精品解析：重庆市第一中学2024—2025学年下学期八年级阶段性消化作业一开学考试数学

重庆一中初2026届初二下阶段性消化作业（一） 数学试题 （本试题共三个大题，26个小题，满分150分，时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 下列奥运会项目的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C D. 5. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 6. 如图，，，将绕点A逆时针旋转到，连接，若点D，C，B在同一条直线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 推进中国式现代化需夯实农业基础，振兴乡村．某合作社发展乡村水果网络销售，购进脐橙，收购单价为10元．已知运输和仓储中脐橙质量损失，为保证至少获得的利润，设销售单价为元，则可列不等式为（ ） A. B. C. D. 8. 若整数使得关于的方程的解为非负数，且使得关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数的和为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 已知单项式串：，，，，，，其中为非负整数，为正整数．规定： ，下列说法： ①若，则，； ②从单项式，，，，中任选个，存在种情况，使得其中两个单项式的积等于另外两个单项式的积； ③从单项式串中任取个相邻单项式，至少存在种情况，使得其中三个单项式的积等于另外三个单项式的积． 其中正确个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 10. 的立方根是__________． 11. 一个多边形的内角和与外角和的差为，这个多边形是____________边形． 12. 已知，则的值为______ 13. 如图，直线与的图像交于点，则关于，的二元一次方程组的解为__________． 14. 一次函数不经过第二象限，则的取值范围为_____________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，，把沿x轴向右平移至与相交于点G，连接，若点，则点F的坐标为______． 16. 如图，在等腰中，，，点是上一点，将沿折叠至，连接，且满足，则点到的距离为_______． 17. 若一个四位正整数满足千位数字与百位数字差等于十位数字与个位数字的差，且差为正数，则称其为“同差数”，最小的“同差数”为_______．交换的千位和十位数字得到的新数记为，去掉的十位和个位数字剩下的两位数记为，去掉的千位和百位数字剩下的两位数记为，若与的差为一个两位数且为完全平方数，除以余数为，则满足条件的的最大值为_____． 三、解答题：（本大题共8个小题，19题8分，20-26题每小题10分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 18. 计算： （1） （2）解方程组： 19. 分解因式 （1） （2） 20. 如图，在中，，，点为边的中点，交的延长线于点，连接． （1）用直尺和圆规作的平分线交于点（不写作图过程，保留作图痕迹）； （2）完成以下证明： 证明：∵，， ∴ ① 与， ∵是平分线，∴， ∵ ∴ ② ， ∴ ∴ ③ ∵点为的中点，∴ ④ ， 在和中， ∴ ∴ 21. 为全面落实立德树人根本任务，重庆某中学开展了“点滴成就文明，细节彰显风采”礼仪知识竞答活动．现从我校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞答成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于90分（成绩得分用表示，共分为五组：；；；；），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞答成绩为： 92，94，94，94，95，95，97，97，97，98，99，99，99，100，100，100，100，100，100，100． 八年级20名学生的竞答成绩在等级的数据是：97，97，98，98，98，98． 七、八年级抽取的学生竞答成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 97.5 98.5 八年级 97.5 99 八年级抽取的学生竞答成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述表中_____；____；_____； （2）根据以上数据，你认为我校七、八年级中哪个年级学生掌握礼仪知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）我校七年级有900名学生、八年级有800名学生参加了此次礼仪知识竞答活动，估计我校七、八年级学生参加此次竞答活动成绩高于96分的学生人数共有多少人？ 22. 当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售、两种配件．已知购进50件配件和125件配件需支出成本20000元；购进40件配件和40件配件需支出成本12400元． （1）求、两种配件的进货单价； （2）若该配件销售部门计划购进、两种配件共400件，配件进货件数不低于配件件数的3倍．据市场销售分析，配件提价16%销售，配件的售价是进价的．怎样安排、两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？ 23. 如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线方向运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向运动，到点后以每秒1个单位的速度沿方向运动，当两者相遇时停止运动，设运动时间为秒（），的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出面积大于6时，的取值范围． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与坐标轴交于，两点，点为轴正半轴上一点，且满足． （1）求直线的解析式； （2）如图2，过点的直线交线段于点，且满足，点为轴上一动点，求出点的坐标及的最大值； （3）在（2）的条件下，将点沿射线方向平移单位长度得到，若点是直线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 25. 在等腰中，，，点是边上的一个动点，连接． （1）如图1，若，，，求的长； （2）如图2，当，将绕点逆时针旋转至的位置，作关于所在直线的对称线段，连接，为的中点，连接． ①若，求证：； ②当最小时，请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中初2026届初二下阶段性消化作业（一） 数学试题 （本试题共三个大题，26个小题，满分150分，时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 根据无理数的定义依次判断即可． 【详解】解∶ A、0是整数，不是无理数，不符合题意； B、是分数，不是无理数，不符合题意； C、是开方开不尽的数，是无理数，符合题意； D、是整数，不是无理数，不符合题意； 故选：C． 2. 下列奥运会项目的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的性质，根据两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即关于原点对称点是，进而得出答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：A． 4. 若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、因为，所以，所以，故A不符合题意； B、因为，所以，故B符合题意； C、因为，所以，故C不符合题意； D、因为，所以，故D不符合题意． 故选：B． 5. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的大小估算，关键是正确掌握二次根式的运算法则．先根据二次根式的运算法则进行计算，再估算无理数的大小． 【详解】解： ， ， ， ， 故选：C． 6. 如图，，，将绕点A逆时针旋转到，连接，若点D，C，B在同一条直线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转性质，等腰三角形性质，三角形外角和内角和定理．根据题意可得，利用旋转性质得，继而可知，利用三角形内角和定理得，继而得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 7. 推进中国式现代化需夯实农业基础，振兴乡村．某合作社发展乡村水果网络销售，购进脐橙，收购单价为10元．已知运输和仓储中脐橙质量损失，为保证至少获得的利润，设销售单价为元，则可列不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据“运输和仓储中脐橙质量损失，为保证至少获得的利润”列出不等式即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 8. 若整数使得关于的方程的解为非负数，且使得关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数的和为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出a的取值范围．解出关于x的方程，根据解为非负数的条件，求出a的取值范围，解出关于y的一元一次不等式组，根据至少有3个整数解的条件，求出a的取值范围，找出所有符合条件的整数a的和． 【详解】解：由，可得． 关于的方程的解为非负数， ，解得． 解不等式组， 解得：． 一元一次不等式组至少有3个整数解， ． 综上可得． 可取的整数为：． 所有符合条件的整数的和为． 故选∶ D． 9. 已知单项式串：，，，，，，其中为非负整数，为正整数．规定： ，下列说法： ①若，则，； ②从单项式，，，，中任选个，存在种情况，使得其中两个单项式的积等于另外两个单项式的积； ③从单项式串中任取个相邻单项式，至少存在种情况，使得其中三个单项式的积等于另外三个单项式的积． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数与式的操作，单项式与单项式的乘法，代数式求值，熟练掌握整式的运算，并熟练根据题意正确进行式子的操作是解题的关键．先得出，分别令，，，依次求解即可判断①；由题意得，，，，，根据题意列出其中两个单项式的积等于另外两个单项式的积的情况即可判断②；先得出要使其中三个单项式的积等于另外三个单项式的积，那么个相邻单项式中的指数和为偶数，设个相邻单项式分别为，，，，，，得出的指数和为奇数，故可判断③． 【详解】解：①中， 由题意，得， 当时，， 则； 当时，， 则； 当时，， 则； 故①错误； ②中， 由题意得，，，，， 则任选个，使得其中两个单项式的积等于另外两个单项式的积的情况有： ； ； ； 共种情况， 故②正确； ③中， 对于不同的，当三个单项式的积等于另外三个单项式的积时， 即若，其中，，，，，为非负整数， 则， 则， 则， 则为偶数， 设个相邻单项式分别为，，，，，， 根据题意得，是奇数， 故从单项式串中任取个相邻单项式，不存在使得其中三个单项式的积等于另外三个单项式的积的情况， 故③错误； 综上所述，正确的有个， 故选：B． 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 10. 的立方根是__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 11. 一个多边形的内角和与外角和的差为，这个多边形是____________边形． 【答案】7##七 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和的公式，n变形内角和公式：，借助公式即可解出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得：， 解得：， 这个多边形是7边形， 故答案为：7． 12. 已知，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据所给式子的特征，得到，结合，求出，继而得到，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，分式有意义的条件，解题的关键是根据互为相反数的两个数作为被开方数求出x值． 13. 如图，直线与的图像交于点，则关于，的二元一次方程组的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图像与二元一次方程组的关系，一次函数的图像，熟练掌握一次函数的图像与二元一次方程组的关系是关键．根据函数图像交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解求解． 【详解】解：直线与的图像交于点， ． 点， 关于，的二元一次方程组的解为． 故答案为：． 14. 一次函数不经过第二象限，则的取值范围为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与的符号有直接的关系．需要特别注意不经过第二象限可能只经过第一、三象限．根据图象在坐标平面内的位置关系确定b的取值范围，从而求解． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限或者过第一、三象限， ∴且， 解得：． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，，把沿x轴向右平移至与相交于点G，连接，若点，则点F的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质． 由得到，是等腰直角三角形，进而证得是等腰直角三角形，设，则，由平移有，从而在中，根据勾股定理构造方程即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据平移可得， ∴， ∴， ∴ 设， ∴， ∵由平移可得， ∴在中，，即， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴点F的坐标为． 故答案为： 16. 如图，在等腰中，，，点是上一点，将沿折叠至，连接，且满足，则点到的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾服定理，三角形内角和定理，解决本题的关键是综合利用等腰三角形、三角形内角和定理、勾股定理等知识．过作于点，由折叠性质、折叠性质，等腰三角形的性质得，再设，用表示与，结合求出即可． 【详解】解：过作于点， 设，则， ，， ，， 由折叠知，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， 设， ，， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 17. 若一个四位正整数满足千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，且差为正数，则称其为“同差数”，最小的“同差数”为_______．交换的千位和十位数字得到的新数记为，去掉的十位和个位数字剩下的两位数记为，去掉的千位和百位数字剩下的两位数记为，若与的差为一个两位数且为完全平方数，除以余数为，则满足条件的的最大值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，列代数式，整式的加减，不等式的性质，熟练根据题意进行列式，并根据题意得出等式是解题的关键．根据题中定义即可得出最小的“同差数”；设，则，根据题意，得出，且，，，，，，列式求出，利用与的差为一个两位数且为完全平方数，结合，的取值范围得出，则可得，，则可表示为，利用除以余数为，结合分离整数法得出是的整数倍，结合，的取值范围得出或或，分别求解判断是否合理即可， 【详解】解：的千位数字最小为，百位最小为， 由千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，且差为正数， 则的十位数字最小为，个位最小为， 则最小的“同差数”为， 故答案为：； 设，则， 根据题意，得，且，，，，，， 则， 则，， 则， ∵与的差为一个两位数且为完全平方数， ∴，且是完全平方数， 又∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵除以余数为， ∴是整数， ∴是的整数倍， 由题意可得，， ∴， ∴或或， 结合，的取值范围， 当时，即， 解得：， 此时； 当时，即， 解得：（，舍）或， 此时； 当时，即， 解得：（，舍）； 综上所述，或，最大值为， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共8个小题，19题8分，20-26题每小题10分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 18. 计算： （1） （2）解方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算和解二元一次方程组，解题的关键是掌握实数的运算法则及正确应用解方程组时的消元思想． （1）原式利用算术平方根的性质、绝对值的代数意义和负整数指数幂进行计算即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 由得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 则方程的解为． 19. 分解因式 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）直接利用平方差因式分解即可； （2）先分组，利用完全平方公式对因式分解，再利用平方差公式因式分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，在中，，，点为边的中点，交的延长线于点，连接． （1）用直尺和圆规作的平分线交于点（不写作图过程，保留作图痕迹）； （2）完成以下证明： 证明：∵，， ∴ ① 与， ∵是的平分线，∴， ∵ ∴ ② ， ∴ ∴ ③ ∵点为的中点，∴ ④ ， 在和中， ∴ ∴ 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图、全等三角形的判定与性质．熟悉基本几何图形与掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）先根据等腰直角三角形的性质得到与，再根据角平分线的定义得到，接着利用得到，从而证明，即可得到． 【小问1详解】 如图，为所作． 【小问2详解】 ∵，， ∴与， ∵是的平分线，∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵点为的中点，∴， 在和中，， ∴ ∴． 21. 为全面落实立德树人根本任务，重庆某中学开展了“点滴成就文明，细节彰显风采”礼仪知识竞答活动．现从我校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞答成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于90分（成绩得分用表示，共分为五组：；；；；），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞答成绩为： 92，94，94，94，95，95，97，97，97，98，99，99，99，100，100，100，100，100，100，100． 八年级20名学生的竞答成绩在等级的数据是：97，97，98，98，98，98． 七、八年级抽取的学生竞答成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 97.5 98.5 八年级 97.5 99 八年级抽取的学生竞答成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述表中_____；____；_____； （2）根据以上数据，你认为我校七、八年级中哪个年级学生掌握礼仪知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）我校七年级有900名学生、八年级有800名学生参加了此次礼仪知识竞答活动，估计我校七、八年级学生参加此次竞答活动成绩高于96分的学生人数共有多少人？ 【答案】（1）30，100， （2）七年级学生掌握礼仪竞答较好，理由 （3）人． 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． （1）根据表格及题意可直接进行求解； （2）根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果； （3）由题意可得出参加此次掌握礼仪知识优秀的百分比，然后可进行求解； 【小问1详解】 解：根据七年级学生掌握礼仪知识可知：100出现次数最多，则， 八年级掌握礼仪知识竞答中A组：（人）， ∴八年级的中位数为第10、11个同学掌握礼仪知识竞答的平均数， 即B组第2、3个同学掌握礼仪知识竞答的平均数， B组所占百分比为，则， 故答案为：30，100，； 【小问2详解】 解：七年级学生掌握礼仪知识竞答较好，理由： 七、八年级的平均分均为分，七年级的中位数高于八年级的中位数，整体上看七年级学生掌握礼仪知识较好； 【小问3详解】 解：七年级抽取的学生中有人高于分，八年级抽取的学生中有的学生高于分， （人）， 答：该校七、八年级参加此次安全知识掌握礼仪知识竞答成绩高于96分的学生人数约是人． 22. 当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售、两种配件．已知购进50件配件和125件配件需支出成本20000元；购进40件配件和40件配件需支出成本12400元． （1）求、两种配件的进货单价； （2）若该配件销售部门计划购进、两种配件共400件，配件进货件数不低于配件件数的3倍．据市场销售分析，配件提价16%销售，配件的售价是进价的．怎样安排、两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）配件的进货单价为250元，B配件的进货单价为60元 （2）购进A配件100件，B配件300件获得利润最大，最大利润为10000元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式． （1）设配件的进货单价为x元，B配件的进货单价为y元，根据购进50件配件和125件配件需支出成本20000元；购进40件配件和40件配件需支出成本12400元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购进A配件件，则购进配件件，获得的利润为w元，得出，根据配件进货件数不低于配件件数的3倍，求出，根据一次函数增减性求出结果即可． 【小问1详解】 解：设配件的进货单价为x元，B配件的进货单价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：配件的进货单价为250元，B配件的进货单价为60元； 【小问2详解】 解：设购进A配件件，则购进配件件，获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵配件进货件数不低于配件件数的3倍， ∴， 解得：， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，获得利润最大，且最大利润为：（元）， 此时需要购进A配件100件，B配件300件． 23. 如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线方向运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向运动，到点后以每秒1个单位的速度沿方向运动，当两者相遇时停止运动，设运动时间为秒（），的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出面积大于6时，的取值范围． 【答案】（1） （2）图象见详解，该函数的一条性质为：当时，y随x的增大而增大 （3） 【解析】 【分析】本题考查了动点问题，一次函数的图象与性质，正确理解动点问题是解题的关键． （1）当E在，F在上运动时，，则，利用即可求解，当E、F在上运动时，，则，，因此，利用即可求解； （2）结合（1）中求解的函数解析式即可画出其图象，进而求解； （3）观察函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， 当E在，F在上运动时，， 则， ， 当E、F在上运动时，， 则，， ， ， 综上所述：； 【小问2详解】 由（1）可得： 该函数的一条性质为：当时，y随x的增大而增大； 【小问3详解】 若面积大于6，则 当 时，， 解得， 当时， ， 解得， 综上所述：的取值范围为． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与坐标轴交于，两点，点为轴正半轴上一点，且满足． （1）求直线的解析式； （2）如图2，过点的直线交线段于点，且满足，点为轴上一动点，求出点的坐标及的最大值； （3）在（2）的条件下，将点沿射线方向平移单位长度得到，若点是直线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2），的最大值为 （3）点N的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由直线分别与坐标轴交于，两点，可得点，的坐标，根据题意，得，可得点C的坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）设直线交y轴于点E，设点，由点A、D的坐标可求得直线的表达式，进而可求出，根据题意，可得，解得，即点，再结合即可求出的最大值； （3）过点D作，连接，过点D、分别作x轴与y轴的平行线，两线交于点E，过点D、分别作y轴与x轴的平行线，两线交于点F，交y轴于T；分两种情况： 当点N在直线下方的点时；当点N在直线上方的点时，构造正方形，利用正方形的性质、全等三角形的性质及待定系数法、解二元一次方程组即可求解． 【小问1详解】 解：直线分别与坐标轴交于，两点，则点，的坐标分别为、， ，则， 即点， 设直线的解析式为； 把点C的坐标代入得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线交y轴于点E，设点， 由点A、D的坐标得，直线的表达式为， 则点， 则， ， ， 即， 解得， 即点； 如图2，作点D关于y轴的对称点P，连接并延长交y轴于点N，连接 则，， ∴， 当点Q与点N重合时，取得最大值，且最大值为线段的长； 由勾股定理得； 的最大值为； 【小问3详解】 解：过点D作，连接，过点D、分别作x轴与y轴的平行线，两线交于点E，过点D、分别作y轴与x轴的平行线，两线交于点F，交y轴于T，如图： 当点N在直线下方的点时， ∵， ∴， ∵， ∴直线与x轴所夹的锐角为， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由题意知， ∴， 由辅助线作法知，四边形是正方形，其边长为2； 设交于H，交于点M，连接； 由题意知，， ∴； 把绕点逆时针旋转得到， 易得点K在延长线上，，，， ∴， ∵公共， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得：； 由题意 设直线的解析式为，把B、坐标代入得， 解得，即直线的解析式为； 则，，； ∵， ∴由，有 解得：； ∴， ∴； 由待定系数法求得直线的解析式为：， 由，得，则， 即； 当点N在直线上方的点时，如图，延长到P，使，连接交直线于点； ∵， ∴， ∴， ∴， 则点是满足题意的点； 与前一情况类似，得， ∴； ∵， ∴，， ∴； 设直线解析式为， 则有，得， 即直线解析式为， 令，解得：， 则， ∴， 综上，点N的坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数的解析式的求法，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握一次函数的性质、构造正方形证明全等三角形是解题的关键． 25. 在等腰中，，，点是边上的一个动点，连接． （1）如图1，若，，，求的长； （2）如图2，当，将绕点逆时针旋转至的位置，作关于所在直线的对称线段，连接，为的中点，连接． ①若，求证：； ②当最小时，请直接写出此时的值． 【答案】（1） （2）①证明见解析； ② 【解析】 【分析】（1）求出，根据含的直角三角形可得结论； （2）①过点作于点，在上截取线段，使得．证明，再证明，再证明，得可得结论； ②连接，过点作于点，取的中点，连接，，．证明，推出，推出，推出点在线段的垂直平分线上运动，推出，当点落在上时，的值最小，此时是顶角为的等腰三角形，计算即可． 【小问1详解】 解：，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：①过点作于点，在上截取线段，使得，如图， ，， ， ， ， ， ，， ， 设，， 则，，， ， ，为的中点， ∴，， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， ； ②如图，连接，过点作于点，取的中点，连接，，． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上运动， ， ， 当点落在上时，的值最小，此时如图， ，， 是等边三角形， ， ， 由对称得， ， ， 平分，， 为的中点， 点即为与交点，即， ， ∴，， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质，二次根式，勾股定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $