精品解析：河北省NT20名校联合体2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

NT20名校联合体高二年级开学考试 数学 考试说明： 1.本试卷共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程可得其斜率，根据斜率与倾斜角的关系，可得答案. 【详解】因为该直线的斜率为，所以倾斜角为. 故选：C. 2. 已知圆，圆，则这两个圆的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由圆的方程表示出圆心与半径，求得圆心距以及半径的和差，并进行比较，可得答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的方程可化为， 圆的圆心为，半径为， 圆心距， 因为，，， 所以两个圆位置关系是相交，公切线共有2条. 故选：B. 3. 在等差数列中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用等差数列的项的性质及通项公式基本量运算即可求解. 【详解】因为数列为等差数列，且，得， 所以，所以. 故选：A. 4. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据焦点弦的性质结合，得出，根据图形特征得出即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 设直线的倾斜角为，作垂直于点，作垂直于点，过作的垂线交于点， 因为， 所以， 同理， 因为，那么，解得， 所以，， 所以是的中位线，所以. 故选：C. 5. 在正项等比数列中，若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项的等式，化简方程，可得答案. 【详解】因为为等比数列，所以， 故， 所以，又，所以. 故选：C. 6. 已知双曲线上两点，关于轴对称，为双曲线的左顶点，若直线和直线的斜率之积为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，通过可得，进而可求得离心率. 【详解】设，，为双曲线的左顶点，所以， 那么， 又点在双曲线上，所以，得， 代入中，得， 所以，所以. 故选：D. 7. 已知长方体中，，，向量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意建立空间直角坐标系，利用空间向量线性运算的坐标表示，可得答案. 【详解】以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 因为， 因为，那么， 所以， 所以、、、四点共面， 由得，解得， 所以的最小值为. 故选：B. 8. 已知数列的前项和为，且，则的值为（ ） A. 3123 B. 3125 C. 3127 D. 3129 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的递推公式可得，再利用构造法求出通项，利用并项求和法求和. 【详解】数列中，，，， 则，数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 于是，则，， 所以. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算模长判断A，应用向量加法及数量积判断B，根据投影向量的公式判断C，应用夹角余弦公式判断D. 【详解】，故A正确； ，，故B不正确； 在上的投影向量，故C正确； ，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知直线与圆交于，两点，则（ ） A. 过定点 B. 面积的最大值为25 C. 的最小值为 D. 的中点的轨迹所形成的图形的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】计算直线定点判断A，结合圆的标准方程计算三角形面积范围判断B，应用几何法求弦长最小值判断C，得出的轨迹判断D. 【详解】直线，即，由，解得，，可得直线恒过定点，故A正确； 圆，即， 所以圆心为，半径，面积为，故B错误； 直线恒过定点，且在圆内，，则的最小值为，故C正确； 因为，所以的轨迹是以为直径的圆，半径为，面积为，故D不正确. 故选：AC. 11. 伟大的古希腊哲学家阿基米德最早用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍.已知椭圆的右顶点为，上顶点为B，、是椭圆的左、右焦点.为椭圆上的动点.则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的面积为 B. 若内切圆的面积为，则 C. 椭圆上存在6个点，使得为直角三角形 D. 若点在第一象限，则四边形面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程可得的值，由题意可得A的正误；由三角形内切圆面积求得其半径，根据椭圆焦点三角形面积的二级结论，可得B的正误；求当动点在上下顶点处的夹角，则夹角最大值是锐角，故可得动点只可在过焦点与轴的垂线上，可得C的正误；利用三角函数设出动点坐标，利用坐标求得面积，可得D的正误. 【详解】由椭圆可知：，，所以椭圆的面积为，故A正确； 因为内切圆的面积为，则半径为，由， 知，所以，故B正确； 当位于短轴顶点时，此时，故为锐角， 因此椭圆上存在四个点，使得为直角三角形，故C不正确； 设，则， 所以四边形面积的最大值为，故D正确， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与直线垂直，则_____. 【答案】或 【解析】 【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，，即，解得或. 故答案为：或. 13. 已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得数列的单调性，利用分段函数的单调性，可得答案. 【详解】对任意的，都有， 数列单调递增， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 在正方体中，棱长为6，点在棱上，，为的中点，若动点在平面内运动，且满足，则点的轨迹所形成的面积为_____；三棱锥体积的最大值为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出点的轨迹方程即可求得面积；求出平面的法向量，利用空间点到平面距离的向量求法列式求出最大值，进而求得体积最大值. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由点在平面内，设，由， 得，化简得， 因此点轨迹是以为圆心，为半径的圆，面积为； 在正方体中，，， ，设平面的一个法向量， 则，取，得，， 到平面的距离为，而， 因此点到平面的距离的最大值为， 所以三棱锥体积的最大值为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，. （1）求线段的垂直平分线的方程； （2）若点关于的对称点为点，过作圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由已知点求得线段中点与直线斜率，根据直线垂直可得中垂线斜率，可得答案. （2）由配方法整理圆的一般方程，可得圆心与半径，由题意求得对称点，分斜率存在与不存在两种情况，设出直线方程，利用切线的性质及点线距离公式，可得答案. 【小问1详解】 由题意可知的中点为， 直线的斜率，所以的中垂线的斜率为， 所以的垂直平分线的方程为， 化简得. 