第02讲 二次根式的乘除 （4个知识清单+7类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

第02讲 二次根式的乘除 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01二次根式的乘法................................................................................................................................................................3 题型02二次根式的除法................................................................................................................................................................6 题型03二次根式的乘除混合运算................................................................................................................................................9 题型04最简二次根式的判断.......................................................................................................................................................11 题型05化为最简二次根式............................................................................................................................................................12 题型06已知最简二次根式求参数................................................................................................................................................14 分层练习.........................................................................................................................................................................................16 夯实基础........................................................................................................................................................................................16 能力提升........................................................................................................................................................................................24 知识点1．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 知识点2．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 知识点3．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点4．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 题型01二次根式的乘法 1．（2025八年级下·全国·专题练习）的一个有理化因式是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·湖南娄底·模拟预测） ． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（，）． 题型02二次根式的除法 4．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）化简正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·山东青岛·阶段练习）计算： ． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 题型03二次根式的乘除混合运算 7．（22-23八年级下·河南许昌·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·广东汕头·阶段练习）计算： ． 9．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2)． 题型04最简二次根式的判断 10．（21-22八年级下·广东江门·期中）下列各式中属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·全国·假期作业）若最简二次根式与相等，则 ， ． 12．（21-22八年级·全国·假期作业）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 题型05化为最简二次根式 13．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）化简的结果是（    ）． A．4 B．2 C．8 D． 14．（23-24八年级下·山东烟台·期中）将 化为最简二次根式为 ． 15．（23-24八年级下·全国·随堂练习）把下列各式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； 题型06已知最简二次根式求参数 16．（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 17．（23-24八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ． 18．（八年级下·山东济南·阶段练习）如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值． 夯实基础 一、单选题 1．计算结果是（    ） A．1 B． C． D． 2．已知，，那么ab的值为（    ） A． B． C． D． 3．能使等式成立的条件是（    ） A． B． C． D．或 4．下列各数中，与的积仍为无理数的是（   ） A． B． C． D． 5．在根式、、、、中，最简二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．若成立，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．二次根式 ，，， ， 中最简二次根式的个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．下列计算正确的是（      ） A． B． C． D． 9．估计的运算结果应在（　　） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 10．通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 二、填空题 11．计算的结果是 ． 12．化简： ． 13．把下列各式化成最简二次根式： = ；  = ；  = ． 14． ． 15．已知a＞0，计算：＝ ． 16．(2014河北)计算：． 17．二次根式 中最简二次根式是 ． 18．一般地，二次根式的乘法法则是； ；反过来，可得； ． 能力提升 三、解答题 19．计算：﹣÷（2） 20．计算： 21．计算： (1) ； (2)（）（3）． 22．化简：（1）×；（2） 23．已知x=，y=，求x2﹣xy+y2的值． 24．如图，以点O为圆心的三个同心圆把以OD为半径的大圆O的面积四等分，若OD＝r，求这三个圆的半径OA、OB、OC的长（用含r的式子表示）． 25．计算∶ (1)； (2)． 26．计算： ； ； ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次根式的乘除 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01二次根式的乘法................................................................................................................................................................3 题型02二次根式的除法................................................................................................................................................................6 题型03二次根式的乘除混合运算................................................................................................................................................9 题型04最简二次根式的判断.......................................................................................................................................................11 题型05化为最简二次根式............................................................................................................................................................12 题型06已知最简二次根式求参数................................................................................................................................................14 分层练习.........................................................................................................................................................................................16 夯实基础........................................................................................................................................................................................16 能力提升........................................................................................................................................................................................24 知识点1．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 知识点2．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 知识点3．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点4．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 题型01二次根式的乘法 1．（2025八年级下·全国·专题练习）的一个有理化因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题主要考查分母有理化，熟练掌握有理化的定义以及二次根式的乘除法则是解决本题的关键． 根据有理化的定义以及二次根式的乘除法则解决此题． 【详解】解：A．∵， ∴就是的一个有理化因式，故A符合题意； B．∵， ∴不是的一个有理化因式，故B不符合题意； C．∵， ∴不是的一个有理化因式，故C不符合题意； D．∵， ∴不是的一个有理化因式，故D不符合题意； 故选：A． 2．（2025·湖南娄底·模拟预测） ． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（，）． 【答案】(1)5 (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的乘法运算法则计算即可； （2）利用二次根式的乘法运算法则计算即可； （3）利用二次根式的乘法运算法则计算即可； （4）利用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型02二次根式的除法 4．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的除法 【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求答案． 本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型 【详解】解：原式， 故选：D． 5．（22-23八年级下·山东青岛·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的除法，将被开方数相除，再化简即可求解； 【详解】解：原式 故答案为： 6．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）把系数和被开方数分别相除，再化简即可； （2）把系数和被开方数分别相除，再化简即可； （3）把系数和被开方数分别相除，再化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型03二次根式的乘除混合运算 7．（22-23八年级下·河南许昌·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 8．（23-24八年级下·广东汕头·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则． 根据二次根式的乘除法则进行计算，然后化简二次根式即可． 【详解】解： 故答案为：． 9．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1)1 (2)15 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则并准确计算是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除法则计算可得； （2）先化简二次根式，再先后计算乘除法即可． 【详解】（1）解： ； （2） . 题型04最简二次根式的判断 10．（21-22八年级下·广东江门·期中）下列各式中属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握判断最简二次根式的依据是解本题的关键．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 的被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式，故此选项符合题意； B． 的被开方数含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C ． 的被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D． 的被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 11．（23-24八年级下·全国·假期作业）若最简二次根式与相等，则 ， ． 【答案】 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据定义得出，即可求解． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ∴ 解得 故答案为：,1 12．（21-22八年级·全国·假期作业）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式，原因见解析 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式； （2）不是最简二次根式，被开方数含分母． （3）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （4）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （5）不是最简二次根式，被开方数含分母． （6） 不是最简二次根式，被开方数含分母． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 题型05化为最简二次根式 13．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）化简的结果是（    ）． A．4 B．2 C．8 D． 【答案】D 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查的是二次根式的化简，利用进行化简即可； 【详解】解：， 故选D 14．（23-24八年级下·山东烟台·期中）将 化为最简二次根式为 ． 【答案】/ 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查最简二次根式，正确理解概念是解题的关键． 最简二次根式的概念：“（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”，依据概念化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·全国·随堂练习）把下列各式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查了化为最简二次根式，熟练掌握化为最简二次根式的方法是解题的关键； （1）可化为一个数的平方和另外一个数（此数为不含能开的尽方的因数）的乘积形式，开方即可； （2）被开方数是带分数，要把带分数化为假分数，然后利用商的算术平方根的性质进行化简； （3）被开方数是小数，要把小数化成分数，然后利用商的算术平方根的性质进行化简； 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． 题型06已知最简二次根式求参数 16．（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【答案】A 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． 17．（23-24八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ． 【答案】2（答案不唯一） 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念解答即可． 【详解】解：当时，，是最简二次根式， 故答案为：2（答案不唯一）． 18．（八年级下·山东济南·阶段练习）如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值． 【答案】x=4，y=3． 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可． 【详解】∵最简二次根式与同类二次根式， ∴3a+4=19-2a， 解得，a=3， ∴，即 ∵≥0，≥0， ∴12-3x=0，y-3=0， 解得，x=4，y=3． 【点睛】本题考查的是最简二次根式、同类二次根式的概念以及二次根式的性质，掌握二次根式是非负数是解题的关键． 夯实基础 一、单选题 1．计算结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】原式． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的除法运算，正确掌握二次根式的除法运算法则是解答本题的关键． 2．已知，，那么ab的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方差公式进行计算，即可得到答案. 【详解】解：∵，， ∴； 故选择：C. 【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是熟练运用平方差公式进行计算. 3．能使等式成立的条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用二次根式的性质得出，，进而求出即可． 【详解】解：成立， ，， 解得：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，正确利用二次根式的性质求出是解题关键． 4．下列各数中，与的积仍为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算计算，再进行判断. 【详解】A. ×=，为有理数；     B. ×=，为有理数；     C. ×=，为有理数；     D. ×=，为无理数； 故选：D. 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的乘法法则及无理数的定义. 5．在根式、、、、中，最简二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】直接利用最简二次根式的定义判断得出结论即可． 【详解】解：、、都是最简二次根式； 3ab不是二次根式； ，可化简； 最简二次根式有3个. 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式． 6．若成立，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的乘除法、二次根式有意义的条件，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法法则、二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， 故选：C． 7．二次根式 ，，， ， 中最简二次根式的个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．解答即可． 【详解】=，=a，=2， 最简二次根式有：、共两个. 故选A. 【点睛】本题考查二次根，熟练掌握最简二次根的性质是解题关键. 8．下列计算正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选项A要化为二次根式乘法的运算，选项C不符合二次根式的运算条件，选项D中被开方数不能为负，故A、C、D都是错误的，唯有B符合二次根式除法运算法则， 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； 没有意义，故D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘除运算，二次根式有意义的条件，熟练掌握基础知识是解本题的关键． 9．估计的运算结果应在（　　） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 【答案】C 【分析】先根据实数的混合运算化简，再估算的值即可． 【详解】＝=． ∵3＜＜4， ∴7＜＜8 故的运算结果应在7和8之间． 故选：C． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 10．通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查找规律，根据题中特例得到规律，代值求解即可得到答案，观察已知特例特征，准确找到规律是解决问题的关键． 【详解】解：特例1：； 特例2：； 特例3：； …… 以上规律为：， 当时，， 故选：B． 二、填空题 11．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12．化简： ． 【答案】/ 【分析】根据，再化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是商的算术平方根，掌握“商的算术平方根的化简”是解本题的关键． 13．把下列各式化成最简二次根式： = ；  = ；  = ． 【答案】 ． 【详解】==； ===； ===． 故答案为；；． 14． ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，利用二次根式的除法法则进行计算，再化简即可求解，掌握二次根式的除法法则及性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 15．已知a＞0，计算：＝ ． 【答案】. 【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简得出答案． 【详解】∵a＞0， ∴− ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键． 16．(2014河北)计算：． 【答案】2 【详解】由二次根式乘法法则得． 17．二次根式 中最简二次根式是 ． 【答案】、、 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可. 【详解】解：第一个根式不是最简二次根式，因为被开方数的因式不是整数， 第二个根式不是最简二次根式，因为被开方数含有开的尽方的因数， 第三个根式为最简二次根式， 第四个根式为最简二次根式， 第五个根式不是最简二次根式，因为被开方数含有开的尽方的因数和因式， 第六个根式为最简二次根式， 故答案为 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，明确什么是最简二次根式是解题关键. 18．一般地，二次根式的乘法法则是； ；反过来，可得； ． 【答案】 ；； ； ． 【分析】利用字母表示出二次根式的乘法法则即可． 【详解】解：，且 ，且． 故答案为：①；；②；． 【点睛】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 能力提升 三、解答题 19．计算：﹣÷（2） 【答案】 【详解】试题分析： 按二次根式的乘除的运算法则计算即可. 试题分析： 原式= = = =. 20．计算： 【答案】 【分析】利用二次根式乘除法计算即可． 【详解】解：原式      【点睛】本题考查二次根式乘法知识，解题在于化简和细心程度． 21．计算： (1) ； (2)（）（3）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可解答； （2）先算括号内除法，根据平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： = = ． （2）解：（）（3） = = = ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是二次根式的化简和灵活运用运算法则． 22．化简：（1）×；（2） 【答案】（1）8（2）4 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算； （2）可以直接进行分母有理化． 【详解】解：（1）原式= （2）原式== 【点睛】此题考查了乘法法则、分母有理化和二次根式的性质： ． 23．已知x=，y=，求x2﹣xy+y2的值． 【答案】9. 【详解】试题分析： 先将的值化简，再代入原式中计算即可. 试题解析： ∵， ∴ = =. 24．如图，以点O为圆心的三个同心圆把以OD为半径的大圆O的面积四等分，若OD＝r，求这三个圆的半径OA、OB、OC的长（用含r的式子表示）． 【答案】OC＝r，OB＝r，OA＝r 【分析】根据每个圆与大圆的面积关系，即可求出每个圆的半径长． 【详解】解：∵π•OA2＝π•r2， ∴OA2＝r2， ∴OA＝r； ∵π•OB2＝π•r2， ∴OB2＝r2， ∴OB＝r； ∵π•OC2＝π•r2， ∴OC2＝r2， ∴OC＝r； 因此这三个圆的半径为：OC＝r，OB＝r，OA＝r． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义和性质以及二次根式的除法；弄清每个圆与大圆的面积关系是解题的关键． 25．计算∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 26．计算： ； ； ． 【答案】（1）；；（3）． 【分析】直接利用二次根式的乘法法则进行计算，再化简进而得出答案． 【详解】原式； 原式； 原式． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$