1.2 30°45°60°角的三角函数值同步练习2024-2025学年北师大版九年级数学下册

1.2 30°45°60°角的三角函数值 一、单选题 1．下列三角函数的值是的是(  ) A． B． C． D． 2．在锐角中，若，则等于(　　) A． B． C． D． 3．设，则下列式子成立的是(   ) A． B． C． D． 4．计算的值为(     ) A． B． C． D． 5．正方形网格中，如图放置，则的值为(   )    A． B． C．1 D． 6．在中，，，则(    ) A． B． C． D． 7．三角板是我们数学学习中必不可少的工具，利用三角板可以拼出很多角，现将一副含45°角和30°角的三角板按如图所示的方式放置，则的值为(    )    A． B． C． D．无法确定 8．的值等于(  ) A．1 B． C． D．2 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点为坐标原点，边在轴正半轴上，，反比例函数的图象经过点A，且交菱形对角线于点D，轴于点，则长为(    )    A．1 B．3 C． D． 10．如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点、，连接，与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的为(    )    A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 二、填空题 11．在中，，，则的值为 ． 12．锐角满足，则 度． 13．计算：． 14． ． 15．若的余角是，则的值是 ． 16．如图，在菱形中，．点分别为四边的中点，连接，则 ．    17．如图，一块含有的直角三角板的直角顶点和坐标原点O重合，角的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，则k的值为 ．    18．如图，等边中，点D在上，点E在上，，连接、交于点F，，，则的长为 ．    三、解答题 19．计算： 20．计算： 21．计算：． 22．先化简，再求代数式的值，其中． 23．先化简，再求代数式的值，其中． 24．如图，已知，．    (1)求证：； (2)若，，求． 25．(1)【问题探究】 如图1，在正方形中，对角线、相交于点．在线段上任取一点(端点除外)，连接、．    ①证明：： ②将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处．当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； ③探究与的数量关系为______． (2)【迁移探究】 如图2，将正方形换成菱形，且，点位于中点，其他条件不变．探究与的数量关系为______． 26．在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，把绕点A逆时针旋转，得，点B，O旋转后的对应点为，，记旋转角为α． (1)如图1，若，连接，求的长度； (2)如图2，若，求的坐标并直接写出的坐标； (3)在(2)的条件下，边上的一点P旋转后的对应点为，请直接写出的最小值和此时点P的坐标． 答案 一、单选题 1．A 【分析】根据特殊角的三角函数值解答． 【详解】解：，，， ， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 2．A 【分析】根据平方及绝对值的非负性可得，，由特殊角的三角函数值求得和，再由三角形内角和为即可解答； 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴在锐角中，， 故选： A； 3．C 【分析】根据的取值范围选择特殊值，然后求出正弦、余弦、正切的值，进行比较即可得到答案． 【详解】解：， 取， ，，， ， ， 故选：C． 4．B 【分析】分别计算三角函数值、零指数幂，化简绝对值，再进行加减即可． 【详解】解： ， 故选：B． 5．B 【分析】连接，，根据勾股定理可以得到，则是等腰三角形底边上的中线，根据三线合一定理，可以得到是直角三角形．根据三角函数的定义就可以求解． 【详解】如图，连接，，设正方形的网格边长是，则根据勾股定理可以得到：    ，， 在中，由等腰三角形三线合一得：， 则， ， 故选：B． 6．B 【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：∵，则， 故选：B． 7．C 【分析】根据特殊角的三角函数和三角板的特殊角的度数解答即可． 【详解】解：如图：    ， ， ， ∴ 故选：C． 8．B 【分析】根据代入求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：B． 9．C 【分析】设点A的坐标为，过A点作轴，利用锐角三角函数和即可求出m，根据，设，根据点D经过反比例函数，即可求出n，进而求出答案． 【详解】解：设点A的坐标为， 过A点作轴，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ， 或(舍)， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， 设， 则， ∴，   ∵点D经过反比例函数， ， 或(舍)， ， 故选：C． 10．A 【分析】由是等边三角形和相似三角形的性质，得出，进而得到，再根据直角三角形的性质，得到，而，故①正确；根据等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，得出，可判定②正确；由，得，由与同高，可知，则判定③正确，由，得，则，可判定④正确． 【详解】解：为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在中， ， ， 又， ， 故①正确； ，， ， ， 故②正确； ， ， ， 又与同高， ， 又，， ， ， 故③正确； ，， ， ， ， 又，， ， 故④正确， 故选：A． 二、填空题 11． 【分析】利用特殊角的三角函数值得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：在中，，， ， 则 ． 故答案为：． 12． 【分析】根据特殊角的锐角三角函数值，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 则 故答案为：． 13． 【分析】代入特殊角的三角函数值，化简负整数指数幂，然后再计算． 【详解】解：原式 故答案为： 14．3 【分析】利用特殊角的三角函数值、二次根式的加法运算法则即可求解． 【详解】解：， 故答案为：3． 15． 【分析】先求出的余角，由即可求解． 【详解】解：由题意得 ， ， 故答案：． 16． 【分析】连接，如图所示，由菱形性质及三角形中位线的判定与性质证得，，在中，． 【详解】解：连接，如图所示：    在菱形中，，点分别为的中点， ， ， ， 在菱形中，，点分别为的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在中，点分别为菱形的中点， ， ， ， 在中，点分别为菱形的中点， ， ， 在菱形中，，则， 在中，，，则， 故答案为：． 17． 【分析】过作于点，过作于点，即可得证，再根据相似三角形的性质得到和利用特殊角的正切值得出，然后设点的坐标为，继而根据反比例函数图像上点的特征得到，再次利用反比例函数图像上点的特征即可求得答案． 【详解】解：过作于点，过作于点，如图：    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设点的坐标为，则， ∴，， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 故答案是： 18． 【分析】过点E作于点G，过点D作于点H，利用勾股定理，三角函数，特殊角的三角函数，三角形全等计算即可． 【详解】∵等边， ∴BC=CA=AB,∠BCD=∠CAE=∠ABC=600， ∵， ∴， ∴，， ∵∠BFE=∠DFC=∠CBD+∠BCF， ∴∠BFE=∠DFC=∠ACE+∠BCF=∠BCD=600， 过点E作于点G， 则， 设 则，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， 过点D作于点H， 则，    设 则， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 19．解： ． 20．解：原式， ， ． 21．解： ． 22．原式 ， ∵ ， ∴原式 ． 23．解： 当时， 原式． 24．(1)∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ (2)∵由(1)， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 25．(1)①证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴； ②解：的大小不发生变化，； 理由：作，，垂足分别为点M、N，如图，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴． .∵，， ∴， ∴， ∴． ∴，即； ③解： 理由：作交于点E，作于点F，如图，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 作于点M， 则，， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2)解：； 理由：四边形是菱形，， ∴，，， ∴是等边三角形，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 作交于点E，交于点G，如图，    则四边形是平行四边形，，， ∴，，都是等边三角形， ∴， 作于点M， 则，， ∴， ∴． ∵点位于中点， ∴ ∴， 即 所以 26．(1)∵ 点，点， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． (2)过点作轴于点D，过点作轴于点C，过点作轴于点F， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ 点，点， ∴， ∵ ， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故点；． (3)如图，根据旋转的性质，得到， ∴， 作点A关于x轴的对称点N， 连接交于点M，此时，有最小值， ∴点P与点M重合时，取得最小值， ∵ 点， ∴点， 设直线的解析式为， ∵点，点， ∴， 解得， 故直线的解析式为， 令， 得， 解得， 故点， ， 故的最小值为，此时点． 学科网（北京）股份有限公司 $$