专题5.3.1导数含参单调性讨论4大常考题型分类讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

2024-2025高二下学期数学常考题型归纳（人教A版2019选择性必修二） 【专题5.3.1含参函数的单调性讨论】 【题型一：一个零点型...............................................................................】 【题型二：可因式分解型...................................................................】 【题型三：不可因式分解型...............................................................】 【题型四：两个零点型.......................................................................】 讨论单调性的步骤：第一步：求函数的定义域； 第二步：求导函数，导函数是分式一般先通分，并且考虑能不能因式分解。 若导函数带分母，通分因式分解彻底后，判断导数分子最高次项系数是否含有参数，若有，则可以讨论该参数为0和不为0； 第三步：令，确定分类点：①是否存在根；②根比较大小； 第四步：利用数轴穿根法判断，分定义域的每个区间的导数的正负情况； 第五步：进行综上所述，情况相同的要合在一起 【题型一：一个零点型】 【例题精选】 1．（24-25高三下·吉林长春·开学考试）已知函数，. (1)求函数的单调区间； 【详解】（1）因为函数， 所以， 当时，，所以函数在单调递减， 当时，令，得， 当时，，所以函数单调递减， 当时，，所以函数单调递增， 综上所述，当时，函数在单调递减， 当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增； 2．（24-25高三下·河北·开学考试）已知函数 (1)讨论的单调性； 【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为，且， 当时，，可知在上单调递减； 当时，由解得；由解得； 可知在上单调递增，在上单调递减； 当时，由解得；由解得； 可知在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【相似练习】 3．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数. (1)讨论的单调区间； 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)判定函数的单调性； 【详解】（1）由题得， 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，令，所以，令，所以， 所以此时函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （ 5．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知函数. (1)讨论单调性； 【详解】（1） 当时，，在上单调递增； 当，令 且当时，，单调增； 当时，，单调递减 综上：当时，在上单调递增； 当时，在递增，在递减. 【题型二：可因式分解型】 【例题精选】 一、解答题 1．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)当时，试讨论的单调性； 【详解】（1）由题设，且， 当时，在上，在上，在上， 所以，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上恒成立，故在上单调递增； 当时，在上，在上，在上， 所以，在、上单调递增，在上单调递减. 2．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数. (2)讨论的单调性. （2）函数的定义域为， 求导得， ①当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减； ②当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递增，在，上单调递减； ③当时，，函数在上单调递减； ④当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递增，在，上单调递减， 所以当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为，； 当时，函数的递减区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为，. 【相似练习】 3．（24-25高三上·北京·期中）已知函数，． (2)求的单调区间； （2）因为，定义域为， 所以． 当时，令，即， 解得，，所以， 当x变化时，，的变化情况如下表所示， 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 此时的单调递减区间为和，单调递增区间为， 当时，，易知时，，，， 此时的单调递减区间为，单调递增区间为， 当时，令，即， 解得，， 若，即时，当x变化时，，的变化情况如下表所示， x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时的单调递增区间为和，单调递减区间为， 若，即时，恒成立，当且仅当时取等号， 此时在上单调递增， 若，即时，当x变化时，，的变化情况如下表所示， 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时的单调递增区间为和，单调递减区间为. 4．（2024·湖北黄冈·一模）已知函数 (2)讨论的单调性. （2），函数定义域为， 则， 令，解得或， 若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增， 若，则当时，，单调递减，当和时，，单调递增， 若，则在上恒成立，单调递增， 若，则当时，，单调递减，当和时，，单调递增， 综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【题型三：不可因式分解型】 【例题精选】 1．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知函数．（其中是自然对数的底，，）． (1)讨论函数的单调性； 【详解】（1）函数定义域为，． 当时，，在上是增函数； 当时，由，解得， 由，解得． 所以函数在上是增函数，在上是减函数． 综上，当时，在上是增函数； 当时，在上是增函数，在上是减函数． 2．（2024·山东枣庄·一模）已知. (1)讨论的单调性； 【详解】（1）由题意知定义域为， 且. 令， ①当时，，所以在上单调递增. ②当时，，记的两根为， 则，且. 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减. 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【相似练习】 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)讨论函数的单调性； 【详解】（1） ①当时，恒成立，故在上恒增； ②当时，令，则，解得， 当时，，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增． 综上所述，当时，在上恒增； 当时，在和，上单调递增， 在上单调递减． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．讨论当时，的单调性． 【详解】由题意，则， 当时，对于，则恒成立，在上单调递减． 当时，对于有2个大于0的零点，分别是， 当时，在上单调递增； 当时，，在和上单调递减． 综上， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减． 【题型四：两个零点型】 【例题精选】 一、解答题 1．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； 【详解】（1）， 当时，恒成立， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，解得或， 则当，即时，恒成立，即在上单调递增； 当，即时， 当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减； 当，即时， 当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减； 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数. (2)讨论的单调区间. 【详解】 （2）由题意可知：的定义域为，且， （i）若，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； （ⅱ）若，令，解得或， ①当，即时， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； ②当，即时，则，可知在内单调递增； ③当，即时， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； 综上所述：若，的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【相似练习】 3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数． (2)当时，讨论的单调区间． 【详解】 （2）， 当时，，当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，令，得或2，当，即时，不符合题意， 当，即时，在上单调递增， 在上单调递减， 在上单调递增， 当，即时，在上，单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 4．（2024·湖南·三模）已知函数. (1)讨论的单调性； 【详解】（1）函数的定义域为R， 求导得， 令，求导得，当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增， ，即， ①当时，，恒成立，在R上单调递减； ②当时，由，得，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在R上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【课后针对训练】【高考真题+模拟精选】 一、解答题 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； 2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； 3．（2006·山东·高考真题）设函数，其中，求的单调区间． 4．（2004·湖南·高考真题）已知函数，其中，e为自然对数的底数． (1)讨论函数的单调性； 5．（2021·全国·高考真题）已知函数． （1）讨论的单调性； 6．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且，函数 （1）求函数的单调区间； 7．（2024·山东潍坊·一模）已知函数（）． (1)求函数的单调区间； 8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； 9．（2024·全国·模拟预测）已知函数，． (1)讨论的单调性； 10．（2023·江苏·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 【详解】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 2．【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 3.【详解】函数的定义域为，. ①当时，对任意的，， 此时，函数的减区间为，无增区间； ②当时，由可得，由可得. 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. 4．【详解】（1），函数定义域为，． 当时，令，得． 若，则，从而在上单调递增； 若，则，从而在上单调递减． 当时，令，得，解得或，有． 若，则或，从而在和上单调递减； 若，则，从而在上单调递增； 5．【详解】(1)由函数的解析式可得：， 当时，若，则单调递减， 若，则单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； 6．【详解】(1)， ①若，则，所以在上单调递增； ②若， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上可得，时，的单调递增区间为,无减区间； 时，函数的单调减区间为，单调增区间为. 7【详解】（1）函数定义域为，求导得， 设，则， ①当时，恒成立，且至多一点处为0，函数在上递减； ②当时，有两个零点， 则当或时，，即；当时，，即， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，的递减区间为； 当时，的递减区间为，递增区间为. 8【详解】（1）函数的定义域为，且． 当时，恒成立， 所以在区间上单调递增； 当时，令，解得， 当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减． 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． 9．【详解】（1）， 当在上恒成立，故在上单调递增； 当时，令得； 令得， 故在上单调递增，在上单调递减． 10．【详解】（1）易知，又因为， 令，， ①当，即时，恒成立，所以，此时，在区间上是增函数； ②当，得到或，又，其对称轴为，且，所以， 当时，，所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，此时在区间上是增函数； 当时，，且，由， 得到或，时，，时， 即时，，时， 此时，在上是减函数， 在上是增函数. 综上所述，当时，在上是增函数； 当时，在上是减函数， 在上是增函数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025高二下学期数学常考题型归纳（人教A版2019选择性必修二） 【专题5.3.1含参函数的单调性讨论】 【题型一：一个零点型...............................................................................】 【题型二：可因式分解型...................................................................】 【题型三：不可因式分解型...............................................................】 【题型四：两个零点型.......................................................................】 讨论单调性的步骤：第一步：求函数的定义域； 第二步：求导函数，导函数是分式一般先通分，并且考虑能不能因式分解。 若导函数带分母，通分因式分解彻底后，判断导数分子最高次项系数是否含有参数，若有，则可以讨论该参数为0和不为0； 第三步：令，确定分类点：①是否存在根；②根比较大小； 第四步：利用数轴穿根法判断，分定义域的每个区间的导数的正负情况； 第五步：进行综上所述，情况相同的要合在一起 【题型一：一个零点型】 【例题精选】 1．（24-25高三下·吉林长春·开学考试）已知函数，. (1)求函数的单调区间； 2．（24-25高三下·河北·开学考试）已知函数 (1)讨论的单调性； 【相似练习】 3．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数. (1)讨论的单调区间； 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)判定函数的单调性； 5．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知函数. (1)讨论单调性； 【题型二：可因式分解型】 【例题精选】 一、解答题 1．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)当时，试讨论的单调性； 2．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数. (2)讨论的单调性. 【相似练习】 3．（24-25高三上·北京·期中）已知函数，． (2)求的单调区间； 4．（2024·湖北黄冈·一模）已知函数 (2)讨论的单调性. 【题型三：不可因式分解型】 【例题精选】 1．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知函数．（其中是自然对数的底，，）． (1)讨论函数的单调性； 2．（2024·山东枣庄·一模）已知. (1)讨论的单调性； 【相似练习】 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)讨论函数的单调性； 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．讨论当时，的单调性． 【题型四：两个零点型】 【例题精选】 一、解答题 1．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数. (2)讨论的单调区间. 【相似练习】 3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数． (2)当时，讨论的单调区间． 4．（2024·湖南·三模）已知函数. (1)讨论的单调性； 【课后针对训练】【高考真题+模拟精选】 一、解答题 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； 2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； 3．（2006·山东·高考真题）设函数，其中，求的单调区间． 4．（2004·湖南·高考真题）已知函数，其中，e为自然对数的底数． (1)讨论函数的单调性； 5．（2021·全国·高考真题）已知函数． （1）讨论的单调性； 6．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且，函数 （1）求函数的单调区间； 7．（2024·山东潍坊·一模）已知函数（）． (1)求函数的单调区间； 8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； 9．（2024·全国·模拟预测）已知函数，． (1)讨论的单调性； 10．（2023·江苏·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $$