第五章《一元函数的导数及其应用》同步单元必刷卷（基础卷）-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

第五章：《一元函数的导数及其应用》同步单元必刷卷（基础卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．函数从到的平均变化率为（   ） A．2 B． C．3 D． 2．若直线是曲线在某点处的切线，则实数（    ）． A． B．1 C．2 D．3 3．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 4．若函数f（x）＝lnx－ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 5．已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，为的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 11．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．的图象在处的切线斜率大于0 B．的最大值为 C．在区间上单调递增 D．若有两个零点，则 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．曲线 在点处的切线方程为 . 13．函数的最大值为 ． 14．曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，研究函数在上的单调性和零点个数． 16．已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值． 17．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)证明：. 18．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 19．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章：《一元函数的导数及其应用》同步单元必刷卷（基础卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．函数从到的平均变化率为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据平均变化率定义求解即可. 【详解】函数从到的平均变化率为． 故选：B 2．若直线是曲线在某点处的切线，则实数（    ）． A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设切点，求导数利用已知建立方程组解出即可. 【详解】设切点为， 由， 得， 则①， 由题意得：， 联立①可得，， 故选：C． 3．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对函数求导，利用导数的几何意义结合垂直关系计算作答. 【详解】函数定义域为，求导得， 于是得函数的图象在点处切线的斜率， 而直线的斜率为，依题意，，即，解得， 所以. 故选：C 4．若函数f（x）＝lnx－ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解法1：f ′（x）＝－ax－2＝，由题意知f ′（x）<0有实数解，∵x>0，∴ax2＋2x－1>0有实数解．当a≥0时，显然满足；当a<0时，只要Δ＝4＋4a>0，∴－1<a<0，综上知a>－1． 解法2：f ′（x）＝－ax－2＝， 由题意可知f ′（x）<0在（0，＋∞）内有实数解． 即1－ax2－2x<0在（0，＋∞）内有实数解． 即在（0，＋∞）内有实数解． ∵x∈（0，＋∞）时，，∴a>－1． 考点：函数的单调性与导数的关系． 5．已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式可化为，利用导数分析函数的单调性，作函数，的图象，由条件结合图象列不等式求的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 不等式化为：． 令，，， 故函数在上单调递增，在上单调递减． 当时，，当时，， 当时，， 当时，，当，且时，， 画出及的大致图象如下， 因为不等式的解集中恰有两个不同的正整数解， 故正整数解为． 故， 即． 故. 故选：C. 6．函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可. 【详解】，则， 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，， 当，， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得， 故选：B. 7．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围. 【详解】∵球的体积为，所以球的半径, [方法一]：导数法 设正四棱锥的底面边长为，高为， 则，, 所以， 所以正四棱锥的体积， 所以， 当时，，当时，， 所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为， 又时，，时，, 所以正四棱锥的体积的最小值为， 所以该正四棱锥体积的取值范围是. 故选：C. [方法二]：基本不等式法 由方法一故所以当且仅当取到， 当时，得，则 当时，球心在正四棱锥高线上，此时， ，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是 8．设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项. 【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示：    由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示：    由图可知，，故. 综上所述，成立. 故选：D 【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，为的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据已知函数，求出导函数，依次代入验证各选项的正确性即可. 【详解】由已知得 ，故A正确： ，故B正确； ，而，所以不成立，故C错误； ，故D正确： 故选：ABD 10．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】AC 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 11．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．的图象在处的切线斜率大于0 B．的最大值为 C．在区间上单调递增 D．若有两个零点，则 【答案】ACD 【分析】利用函数的导数逐项判断求解即可. 【详解】由题得，则，故A错误； 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减， 所以的极大值即最大值为，故B正确，C错误； 令，则， 由知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以的极大值为，且当趋向于时，趋向于，当趋向于时，趋向于， 所以若有两个零点，则，即，故错误. 故选：ACD 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．曲线 在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】对求导，得到，利用导数的几何意义，得到切线的斜率为，即可求解. 【详解】易知函数定义域为， 因为，所以， 当时，，又当时，， 所以曲线在点处的切线方程为， 故答案为：. 13．函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】借助换元法令，可得，借助导数求取函数的单调性后，即可得解. 【详解】令，则，故， 令， 则， 当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 故， 即函数的最大值为. 故答案为：. 14．曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，研究函数在上的单调性和零点个数． 【答案】(1) (2)在上单调递增；1 【分析】（1）当时，求出，，从而可求出切线方程. （2）当时，利用导数求出在上单调递增．又，从而可求解. 【详解】（1）当时，， 则，则，， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）当时，，则， 当时，，，，则， 故在上单调递增． 又因为，所以在上的零点个数为． 16．已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，分别求出及，即可写出切线方程； （2）计算出，令，解得或，分类讨论的范围，得出的单调性，由在区间上的最小值为，列出方程求解即可． 【详解】（1）当时，，则，，所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即． （2），令，解得或， 当时，时，，则在上单调递减， 所以，考虑，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的极大值为，所以由得； 当时，时，，则在上单调递减， 时，，则在上单调递增， 所以，则，不合题意； 当时，时，，则在上单调递减， 所以，不合题意； 综上，． 17．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)证明：. 【答案】(1)答案见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）求导可得，分和两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性； （2）构建，，根据单调性以及零点存在性定理分析的零点和符号，进而可得的单调性和最值，结合零点代换分析证明. 【详解】（1）由题意可得：的定义域为，， 当时，则在上恒成立， 可知在上单调递减； 当时，令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）构建， 则， 由可知， 构建， 因为在上单调递增，则在上单调递增， 且， 可知在上存在唯一零点， 当，则，即； 当，则，即； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 又因为，则，， 可得， 即，所以. 18．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义即可求解. （2）求出导函数，分情况求解不等式和即可得解. 【详解】（1）当时，，， ，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）， 当，令得，由得，由得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为 当，令得， 当时，由得或，由得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，，所以的单调增区间为，无单调减区间； 当时，由得或，由得， 所以的单调增区间为和，单调递减区间为. 19．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求定义域，求导，分与两种情况，判断单调性即可； （2）将化简为，构造函数，并通过导数判断单调性得，然后参数分离得，最后通过导数求的最值即可. 【详解】（1）函数的定义域为，导函数为， 若，则，此时在单调递减； 若，令， 解得，其中， 由，得， 由，得， 所以在单调递减，在单调递增， 综上，当时，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增. （2）由，得，则， 即， 令，则， 因为在上单调递减， 所以，即，则， 令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以， 所以，即的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$