【小问2详解】 依题意，圆，则圆心，半径， 设点关于的对称点为， 则线段的中点，直线的斜率， 可得，解得，则点， 若直线的斜率不存在，即直线的方程为，此时直线与圆相切，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 故圆心到直线的距离，解得， 此时直线方程为，即 综上所述，直线的方程为或. 16. 已知正项数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）数列满足，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用之间的关系式，结合等差数列的通项公式计算即可； （2）运用裂项相消法计算即可求解. 【小问1详解】 因为， 当时，，解得， 当时，， 两式作差得， 则， 因为，所以，， 所以是以2为首项，2为公差的等差数列，； 小问2详解】 由（1）知， ， 所以 . 17. 如图1，在直角梯形中，，，.将沿折起，使，连接，得如图2的几何体. （1）求证：平面平面； （2）若是线段上靠近的三等分点，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定定理得出线面垂直进而得出面面垂直； （2）建立空间坐标系，先求出法向量，再应用空间向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 证明：在直角梯形中，设，，则 ，所以， 因为，平面，所以平面， 平面，所以平面平面； 【小问2详解】 由（1）知平面，平面，所以平面平面. 又因为平面平面， 过作，则为的中点，且平面. 以为原点，所在的直线为轴，过且平行于的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 因为，可得 ，，， 设平面的法向量为， 则，即，令可得平面的一个法向量为 设平面的法向量为， 则，即，令，可得平面的一个法向量为， ， 又二面角为锐二面角，所以余弦值为. 18. 已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为. （1）求方程； （2）过点且斜率不为0的直线与曲线交于两点、，请问：在轴上是否存在一点，使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义判断点C的轨迹为椭圆，进而求出椭圆方程； （2）由 可得么.设直线，联立方程利用韦达定理求出，，再利用可得出，从而得解. 【小问1详解】 设动圆的半径为，由题意， ， 又，故的轨迹为以、为焦点，长轴长为6的椭圆.又因为圆和圆内切，所以左顶点不满足， ，，， 故的方程为； 【小问2详解】 假设存在点，使得， 当直线的斜率不存在时，恒成立 当直线的斜率存在时， 设，点， ，得 ，， 因为，所以 ， 所以， 化简得， 代入解得， 即存在点，使得. 19. 人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如，. （1）求，，的值； （2）已知数列满足，求的前项和，若恒成立，求的最小值； （3）若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），， （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据欧拉函数的定义直接计算即可； （2）利用错位相减法求和，可得，因为恒成立，即可得出结果； （3）由（2）可知，求出 ，将不等式 化简，分离参数，研究数列的单调性，求出其最大项的值，即可得出结果. 【小问1详解】 由题意可知，当时，不超过6，且与6互素的正整数是1，5，故， 当时，不超过10，且与10互素的正整数是1，3，7，9，故， 不超过，且与互素的正整数是，，，，，故； 【小问2详解】 由欧拉函数的定义可知，所以 两式作差可得： 所以， 因为恒成立，所以的最小值为3； 【小问3详解】 由（2）知， 所以， ，即， 设， 则， 当时，；当时，；当时，， 所以， 即的最大值为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ NT20名校联合体高二年级开学考试 数学 考试说明： 1.本试卷共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆，圆，则这两个圆的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在等差数列中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 5. 在正项等比数列中，若，，则（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 6. 已知双曲线上两点，关于轴对称，为双曲线的左顶点，若直线和直线的斜率之积为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知长方体中，，，向量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前项和为，且，则的值为（ ） A. 3123 B. 3125 C. 3127 D. 3129 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 10. 已知直线与圆交于，两点，则（ ） A. 过定点 B. 面积的最大值为25 C. 的最小值为 D. 的中点的轨迹所形成的图形的面积为 11. 伟大古希腊哲学家阿基米德最早用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍.已知椭圆的右顶点为，上顶点为B，、是椭圆的左、右焦点.为椭圆上的动点.则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的面积为 B. 若内切圆的面积为，则 C. 椭圆上存在6个点，使得为直角三角形 D. 若点在第一象限，则四边形面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与直线垂直，则_____. 13. 已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是_____. 14. 在正方体中，棱长为6，点在棱上，，为的中点，若动点在平面内运动，且满足，则点的轨迹所形成的面积为_____；三棱锥体积的最大值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，. （1）求线段的垂直平分线的方程； （2）若点关于的对称点为点，过作圆的切线，求切线的方程. 16. 已知正项数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）数列满足，求前项和. 17. 如图1，在直角梯形中，，，.将沿折起，使，连接，得如图2的几何体. （1）求证：平面平面； （2）若是线段上靠近三等分点，求二面角的余弦值. 18. 已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点且斜率不为0的直线与曲线交于两点、，请问：在轴上是否存在一点，使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在请说明理由. 19. 人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如，. （1）求，，的值； （2）已知数列满足，求的前项和，若恒成立，求的最小值； （3）若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $