精品解析：江苏省南通市如皋市2024-2025学年高一上学期期末数学试题

2024—2025学年度高一年级第一学期期末教学质量调研 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求出两个集合的解集，再根据集合的运算可求出结果. 【详解】对于不等式，解得， 所以， 对于不等式，即，解得， 所以， 所以. 故选：B. 2. 已知函数则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数的性质结合特殊角的余弦值求解即可； 【详解】由分段函数的定义域可得，， 所以. 故选：C 3. 已知扇形的圆心角为，面积为4，则扇形的周长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求出扇形的半径和弧长，即可求得答案. 【详解】设扇形的半径为r，则， 则扇形的弧长为，故扇形周长为， 故选：B 4. （ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数幂以及对数的运算法则，即可求得答案. 【详解】， 故选：C 5. 函数，则的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用换元法求出函数的解析式，判断函数单调性，结合零点存在定理，即可求得答案. 【详解】令，则化为， 即，该函数在上单调递增， ，， 即， 故的零点所在的区间为. 故选：D 6. 已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数的单调性结合不等式求出，再由同角的三角函数和二倍角的正弦计算即可； 【详解】由题意可得，解得，又，所以，所以， ，所以， 所以， 所以，即， 因为，，所以， 所以，所以. 故选：A. 7. 定义在R上的函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的单调性结合对数的运算和三角函数的单调性可得. 【详解】由题意，在上单调递减， 又，而，即 故. 故选：B 8. 有一块半径为2（单位：cm）的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．该等腰梯形的周长y（单位：cm）的最大值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】作于E,连接，易证∽，设，将梯形各边表示出来，得到周长的函数关系式，即可求得结果. 【详解】 如图,作于E，连接， 因为为直径，所以， 在与中,， 所以∽， 所以，即. 设，所以， 所以， 于是， 由于，所以， 解得. 故所求的函数为. 当时，有最大值10. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的有（ ） A. “”是“”的既不充分也不必要条件 B. 函数的单调递减区间为 C. “，”是“”的充分不必要条件 D. 函数的最小值为5 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，注意到，同时成立，由此即可判断A正确；对于B，注意到复合函数定义域即可判断B错误；对于C，从两个方面说明即可；对于D，由平方关系、基本不等式即可判断. 【详解】对于A，注意到同时有，，这表明“”是“”的既不充分也不必要条件，故A正确； 对于B，当时，无意义，故B错误； 对于C，一方面：当，时，， 另一方面：注意到，但不是的整数倍， 故“，”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，函数，由于，故D错误. 故选：AC. 10. 通过等式（，）我们可以得到很多函数模型，例如将a视为自变量x，b视为常数，那么c就是a（即x）的函数，记为y，则，也就是我们熟悉的幂函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．若令，（e是自然对数的底数），将a视为自变量x（，），则b为x的函数，记为，下列关于函数的叙述中正确的有（ ） A. B. ， C. 若，且m，n均不等于1，，则 D. 若对任意，不等式恒成立，则实数m的值为0 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据题意得出的解析式，根据计算易于判断A，B两项，对于C项，可根据已知推出，结合基本不等式判断；对于D项，则需要等价转化，运用参变分离法，分区间讨论得出的范围进行判断. 【详解】由题意知，则， 对于A，，A正确； 对于B，，，不妨取，则，B错误； 对于C，，且m，n均不等于1， 由得，即，结合可知， 则，故， 当且仅当，即时等号成立，C正确； 对于D，当时，，则由恒成立， 得恒成立，即恒成立， 令，则， 设，由于在上单调递减，故， 则，故； 当时，，结合题意可知得恒成立， 即恒成立， 此时令，同理可得， 由于在上单调递增，在上单调递减， 故，则，故， 综合上述可知m的值为0，D正确， 故选：ACD 11. 对于函数（），下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数在上有且只有一个零点 B. 若函数在单调递增，则的取值范围为 C. 若函数在时取最小值，在时取最大值，且，则 D. 将函数图象向左平移个单位得到的图象，若为偶函数，则的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦函数的单调性可得A、B正确；由正弦函数的周期和诱导公式可得C错误；由图象平移结合偶函数的性质可得D正确. 【详解】对于A，当时，， 令，则， 当，为正弦函数的递减区间，此时， 所以有解，且只有一个零点，故A正确； 对于B，， 因为单调递增，所以，解得， 又，所以，故B正确； 对于C，由题可得，所以，故，此时， 令，则， 故，所以，故C错误； 对于D，， 若为偶函数，则，解得， 所以当时，的最小值为2，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题“，使得”为假命题，则实数a的范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知得到真命题，结合二次函数的单调性求解即可； 【详解】由题意可得命题“，使得”真命题， 即在上有解， 令，，则， 在为减函数，所以， 所以，即实数a的范围为. 故答案：. 13. 已知，且，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得的值，再结合诱导公式可求得所求代数式的值. 【详解】∵，∴， ∵，∴． 所以 ∴. 故答案为： 14. 若正实数x，y满足，则的最小值________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知等式变形，得到，再由基本不等式求解即可； 【详解】因为，变形为， 令，该函数为R上的增函数，则， 可得，即， 所以，则，当且仅当， 即时取等号. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够利用已知等式变形后观察两边为对称形式，构造函数，利用单调性得到. 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若的解集为，求a，b的值； （2）若方程在上有解，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意确定为的两个根，由韦达定理即可求解； （2）将原问题转化为在上有解，换元后结合二次函数性质即可求解. 【小问1详解】 由的解集为，可知为的两个根， 故，解得； 【小问2详解】 方程在上有解，即在上有解， 即在上有解， 令，则， 故实数a的取值范围为. 16. 已知函数为奇函数． （1）求实数a的值并指出函数的单调性（不需证明）； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）；函数在上单调递增 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质可得实数a的值，再由复合函数的单调性可得判断的单调性； （2）由函数的单调性解抽象函数不等式，再利用换元法结合对数的运算对讨论即可； 【小问1详解】 因为函数为奇函数，定义域为， 所以， 此时，，满足题意， 函数在上单调递增， 因为在单调递增，在上单调递减，上单调递增， 所以在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）可得函数在上单调递增， 所以， 即， 令，即，即， 当时，，即，因为恒成立，所以解得， 当时，，即，解得； 当时，，解集为空集； 当时，，即，解得； 综上，当时, 不等式的解集为; 当时，不等式的解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 17. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式及单调递减区间； （2）将函数的图象向右平移，再向上平移m（），得到函数的图象．若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由图象结合正弦函数的周期，最值，单调递减区间可得； （2）由图象平移得到，再将问题转化为当时，恒成立，然后结合正弦函数的单调性求解即可； 【小问1详解】 由图象可得，， 所以，所以， 又，所以， 又，所以，所以， 令，可得， 所以单调递减区间为. 【小问2详解】 ， 因为对任意的，都有成立，即当时，恒成立， 由可得，此时， 由可得，此时， 所以，解得. 18. 如图，在直角坐标系中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，过O作射线交的延长线于点Q，使得，记，，且． （1）若，求的值； （2）已知函数，，记的最小值为．若，求m的值及此时的最大值． 【答案】（1） （2）；此时的最大值为 【解析】 【分析】（1）由同角的三角函数关系求出，再由三角函数定义确定点坐标，再由面积关系得到点，然后由三角函数定义求出，最后结合诱导公式化简； （2）由同角的三角函数关系结合正弦函数的值域和换元法，利用二次函数的性质讨论对称轴的范围得到，从而可得. 【小问1详解】 ，，则， 由三角函数的定义可得， 又，即，得， 所以， 所以， 【小问2详解】 ， 设，，则， 所以原函数化为，对称轴为， 当时，； 当时，； 当时，， 综上，， 因为， 所以，解得； 或，解得（舍）或（舍）， 或，解得（舍）， 所以， 此时，，对称轴为， 所以当时，， 即此时的最大值为. 19. 已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． （1）求函数，的解析式； （2）求函数的值域； （3）若（）在上有三个零点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性，即可求解； （2）化简可得的表达式，结合对数函数的单调性即可求得值域； （3）化简得到解析式，讨论脱去绝对值符号，继而讨论a的取值范围，判断函数的单调性，结合题意列出相应不等式组，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知，。 因为函数为奇函数，为偶函数， 故，， 可得，； 【小问2详解】 对于，当时，， 则，此时 。 由于，则； 当时，，，则， 当时，， 则，此时 ， 由于，则； 综合上述可知； 【小问3详解】 ， 当时，， 当时，，， 当时，，故在上单调递增，在上单调递减， 要满足题意，需满足，其中， 即，解得； 当时，，在上不可能有三个零点； 当时，，故在上单调递增，在单调递减， 要满足题意，需满足，其中， 由于，故解集为； 综合以上可得实数a的取值范围为. 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第三问，解答时要注意分类讨论脱去绝对值符号，进而判断函数的单调性，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度高一年级第一学期期末教学质量调研 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 3. 已知扇形的圆心角为，面积为4，则扇形的周长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 4. （ ） A. B. 3 C. D. 5. 函数，则的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 定义在R上函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 有一块半径为2（单位：cm）半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．该等腰梯形的周长y（单位：cm）的最大值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 10 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的有（ ） A. “”是“”既不充分也不必要条件 B. 函数的单调递减区间为 C. “，”是“”的充分不必要条件 D. 函数的最小值为5 10. 通过等式（，）我们可以得到很多函数模型，例如将a视为自变量x，b视为常数，那么c就是a（即x）的函数，记为y，则，也就是我们熟悉的幂函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．若令，（e是自然对数的底数），将a视为自变量x（，），则b为x的函数，记为，下列关于函数的叙述中正确的有（ ） A. B. ， C. 若，且m，n均不等于1，，则 D. 若对任意，不等式恒成立，则实数m的值为0 11. 对于函数（），下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数在上有且只有一个零点 B. 若函数在单调递增，则的取值范围为 C. 若函数在时取最小值，在时取最大值，且，则 D. 将函数图象向左平移个单位得到的图象，若为偶函数，则的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题“，使得”为假命题，则实数a的范围为________． 13. 已知，且，则___________. 14. 若正实数x，y满足，则的最小值________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若的解集为，求a，b的值； （2）若方程在上有解，求实数a的取值范围． 16. 已知函数为奇函数． （1）求实数a的值并指出函数的单调性（不需证明）； （2）解关于x的不等式． 17. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式及单调递减区间； （2）将函数的图象向右平移，再向上平移m（），得到函数的图象．若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围． 18. 如图，在直角坐标系中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，过O作射线交的延长线于点Q，使得，记，，且． （1）若，求的值； （2）已知函数，，记的最小值为．若，求m的值及此时的最大值． 19. 已知函数奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． （1）求函数，的解析式； （2）求函数值域； （3）若（）在上有三个零点，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $