专题1.1 锐角三角函数与特殊角的三角函数值（4大考点+8大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学北师大版九年级下册

专题1.1 锐角三角函数与特殊角的三角函数值 教学目标 1. 理解正弦、余弦、正切的概念，能在直角三角形中用符号准确表示边角比值，并知晓其只与锐角大小相关。 2. 熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能运用其计算边长、由值求角，会用计算器处理非特殊角的相关计算。 3. 能运用锐角三角函数解直角三角形，并解决测量高度、距离等简单实际问题，体会数形结合思想。 教学重难点 1.重点 （1）核心是正弦、余弦、正切的定义，即明确直角三角形中锐角的对边、邻边与斜边的比值关系。 （2）熟练掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，并能结合其进行解直角三角形的运算。 2.难点 （1）抽象理解三角函数的本质，即为何锐角确定后，对应的边长比值是固定值，与三角形大小无关。 （2）实际问题中，难以准确将情境抽象为直角三角形模型，无法灵活选择合适的三角函数求解未知量。 知识点01 正弦 在Rt△ABC中，∠C=90° 正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即 【即学即练1-1】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，理解和掌握三角函数的定义是解题的关键． 根据正弦和余弦的定义即可得出答案． 【详解】解：，， ， 故选A． 【即学即练1-2】（2025九年级上·上海·专题练习）在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义．根据勾股定理求出斜边的长，再根据三角函数的定义求解． 【详解】解：由勾股定理知，． ， 故答案为：． 知识点02 余弦 在Rt△ABC中，∠C=90° 余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即 【即学即练2-1】（25-26九年级上·重庆·开学考试）在中，，是斜边上的高，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数的应用，同角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，然后在中，求得，然后． 【详解】解：在中，，是斜边上的高， ， ， 在中，，，， ， ． 故选：D． 【即学即练2-2】（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，已知，在中，，，求的值． 【答案】12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识；由等腰三角形性质得；由余弦函数可求得的长，即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即的值为12． 知识点03 正切 在Rt△ABC中，∠C=90° 正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即 【即学即练3-1】（24-25九年级下·山东日照·开学考试）在中，，所对的边分别为a、b、c，下列等式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．锐角A的邻边b与斜边c的比叫做的余弦，记作．锐角A的对边a与邻边b的比叫做的正切，记作． 根据三角函数的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：∵在中，，所对的边分别为a、b、c， ∴，故A选项成立，不符合题意； ，故B选项成立，不符合题意； ，故C选项成立，不符合题意； ，故D选项不成立，符合题意． 故选D． 【即学即练3-2】（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，中，于点D，，， ，求，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了正切、正弦、余弦的定义，勾股定理，由正切的定义求出，由线段的和差求出，再根据勾股定理求出，再根据正弦和余弦的定义分别求出和即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，． 知识点04 特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 【即学即练4-1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据有理数的乘方、特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值，计算即可得出答案，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． 【详解】解：原式 ． 【即学即练4-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）依次计算算术平方根，零指数幂，实数的绝对值及特殊角三角函数，最后相加减即可； （2）分别计算特殊角三角函数，负整数指数幂，零指数幂，实数的绝对值，逆用积的乘方，最后相加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型01 正弦、余弦、正切的概念辨析 【典例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，中，，则的正弦值可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正弦函数，熟练掌握“在直角三角形中，锐角的正弦值等于其对边长度与斜边长度的比值"是解题的关键. 【详解】解：由图可知直角的斜边是， 的对边是 根据正弦函数的定义可知：. 故选：． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在Rt中，于点．下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可推出、、均为直角三角形，再在三个直角三角形中分别表示出即可. 【详解】解：如图，、、均为直角三角形， A、在中，故A可以表示； B、在中，故B可以表示； C、不能表示 D、，，，在中，，故D可以表示； 故选：C. 【点睛】本题考查了余弦的概念，熟练掌握余弦概念辨析是解题关键． 【变式2】（2025·天津红桥·一模）如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，准确识图，根据锐角三角函数的定义对题目中给出的四个选项逐一进行分析判断即可得出答案．熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：，， ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，正切函数，余弦函数，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．根据已知，，不妨设，则，根据正切函数的定义解答即可． 【详解】解：根据已知，，不妨设，则， 故． 故选：B． 题型02 直角三角形中求正弦、余弦、正切的值 【典例2】（25-26九年级上·海南·开学考试）在中，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理和锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．首先由勾股定理求出的值，再由锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】解：在中，，且，， ， ． 故答案为：． 【变式1】（23-24九年级下·上海·期中）在中，是锐角，，则 【答案】或 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，锐角的余弦的含义，熟记余弦的定义再进行计算是解本题的关键．分和两种情况讨论即可，先利用勾股定理求解，再利用余弦的定义求解即可． 【详解】解：在中，是锐角，， 当时，如图， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∴； 故答案为：或． 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）在中，，，，则的正切值的倒数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义． 直接根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：在中，，，， ∴的正切值的倒数为． 故答案为：． 【变式3】在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的关键．根据锐角三角函数求解即可． 【详解】解：在中，， 所以， 故选：D． 题型03 由正弦、余弦、正切的值求边长 【典例3】（25-26九年级上·山东东营·开学考试）在中，若，则的长为（    ） A． B．2 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 根据正弦的定义即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角函数求线段长. 根据，可得，再把的长代入可以计算出的长． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在四边形中，与相交于点O，，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定．设，通过作辅助线，得到，，，进而得出对应边成比例，再根据，，得出对应边之间关系，先后用表示，，，的长，利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于点M，延长交于点N， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，根据题意，利用锐角三角函数可以设，，然后根据勾股定理列方程即可求得的长．解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和勾股定理解答． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴，， 设，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 题型04 由正弦、余弦、正切的值求坐标 【典例4】（25-26九年级上·全国·课后作业）点关于轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊三角函数值以及关于y轴对称的点的坐标规律. 根据计算得出点M的坐标，再根据关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数的性质求出对称点的坐标. 【详解】解： 所以点的坐标为， 所以点关于y轴对称的点的坐标为 故选： A． 【变式1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）在直角坐标平面中，点A的坐标，如果射线与x轴正半轴的夹角为α，那么 ． 【答案】/0.8 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，根据题意画出图形，过点作轴于点，勾股定理求得，进而根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴, ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）在平面直角坐标系内，点Q的坐标为，射线与x轴正半轴的夹角为，那么下列四个选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形，灵活应用勾股定理和锐角三角函数的定义是解决此类问题的关键．根据点构造直角三角形，利用三角函数定义逐一验证选项即可． 【详解】解：如下图，连接，过点作轴于点， ∵点Q的坐标为， ∴，， ∴在中，， ∴，选项A正确，符合题意； ，选项B错误，不符合题意； ，选项C错误，不符合题意； ，选项D错误，不符合题意． 故选：A． 【变式3】（24-25九年级上·山东东营·期末）如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是，且与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】过点P作轴于点A，根据正切定义计算m，再利用勾股定理，正弦定义解答即可． 本题考查了角的正切，正弦和勾股定理，熟练掌握三角函数和定理是解题的关键． 【详解】解：过点P作轴于点A， 根据P是第一象限内的点，其坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型05 与特殊角的三角函数有关的混合运算 【典例5】（2025·天津·二模）计算：（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案． 【详解】解：依题意，， ∴． 故选：C． 【变式1】（2024·上海·模拟预测）计算： 【答案】4 【分析】此题考查了绝对值，零指数幂，算术平方根和特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算绝对值，零指数幂，算术平方根和特殊角的三角函数值，然后计算加减即可． 【详解】解： ． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）计算：． 【答案】0 【分析】此题考查了算术平方根，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算加减． 【详解】解： ． 【变式3】（上海市张江集团学校2025-2026学年上学期数学九月份阶段试卷）计算：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了特殊三角函数值的运算以及分母有理化，还有四则运算的顺序．熟练掌握特殊三角函数值、分母有理化的方法以及四则运算规则是解题的关键． 本题是一个包含特殊三角函数值的混合运算题，解题思路是先分别将各个特殊三角函数值代入原式，然后按照四则运算的顺序进行计算． 【详解】解： ． 题型06 由正弦、余弦、正切的值判断三角形的形状 【典例6】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）在中，若，，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值求出、的度数，然后判断的形状． 【详解】解：在中， ， ， ， 故为等腰直角三角形． 故选：B． 【变式1】（22-23八年级上·全国·期中）若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 【答案】A 【分析】由已知可得，，从而可得，进而可得的形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查平方的非负性，绝对值的非负性，直角三角形的判定，特殊角的三角函数值． 【变式2】（2025·湖南长沙·二模）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 【答案】(1)是锐角三角形． (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出及的度数，进而可得出结论； （2）根据（1）中及的值求出的度数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， 是锐角三角形． （2）， 原式． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 题型07 由正弦、余弦、正切的值求角度 【典例7】（25-26九年级上·上海·课后作业）已知是锐角，且，那么 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，记忆特殊角的三角函数值是解题的关键． 直接根据特殊角的三角函数值解答即可． 【详解】∵，是锐角， ∴． 故答案为：． 【变式1】（2025九年级上·上海·专题练习）在中，若锐角，满足，则的度数是 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，三角形的内角和定理，三角函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据绝对值的非负性可得，，，从而可得，，，进而可得，，然后利用三角形的内角和定理，进行计算即可解答． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 【变式2】（2025·湖南益阳·模拟预测）已知，，，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，直角三角形，如图①，过O作于H，由等腰三角形的性质推出，，由，求出，得到，由勾股定理的逆定理得到，求出，由等腰三角形的性质即可求出；如图②，求出，由等腰三角形的性质即可求出，于是得到答案． 【详解】解：如图①，过O作于H， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； 如图②， 由图①知，， ， ， ， 综上所述，或． 故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知，均为锐角，且满足，那么 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了绝对值和平方数的非负性，特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 根据绝对值和平方数的非负性，得，，利用特殊角的三角函数值分别求出、的值，代入计算即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ，， ，， ． 故答案为：． 题型08 同角（互余）两角的三角函数的关系 【典例8】（24-25九年级上·浙江杭州·期中） （选填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了正弦与余弦的关系，三角函数比较大小．互余的两个角中，一个角的余弦值等于另一个角的正弦值，且锐角的度数越大正弦值越大，据此可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是互余两角三角函数的关系，掌握在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即是解题的关键． 根据互余两角三角函数的关系解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·广西梧州·期末）已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握互为余角的正余弦关系：一个角的正弦值等于这个锐角的余角的余弦值． 利用互余两角的三角函数关系，得出，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3】（23-24九年级上·安徽六安·期末）下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知互余两角三角函数的关系是解答此题的关键．分别根据锐角三角函数的定义及互余两角三角函数的关系进行解答即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，选项正确，符合互余两角的三角函数关系，符合题意． 故选：D． 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海虹口·期末）在中，，如果，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正切，熟练掌握正切等于对边与邻边的比是解题的关键； 如图，根据代入求值即可． 【详解】解：如图所示， ∴， 故选：A． 2．（2024·广东·二模）在中，，，，则的值是（ ） A．5 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．理解正弦的定义是解题的关键．根据正弦的定义得到，然后代入计算即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 3．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．利用三角函数定义逐项判断即可． 【详解】A、在中，，原结论错误，故此选项符合题意； B、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； C、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； D、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 4．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，直线与、轴分别交于、两点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求角的正切值，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先分别求得、两点的坐标，再求得，，从而可求得的值． 【详解】解：∵直线与、轴分别交于、两点， 令，得， ∴， ∴， 令，得， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）在中，的对边分别为，若，则的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】此题主要考查了非负数的性质，等边三角形的判定，特殊角的锐角三角函数值，熟练掌握非负数的性质，等边三角形的判定，熟记特殊角的锐角三角函数值是解决问题的关键． 根据非负数的性质得且，由，得，则是等腰三角形，由，得锐角，则是等边三角形，由此即可得出答案． 【详解】解：，， 又， 且， 由，得：， 是等腰三角形， 由，得：， 锐角， 又是等腰三角形， 是等边三角形． 故选：C． 6．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理及正切的定义，求出相关线段的长度并能根据定义准确计算是正确解答此题的关键． 由折叠可得，设，则，根据勾股定理建立方程求出的长度，进而根据正切即可求解． 【详解】解： 根据题意得，，设，则． 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得， 故， 故选C． 7．（2025·四川泸州·一模）因为，，所以．由此猜想，推理可知：当为锐角时，有，由此可知（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，本题是信息题，按照“一般地当为锐角时有”去答题．同时熟记特殊角的三角函数值也是解题的关键． 当为锐角时有．把代入计算即可． 【详解】解：∵， ， 故选：B． 二、填空题 8．（24-25九年级下·天津和平·开学考试） ． 【答案】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的减法，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后计算二次根式的减法即可． 【详解】 ． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若，则 ． 【答案】/度 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，直接利用特殊角的三角函数值得出答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：． 10．（2025·广东梅州·一模）在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、余弦的定义，由勾股定理可得，再由余弦的定义计算即可得解，熟练掌握余弦的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， ∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·黑龙江·阶段练习）是直角三角形，，，则的长为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了正切的定义、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意，分两种情况讨论，再利用正切的定义即可求解． 【详解】解：①当时，则， ∴； ②当时，则， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； ∴综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 12．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，放在正方形网格纸的位置如图，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．连接，利用勾股定理分别计算出、、的长，然后根据勾股定理逆定理得出，再利用三角函数定义可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（2025·浙江·一模）如图，在四边形中，，，，连结．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形．过作于，过作于，由等腰三角形的性质推出是的中点，是的中点，得到，判定，推出，，求出，令，，求出，，由勾股定理求出，得到，于是． 【详解】解：过作于，过作于， ，， 是的中点，是的中点， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 令，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14．（2025·安徽合肥·三模）已知在菱形中，边，对角线，点是对角线上的一个动点，连接． （1） ； （2）若，则的长为 ． 【答案】 【分析】（1）由菱形性质得，，结合勾股定理得，结合正切值的定义即可得解； （2）先证明当点在上，设，则，结合勾股定理可得，结合题中所给的得到一元二次方程，解方程后即可得解． 【详解】解：（1）如解图，连接，与交于点， 四边形是菱形， ，， ， ． （2）如解图，当点与点重合时，， 点不可能在线段上， 当点在上时，设， 则，， 由勾股定理，得， ， ， ， 解得，（舍去）， ． 故答案为：①；②． 【点睛】本题考查的知识点是菱形性质、勾股定理、求正切值、解一元二次方程，解题关键是熟练运用菱形性质解题． 三、解答题 15．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）（1）计算：； （2）求锐角：． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，根据特殊角三角函数值求角的度数． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，再计算加减法即可得到答案； （2）先求出，再根据特殊角三角函数值即可求出答案． 【详解】解：（1） ； （2） 16．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图所示，在中，，，求，的值．    【答案】， 【分析】根据和的值可以求出斜边的值，再由勾股定理即可求得的值，知道了直角三角形的三边即可求得、的值．本题考查了解直角三角形以及勾股定理，解题的关键是熟记三角函数的定义，能够根据三边，求出各角的三角函数． 【详解】解：， 设．， ， ， ． 17．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，于，，试求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查正弦函数及余弦函数，熟练掌握二者的定义是解题关键． （1）根据勾股定理得出，再由正弦函数求解即可； （2）根据同角的余角得出，再求余弦值即可； （3）根据正弦函数求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ， ∴， ∴； （2）解：∵于，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴． 18．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，，延长至点，连接． (1)求的值； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）作于点，利用三线合一性质得到，利用勾股定理求出的长，最后利用正弦的定义即可求解； （2）利用正切的定义可得，求出的长，再利用即可求解． 【详解】（1）解：如图，作于点， ，， ，， ， 在中，． （2）解：在中，， ， ， ． 19．（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图．要求： (1)在图①中画，使得． (2)在图②中画，使得． (3)在图③中画，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）取格点，根据勾股定理可得，根据勾股定理逆定理可得，则，则即为所作； （2）取格点，连接，，相交一点即为点D，则由矩形得，由上可知，则，则即为所作； （3）取格点，连接，，相交一点即为点E，由得，则，同上可知，则，则即为所作． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：即为所作； （3）解：即为所作； 【点睛】本题考查作图—无刻度直尺作图，勾股定理及其逆定理，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数．利用数形结合的思想是解题关键． 20．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，是边上的中线，和都是锐角且，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)5 (2)2 【分析】（1）过点作于，如图所示，在中，由正弦函数值定义列式求得，再由勾股定理求得，在中，由正切函数值定义列式求得，数形结合即可得到； （2）由（1）中求出的线段长，结合中线性质得到，数形结合求出，在中，由正切函数值定义代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于，如图所示： 设， 在中，，则， 即，解得， ， ，解得， ∴， 在中，，，则由勾股定理可得， 在中，，则， ， ∴， ∴； （2）解：∵为中线，， ∴， ， ∴， 在中，，，则． 【点睛】本题考查解直角三角形，涉及正切函数值定义、正弦函数值定义、勾股定理、中线性质、解方程等知识，根据题意构造直角三角形，灵活运用三角函数值定义列式求解是解决问题的关键． 21．（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，已知中，于点D，，连接并延长交边于点F，已知， (1)求的正切值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握解直角三角形和平行线分线段成比例定理是解题的关键． （1）由余弦定义求出，由勾股定理得出，要做求出，由正切定义即可得出答案； （2）过D作交于点G，求出，由平行线分线段成比例定理得，，得出，设，则，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 过D作交于点G， ∴，， ∴， 设，则， ∴． 22．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①，______，______，______； 在图②中，______，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； (2)在图①中，______，______； 在图②中，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明． 【答案】(1)；；证明见解析 (2)；；证明见解析 【分析】（1）本小题要求找到规律并证明，要规律首先就应该准确的计算出，，，，，以及和的值；要证明结论就应该在一般的三角形中求解，在边长分别为、、的直角三角形中，，，计算的结果证明结论； （2）在边长分别为、、的直角三角形中计算，，看结论是否相同即可． 本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作是解题的关键． 【详解】（1）解：，，， ，，， 规律：对于任意锐角有， 故答案为：，，1，，，1； 证明：如图所示，在中，， ，，， ． （2）解：，， ， 规律：对于任意锐角有， 证明：如图， ，， ． 故答案为：，，，． 23．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，在矩形中，点E中的中点，交边于F，连． (1)求证：； (2)若，直线写出的值______； (3)如图2，点G为边上一点，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质以及求三角函数值，证明三角形相似并运用性质解决问题是解答本题的关键： （1）证明结合即可得出结论； （2）根据可得出设分别可求出从而可求出； （3）多次运用相似三角形的判定与性质可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ （2）解：∵， ∴ ∵， ∴ ∵为的中点， ∴ ∴， ∴ 设则 解得， ∴ ∴ 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.1锐角三角函数与特殊角的三角函数值 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01正弦 知识点02余弦 知识清单 知识点03正切 知识点04特殊角的三角函数值 题型01正弦、余弦、正切的概念辨析 锐角三角函数与特殊角 题型02直角三角形中求正弦、余弦、正切的值 的三角函数值 题型03由正弦、余弦、正切的值求边长 题型04由正弦、余弦、正切的值求坐标 题型精讲 题型05与特殊角的三角函数有关的混合运算 题型06由正弦、余弦、正切的值判断三角形的形状 题型07由正弦、余弦、正切的值求角度 题型08同角（互余）两角的三角函数的关系 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解正弦、余弦、正切的概念，能在直角三角形中用符号准确表示边角比值，并知 晓其只与锐角大小相关。 2.熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能运用其计算边长、由值求角，会用计算 教学目标 器处理非特殊角的相关计算。 3.能运用锐角三角函数解直角三角形，并解决测量高度、距离等简单实际问题，体会 数形结合思想。 1.重点 (1)核心是正弦、余弦、正切的定义，即明确直角三角形中锐角的对边、邻边与斜边 教学重难点 的比值关系。 (2)熟练掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，并能结合其进行解直角三角 1/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 形的运算。 2.难点 (1)抽象理解三角函数的本质，即为何锐角确定后，对应的边长比值是固定值，与三 角形大小无关。 (2)实际问题中，难以准确将情境抽象为直角三角形模型，无法灵活选择合适的三角 函数求解未知量。 知识清单 知识点01正弦 在Rt△ABC中，∠C=90° 正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sA. 即s加A=对边_口 斜边c 【即学即练1-1】(24-25九年级下·黑龙江哈尔滨期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= 3, 则cosA的 值为() 4 B. 12 13 13 c.n D. 5 【即学即练1-2】(2025九年级上·上海.专题练习)在△ABC中，∠C=90°，a=3,b=5,则 sinA= 知识点02余弦 在Rt△ABC中，∠C=90 余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作coA. 即coSA= 邻边b 斜边c 【即学即练2-1】(25-26九年级上·重庆开学考试)在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高， CD=6,BD=9,则cosA的值为() B 2/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.3 B.9 D.23 13 13 【即学即练2-2】(23-24九年级上广西梧州期末)如图，已知，在ABC中，AB=AC=10, 3 AD⊥BC,cosB=亏，求BC的值. B D 知识点03正切 在Rt△ABC中，∠C-90° 正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作ta4A. 即tanA=对边。a 邻边·b 【即学即练3-1】(24-25九年级下山东日照·开学考试)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的 边分别为a、b、c,下列等式中不成立的是() 4.tanB=b B.cosB=a C.sinA=a b D.tan A=- a c a 【即学即练3-2】(25-26九年级上山东聊城阶段练习)如图，ABC中，AD1BC于点D,BC=14, AD=12, tan∠BAD=3 ,求sinC,cosC的值. 知识点04特殊角的三角函数值 三角函数 30 45 60° sin a 2 2 2 cosa 3 2 2 1-2 3/13 学科网·上好课 ww .zxxk.com 上好每一堂课 tan α $$\frac { \sqrt 3 } { 3 }$$ 1 $$\sqrt 3$$ 【即学即练4-1】计算： $$\left( - 1 \right) ^ { 2 0 2 5 } + \cos ^ { 2 } 4 5 ^ { \circ } + | - 2 | + \left( 2 0 2 5 - \pi \right) ^ { 0 } .$$ 【即学即练4-2】计算： $$\left( 1 \right) \sqrt { 1 2 } - \left( \pi - 3 . 1 4 \right) ^ { 0 } + | 2 - \sqrt 3 | - 2 \sin 6 0 ^ { \circ } ；$$ $$\left( 2 \right) 6 \cos 4 5 ^ { \circ } + 3 ^ { - 1 } + \left( - 1 . 7 3 \right) ^ { 0 } + | 5 - 3 \sqrt 2 | + 4 ^ { 2 0 2 4 } \times { \left( - 0 . 2 5 \right) ^ { 2 0 2 5 } } .$$ 题型精讲 题型01 正弦、余弦、正切的概念辨析 【典例1】(25-26九年级上·全国·课后作业)如图， ， ABC 中， $$\angle C = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ，则 ∠A 的正弦值可以表示为() C B $$A . \frac { A C } { A B }$$ $$B . \frac { A C } { B C }$$ $$C . \frac { B C } { A B }$$ $$D . \frac { B C } { A C }$$ 【变式1】(25-26九年级上全国课后作业)如图，在 $$R t \quad A B C$$ 中， $$\angle A B C = 9 0 ^ { \circ } ， B D \bot A C$$ 于点D.下列不 能表示cosA的是() B A D D ( C $$A . \frac { A B } { A C }$$ $$B . \frac { A D } { A B }$$ $$C . \frac { C D } { B C }$$ $$D . \frac { B D } { B C }$$ 【变式2】(2025天津红桥一模)如图，在 Rt△ABC 中， $$\angle B A C = 9 0 ^ { \circ } ， A D \bot B C ，$$ ，垂足为D，则下列结论 中正确的是() A B D C $$A . \sin B = \frac { B C } { A B }$$ $$B . \cos B = \frac { A D } { A B }$$ $$C . \tan C = \frac { A B } { B C }$$ $$D . \tan C = \frac { A D } { C D }$$ 4/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3】(24-25九年级上重庆阶段练习)如图，在R0ABC中，∠C=90°，cos4,则an4的值》 () B A. 4 c 题型02直角三角形中求正弦、余弦、正切的值 【典例2K25-26九年级上·海南·开学考试)在ABC中，∠C=90°，AB=2,BC=1,则sinB的值是」 【变式1】(23-24九年级下·上海期中)在RtAABC中，∠B是锐角，AC=3,AB=5,则cos∠B= BC=AC2+AB2=34, A .BC=√AB2-AC2=4, C B 【变式2】(2025九年级上·全国.专题练习)在ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=3,则∠A的正切值的 倒数为 【变式3】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5,AC=12,则tanB的值是() A 5 B. C.12 13 13 D.2 5 题型03由正弦、余弦、正切的值求边长 【奥例3】(25-26九年级上山东东营开学考试)在ABC中，若∠C=90°，BC=2,sinA,则AB的长为 () A.2 B.2 C.8 D.10 5/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】(24-25九年级上甘肃兰州期末)如图，在R△ABC中，∠C=90°，AB=6,coSB=2 ，则BC的 长为() A B A.4.5 B.5 C.4 D.35 【变式2】(2025广东深圳模拟预测)如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O, ZABC=LDAC=90,tan ZACB三7；O0=5,则an ZACD的值为 【变式3】(21-2九年级上黑龙江哈尔滨阶段练习)R△A8C中，∠C=90°，amB=}AB=10,则 AC=_ 题型04由正弦、余弦、正切的值求坐标 【典例4】(25-26九年级上·全国课后作业)点M(-sin60°，sin30)关于y轴对称的点的坐标是() 31 A. B. 5-1 22 c. V31 22 -22 D. 1V3 -22 【变式1】(24-25九年级上·上海阶段练习)在直角坐标平面x0y中，点A的坐标(3,4)，如果射线0A与x 轴正半轴的夹角为a,那么sina= 【变式2】(24-25九年级上·上海宝山阶段练习)在平面直角坐标系x0y内，点Q的坐标为(4,3)，射线00 与x轴正半轴的夹角为(0°<a<90),那么下列四个选项中正确的是() B.sina=3 C.cota=3 D.cosa= 3 【变式3】(2425九年级上山东东营·期末)如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是3，m) ，且OP与x错正半锥的夹角a的正切值是手，则sn&的值为一 6/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ,P(3,m) 人0 题型05与特殊角的三角函数有关的混合运算 【典例5】(2025天津.二模)计算：√3cos30°=() A.3 B.1 c D.V6 2 【变式1】2024上海模拟预测)计第：sn30+6--5+ 【变式2】2425九年级上甘肃兰州期末)计算：6+-3°-（ -tan45° 【变式3】（上海市张江集团学校2025-2026学年上学期数学九月份阶段试卷）计算： 3tan30°-tan45°+2sin60°+2cos260°-， 2 1+tan60° 题型O6由正弦、余弦、正切的值判断三角形的形状 【典例6】24-25九年级上江苏徐州阶段练习)在A8C中，若a4=1,sinB= ,则ABC的形状是 A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形 D.一般锐角三角形 【变式1】(22-23八年级上全国期中)若(V5anA-3'+2cosB-V=0,则△ABC() A.是直角三角形 B.是等边三角形 C.是含有60°的任意三角形 D,是顶角为钝角的等腰三角形 【变式2】225湖南长沙二横)在48C中，小B都是锐角，Sm1-5.am8=5,下列悦茨正确的 是() A.∠A=30° B.∠B=30° C.ABC是等边三角形 D.ABC是直角三角形 【变式3】(25-26九年级上·全国·课后作业)己知ABC中的∠A与∠B满足(1-tanA)2+sinB- =0 2 (I)试判断ABC的形状. 7/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求2cos2A-(1+tanB)2+(3-tanC)°的值. 题型07由正弦、余弦、正切的值求角度 【典例7】(25.26九年级上上海课后作业)已知u是锐角，且cosa=5,那么u=_ 2 【变式1】(2025九年级上上海专题练习)在A8C中，若锐角∠A,∠B满足1cos4-+1s血B- 2 2k0 ,则∠C的度数是 【变式2】(2025·湖南益阳·模拟预测)己知0A=0B=0C=1,AB=√2，AC=√5，则L0BC=() A.60 B.75° C.30°或60 D.15°或75 【变式3】(24-25九年级上·全国随堂练习)已知a,B均为锐角，且满足tana- +(tanB-1)2=0,那 么a+B= 题型08同角（互余)两角的三角函数的关系 【典例8】(24-25九年级上浙江杭州·期中)c0s57°sin53°（选填“>”或“=”或<”）. 【变式11K2425九年级下贵州黔东南阶段练习)在R1aABC中，∠C=90,sinA=5,则c0sB等于() 3 A.v分 C.② D.vi4 3 3 2 【变式2】(24-25九年级上：广西梧州期末)己知∠A,∠B都是锐角，且sinA=cosB,那么∠A与∠B之 间满足的关系是() A.∠A=∠B B.∠A+∠B=90° C.∠A-∠B=90°D.∠B-∠A=909 【变式3】(23-24九年级上·安徽六安：期末)下列各式中正确的是() A.sin46°>c0s44° B.2sin40°=sin80 C.c0s44°<c0s46° D.sin244°+sin246°=1 强化训练 一、单选题 1.(24-25九年级上·上海虹口期末)在ABC中，∠C=90°，如果BC=3,AC=4,那么tanA的值是() B c 8/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.(2024广东二模在RA48C中，∠C=90,4C=4,sinB=号，则AB的值是() A.5 B.9 C.6 D.3 3.(25-26九年级上·重庆阶段练习)如图，在R1aABC中，∠ABC=90°，过点B作BD⊥AC,垂足为点D, 则下列结论不正确的是() B D A. BC tan A=. B.sin A=BD C.CosA=4D D.sin A=cosC AC AB AB 4.(25.26九年级上黑龙江大庆阶段练习)如图，直线y=3x+3与x、y轴分别交于A、B两点，则 4 tan∠BA0的值是() 3 A. 4 c 5.(24-25九年级下.浙江杭州·阶段练习)在ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若 (b-c)2+tanA-V3=0,则ABC的形状是() A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等 腰三角形 6.(25-26九年级上·江苏苏州阶段练习)直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8，现将ABC如图那样 折叠，使点A与点B重合，折痕为DE,则tan/CBE的值是() B 4 A.7 B. 3 C、7 24 7.(2025四川泸州一模)因为cos60°=方os240P=-分所以c0s240=c0s180+60)=-c0s60.由此 1 9/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 猜想，推理可知：当为锐角时，有cos180°+a)=-cosa,由此可知cos210°=() A.③ 2 B.-3 C.② 2 D.-② 2 2 二、填空题 8.(24-25九年级下·天津和平.开学考试)22-2sin45°= 3.24九年级上黑江济济哈尔期末)若c0s90°-a二，3，则a= 10.(2025广东梅州一模)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3,AC=2,则cosB= 1.(25-26九年级上黑龙江阶段练习)ABC是直角三角形，AB=25,am∠4BC=则AC的长 为 12.(25-26九年级上吉林阶段练习)如图，∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan ZBAC的值 为 13.(2025浙江一模)如图，在四边形ABCD中，AB=AC,AD=CD,BC⊥CD,连结BD.若 S,ABC=20 ,则an/CBD的值为_ B 14.(2025·安徽合肥·三模)已知在菱形ABCD中，边AB=5,对角线BD=8,点P是对角线BD上的一个 动点，连接AP. (l)tan∠ABD= (2)若DP=√2AP,则BP的长为 三、解答题 15.(2425九年级上江苏无锡期未)(1)计第：(2024-+得)-60s60: (2)求锐角a:2sina-V3=0. 10/13