云南省保山市腾冲市第八中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试卷

5 腾冲市第八中学2024--2025学年下学期高一开学考试 数学试卷 时间：120分钟 分数：150分 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚。 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是的中点.若，则（    ） A． B． C． D． 3．定义在上的偶函数满足：且，都有，设则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是（ ） A． B．0 C． D．2 5．若函数（，，）的部分图象如图，则函数图象的一条对称轴方程可能为（　　）. A． B． C． D． 6．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为　　 A． B． C． D． 7．设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 二、多选题（每题6分，18分） 9．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．“”是“”的充要条件 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 10．下列选项正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．函数图象的对称中心为， C．命题“，”的否定是， D．函数的零点所在的区间是 11．对都有，且．则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C． D． 三、填空题（15分） 12．折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设，，则扇面（图中扇环）部分的面积是 .      13．函数的单调递增区间是 ． 14．已知实数x，y满足，，则 . 四、解答题（77分） 15．（13分）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长. 16．（15分）如图，圆心角为的扇形的半径为2，C是弧AB上一点，作矩形，且点D在半径上，点E，F在半径上．记. (1)用表示四边形的面积. (2)当四边形的面积取得最大值时，角得取值是多少？最大面积是多少？ 17．（15分）已知函数. (1)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)判断函数的奇偶性，并用定义证明； (3)利用函数的单调性和奇偶性，解不等式. 18．（17分）文化自信，服装先行，近年来汉服文化成为了一种时尚的潮流，“汉服热”的本质是对中华民族传统文化的自觉、自知、自信.内育文化强底气，外引项目强经济，汉服体验项目的盛行也带动了文化古镇的经济发展.近30天，某文化古镇的一汉服体验店，汉服的日租赁量P（件）与日租赁价格W（元/件）都是时间t（天）的函数，其中，.每件汉服的日综合成本为20元. (1)写出该店日租赁利润Y与时间t之间的函数关系； (2)求该店日租赁利润Y的最大值.（注：租赁利润＝租赁收入－租赁成本） 19．（17分）已知函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数． (1)证明； (2)求函数的零点； (3)解关于的不等式： 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B A D B B BD ACD 题号 11 答案 BC 1．B 【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】由，得到，即， 又，所以， 故选：B. 2．C 【分析】根据平面向量的线性运算可得答案. 【详解】因为是的中点，，， 所以 . 故选：C. 3．A 【分析】先判断函数的单调性，再利用偶函数和对数和指数的运算性质比较即可； 【详解】因为定义在上的偶函数，且，都有， 所以在上单调递增，， ， 又因为，所以， 即. 故选：A. 4．B 【分析】由幂函数的性质求解即可； 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或， 又因为该函数在上为增函数，所以， 故选：B. 5．A 【分析】利用函数的图象求得其解析式，再判断即可. 【详解】由题意得，， 即， 把点代入方程可得， 所以，，即，， 因为，所以， ， 因为， 经检验，其他选项都不满足，所以函数的一条对称轴方程为， 故选：A． 6．D 【解析】根据函数的图象变换规律即可得解，注意三角函数的平移原则为左加右减上加下减． 【详解】解：将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到的图象对应的解析式为， 再将所得图象向左平移个单位， 则所得函数图象对应的解析式为， 故选：． 【点睛】本题主要考查函数的图象变换，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，属于基础题． 7．B 【分析】根据的图象经过的点及范围求出，再根据的范围得，结合正弦函数的性质，列出相应不等式，即可解得范围，即可得答案. 【详解】因为的图象经过点，所以. 又，所以，则函数，， 当时，， 因为在上恰有2个零点，所以， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 8．B 【分析】由题意先得，接着由和得，再结合对数运算性质解不等式即可得解. 【详解】由题，，所以， 又由题当时，，即， 所以，令即即， 解得，故， 所以学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为73. 故选：B. 9．BD 【分析】由不等式的性质判断选项A；由正弦函数的单调性判断选项B；由不等式的性质和充要条件的定义判断选项C；由函数定义域的求法判断选项D. 【详解】对于A：，当，有，所以A错误； 对于B：正弦函数在上单调递增，，可得，所以B正确； 对于C：时满足，时不能得到，“”是“”的充分不必要条件，所以C错误； 对于D：函数的定义域为，由，得，则函数的定义域为，所以D正确． 故选：BD． 10．ACD 【分析】利用充分不必要条件定义判断A；求出对称中心判断B；由存在量词命题的否定判断C；由零点存在性定理判断D. 【详解】对于A，由，得或，则是的充分不必要条件，A正确； 对于B，由，得，函数图象的对称中心为，，B错误； 对于C，命题，的否定是命题，，C正确； 对于D，在上单调递增，，， 函数的零点所在的区间是，D正确. 故选：ACD 11．BC 【分析】利用赋值法可判断A；利用赋值法与奇偶函数的定义可判断B；利用赋值法与为偶函数可判断C；利用周期为2，，，计算即可判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为， 令，，则， 又，所以， 令，则， 即，所以，故A错误； 对于B，因为函数的定义域为， 令，得， 所以，所以为偶函数，故B正确； 对于C，令，又，则， 则，则， 两式相减得， 又为偶函数，即， 所以，故C正确； 对于D，由C知，则周期为2，，又， 所以，故D错误. 故选：BC. 12． 【分析】利用扇形的面积公式求解，用大扇形的面积减去小扇形的面积即可. 【详解】由题可知，，，所以扇形的面积， 扇形的面积，所以扇面的面积. 故答案为：. 13． 【分析】先求得函数的定义域,根据复合函数的单调性同增异减,即可求得答案. 【详解】 函数, , 解得: , 函数的定义域为: 根据对数函数可知:是增函数, 令 根据二次函数图像可知:当时,函数是单调递增 根据复合函数单调性同增异减可知: 当满足:,单调递增. 解得: 故答案为:． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性,解题关键是掌握复合函数单调性的判断方法,对函数的内层和外层分别判断,即可得出单调性,注意定义域的要求,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 14．/ 【分析】利用指数与对数运算，结合函数的单调性即可求解． 【详解】因为，所以， 又，所以， 即， 即有， 因为函数在上为增函数， 所以，所以． 故答案为：． 15．(1)； (2). 【分析】（1）应用二倍角正弦公式及三角形内角的性质有，即可确定角的大小； （2）由已知及三角形面积公式可得，再应用余弦定理可得，即可得周长. 【详解】（1）由，得，即且，则. （2）因为，所以，解得， 由余弦定理得， 所以，所以的周长为. 16．(1) (2)最大值，． 【分析】（1）结合图形，由几何关系和三角函数表示边长计算即可； （2）由二倍角的正余弦公式结合辅助角公式和正弦的值域计算即可； 【详解】（1），，， 所以， 矩形面积 （2） ，， 当即，即为弧的中点时， 取最大值，此时． 17．(1)在上的单调递增，证明见解析； (2)奇函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）任取，，且，用作差法判断的大小，即可证结论； （2）根据奇偶性定义证明函数的奇偶性； （3）根据（1）（2）结论，不等式可化为，解不等式求解集. 【详解】（1）因为函数，在上单调递增，故在上的单调递增. 证明如下：任取，，且， 则 ， 因为，所以，， 所以，即，即在上单调递增. （2）函数，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数. （3）由，得， 即，又，， 由（1）知在上单调递增，所以，所以， 所以不等式的解集为. 18．(1) (2) 【分析】（1）按照“租赁利润＝租赁收入－租赁成本”可以写出利润Y与时间t之间的函数关系； （2）应用二次函数性质与对勾函数性质分段求出最大值，再比较两值大小即可得到利润Y的最大值. 【详解】（1）解：依题意可知，， 即 （2）解：因为， 所以当时，， 所以当时； 当时， ， 当且仅当,， 即时等号成立，而， 由对勾函数性质可知在单调递减， 所以当，即时，， 又因为， 所以当时，该店日租赁利润Y的最大值为. 19．(1)证明见解析； (2)； (3)； 【分析】（1）利用指数幂的运算证明； （2）由，令，得到求解； （3）由，，原不等式可化为求解. 【详解】（1）因为， ， ， 所以； （2）因为， 令，则， 即，解得或， 又，所以，于是， 整理得，于是， 解得， 所以函数的零点为 （3）因为， ，， 所以原不等式可化为， 于是，整理得，， 也即（舍去）或，则 不等式的解集为； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$