线，若，，则．其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理的知识，熟练掌握相关知识是解题关键．利用平行线的性质及判定，即可判断①③④，根据锐角和钝角的特点即可判断②，分别判断后确定正确的选项，即可解题． 【详解】解：①两直线平行，内错角相等，故原命题是假命题； ②两个锐角的和不一定是钝角，故原命题是假命题； ③，，是同一平面内的三条直线，若，，则，是真命题； ④，，是同一平面内的三条直线，若，，则，是真命题． 综上所述，真命题有2个． 故选：B． 二、填空题 9．下列说法：（1）两点之间的所有连线中，线段最短；（2）相等的角是对顶角；（3）过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；（4）长方体是四棱柱．其中正确的有 （填正确说法的序号）． 【答案】（1）、（4）． 【分析】根据所学公理和性质解答即可． 【详解】解：（1）两点之间的所有连线中，线段最短，故本说法正确； （2）相等的角不一定是对顶角，但对顶角相等，故本说法错误； （3）应为过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，故本说法错误； （4）长方体是四棱柱，正确． 故答案为（1）、（4）． 【点睛】本题是对数学语言的严谨性的考查，记忆数学公理、性质概念等一定要做的严谨． 10．平行线的基本事实：过 与这条直线平行． 【答案】直线外一点有且只有一条直线 【分析】本题考查了平行线的基本事实，根据平行线的基本事实解答即可，熟练掌握此知识点是解此题的关键． 【详解】解：平行线的基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：直线外一点有且只有一条直线． 11．（1）平行公理是： ． （2）平行公理的推论是如果两条直线都与 ，那么这两条直线也 ．即三条直线，若，则 ． 【答案】 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 第三条直线平行 平行 【分析】根据平行公理以及平行公理的推论解答即可． 【详解】（1）平行公理是：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； （2）平行公理的推论是如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行，即三条直线，若，则． 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；第三条直线平行，平行，． 【点睛】本题主要考查了平行公理以及平行公理的推论，属于基础题，掌握平行公理以及平行公理的推论是解题的关键． 12．如图，在四边形中，连接，其中若，则；若，则；若，则；若，，则判断正确的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定逐一判断即可，能正确根据平行线的判定进行推理是解题的关键． 【详解】若，则，故判断错误； 若，则，故判断错误； 若，则，故判断正确； ∵，，， ∴， ∴，故判断正确； 故答案为：． 13．已知：在同一平面内，三条直线a，b，c．下列四个命题为真命题的是 ．（填写所有真命题的序号） ①如果ab，，那么；     ②如果，，那么； ③如果ab，cb，那么ac；       ④如果，，那么bc． 【答案】①③④ 【分析】分别根据每种情况画出符合条件的图形，再结合垂直的定义，平行线的判定逐一判断即可． 【详解】解：如图，ab，， 则，故①符合题意； 如图，，， 则 故②不符合题意；④符合题意； 如图，ab，cb， 则ac；故③符合题意； 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查的是平面内直线与直线的位置关系，平行线的性质，垂直的定义，命题真假的判断，掌握“平行公理，平面内垂直于同一直线的两直线平行”是解本题的关键． 14．如图，某学员在练车场练习驾驶小轿车．一开始向左拐弯行驶一段距离后，再向右拐弯．经过两次拐弯后，轿车行驶的方向与最初行驶的方向_______（填“相同”或“不同”）． 【答案】相同 【分析】本题考查了平行线的判定，根据图形可知两次拐弯得到的角属于同位角； 两次拐弯得到的角都是，再根据同位角相同，两直线平行，即可解题． 【详解】解：根据图意，由同位角相同，两直线平行可知，经过两次拐弯后，轿车行驶的方向与最初行驶的方向相同． 故答案为：相同． 三、解答题 15．如图，，，，，将下列推理过程补充完整： (1)（已知） （ ） (2)（已知） （内错角相等，两直线平行） (3)（已知） ，（ ） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行得出结论； （2）根据内错角相等，两直线平行得出结论； （3）根据同旁内角互补，两直线平行得出结论． 【详解】（1）解：（已知） ∴（同位角相等，两直线平行）． （2）， ∴（内错角相等，两直线平行）． （3）（已知） ∴，（同旁内角互补，两直线平行）． 16．已知：如图，，点B，A，D在同一条直线上，AE是的角平分线．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据角平分线定义得到∠1＝∠DAE＝∠DAC，再根据已知条件∠C＝∠DAC，得出∠1＝∠C，由此可得出结论． 【详解】证明：∵AE是∠DAC的平分线， ∴∠1＝∠DAE＝∠DAC， ∵∠C＝∠DAC， ∴∠1＝∠C， ∴． 【点睛】本题考查的是平行线的判定定理，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解决问题的关键． 17．如图所示，已知平分，求证： ． 【答案】证明见解析． 【分析】根据角平分线的定义先求出∠EOD的度数，再利用内错角相等，两直线平行，可证明AB//CD． 【详解】 证明：∵OF平分∠EOD （已知）                           ∴∠EOD =2∠FOD（角平分线的性质） 又∵∠FOD=25°（已知） ∴∠EOD=50°    又∵∠AGE=130°（已知） ∴∠AGO=50°（平角的定义） ∴∠EOD=∠AGO ∴AB//CD（内错角相等，两直线平行） 【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的判定等知识，做题的关键是证出内错角相等或同位角相等． 18．如图，AB∥CD，CB∥DE．求证：∠B＋∠D＝180°．完成下面的证明过程． 证明：∵AB∥CD，                                      ∴∠B＝∠C（ ）． ∵CB∥DE， ∴∠C＋∠D＝180°（ ）． ∴∠B＋∠D＝180°（ ）． 【答案】见解析 【分析】先证明∠B＝∠C，再证明∠C＋∠D＝180°，再利用等量代换，从而可得答案． 【详解】证明：∵AB∥CD，                                      ∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等） ∵CB∥DE， ∴∠C＋∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠B＋∠D＝180°（等量代换） 【点睛】本题考查的是平行线的性质，掌握“平行线的性质”是解本题的关键． 19．如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要是考查的尺规作图及平行公理的运用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）按照作平行线的方法画图即可； （2）按照作平行线的方法画图即可； （3）根据平行于同一条直线的两直线平行，即可解题． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，直线即为所求． （3）解：，， ， 故答案为：． 20．“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，所有与平行线有关的角都存在于这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁，当发现题目的图形“不完整”时，要通过适当的辅助线将其补完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”．在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题： 如图①，已知，若，，则的度数是________． 分析：从图形上看，由于没有一条直线截与，所以无法直接运用平行线的相关性质，这就需要构造出“两条平行线被第三条直线所截”基本图形后，才可以运用平行线的条件或性质．过点作，根据平行于第三条直线的两直线平行，可得，这样可将图形转化，进而可以求出． [方法应用] 已知．    (1)如图②，若，，则________度； (2)如图②，写出、、之间的数量关系，并证明； (3)如图③，平分，平分，，求的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）过点作，根据平行线的判定与性质求解即可； （2）仿照（1）中求解过程解答即可； （3）由（2）中结论求得，再由角平分线的定义求得，过点作，利用平行线的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：如图②，过点作，    ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：， 证明：如图②，过点作，    ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图③，由（2）得， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点作，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，添加平行线，利用平行线的性质探究角的关系是解答的关键． 能力提升 一、单选题 21．有8条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这8条直线的交点个数最多有（　　） A．21个 B．22个 C．23个 D．24个 【答案】C 【分析】首先可得、、、、、这6条直线最多有个交点，最多与前6条直线有6个交点，最多与前7条直线有7个交点，然后可得答案． 【详解】解：如图，∵，、、交于同一点，    ∴这6条直线最多有个交点， ∵最多与前6条直线有6个交点，最多与前7条直线有7个交点， ∴这8条直线的交点个数最多为（个）， 故选：C． 【点睛】本题考查直线之间的交点个数，直线之间的交点个数最多的情况为后出现的直线与前面的直线均有不同交点．有位置前提的情况下，需要了解直线本身具有什么位置关系特点，先理清楚条件再按照交点个数最多的策略画图．理解直线之间的交点个数最多的情况是解题的关键． 22．下列图形中，由，能得到的是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线判定定理逐项判断即可解题． 【详解】解：A、不能判定，故本选项不符合题意； B、的对角与大小相同且与是同位角，所以可以得到，故本选项符合题意； C、不能判定，故本选项不符合题意； D、只能判定，故本选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题 23．如图，直线，若，则 ． 【答案】35°/35度 【分析】过点E作EF11，利用平行线的性质解答即可． 【详解】解：如下图，过点E作EF11， ∵1112，EF11， ∴EF1112， ∴∠1=∠AEF=35°，∠FEC=∠3， ∴∠2=∠AEF+∠FEC=∠1+∠3=35°+∠3， ∴∠2-∠3=35°+∠3-∠3=35°， 故答案为：35°． 【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，利用数形结合的思想解答． 24．如图，，，，则的度数是 ． 【答案】/100度 【分析】通过作平行线的方式，将∠G分成∠EGQ和∠QGF，利用平行线的性质求出∠EGQ和∠QGF，度数即可求解． 【详解】解：过G点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质，属于经典题目，学会作辅助线是关键． 三、解答题 25．如图，在正方形网格中有四个格点O、A、B、C，按要求进行下列作图，并标出相应的字母（要求画图时用2B铅笔加黑加粗）． (1)画射线，画直线； (2)过点A画射线的垂线，垂足为点D； (3)过点O画直线的平行线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了网格作图； （1）按要求作图，即可求解； （2）用直尺和三角板画图，即可求解； （3）按要求作图，即可求解； 掌握作法是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 射线，直线为所求作； （2）解：如图， 垂线为所求作； （3）解：如图， 直线为所求作． 26．已知，点、分别是、上两点，点在、之间，连接、． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． (3)如图3，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． （1）过点作，根据平行线的性质得，再由垂直的定义得答案； （2）过作，过作，通过平行线的性质，和角平分的定义及角的和差得，便可求得结果； （3）过作，过作，设，，通过平行线的性质，和角平分的定义及角的和差，得出，，由，便可求得结果． 【详解】（1）解：如图1，过点作， ， ， ，， ， ， ； （2）解：如图2，过作，过作， ， ， ，，，， 平分，平分， ，， ， ， ； （3）解：．理由如下： 如图3，过作，过作， 设，， 平分， ， ， ，， ，， ，，， ，，， ， 则， 平分， ， ， ， 又， 则， ，，且， ， ， ， ， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$