导数的几何意义切线方程的5大核心题型讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

2024-2025高二下学期数学常考题型归纳（人教A版2019选择性必修二） 专题5.1.2导数的几何意义切线的常考题型归纳 【题型一：在某点处的切线方程..........................................................................】 【题型二：切线方程过某点...................................................................................】 【题型三：公切线问题...........................................................................................】 【题型四：利用切线求最值..................................................................................】 【题型五：切线方程与函数零点与交点的综合应用...........................................】 【题型一：在某点处的切线方程】 解题秘籍： ①求出切点的坐标 ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程 【例题精选】 一、单选题 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求，取，可求，再求，，再由导数的几何意义及点斜式求切线方程. 【详解】由，得， 所以，得， 所以，，，， 故所求切线方程为，即. 故选：A. 2．（2024·陕西西安·三模）已知函数则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数结合导函数求出，再根据点斜式得出直线方程. 【详解】当时，， 当时，，则， 所以，． 则所求的切线方程为，即． 故选：B. 3．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的性质求出当时函数的解析式，然后求导，利用导数的几何意义进行求解即可. 【详解】当时，，函数是偶函数， 当时，，， 当时，， ，即曲线在处切线的斜率为-5. 而，所以曲线在处的切线方程为：. 所求即为. 故选：A. 【相似练习】 4．（2024·河北保定·三模）已知二次函数（且）的图象与曲线交于点P，与x轴交于点A（异于点O），若曲线在点P处的切线为l，且l与AP垂直，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数求解直线l的斜率，即可根据垂直关系得，结合，即可求解. 【详解】易知，设， 联立与可得，故， 由得，所以，， 因为，所以，即， 又，所以. 故选：B. 5．（2024·山东济宁·三模）已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的性质求出的解析式，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数为偶函数，当时，， 则当时，，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程是，即. 故选：A 6．（2024·海南海口·二模）已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据函数对称性求出时的解析式，利用导数的几何意义求解. 【详解】因为是偶函数，所以函数的图象关于对称，则， 当时，， ， ，则， ，即曲线在点处切线的斜率为2. 故选：C. 7．（20-21高三上·内蒙古赤峰·期中）在平面直角坐标系中，若曲线（，为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由题意将点代入得，求导得，由题意将点代入得，联立即可得解. 【详解】∵函数的导数为， ∴曲线在点处的切线斜率为， 由两直线平行可得①. 又∵点在曲线上， ∴②，由①②解得，. 故选：C. 【题型二：切线方程过某点】 解题秘籍： 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，∵过点，∴然后解出的值，有几个值，就有几条切线. 【例题精选】 一、单选题 1．（2024·山东·模拟预测）若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切点坐标，求导并利用导数的几何意义求出切线方程，用表示出，再构造函数，利用导数探讨函数图象性质，进而求出的范围. 【详解】依题意，设切点坐标为，由，求导得， 则函数的图象在点处的切线方程为， 由切线过点，得， 令，依题意，直线与函数的图象有3个公共点， ，当或时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极小值，而当时，恒有， 又，因此当时，直线与函数的图象有3个公共点， 所以实数的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数图象在切点处的切线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键. 2．（2024·四川内江·模拟预测）若过点可以作两条直线与曲线相切，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切点，根据切线经过点，得到，令，转化为与有两个不同的交点求解. 【详解】设切点， 因为，所以， 所以点P处的切线方程为， 又因为切线经过点， 所以，即， 令， 则与有两个不同的交点， ， 当时，恒成立，所以单调递增，不合题意； 当时，当时，，当时，， 所以，则，即， 故选：B 3．（23-24高二下·福建福州·期中）若曲线 有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点，利用导数的几何意义求得切线方程，将原点坐标代入，整理得，结合计算即可求解. 【详解】设，则， 设切点为，则， 所以切线方程为， 又该切线过原点，所以， 整理得①，因为曲线只有一条过原点的切线， 所以方程①只有一个解，故，解得. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数的几何意义，切点未知，设切点坐标，由导数的几何意义求出切线方程，确定方程的解与根的判别式之间的关系是解决本题的关键. 4．（2024·全国·模拟预测）若曲线（且）有两条过坐标原点的切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设出切点，列出切线方程，再根据，构造函数，根据导数求得的单调性，即可得到关于参数的不等式，解不等式即可. 【详解】由，得． 设切点为，则， 所以曲线在点处的切线方程为， 将点的坐标代入切线方程，得， 所以，即． 显然，所以． 设（且），则． 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在和上分别单调递增． 又当时，，当时，，且的极小值为，所以的大致图象如图． 由题意可知，函数的图象与直线有两个不同的交点，结合图象可知，所以，所以． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数切线的含参问题，其中根据切线方程化简得到等式，从而构造函数是关键，再对求导，利用导数求单调性，从而得到的大致图象，结合图象可知求解. 【相似练习】 5．（2019·湖北·一模）已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导得到导函数，计算切线方程，将切点代入切线方程得到，根据解得答案. 【详解】设切点为，，， 则切线方程为：， 切线过点代入得：，即， 即方程有两个解，则有，解得或． 故选：A 二、填空题 6．（24-25高三上·广西·期中）已知函数，过点可作2条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出切线方程为，代入点的坐标化简可得，设，依题意，直线与的图象有两个交点，利用导数研究函数的性质，进而作出草图，结合图象即可得解． 【详解】，设切点为， 则切线方程为， 将点代入切线方程得，，化简得， 设，则， 令，解得，令，解得或， 在，上单调递减，在上单调递增，且， 作出函数的大致图象如下图所示， 由图象可知，要使直线与的图象有两个交点，则， 故答案为：． 【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，作出图象，数形结合求解即可． 7．（2023·福建泉州·模拟预测）已知函数过点作曲线的切线，则切线的条数为 ． 【答案】2 【分析】分与两种情况，设出切点，写出切线方程，把点代入切线方程，求出相应答案即可. 【详解】当时，，设切点为，， 又 故过的切线方程为, 将代入可得, 解得或4，均大于0，满足要求； 当时，，设切点为， 又， 故过的切线方程为 将代入，可得 解得或4，均大于0，不合要求，舍去． 故答案为：2． 8．（2022·安徽合肥·二模）过平面内一点作曲线两条互相垂直的切线，，切点为，（，不重合），设直线，分别与轴交于点，，则 ． 【答案】2 【分析】设，.， ，利用导数表示出，，即可求出. 【详解】设，.，，所以. . 不妨设与相切于点，则有，解得：. 同理可求：. 因为切线，互相垂直，所以，即. 所以. 故答案为：2. 【点睛】用导数求切线方程常见类型： (1)在出的切线：为切点，直接写出切线方程：； (2)过出的切线：不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标，再写出切线方程：. 【题型三：公切线问题】 解题秘籍： ①设切点，②建立切线方程，③代入点到切线方程中，利用此时切点在切线且在曲线上，即同时满足方程： 解出切点坐标，从而写出切线方程． 【例题精选】 一、单选题 1．（2024·海南·模拟预测）若函数与的图象有且只有一条公切线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、根据极值点求参数 【分析】设公切线与函数,的图象分别切于点，求出，，可得公切线方程为和，则有，可得，令，利用导数可得，则，即可解得实数的值. 【详解】设公切线与函数,的图象分别切于点， 因为，所以， 所以公切线方程为， 即， 因为，所以， 所以公切线方程为， 即， 因为函数与的图象有且只有一条公切线， 所以，由 得, 代入， 则， 整理得， 令，则， 当时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 所以时，， 则当时， 函数与的图象有且只有一条公切线， 即，解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：因为函数与的图象有且只有一条公切线，设切点分别为，分别得出与的公切线后，通过斜率，纵截距相等得到方程组，得到关于和的关系后，利用导数得到关于的函数的最大值，即可得到的值. 2．（2024·湖南长沙·三模）斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（    ） A．0或2 B．或2 C．或0 D．0或1 【答案】A 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设直线的方程为，先根据直线和圆相切算出，再由导数的几何意义算出. 【详解】依题意得，设直线的方程为，即， 由直线和圆相切可得，，解得， 当时，和相切， ，设切点为，根据导数的几何意义，， 又切点同时在直线和曲线上，即，解得. 即时，； 当时，和相切， ，设切点为，根据导数的几何意义，， 又切点同时在直线和曲线上，即，解得. 即时，. 综上所述，或. 故选：A. 二、填空题 3．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ． 【答案】-2 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】求导，由导数几何意义得到切线方程，对照系数得到，联立得到，故. 【详解】因为，，所以，， 则在点处的切线方程为，即； 在点处的切线方程为：，即， 由已知，由得，故， 故，解得， 所以，因此． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面： (1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数； (2) 已知斜率求切点即解方程； (3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. 【相似练习】 4．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知（e为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程 . 【答案】或(写出其中一条即可) 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的加减法 【分析】分别设、并利用导数几何意义写出切线方程，根据所得切线相同列方程求参数，即可得切线方程. 【详解】设公切线与相切于点，与相切于点， ，，则公切线斜率， 公切线方程为或， 整理得或， 所以，即， ，解得或， 公切线方程为或. 故答案为：或<(写出其中一条即可) 5．（2024·四川·模拟预测）若直线（为常数）与曲线，曲线均相切，则 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设出切点，求导，根据点斜式求解切线方程，根据两直线相等，列方程可得，进而代入在直线上，求解. 【详解】因为，所以， 设直线与的切点为，则切线方程为，即， 又因为，所以解得，所以切线方程为， 因为，所以， 设直线与的切点为，所以①， 又因为切点在直线上，所以②， 由①和②可得，所以，解得. 故答案为： 6．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线与有公共切线，则实数a的最大值为 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】先设出切点，求导得到切线方程，斜率截距对应相等，得到,构造函数，转化为存在性问题，最终求最值即可. 【详解】设曲线与的切点分别为，， ∵，，∴，， ∴，， ∴，，即， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， ∴，即，即，即． 故答案为：. 7．（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线是曲线和的公切线，则实数a= ． 【答案】3 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数、导数的加减法 【分析】先设在上的切点，然后求出切点和切线，然后再设在上的切点，即可求出a的值. 【详解】设直线l与曲线相切于点， 由，得，因为l与曲线相切， 所以消去，得，解得． 设l与曲线相切于点，由，得，即， 因为是l与曲线的公共点， 所以消去，得，即，解得． 故答案为：3. 【题型四：利用切线求最值】 解题秘籍： ①两个动点分别在一个函数图象和一条直线上.若两个动点分别在函数和直线上，那么当在点处的切线与直线平行时，到直线的距离. ②若两个动点分别在函数和函数上，那么当直线与直线平行时，且与相切，则切点到的距离. 【例题精选】 一、单选题 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知是曲线上一点，则点到直线的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、简单复合函数的导数、求平行线间的距离 【分析】求出与直线平行且与曲线相切的直线的切点坐标，然后利用平行线间距离公式求解即可． 【详解】由题知，，令，得， 又，可得点， 所以点到直线的距离最短， 为. 故选：A. 2．（2022·山东聊城·二模）实数满足：，，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D．8 【答案】D 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的加减法、求点到直线的距离 【分析】由两点坐标表示距离公式可知的最小值转化为上的点与上的点的距离的平方的最小值，利用导数的几何意义和点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】由，得，又， 的最小值转化为 上的点与上的点的距离的平方的最小值， 由，得， 与平行的直线的斜率为1， ，解得或（舍），可得切点为， 切点到直线的距离的平方，即为的最小值， 的最小值为． 故选：D 3．（2021·四川成都·二模）已知P是曲线（）上的动点，点Q在直线上运动，则当取最小值时，点P的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】画出曲线（）和直线的图象，将所求距离问题转化为两平行线距离最小，从而结合两直线平行，利用导数的几何意义列方程即可求得切点的横坐标. 【详解】画出曲线（）和直线的图象，如下图所示    若使得取最小值， 则曲线在点处的切线与直线平行， 对函数求导得，令，可得， 又，解得． 故选：C 【相似练习】 4．（2024·全国·模拟预测）若函数，点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则、求点到直线的距离 【分析】利用导数的几何意义求出与直线平行且与曲线相切的直线与曲线相切的切点坐标，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】的定义域为， 由函数，可得， 令，可得，负值舍去， 又， 所以平行于直线且与曲线相切的直线与曲线的切点坐标为． 点到直线的距离，即点到直线的距离的最小值为. 故选：C． 5．（23-24高二下·山东·阶段练习）已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若，分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、求点到直线的距离 【分析】首先得到函数的图象与函数的图象关于直线对称，则问题转化为点到直线距离最小值的倍，求出过点的切线恰与平行时切点坐标，再利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】设为函数图象上任意一点，则，关于直线的对称点为， 又，即点在函数的图象上， 所以函数的图象与函数的图象关于直线对称， 所以这，两点之间距离的最小值等于点到直线距离最小值的倍， 由，则， 函数在点处的切线斜率为，令，解得，， 所以点到直线距离的最小值为， 所以这，两点之间距离的最小值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是得到两函数关于对称，再将问题转化为曲线上的点到直线的距离的最小值. 【题型五：切线方程与函数零点与交点的综合应用】 【例题讲解】 一、单选题 1．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知函数，若至少有三个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数零点的意义，把问题转化为直线与函数的图象至少有3个交点，作出图象，利用导数求出相切的情况，然后数形结合求得. 【详解】由，得，函数至少有3个不同的零点， 等价于直线与函数的图象至少有3个交点， 直线过原点，在同一坐标系内作出函数的图象与直线， 当直线与曲线相切时，直线与函数的图象有3个交点， 由，求导得，设切点坐标为，则切线方程为， 而切线过原点，则，解得，此时切线的斜率， 当时，直线与函数的图象有2个交点，不符合题意； 当时，直线与函数的图象最多有2个交点，不符合题意； 当时，直线与函数的图象有4个交点，符合题意， 所以实数的取值范围是. 故选：D 2．（2018·安徽合肥·一模）已知函数，若函数存在零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，把函数g（x）=f（x）﹣ax+a存在零点转化为方程f（x）﹣ax+a=0存在实数根，也就是函数y=f（x）与y=a（x﹣1）的图象有交点，作出函数图象，数形结合得答案． 【详解】 函数存在零点， 即方程存在实数根， 即函数与的图象有交点， 如图所示，直线恒过定点， 过点与的直线的斜率， 设直线与相切于， 则切点处的导数值为， 则过切点的直线方程为， 又切线过，则， ，得， 此时切线的斜率为， 由图可知，要使函数存在零点， 则实数的取值范围是或， 故选B. 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 3．（22-23高二下·天津河西·期末）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析时二次函数零点的情况，而时可将零点的问题转化为两个函数图象交点的问题，利用导数求解即可. 【详解】当时，，且， 则二次函数开口向下且在内抛物线与轴只有一个交点， 所以在上有唯一零点， 因为有3个零点，所以在上有2个零点， 即与的图象有2个交点， 如图当直线与曲线相切时设切点为，所以解得，    由图可知，时，与的图象有2个交点， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数恰有一个零点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，然后利用导数的几何意义及建立关于的不等式，即可得解. 【详解】由可得，要使恰有一个零点，只需函数的图象与直线相切. 设切点坐标为.由，可得，则切线方程为，即， 故需使. 由可得，解得. 故选：A 【相似练习】 5．（23-24高三上·山东日照·期中）已知函数，点是函数图象上不同的两个点，则（为坐标原点）的取值范围是 . 【答案】 【分析】设直线，利用导数的几何意意求出当时的切线方程，再联立方程，求出当时的切线方程，再结合两角差的正切公式即可求出结果. 【详解】当时，，则恒成立，所以在区间上单调递增， 当时，，图象如图， 设直线，由，消得到， 由，得，解得或（舍去），即直线与相切， 当时，设与的切点为， 则，整理得到， 令，则在区间上恒成立， 即在区间上单调递增， 又，所以方程的解为，得到，即直线与相切， 记直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则， 所以， 又因为点是函数图像上不同的两个点， 显然，当点在一条线上时，，所以， 又易知，在区间上单调递增， 所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于求出过原点且与函数的图像相切的两条切线的方程，再利用两角差的正切公式以及数形结合思想求解. 6．（22-23高二下·重庆江北·期中）已知函数的图象与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】因为，，结合的单调性分析可知：函数的图象与函数的图象有两个交点，利用切线法结合图象分析求解. 【详解】因为，， 且在上单调递增，可知在上单调递增， 由题意可知：函数的图象与函数的图象有两个交点， 又因为， 设切点坐标为，则切线斜率，切线方程为， 若切线过原点，则，解得， 结合图象可知：若函数的图象与函数的图象有两个交点，则， 所以实数的取值范围是. 故答案为：.    7．（2023·广西南宁·一模）已知函数，点是函数图象上不同的两个点，设为坐标原点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数的图形，求出过原点且与函数的图象相切的直线的方程，以及函数的渐近线方程，结合两角差的正切公式，数形结合可得出的取值范围. 【详解】当时，，则， 所以，函数在上为增函数； 当时，由可得，即， 作出函数的图象如下图所示： 设过原点且与函数的图象相切的直线的方程为 ，设切点为， 所以，切线方程为， 将原点坐标代入切线方程可得， 即，构造函数，其中，则， 所以，函数在上单调递减，且， 由，解得，所以，， 而函数的渐近线方程为， 设直线与的夹角为，设直线的倾斜角为， 则， 结合图形可知，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于求出设过原点且与函数的图象相切的直线的方程以及函数的渐近线方程，再利用两角差的正切公式以及数形结合思想求解. 8．（22-23高三下·河南洛阳·开学考试）已知函数，，若函数恰有2个零点，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题知，进而将问题转化为函数与函数的图象恰有2个公共点，再结合导数几何意义求解切线，数形结合求解即可. 【详解】解：由得， 由题意得，函数与函数的图象恰有2个公共点， 作出函数的图象，如图， 再作出直线，它始终过原点， 设直线与相切，切点为， 由知，切线斜率为，切线方程为， 把代入得， 所以切线斜率为， 设与相切，则， 所以，，解得舍去）， 由图可得实数m的取值范围是或. 故答案为： 【课后达标训练】【高考真题+模拟精选】 一、单选题 1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 3．（2019·全国·高考真题）已知曲线在点处的切线方程为，则 A． B． C． D． 4．（2020·全国III卷·高考真题）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 二、填空题 5．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 6．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 7．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ． 8．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）曲线在，两点处的切线分别为，，且，则 ；若，交点的横坐标为，则 ． 9．（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且为奇函数，记为的导函数，若，则在点处的切线方程为 ． 10．（2024·陕西·模拟预测）已知函数（）仅有一个零点，则实数a的值为 . 11．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数满足下列条件：①的定义域为；②是奇函数；③的图象不是直线；④曲线上的所有切线的斜率都大于1，则 .（写出一个符合所有条件的的解析式） 12．（2024·江西·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知曲线的一条切线与轴、轴分别交于，两点，则的面积的最大值为 ． 13．（2024·湖北·模拟预测）已知直线与曲线和都相切，倾斜角为α，直线与曲线和都相切，倾斜角为β，则取最小时，实数a的值为 . 14．（2024·重庆·模拟预测）已知，过函数与函数的公共点作的切线，若存在一条经过原点，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年2月26日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 答案 A D D D 1．A 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 2．D 【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果； 解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：    由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.    故选：D. 【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法. 3．D 【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得． 【详解】详解： ， 将代入得，故选D． 【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 4．D 【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线在曲线上的切点为，则， 函数的导数为，则直线的斜率， 设直线的方程为，即， 由于直线与圆相切，则， 两边平方并整理得，解得，（舍）， 则直线的方程为，即. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 5． 【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求 分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 解： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. 6． 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 7． 【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解. 【详解】由题意，，则， 所以点和点，, 所以， 所以， 所以， 同理, 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解. 8． 【分析】根据对数的运算性质化简函数的解析式，结合导数的几何意义、互相垂直的两直线的斜率的关系分类讨论进行求解即可. 【详解】由， 不妨设，切线，的斜率分别为，， 当时，则有，，此时， 显然， 因此不成立，不符合题意； 当时，则有，，此时， 显然，因此不成立，不符合题意； 当时，则有，，此时， 由可得， 此时切线，的切线方程分别为：，， 两个方程联立，得， 因此， 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对数运算性质化简函数的解析式，利用两直线垂直的斜率之间的关系进行求解. 9． 【分析】利用的奇偶性与对称性，得到的周期，结合，求出的值，再利用导数的奇偶性与周期性，结合，求出的值，则切线可求． 【详解】解：因为是定义在上的偶函数，且为奇函数， 所以，， 因此可得 可得，即周期为8，且， 对和分别求导可得，， 所以 ， 所以在点处的切线方程为：， 即． 故答案为：． 10．/ 【分析】令，则，则问题转化为函数与在上有1个交点，且交点在上，利用导数的几何意义求出与相切时的的值. 【详解】，令，则， ， 因为函数（）仅有一个零点， 所以函数与在上有1个交点， 因为与互为反函数，其图象关于直线对称， 所以函数与的交点在直线上， 所以当直线与和相切时，两函数图象只有一个交点， 设切点为，，， 所以，解得，， 所以当时，与在上有1个交点， 即函数（）仅有一个零点. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查导数的几何意义，解题的关键是将问题转化为函数与在上有1个交点，再转化为直线与和相切，考查数学转化思想，属于较难题. 11．(答案不唯一). 【分析】根据①②得出函数为定义域为R上的奇函数；根据④得出导函数的值域；根据③得到函数不是一次函数，再结合①得图象过原点，从而可写出满足题意的函数. 【详解】由②是奇函数可知，的图象关于对称；又由①的定义域为知，，由④曲线上的所有切线的斜率都大于1，即函数f(x)的导函数值域为(1,+∞)， 再结合③可知，因为的图象不是一条直线，所以不是一次函数， 故取，定义域为R，且， 所以为R上的奇函数，又， 当且仅当时，等号成立，又图象不是一条直线， 可知满足条件的一个函数可以为(答案不唯一). 故答案为：(答案不唯一) 12． 【分析】设切点，求导，切线方程，求出,,得到,构造函数求解最值. 【详解】设切点，，求导得，则切线方程， 由切线与轴、轴分别交于两点， 则,, 得到, 构造函数,， 求导， 令，， 所以，单调递增，，单调递减， 所以. 故答案为：. 13． 【分析】根据曲线的对称性得到，根据均值不等式得到当且仅当时取最小值，然后根据导数的几何意义和斜率列方程，最后解方程即可. 【详解】与关于对称， ，，当且仅当时取等号. 设与切点为，与切点为， ，， ，， . 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于根据反函数的特点得到曲线与的对称性，从而得到，然后再根据均值不等式和导数的几何意义求即可. 14．1 【分析】设与的一个交点坐标为，且过作的切线过原点，得出，求出切线方程及切线过原点得出，结合得出，即可计算出． 【详解】设与的一个交点坐标为，且过作的切线过原点， 则，即，， ，则， 所以过上一点的切线为， 由该切线过原点及得，， 所以，解得， 因为，所以， 又，所以， 则， 故答案为：1． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025高二下学期数学常考题型归纳(人教A版2019选择性必修二) 专题5.1.2导数的几何意义切线的常考题型归纳 【题型一:在某点处的切线方程..........................................................................】 【题型二:切线方程过某点...................................................................................】 【题型三:公切线问题...........................................................................................】 【题型四:利用切线求最值..................................................................................】 【题型五:切线方程与函数零点与交点的综合应用...........................................】 【题型一:在某点处的切线方程】 解题秘籍: ①求出切点的坐标 ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程 【例题精选】 1.(24-25高二下 河南 阶段练习)已知函数,则曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 2.(2024 陕西西安 三模)已知函数则在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 3.(2024 福建福州 模拟预测)已知函数是偶函数,当时,,则曲线在处的切线方程为( ) A. B. C. D. 【相似练习】 4.(2024 河北保定 三模)已知二次函数(且)的图象与曲线交于点P,与x轴交于点A(异于点O),若曲线在点P处的切线为l,且l与AP垂直,则a的值为( ) A. B. C. D. 5.(2024 山东济宁 三模)已知函数为偶函数,当时,,则曲线在点处的切线方程是( ) A. B. C. D. 6.(2024 海南海口 二模)已知函数的定义域为,是偶函数,当时,,则曲线在点处的切线斜率为( ) A. B. C.2 D. 7.(20-21高三上 内蒙古赤峰 期中)在平面直角坐标系中,若曲线(,为常数)过点,且该曲线在点处的切线与直线平行,则( ) A., B., C., D., 【题型二:切线方程过某点】 解题秘籍: 设切点为,则斜率,过切点的切线方程为:,∵过点,∴然后解出的值,有几个值,就有几条切线. 【例题精选】 1.(2024 山东 模拟预测)若过点可以作的三条切线,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.(2024 四川内江 模拟预测)若过点可以作两条直线与曲线相切,则下列选项正确的是( ) A. B. C. D. 3.(23-24高二下 福建福州 期中)若曲线 有且仅有一条过坐标原点的切线,则正数a的值为( ) A. B. C. D. 4.(2024 全国 模拟预测)若曲线(且)有两条过坐标原点的切线,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【相似练习】 5.(2019 湖北 一模)已知过点作曲线的切线有且仅有两条,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、填空题 6.(24-25高三上 广西 期中)已知函数,过点可作2条与曲线相切的直线,则实数的取值范围是 . 7.(2023 福建泉州 模拟预测)已知函数过点作曲线的切线,则切线的条数为 . 8.(2022 安徽合肥 二模)过平面内一点作曲线两条互相垂直的切线,,切点为,(,不重合),设直线,分别与轴交于点,,则 . 【题型三:公切线问题】 解题秘籍: ①设切点,②建立切线方程,③代入点到切线方程中,利用此时切点在切线且在曲线上,即同时满足方程: 解出切点坐标,从而写出切线方程. 【例题精选】 1.(2024 海南 模拟预测)若函数与的图象有且只有一条公切线,则实数的值为( ) A. B.1 C.2 D.4 2.(2024 湖南长沙 三模)斜率为1的直线与曲线和圆都相切,则实数的值为( ) A.0或2 B.或2 C.或0 D.0或1 二、填空题 3.(24-25高三上 山东聊城 阶段练习)一条直线与函数和的图象分别相切于点和点,则的值为 . 【相似练习】 4.(2022 山东潍坊 模拟预测)已知(e为自然对数的底数),,请写出与的一条公切线的方程 . 5.(2024 四川 模拟预测)若直线(为常数)与曲线,曲线均相切,则 . 6.(2024 陕西榆林 模拟预测)已知曲线与有公共切线,则实数a的最大值为 . 7.(2024 河北沧州 模拟预测)已知直线是曲线和的公切线,则实数a= . 【题型四:利用切线求最值】 解题秘籍: ①两个动点分别在一个函数图象和一条直线上.若两个动点分别在函数和直线上,那么当在点处的切线与直线平行时,到直线的距离. ②若两个动点分别在函数和函数上,那么当直线与直线平行时,且与相切,则切点到的距离. 【例题精选】 1.(2025 甘肃白银 模拟预测)已知是曲线上一点,则点到直线的最短距离为( ) A. B. C. D. 2.(2022 山东聊城 二模)实数满足:,,则的最小值为( ) A.0 B. C. D.8 3.(2021 四川成都 二模)已知P是曲线()上的动点,点Q在直线上运动,则当取最小值时,点P的横坐标为( ) A. B. C. D. 【相似练习】 4.(2024 全国 模拟预测)若函数,点是曲线上任意一点,则点到直线的距离的最小值为( ) A. B. C. D. 5.(23-24高二下 山东 阶段练习)已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称,若,分别为它们图象上的两个动点,则这两点之间距离的最小值为( ) A. B. C. D. 【题型五:切线方程与函数零点与交点的综合应用】 解题秘籍: 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解. 【例题讲解】 1.(24-25高三上 河南许昌 期中)已知函数,若至少有三个不同的零点,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.(2018 安徽合肥 一模)已知函数,若函数存在零点,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 3.(22-23高二下 天津河西 期末)已知函数有3个零点,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.(2024 全国 模拟预测)已知函数恰有一个零点,且,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【相似练习】 5.(23-24高三上 山东日照 期中)已知函数,点是函数图象上不同的两个点,则(为坐标原点)的取值范围是 . 6.(22-23高二下 重庆江北 期中)已知函数的图象与函数的图象有两个交点,则实数的取值范围是 . 7.(2023 广西南宁 一模)已知函数,点是函数图象上不同的两个点,设为坐标原点,则的取值范围是 . 8.(22-23高三下 河南洛阳 开学考试)已知函数,,若函数恰有2个零点,则实数m的取值范围为 . 【课后达标训练】【高考真题+模拟精选】 一、单选题 1.(2024 全国甲卷 高考真题)设函数,则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A. B. C. D. 2.(2021 新高考全国 卷 高考真题)若过点可以作曲线的两条切线,则( ) A. B. C. D. 3.(2019 全国 高考真题)已知曲线在点处的切线方程为,则 A. B. C. D. 4.(2020 全国III卷 高考真题)若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切,则l的方程为( ) A.y=2x+1 B.y=2x+ C.y=x+1 D.y=x+ 二、填空题 5.(2022 新高考全国 卷 高考真题)曲线过坐标原点的两条切线的方程为 , . 6.(2022 新高考全国 卷 高考真题)若曲线有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是 . 7.(2021 新高考全国 卷 高考真题)已知函数,函数的图象在点和点的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则取值范围是 . 8.(23-24高二下 江苏南通 阶段练习)曲线在,两点处的切线分别为,,且,则 ;若,交点的横坐标为,则 . 9.(2024 江西宜春 模拟预测)已知函数是定义在上的偶函数,且为奇函数,记为的导函数,若,则在点处的切线方程为 . 10.(2024 陕西 模拟预测)已知函数()仅有一个零点,则实数a的值为 . 11.(2024 四川绵阳 模拟预测)已知函数满足下列条件:①的定义域为;②是奇函数;③的图象不是直线;④曲线上的所有切线的斜率都大于1,则 .(写出一个符合所有条件的的解析式) 12.(2024 江西 模拟预测)在平面直角坐标系中,已知曲线的一条切线与轴、轴分别交于,两点,则的面积的最大值为 . 13.(2024 湖北 模拟预测)已知直线与曲线和都相切,倾斜角为 ,直线与曲线和都相切,倾斜角为 ,则取最小时,实数a的值为 . 14.(2024 重庆 模拟预测)已知,过函数与函数的公共点作的切线,若存在一条经过原点,则 . 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 1 学科网(北京)股份有限公司 $$