重点专题1.3 函数的极值与最大（小）值【13类题型】- 【重难点突破】2024-2025学年高二下·人教A版·热点题型专练

【重难点突破】2024-2025学年高二下学期热点题型专练（新高考） 专题1-3 函数的极值与最大（小）值 总览 题型·解读 模块一 极值点与极值的概念 1 【题型1】极值点与极值的计算与求解 2 【题型2】根据函数的极值（点）求参数 4 【题型3】由极值，极值点求参数范围 5 模块二 函数的最值 6 【题型4】根据函数的最值求参数的值 7 【题型5】求函数的最值（含参） 8 【题型6】由函数的最值求参数范围 9 【题型7】函数在某区间上存在最值求参数范围 9 模块三 综合运用 11 【题型8】利用导数分析函数的综合性质 11 【题型9】利用导数研究方程的根 13 【题型10】利用导数研究函数的零点 14 【题型11】利用导数讨论零点个数 16 【题型12】利用导数求几何体最值 17 【题型13】隐零点问题 19 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 极值点与极值的概念 基础知识 1、极值与单调性一样，都是函数的局部性质 (1)极小值点与极小值 如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值 如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x) 的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. 2、求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值. 【题型1】极值点与极值的计算与求解 典型例题 【例题1】函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 【例题2】已知函数，其导函数的图象如图所示，过点和.函数的单调递减区间为 ，极大值点为 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知函数，其导函数的图象经过点，，如图所示，则下列说法中正确结论的序号为 ．    ①当时函数取得极小值； ②有两个极值点； ③当时函数取得极小值； ④当时函数取得极大值． 【巩固练习2】函数的极小值点为（    ） A．2 B． C． D． 【巩固练习3】（多选）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ）    A．的单调递增区间是 B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【题型2】根据函数的极值（点）求参数 典型例题 【例题1】（2024·青海·模拟预测）已知函数的极值点为a，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【例题2】已知函数的导函数，若不是的极值点，则实数 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】若函数在处取得极小值，则（    ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 【巩固练习2】已知函数在处有极大值，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 【巩固练习3】若函数在处取得极大值，则的极小值为（    ） A． B． C． D． 【题型3】由极值，极值点求参数范围 基础知识 由极值，极值点求参数范围 一、根据极值或极值点个数求参数范围 首先需对函数求导并分析其导数。根据导数等于零的解的个数，结合二阶导数判断极值点类型（极大值或极小值）。然后，利用给定的极值个数或极值点个数条件，建立关于参数的不等式或方程。最后，解这些不等式或方程，得到参数的取值范围。注意，解可能需分类讨论，确保全面覆盖所有情况。 二、根据函数有（无）极值点求参数范围 函数有无极值，需分析其一阶导数。首先求导，观察导数是否可能为零。若方程无解或解不满足极值条件（如二阶导数为零），则无极值；若有解且满足极值条件，则有极值。根据有无极值 的条件，建立关于参数的不等式或方程。解不等式或方程，得到参数的取值范围，区分出函数有无 极值的情况。 三、函数在某区间上存在极值点求参数范围 函数在某区间上存在极值点，需先求导并令其为零，转化为在该区间上有解，建立关于参 数的不等式或方程。解这些不等式或方程，得到参数的取值范围，确保函数在指定区间内存在极值 点。 典型例题 【例题1】已知函数，若有且只有1个极值点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题2】已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题3】已知函数在上无极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】若函数既有极大值也有极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】若函数既有极大值也有极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（2024·新高考2卷真题）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 模块二 函数的最值 基础知识 1、函数的最大（小）值 要点诠释：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 2、函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近（即局部）而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大（小）值必在极大（小）值点或区间端点处取得. 【题型4】根据函数的最值求参数的值 典型例题 【例题1】若函数在上的最小值是1，则实数的值是（    ） A．1 B．3 C． D． 【例题2】已知函数（为常数），在区间上有最大值，那么此函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例题3】函数在处取得极小值，则函数的极大值为 ． 巩固练习 题型 【巩固练习1】若函数在区间上的最大值是4，则m的值为(    ) A．3 B．1 C．2 D． 【巩固练习2】当时，函数取得极值，则在区间上的最大值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．32 【巩固练习3】已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上的最小值是，求a的值． 【巩固练习4】已知函数，且满足的导数的最小值为. (1)求值； (2)若函数在区间上的最大值与最小值的和为7，求值. 【题型5】求函数的最值（含参） 典型例题 【例题1】设函数 (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求证： (3)当时，求函数在上的最小值 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知函数，求： (1)求函数的单调区间； (2)求函数在的最小值. 【巩固练习2】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在区间上的最小值． 【巩固练习3】已知函数. 当时，求在处的切线方程； 讨论在区间上的最小值. 【题型6】由函数的最值求参数范围 典型例题 【例题1】已知，若函数有最小值，则实数的最大值为 . 【例题2】已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二上·上海闵行·期末）已知函数，且在区间上的最大值为3，无最小值，则的取值范围是 . 【巩固练习2】（22-23高二下·北京·期中）若函数在区间上既存在最大值，也存在最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【巩固练习3】若函数的最大值为，则实数的取值范围为 . 【题型7】函数在某区间上存在最值求参数范围 典型例题 【例题1】已知函数，存在最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例题2】若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知函数，若在内存在最小值，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（23-24高二下·北京房山·期中）已知函数，则的极小值等于 ；若在区间上存在最小值，则的取值范围是 . 【巩固练习3】 【巩固练习4】已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是 . 模块三 综合运用 【题型8】利用导数分析函数的综合性质 典型例题 【例题1】（23-24高二下·重庆·期末）（多选）已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有（    ） A． B．函数有三个零点 C．函数的对称中心为 D．过可以作两条直线与的图象相切 【例题2】（多选）已知函数的导函数为，则（    ） A．函数的极小值点为 B． C．函数的单调递减区间为 D．若函数有两个不同的零点，则 【例题3】（23-24高二下·江苏南京·期末）若函数有两个极值点，且，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．的范围是 D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·江苏南京·期末）（多选）已知函数，下列选项正确的是（    ） A．若在区间上单调递减，则a的取值范围为 B．若在区间上有极小值，则a的取值范围为 C．当时，若经过点可以作出曲线的三条切线，则实数m的取值范围为 D．若曲线的对称中心为，则 【巩固练习2】（23-24高二下·江苏南通·期末）（多选）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．曲线恒过定点 B．若，则的极小值为0 C．若，则 D．若，则的最大值大于 【巩固练习4】（23-24高二下·江苏常州·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在R上是增函数 B．，不等式恒成立，则正实数的最小值为 C．若有两个零点，则 D．若过点恰有2条与曲线相切的直线，则 【巩固练习3】（23-24高二下·浙江温州·期末）（多选）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，在处的切线方程为 B．当时，恒成立 C．若恰有一个零点，则 D．若恰有两个零点，则 【题型9】利用导数研究方程的根 典型例题 【例题1】（23-24高三上·江苏常州·期中）已知函数，过点可作曲线的3条切线，则实数a的取值范围为 . 【例题2】（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是 ． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·河南安阳·期中）已知函数，过点且与曲线相切的直线有3条，则实数的取值范围是 . 【巩固练习2】（23-24高二下·广东茂名·期中）已知函数在处取得极值． (1)求a，b的值； (2)求在上的最大值； (3)若关于的方程有三个不同的实根，求的取值范围. 【题型10】利用导数研究函数的零点 解题技巧 利用导数研究函数零点 1、函数的零点 (1)函数霉点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． (2)三个等价关系 方程有实数根⇔函数的图象与x轴有交点的横坐标⇔函数有零点． 2、函数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一-结论称为函数零点存在性定理。 注意：单调性+存在零点=唯一零点 典型例题 【例题1】（22-23高二下·河南·期末）已知函数，． (1)当时，证明：在上恒成立； (2)若有2个零点，求a的取值范围． 【例题2】（23-24高二下·安徽芜湖·期中）若函数在内只有一个零点，则的零点之和为 ． 【例题3】（2024·广东佛山·二模）若函数（）有2个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知方程有两个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）已知函数在处取得极大值． (1)求a的值；(2)若有且只有3个零点，求实数b的取值范围． 【巩固练习3】（23-24高二下·广东广州·期末）已知函数只有1个零点，则的取值范围是 . 【巩固练习4】已知是自然对数的底数，函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为 . 【巩固练习4】（23-24高二下·云南玉溪·阶段练习）已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数等于 ． 【题型11】利用导数讨论零点个数 典型例题 【例题1】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数． (1)若在处取得极小值，求实数的取值范围； (2)讨论的零点个数． 【例题2】（23-24高二下·四川攀枝花·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积； (2)讨论函数的零点个数. 【例题3】（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性；(2)若，讨论的零点个数. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数，. (1)若，求曲线在处的切线方程，(2)当时，试讨论函数的零点个数. 【巩固练习2】（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调减区间； (2)设，求证：函数在上有唯一零点． 【巩固练习3】（23-24高二下·广东东莞·期中）已知. (1)求的单调区间，并求其极值； (2)画出函数的大致图象； (3)讨论函数的零点的个数. 【题型12】利用导数求几何体最值 解题技巧 三元均值不等式：， 应用：（1）若，求的最小值；（2）求的最小值 （1）；（2） 可以跳过求导的操作得出最值 典型例题 【例题1】如图，已知一个圆锥的底面半径为，高为，它的内部有一个正三棱柱，且该正三棱柱的下底面在圆锥的底面上，则这个正三棱柱的体积的最大值为 . 【例题2】已知某圆锥的母线长为3，则当该圆锥的体积最大时，其侧面展开图的圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】将一个体积为的铁球切割成正三棱锥的机床零件，则该零件体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知正三棱锥的各顶点都在表面积为球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为 . 【巩固练习3】已知正四棱锥的高为，其顶点都在同一球面上，若该球的体积为，且，则当该正四棱锥体积最大时，高的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【巩固练习4】直六棱柱的底面是正六边形，其体积是，则该六棱柱的外接球的表面积的最小值是 . 【巩固练习5】已知球体的半径为3，当球内接正四棱锥的体积最大时，正四棱锥的高和底面边长的比值是（    ） A．1 B． C． D．2 【题型13】隐零点问题 要点诠释 隐零点问题是指对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题. 1、隐零点就是指一个函数可以判断它在某个区间上有一个零点，但是这个零点具体是什么却无法计算或根本不需要计算，只需利用它的存在去解答题目. 2、在求解函数问题时，很多时候都需要求函数在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数在区间I上存在唯一的零点（例如，函数在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是(因为不易求出，所以把零点叫做隐零点)，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法. 知识点01 利用“隐零点”研究极（最）值问题 要点诠释：在利用“隐零点”研究极(最)值问题时,往往利用零点的存在性,对函数的零点设而不求,通过整体代换、构造函数等,再结合题目条件解决问题. 知识点02 利用“隐零点”确定参数取值范围 利用“隐零点”确定参数取值范围的方法：确定函数的单调性和极值点、利用极值点处导数值为零的条件表达参数、代入极值的保号性求出的范围、最后根据的范围和参数表达式求出参数的取值范围. 要点诠释：在求解参数范围时，需要根据求出的最值范围对零点的范围进行调整，以确保求出的参数范围准确.如果隐零点的限定范围合适，无需再缩小隐零点的范围，否则无法准确判断出参数的最大或最小值. 知识点03 利用“隐零点”解答不等式恒成立（证明）问题 要点诠释：利用“隐零点”解答不等式恒成立（证明）问题，关键在于通过设定隐零点，利用函数的单调性、极值等性质，结合不等式的性质进行解决问题.主要策略包括： ①‌运用隐零点式替换‌，简化函数表达式：通过设置隐零点，将复杂的函数表达式转化为更易于处理的形式，如通过替换幂和对数式等，简化问题的求解过程. ②‌借助隐零点搭桥‌，协助描绘函数性态：通过隐零点的设定和分析，可以更好地理解函数的单调性、极值等性质，从而协助解决问题. 典型例题 【例题1】（高二下·广东深圳·期中）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围 ． 故实数的取值范围为． 【例题2】已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并说明理由； (2)求证：函数在上有且只有一个极值点． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2024·浙江金华·一模）已知函数，. (1)若，求的单调区间；(2)若，求的取值范围. 【巩固练习2】已知函数，若在有实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知，若，且对任意恒成立，则k的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【巩固练习4】已知函数. (1)若在上是减函数，求实数的最大值；（2）若，求证：. 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高二下学期热点题型专练（新高考） 专题1-3 函数的极值与最大（小）值 总览 题型·解读 模块一 极值点与极值的概念 2 【题型1】极值点与极值的计算与求解 2 【题型2】根据函数的极值（点）求参数 5 【题型3】由极值，极值点求参数范围 7 模块二 函数的最值 12 【题型4】根据函数的最值求参数的值 13 【题型5】求函数的最值（含参） 17 【题型6】由函数的最值求参数范围 20 【题型7】函数在某区间上存在最值求参数范围 22 模块三 综合运用 26 【题型8】利用导数分析函数的综合性质 26 【题型9】利用导数研究方程的根 34 【题型10】利用导数研究函数的零点 38 【题型11】利用导数讨论零点个数 45 【题型12】利用导数求几何体最值 53 【题型13】隐零点问题 59 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 极值点与极值的概念 基础知识 1、极值与单调性一样，都是函数的局部性质 (1)极小值点与极小值 如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值 如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x) 的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. 2、求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值. 【题型1】极值点与极值的计算与求解 典型例题 【例题1】函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的单调性，即可求出函数的极大值. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，则或，所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为． 【例题2】已知函数，其导函数的图象如图所示，过点和.函数的单调递减区间为 ，极大值点为 . 【答案】 【分析】根据导函数的符号确定原函数的单调性，可直接写出原函数的单调区间；分析原函数的单调性，可以得到函数的极大值点. 【详解】如图： 导函数的图象过点和， 则当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. ∴函数的单调递减区间为，极大值点为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知函数，其导函数的图象经过点，，如图所示，则下列说法中正确结论的序号为 ．    ①当时函数取得极小值； ②有两个极值点； ③当时函数取得极小值； ④当时函数取得极大值． 【答案】②③④ 【分析】由导函数的图象判断出函数的单调性，从而得到极值的情况，即可得到正确答案. 【详解】由图象可知，当时，；当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有两个极值点，当时函数取得极大值，当时函数取得极小值， 故①错误，②③④正确. 【巩固练习2】函数的极小值点为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数判断单调性，进而可得极小值点. 【详解】因为， 所以在，上单调递增，在上单调递减，故极小值点为2． 【巩固练习3】（多选）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ）    A．的单调递增区间是 B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【答案】ABC 【分析】A.利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；B.利用极小值点的定义判断；C. 利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；D.利用极小值点的定义判断； 【详解】解：根据图象知当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减．故A、C正确； 当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确； 当时，取得是极大值，不是的极小值点，故D错误． 【题型2】根据函数的极值（点）求参数 典型例题 【例题1】（2024·青海·模拟预测）已知函数的极值点为a，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用导数求出函数的极值点，再代入求出函数值. 【详解】函数，求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，因此是的极小值点，且是唯一极值点，所以，. 【例题2】已知函数的导函数，若不是的极值点，则实数 . 【答案】3 【解析】由，设， 若不是函数的极值点，则必有，即，所以． 当时，， 故当时，，当时，， 因此是的极值点，不是极值点，满足题意，故． 巩固练习 题型 【巩固练习1】若函数在处取得极小值，则（    ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 【答案】A 【分析】先由，求得的值，再代入导函数，根据函数的单调性，进行验证. 【详解】由题意可得，则，解得. 当时，， 当或时，，则在，单调递增， 当时，，则在单调递减， 所以，函数在处取得极小值，此时. 【巩固练习2】已知函数在处有极大值，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 【答案】C 【分析】根据题意，列出方程求得的值，然后检验即可得到结果. 【详解】，， ∴或， 当时，， 令，得或；令，得； 从而在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以在处有极小值，不合题意， 当时，经检验，满足题意； 综上，. 【巩固练习3】若函数在处取得极大值，则的极小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求出的值，进而求出，再解出极小值即可. 【详解】因为函数在处取得极大值， 则，且， 即，所以； 所以，， 令，则或， 由，，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以函数在处取得极大值，. 【题型3】由极值，极值点求参数范围 基础知识 由极值，极值点求参数范围 一、根据极值或极值点个数求参数范围 首先需对函数求导并分析其导数。根据导数等于零的解的个数，结合二阶导数判断极值点类型（极大值或极小值）。然后，利用给定的极值个数或极值点个数条件，建立关于参数的不等式或方程。最后，解这些不等式或方程，得到参数的取值范围。注意，解可能需分类讨论，确保全面覆盖所有情况。 二、根据函数有（无）极值点求参数范围 函数有无极值，需分析其一阶导数。首先求导，观察导数是否可能为零。若方程无解或解不满足极值条件（如二阶导数为零），则无极值；若有解且满足极值条件，则有极值。根据有无极值 的条件，建立关于参数的不等式或方程。解不等式或方程，得到参数的取值范围，区分出函数有无 极值的情况。 三、函数在某区间上存在极值点求参数范围 函数在某区间上存在极值点，需先求导并令其为零，转化为在该区间上有解，建立关于参 数的不等式或方程。解这些不等式或方程，得到参数的取值范围，确保函数在指定区间内存在极值 点。 典型例题 【例题1】已知函数，若有且只有1个极值点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考虑和两种情况，得到不等式，解得答案. 【详解】函数有且只有1个极值点， 当时，没有极值点； 当时，，取，得到， 当时，函数为二次函数，则，故， 综上所述：. 【例题2】已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数进行求导得，则方程在时有两个根，利用导数研究函数的值域，即可得 【详解】因为，得， 所以在时有两个变号根， 令， 当时，；当时，； 所以在单调递增，在单调递减，且， 当时，；当时，， 所以与，所以， 【例题3】已知函数在上无极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导数确定单调性，讨论x的取值范围可得结果. 【详解】由题意得，，故， 因为函数在上无极值， 所以在R上恒成立， 当时，， 设，则， 当时，得，当时，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 从而，故， 当时，，则. 综上，. 巩固练习 题型 【巩固练习1】若函数既有极大值也有极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，将函数有极大值和极小值问题转化导函数为有两个不相等正根问题，结合判别式和韦达定理求解即可. 【详解】因为，定义域为， 所以， 因为函数既有极大值也有极小值， 所以方程有两个不相等的正根，设两根为， 则有，解得， 所以的取值范围为 【巩固练习2】已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论、与三种情况，结合导数与极值点的定义即可得解. 【详解】因为，所以， 令，可得或， 当，即时， 令，得或；令，得； 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，满足题意； 当，即时，恒成立， 则在上单调递增，没有极值点，不满足题意； 当，即时， 令，得或；令，得； 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极小值点，不满足题意； 综上，，即的取值范围为. 【巩固练习3】若函数既有极大值也有极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，定义域为， 所以， 因为函数既有极大值也有极小值， 所以方程有两个不相等的正根，设两根为， 则有，解得，所以的取值范围为， 【巩固练习4】（2024·新高考2卷真题）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 模块二 函数的最值 基础知识 1、函数的最大（小）值 要点诠释：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 2、函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近（即局部）而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大（小）值必在极大（小）值点或区间端点处取得. 【题型4】根据函数的最值求参数的值 典型例题 【例题1】若函数在上的最小值是1，则实数的值是（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】，先求得极值，再求得端点值比较求解. 【详解】解：令， 解得或， 当时，，时，， 又，，显然，所以，所以 【例题2】已知函数（为常数），在区间上有最大值，那么此函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，函数，可得， 令，即，解得或（舍去）． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时取最小值，而， 即最大值为，所以，所以此函数在区间上的最小值为 【例题3】函数在处取得极小值，则函数的极大值为 ． 【答案】 【分析】根据为极值点，得到，计算出，从而求出函数的单调性，函数的极大值. 【详解】，由题意得，解得， 故，， 当时，，单调递减， 当或时，，单调递增， 故在处取得极大值， 故极大值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】若函数在区间上的最大值是4，则m的值为(    ) A．3 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】利用导函数求出在上的单调性，然后结合已知条件即可求解. 【详解】，令，解得或， 当时，；当时，或， 故在和上单调递增，在上单调递减， 从而在上单调递减，在上单调递增， 又，，则， 所以在区间上的最大值为，解得． 【巩固练习2】当时，函数取得极值，则在区间上的最大值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．32 【答案】C 【分析】根据极值点与导数之间的关系求得，利用导数判断在区间上的单调性和最值. 【详解】因为，所以， 又因为在取极值，所以，解得， 若，则，， 令，得或；令，得； 所以在和上单调递增，在上单调递减， 可知在取极值，故满足题意， 若，则在和上单调递增，在上单调递减， 且， 所以在区间上的最大值为. 【巩固练习3】已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上的最小值是，求a的值． 【答案】(1);(2) 【分析】(1)利用导数与切线斜率的关系求解即可； (2)利用导数讨论函数在区间上的单调性即可求解. 【详解】（1）当时，，， 所以切点为， ，则， 所以切线方程为，即. （2），， 若，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，不满足题意； 若，令，解得，令，解得， 所以函数在单调递减，单调递增， 所以，解得，满足题意； 若， 则在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以，解得，不满足题意， 综上，. 【巩固练习4】已知函数，且满足的导数的最小值为. (1)求值； (2)若函数在区间上的最大值与最小值的和为7，求值. 【答案】(1);(2) 【分析】（1）求导，结合二次函数的最值分析运算； （2）求导，利用导数求函数在区间上最值，分析运算. 【详解】（1）∵，则的最小值为， 由题意可得：. （2）由（1）可得：，则， 令，解得或；令，解得； 则在单调递增，在上单调递增， 且，， ，， 且， 所以函数在区间上的最大值，最小值， 又∵函数在区间上的最大值与最小值的和为7， 则，解得. 【题型5】求函数的最值（含参） 典型例题 【例题1】设函数 (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求证： (3)当时，求函数在上的最小值 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）求出，，利用点斜式得到切线方程； （2）求导得到函数单调性，极值和最值，证明出结论； （3）求导，分和两种情况，求出函数在上的单调性，得到函数最小值. 【详解】（1）当时，，， 又，故， 所以函数在处的切线方程为； （2）当时，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在上取得极小值，也是最小值， 且， 故在R上恒成立. （3）， ，， 令，解得，令，解得， 当时，，故在上单调递减，在上单调递增， 此时在上取得极小值，也是最小值， 故在上的最小值为， 当时，，故在上单调递减， 此时在上的最小值为 综上：当时，在上的最小值为， 当时，在上的最小值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知函数，求： (1)求函数的单调区间； (2)求函数在的最小值. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；(2)答案见解析. 【分析】（1）对求导，根据导函数的符号求单调区间即可； （2）讨论、，结合（1）所得函数的单调性求其最小值. 【详解】（1）由题设，， 令，解得； 令，解得. 的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由（1）知，当时在上单调递减， ， 当时，在上单调递减，在上单调递增， . 【巩固练习2】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在区间上的最小值． 【答案】(1)当时，在R上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减． (2)①当时，在上的最小值为；当时，在上的最小值为． 【分析】（1）求导可得，讨论两根两者的大小关系，判断的单调性；（2）结合（1）中的单调性，讨论在上的单调性，进而确定最小值． 【详解】（1）因为，所以． ①当时，，则在R上单调递增； ②当时，令，解得或， 则在，上单调递增，在上单调递减； ③当时，令，解得或， 则在，上单调递增，在上单调递减． （2）由（1）知，当时，或． ①当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 此时在上的最小值为； ②当，即时，在上单调递减， 此时在上的最小值为． 【巩固练习3】已知函数. 当时，求在处的切线方程； 讨论在区间上的最小值. 【解析】（1）当时，，则，所以， 则在处的切线方程为，即， 所以当时，函数在处的切线方程为． （2）函数，则， 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 当时，函数在上单调递减，故函数的最小值； 当时，函数在上单调递增，故函数的最小值； 当时，函数的最小值． 综上可得. 【题型6】由函数的最值求参数范围 典型例题 【例题1】已知，若函数有最小值，则实数的最大值为 . 【答案】/ 【解析】当时，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，且， 当时，， 若，在上单调递增，此时没有最小值， 若，在上单调递减， 要想函数有最小值，则，解得， 故实数的最大值为. 【例题2】已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出导函数，根据a的符号分类讨论研究函数的单调性，利用单调性研究函数最值即可求解. 【详解】因为，所以， 若，则时，，故在上单调递减， 时，，故在上单调递增， 所以当时，有最小值，满足题意； 若，则当无限趋近于负无穷大时，无限趋向于负无穷大，没有最小值，不符合题意； 综上，，所以实数的取值范围为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二上·上海闵行·期末）已知函数，且在区间上的最大值为3，无最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数研究函数的单调性，求出函数的极值，结合题意可得且，即可求解. 【详解】由题意知，， 令或， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则的极大值为，极小值为，且， 又在上的最大值为3，无最小值， 所以，解得，所以， 令，解得或，所以， 所以. 【巩固练习2】（22-23高二下·北京·期中）若函数在区间上既存在最大值，也存在最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对函数求导，结合题意根据函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为函数在区间上既存在最大值，也存在最小值，    结合图像可知：. 故答案为：. 【巩固练习3】若函数的最大值为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求得，由题意可得在恒成立，讨论的范围，分，，，运用参数分离和构造函数，求得导数和单调区间，可得最值，进而得到的范围． 【详解】解：当时，，则，则当时，即在上单调递增，当时，即在上单调递减，所以当时取得极大值，即当时的最大值； 由，可得在恒成立， 即为， 当时，显然成立； 当时，有，可得， 设，， ， 由时，，则，在递减， 且， 可得； 当时，有，可得， 设，， ， 由时，，在递减， 由时，，在，递增， 即有在处取得极小值，且为最小值， 可得，综上可得． 【题型7】函数在某区间上存在最值求参数范围 典型例题 【例题1】已知函数，存在最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数讨论函数的性质，作出函数图形，由题意，结合图形可得，即可求解. 【详解】，， 令得， 且时，；时，，时，， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，令时，解得或， 所以其图象如下： 由图可知，时存在最小值， 所以，解得， 即实数a的取值范围为. 【例题2】若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，解得即可. 【详解】函数的定义域为， ， 令可得或（舍）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值，故，解得， 所以的取值范围是. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知函数，若在内存在最小值，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数确定函数的单调区间及极小值为，再令，得，最后由，求解即可. 【详解】解：因为， 所以， 令，解得或， 所以在，内单调递增，在内单调递减， 所以极小值为． 令，则， 所以， 由题意得， 所以a的取值范围为. 【巩固练习2】（23-24高二下·北京房山·期中）已知函数，则的极小值等于 ；若在区间上存在最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求得可得，得出函数的单调性，求得函数的极小值，结合题意，列出不等式组，求得实数的取值范围，得到答案. 【详解】由函数，可得， 令，可得或 ；令，可得， 所以在单调递增，在单调递减， 当时，函数取得极小值，极小值为， 令，即，即或， 要使得在区间上存在最小值，则满足，解得， 所以实数的取值范围是. 【巩固练习3】 【巩固练习4】已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用函数的导数判断函数单调性，确定函数的极小值点，结合题意列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由函数，可得， 当或时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 即为函数的极小值点； 要使得函数在区间上有最小值， 则满足，即， 因为，可得，即，解得， 所以，即实数的取值为. 模块三 综合运用 【题型8】利用导数分析函数的综合性质 典型例题 【例题1】（23-24高二下·重庆·期末）（多选）已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有（    ） A． B．函数有三个零点 C．函数的对称中心为 D．过可以作两条直线与的图象相切 【答案】ACD 【分析】根据题意可得，即可判断A；求出函数的单调区间及极值，即可判断B；求出即可判断C；设出切点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点求出切点，即可判断D. 【详解】， 因为函数有极小值点， 所以，解得， 所以，， 当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又 所以函数仅有个在区间上的零点，故A正确，故B错误； 对于C，由， 得， 所以函数的图象关于对称，故C正确； 对于D，设切点为，则， 故切线方程为， 又过点，所以， 整理得，即， 解得或， 所以过可以作两条直线与的图象相切，故D正确. 故选：ACD. 【例题2】（多选）已知函数的导函数为，则（    ） A．函数的极小值点为 B． C．函数的单调递减区间为 D．若函数有两个不同的零点，则 【答案】BCD 【分析】求出函数的导数，利用导数判断ABC；分析函数的性质，作出图象判断D作答. 【详解】由，得，当时，，B正确； 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 因此函数在处取得极小值，递减区间为，A错误，C正确； 函数在上单调递减，且恒有，在上单调递增，，， 函数有两个不同的零点，即函数的图象与直线有两个公共点， 在同一坐标系内作出直线与函数的部分图象，如图， 观察图象知，当时，直线与函数的图象有两个公共点， 所以函数有两个不同的零点时，，D正确. 故选：BCD 【例题3】（23-24高二下·江苏南京·期末）若函数有两个极值点，且，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．的范围是 D． 【答案】B 【分析】对于AC，原函数的极值点即为导函数的零点，求导后等价于与有两个交点，结合单调性等函数特征画出图象判断出，且；对于B，利用，推导，则可得；对于D，而等价于，构造合适的函数进行分析. 【详解】对于AC，，有两个极值点且， 所以，有两个零点，且在各自两边异号， 所以与有两个交点，， 记，则， 易知：时，时， 所以在上递增，在上递减， 所以有最大值，且时，时， 又当趋向于正无穷时，趋向于正无穷的速率远远超过趋向于正无穷的速率，所以趋向于0，且， 由上可得的图象如下， 所以当且仅当时与有两个交点，且，故A，C正确； 对于B，又， 所以，即，故B错误. 对于D，令，则，所以，则，， 所以要证，只需证， 只需证， 令，则， 所以在上单调递减，即时，不等式得证，故D正确. 故选：B. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·江苏南京·期末）（多选）已知函数，下列选项正确的是（    ） A．若在区间上单调递减，则a的取值范围为 B．若在区间上有极小值，则a的取值范围为 C．当时，若经过点可以作出曲线的三条切线，则实数m的取值范围为 D．若曲线的对称中心为，则 【答案】BCD 【分析】利用导数研究三次函数的单调区间，极值，切线，对称中心问题. 【详解】令 若在区间上单调递减, 则在区间上小于或者等于零恒成立， 即恒成立， 即，又在区间单调递增， 则 所以a的取值范围为，故选项A错误. 若在区间上有极小值, 则在区间上有零点，且在零点左端小于零，在零点右端大于零， 则 解得a的取值范围为.故选项B正确. 当时,设经过点作出曲线的三条切线切点为，则切线斜率为 切线为又切线经过点， 则有三解，即有三解， 令 则当时函数取极值， 则实数m的取值范围为，故选项C正确. 若曲线的对称中心为,则即 解得. 故选：BCD. 【巩固练习2】（23-24高二下·江苏南通·期末）（多选）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．曲线恒过定点 B．若，则的极小值为0 C．若，则 D．若，则的最大值大于 【答案】ACD 【分析】对于A，求出即可；对于B，结合导数求出的极值即可；对于C，利用导数求出的单调性，结合单调性比较和的大小即可；对于D，结合导数求出的最大值为，令，利用导数的最值即可. 【详解】对于A，令，可得，所以曲线恒过，故A正确； 对于B，当时，，则， 令，解得：，当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减，所以的极大值为， 故B不正确； 对于C，，当，则，所以在上单调递增， 又，即，则，故C正确； 对于D，当时，由，解得：， 当时，，则在上单调递增，当，， 则在上单调递减， 所以， 令，则， 所以当时，，则在上单调递增， 所以，即的最大值大于， 而，故，即，所以D正确； 故选:ACD 【巩固练习4】（23-24高二下·江苏常州·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在R上是增函数 B．，不等式恒成立，则正实数的最小值为 C．若有两个零点，则 D．若过点恰有2条与曲线相切的直线，则 【答案】ABD 【分析】利用符合函数的单调性的判断方法可以判断A的真假；利用函数的单调性，转化为，再分离变量转化为恒成立问题，可求正实数的取值范围，判断B的真假；由“极值点偏移”可判断C的真假；分离参数，利用方程有两解，构造函数，转化为求值域问题，可判断D的真假. 【详解】对A：因为，所以， 由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 设，则且在上单调递增. 由“同增异减”可知上单调递增.故A正确； 对B：因为为正实数，，所以，，结合函数的单调性，可知： （）. 所以. 设（），则，由可得：. 所以在上单调递增，在上单调递减，所以. 所以正实数的最小值为，故B正确； 对C：如图：    因为有两个零点，，结合函数的单调性，不妨设，. 则. 设，（），那么且 在上恒成立，所以在单调递增， 所以在上恒成立，所以（）. 由，且在上单调递减， 所以.故C错误； 对D：设切点为，切线斜率为，所以函数在处的切线方程为：， 因为切线过点，所以 设，所以，由， 所以在上递增，在上递减， 且，当时，且时，. 因为有两解，则.故D正确. 故选：ABD 【巩固练习3】（23-24高二下·浙江温州·期末）（多选）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，在处的切线方程为 B．当时，恒成立 C．若恰有一个零点，则 D．若恰有两个零点，则 【答案】ABD 【分析】求导，根据点斜式即可求切线方程判断A，根据导数判断函数的单调性，即可求解B，构造函数，由导数求解单调性，即可得直线与的交点个数，进而判断CD. 【详解】对于A，当时，，，则，, 故切线方程是，即，故A正确； 对于B，当时，，， 当单调递增，当单调递减， 故，故B正确， 对于CD，令，则，记，则， 当单调递增，当单调递减， 故，又，而， 故当时，此时直线与有两个不相等的交点， 当或时，直线与有1个交点，故C错误，D正确， 故选：ABD. 【题型9】利用导数研究方程的根 典型例题 【例题1】（23-24高三上·江苏常州·期中）已知函数，过点可作曲线的3条切线，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】构造新函数，利用导数求得其单调性和极值，作出函数图像，数形结合，进而求得实数的取值范围. 【详解】设点为曲线上一点，则 又，则， 则曲线在点处的切线方程为 ，又切线过点， 则，即 令，则， 则时，单调递减； 时，单调递增； 时，单调递减， 则时取得极小值，时取得极大值， 又， 当时，恒成立，时，， 又由题意得方程有3个根， 则与图像有3个交点，则. 则曲线有三条过点的切线时实数的取值范围为.    【例题2】（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出函数的导数，由极值点的意义分离参数，构造函数转化成直线与函数图象在上有两个交点求解. 【详解】函数，求导得， 依题意，函数在上有两个变号零点，由，得， 令，，于是直线与函数在上的图象有两个交点， 而，由，得，由，得， 即函数在上单调递增，在上单调递减，又， 在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象，    观察图象知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 即函数在上有两个变号零点，函数在上有两个极值点， 所以实数的取值范围是. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·河南安阳·期中）已知函数，过点且与曲线相切的直线有3条，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，并把点的坐标代入，构造函数，转化为函数有三个零点的问题求解. 【详解】设过点与曲线相切的切点坐标为， 函数，求导得， 则切线方程为，于是， 整理得，令， 过点且与曲线相切的直线有3条，当且仅当函数有3个零点， 求导得，当或时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值， 函数有三个零点，当且仅当，解得， 所以实数的取值范围是. 【巩固练习2】（23-24高二下·广东茂名·期中）已知函数在处取得极值． (1)求a，b的值； (2)求在上的最大值； (3)若关于的方程有三个不同的实根，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）对函数求导，根据题意建立关于，的方程组，解出即可； （2）由（1）知，利用导数研究函数单调性，从而可得最值； （3）方程有三个不同的实根，转化为两个函数图象的交点问题，可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为在处取得极值，所以， 故，解得； （2）由（1）知， 所以， 令则或， 当时，，则单调递减， 当或时，，则单调递增， 所以，在区间上，当时，取得最大值为; （3）由（2）知在时取得极大值为， 在时取极小值， 若关于的方程有三个不同的根，如图， 则， 得，所以的取值范围是.    【题型10】利用导数研究函数的零点 解题技巧 利用导数研究函数零点 1、函数的零点 (1)函数霉点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． (2)三个等价关系 方程有实数根⇔函数的图象与x轴有交点的横坐标⇔函数有零点． 2、函数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一-结论称为函数零点存在性定理。 注意：单调性+存在零点=唯一零点 典型例题 【例题1】（22-23高二下·河南·期末）已知函数，． (1)当时，证明：在上恒成立； (2)若有2个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）只需证明在上恒成立，利用导函数与单调性、最值的关系证明即可； （2）将问题转化为方程有两个不等的实数根，利用导数与单调性、最值的关系，作出的图象，数形结合求解即可. 【详解】（1）证明：当时，设， 则． 由函数和均在上单调递增， 知在上单调递增，且， 所以当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增, 所以， 即在上恒成立． （2）由，得． 令，则f（x）有2个零点等价于函数的图象与直线有2个交点． 令，得， 当时，； 当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 故，且当时，， 当x趋向于正无穷时，趋向于0，且函数值大于0． 作出函数的大致图象，如图所示． 结合图象可知，当时，函数的图象与直线有2个交点， 即有2个零点，故a的取值范围是． 【例题2】（23-24高二下·安徽芜湖·期中）若函数在内只有一个零点，则的零点之和为 ． 【答案】 【分析】运用参变分离，转化为函数交点，借助导数和条件内只有一个零点，求出a,再根据零点概念求解零点，再求和. 【详解】，即在内有一个根． 即，与在内有一个交点. , 解得，单调递减；单调递增. 因此.当时，；当时，， 的图象与在内有一个交点.则，则. , 即， 令，解得，则的零点之和为 【例题3】（2024·广东佛山·二模）若函数（）有2个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】化简函数，得到和在上单增，结合存在唯一的，使，即，且存在唯一的，使，结合，进而得到实数的取值范围． 【详解】由函数， 设，可得，单调递增， 且，， 所以存在唯一的，使，即， 令，即， 设，可得，则在上单增， 又由且时，， 所以当时，存在唯一的，使，即， 若时，可得，则，可得，所以， 所以， 综上所述，实数的取值范围为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知方程有两个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求定义域，令得有两个根，构造，求导得到其单调性，得到最值，结合函数图象特征得到实数a的取值范围. 【详解】的定义域为， 令得，即有两个根， 令，则， 令，显然在单调递减， 又，故当时，，当时，， 故时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的最大值为，当时，恒陈立， 当趋向于0时，趋向于， 故要想有两个根，需满足 【巩固练习2】（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）已知函数在处取得极大值． (1)求a的值；(2)若有且只有3个零点，求实数b的取值范围． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）由题意可得，可求出的值，然后就的值进行检验，即可得出实数的值； （2）分析函数的单调性与极值，根据函数的零点个数可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，则， 因为函数在处取得极大值，则，解得或. 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数在上递减，在上递增， 则在处取得极小值，不合题意； 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数在上递增，在上递减， 则在处取得极大值，合题意. 综上，. （2）由（1），，， 函数的增区间为，，减区间为. 所以，函数极大值，极小值， 又因为有且只有3个零点，则， 解得，且满足，，满足题意. 因此，实数的取值范围是. 【巩固练习3】（23-24高二下·广东广州·期末）已知函数只有1个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】参变分离可得，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的极值，从而得到函数图象，依题意与有且只有一个交点，结合图象即可求出的取值范围. 【详解】令，则，令，则， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 且，，当时，当时，当时， 则的函数图象如下所示： 依题意与有且只有一个交点，则或， 即的取值范围是. 故答案为： 【巩固练习4】已知是自然对数的底数，函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据条件得到函数有且只有一个零点，等价于方程（）只有一个实数根，即直线与的图像只有一个交点，利用导数求出函数的单调性，从而得到的图像，根据数形结合即可得出实数的取值范围. 【详解】由题意令，可得（）， 设，， 则， 令，可知在上单调递减，又， 则时，，即，所以在上单调递增， 时，，即，所以在上单调递减， 则在处取得极大值，且时，，时，， 作出函数的图像，如图所示： 若函数有且只有一个零点，则直线与的图像只有一个交点， 即或，解得：或，则实数的取值范围为，故答案为：. 【巩固练习4】（23-24高二下·云南玉溪·阶段练习）已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数等于 ． 【答案】 【分析】首先判断是否为函数的零点，从而得到方程有两个根，令，问题转化为函数与函数的图象有两个交点，利用导数说明在上的单调性，即可得到的图象，再数形结合即可得解. 【详解】因为，则， 对于函数，所以，显然不是函数的零点， 当时函数恰好有两个零点， 所以方程有两个根， 令， 则函数与函数的图象有两个交点， 当时，，则， 所以当时，，函数在上为增函数， 当时，，函数在上为减函数，又， 当时，，函数在上为减函数， 由此可得函数的图象如下： 当即时，函数与函数的图象恰有两个交点， 所以. 【题型11】利用导数讨论零点个数 典型例题 【例题1】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数． (1)若在处取得极小值，求实数的取值范围； (2)讨论的零点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）对函数求导，根据参数进行分类，讨论函数的单调性，得到函数的极值情况，由题意取舍即得实数的取值范围； （2）在（1）按照参数分类的基础上，利用函数单调性和极值的正负，进一步分析探究函数的零点情况即得. 【详解】（1）函数的定义域为，， ①当时，，当时，，在上递减， 当时，，在上递增，此时在时取得极小值，符合题意； ②当时，由可得或， 若，则由可得或；由可得， 即在和上递增；在递减，此时函数在取得极小值，符合题意； 若，，当时，恒成立，即在上恒为增函数，不符合题意； 若，由可得或；由可得， 即在和上递增，在上递减，此时函数在时取得极大值，故不符合题意. 综上可得，实数的取值范围为； （2）由（1）知，① 当时，在上递减，在上递增， 则在时取得极小值，也是最小值，为，此时函数无零点； ②当时，在和上递增；在递减， 故当时，取得极小值，当时，取得极大值， 当时，，故此时函数在上有一个零点； ③当时，在上恒为增函数，又，故此时函数在上有一个零点； ④当时，在和上递增，在上递减， 故当时有极大值为，当时，有极小值为， 且当时，，故此时函数在上只有一个零点. 综上所述，当时，函数在上没有零点，当时，函数在上只有一个零点. 【例题2】（23-24高二下·四川攀枝花·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积； (2)讨论函数的零点个数. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即可求解. （2）求出函数的导数，分类讨论函数的单调性，结合零点存在性定理及函数最值情况探讨零点即可. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 于是曲线在点处的切线为，即， 直线交轴于点，交于点， 所以曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积. （2）函数的定义域为， 求导得， 当时，则，函数在上单调递减， 显然，当时，，， 则，，， 于是，因此函数有唯一零点； 若，由得， 当时，，当时，， 则在单调递减，在单调递增，， 显然函数在上单调递增， 当时，，函数无零点； 当时，，函数有唯一零点； 当时，，当时，，， 则，，，于是，函数在上有一个零点， 当时，显然，， ， 因此，令，求导得， 即在上单调递增，，于是， 从而函数在上有一个零点， 于是当时，函数有两个零点， 所以当或时，函数有1个零点；当时，有两个零点；当时，无零点 【例题3】（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性；(2)若，讨论的零点个数. 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】（1）讨论单调性，首先进行求导，并及时因式分解，再对按，进行讨论； （2）根据第（1）问，当时，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论；或者参变分离，转化成两个函数的交点问题处理. 【详解】（1）的定义域为， ， （i）若，则，所以在单调递减； （ii）若，则由得. 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增. （2）解法一：若，由（1）知，当时，取得最小值. 令，则， 得：在上单调递增，且； ①当时，则，故只有一个零点； ②当时，则，即，故没有零点； ③当时，则，即. 又，（或） 故在有一个零点； 在内，要使取正值， 因，只需，即即可， 故取满足， 则. 由于，因此在有一个零点 综上，当时，只有一个零点； 当时，没有零点； 当时，有两个零点. 解法二：（分离参数） 求函数的零点，即求方程的根的个数， 参数分离得：求方程的解的个数， 构造函数， 只需求直线与函数图像的交点个数. 求导得： 设， 因，所以在上是增函数； 又，所以在上有且只有一个零点0； 令得：， 当时，，当时，， 则当时，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，取得最大值； 当时，，单调递减，且当时，， 故在上没有零点； 当时，，， 故在上有且只有一个零点； 根据以上信息，画出的大致图形，如右图： 所以，关于方程的解的个数有如下结论： 当时，只有一个解； 当时，无解； 当时，有两个解， 即：当时，只有一个零点； 当时，没有零点； 当时，有两个零点. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数，. (1)若，求曲线在处的切线方程，(2)当时，试讨论函数的零点个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案； （2）由题意的零点个数转化为直线与曲线的交点个数问题，令，利用导数判断的单调性，作出其图象，数形结合，即可求得答案. 【详解】（1）由，则，得， 曲线在处的切线的斜率为， 故曲线在处的切线的方程为， 即； （2）由于，即， 即的零点个数可看作直线与曲线的交点个数问题； 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故，当时，，当时，， 当x趋向于负无穷时，趋向于负无穷，当x趋向于正无穷时，趋向于0， 作出函数的图象如图： 当，即时，直线与曲线的有2个交点， 当，即时，直线与曲线的有1个交点， 当，即时，直线与曲线的无交点， 故时，函数的零点个数是2；时，函数的零点个数是1； 时，函数的零点个数是0 【巩固练习2】（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调减区间； (2)设，求证：函数在上有唯一零点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，再解导函数小于0的不等式即得. （2）求出并变形，构造函数，利用导数探讨的零点个数即得. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 由，即，解得， 所以函数的单调减区间是. （2）依题意，，令， 函数在上有唯一零点，当且仅当函数在上有唯一零点， 求导得，显然函数在上单调递增，而， 则存在，使得，当时，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增， 显然，因此函数在上存在唯一零点， 从而函数在上存在唯一零点， 所以函数在上有唯一零点. 【巩固练习3】（23-24高二下·广东东莞·期中）已知. (1)求的单调区间，并求其极值； (2)画出函数的大致图象； (3)讨论函数的零点的个数. 【答案】(1)单调递增区间为,单调递减区间为，；极小值为，无极大值 (2)作图见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）求出，由的正负判断出的单调性可得极值； （2）根据的单调性极值可得答案； （3）转化为函数的零点的个数即为函数的图象与直线的交点个数，结合图象可得答案. 【详解】（1）定义域为，， 令得，， 列表如下； 0 ↘ ↘ ↗ 由上表知，单调递增区间为， 单调递减区间为，； 当时，取极小值为，无极大值； （2）令得，；令得，， 当时，，，故； 当时，，，故； 据此信息及（1）可得的图象，如图所示； （3）令得， 则函数的零点的个数即为函数的图象与直线的交点个数， 结合图象及（2）可知，当或，即或时， 函数有1个零点； 当，即时，函数有2个零点 当，即时，函数有0个零点. 【题型12】利用导数求几何体最值 解题技巧 三元均值不等式：， 应用：（1）若，求的最小值；（2）求的最小值 （1）；（2） 可以跳过求导的操作得出最值 典型例题 【例题1】如图，已知一个圆锥的底面半径为，高为，它的内部有一个正三棱柱，且该正三棱柱的下底面在圆锥的底面上，则这个正三棱柱的体积的最大值为 . 【答案】 【分析】设正三棱柱上底面三角形的外接圆半径为，高为，利用相似关系可知，由此可将正三棱柱体积表示为关于的函数的形式，利用导数可求得体积的最大值. 【详解】过三棱柱的上底面的平面平行于圆锥的底面，则该平面截圆锥所得的截面为一个小圆； 要使正三棱柱体积最大，则正三棱柱的上底面三角形内接于该小圆； 设小圆的半径为，正三棱柱的高为， ，解得：；又正三棱柱的底面三角形面积， 正三棱柱的体积，则； 当时，；当时，； 当时，. 【例题2】已知某圆锥的母线长为3，则当该圆锥的体积最大时，其侧面展开图的圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表达出圆锥的体积，通过求导得出其单调性，即可求出当该圆锥的体积最大时，其侧面展开图的圆心角的弧度数. 【详解】由题意，圆锥的母线长为3， 设圆锥的底面半径为，高为，则，， ∴ 体积：， ∴， ∴当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，取得最大值， 此时，侧面展开图的圆心角. 巩固练习 题型 【巩固练习1】将一个体积为的铁球切割成正三棱锥的机床零件，则该零件体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正三棱锥的底面边长为，高为，球半径为，由球体积求得球半径，根据边长、高、外接球半径关系及棱锥体积公式得到零件体积关于的函数，利用导数求体积最大值. 【详解】设正三棱锥的底面边长为，高为，球半径为， 由球的体积为，则，解得， ，即，故， 正三棱锥的体积为：， ， 由得：，此时函数单调递增， 由得：，此时函数单调递减， 当时，取得最大值，且最大值为. 【巩固练习2】已知正三棱锥的各顶点都在表面积为球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为 . 【答案】 【分析】根据球的性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】因为，所以正三棱锥外接球半径， 如图所示，设外接球圆心为O，过向底面作垂线垂足为D，， 要使正三棱锥体积最大，则底面与在圆心的异侧， 因为是正三棱锥，所以D是的中心， 所以， 又因为，所以， ， 所以， 令， 解得或， 当，；当，， 所以在递增，在递减， 故当时，正三棱锥的体积最大，此时正三棱锥的高为， 故正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为. 【巩固练习3】已知正四棱锥的高为，其顶点都在同一球面上，若该球的体积为，且，则当该正四棱锥体积最大时，高的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据题意列出体积与高之间的函数关系式，利用导数讨论单调性和最值求解. 【详解】   如图，设高为，底边长为， 则， 又，∴， 又，， , 所以当时，，当时，， 所以函数在单调递增，单调递减， 故 【巩固练习4】直六棱柱的底面是正六边形，其体积是，则该六棱柱的外接球的表面积的最小值是 . 【答案】 【分析】设正六边形的边长为a, ,表示出直六棱柱的体积建立方程,将a用x表示,该六棱柱的外接球的直径为BC,可求出外接球的表面积，利用导数研究函数的最值即可. 【详解】如图， 设正六边形的边长为a,则底面面积，设，(x>0)， 则六棱柱的体积为即，故 而该六棱柱的外接球的直径为， 所以该六棱柱的外接球的表面积为， 令，则,令,解得x=2， 当 时, ,单调递减， 当时, ，单调递增, 所以当时，取最小值， 所以该六棱柱的外接球的表面积的最小值是 【巩固练习5】已知球体的半径为3，当球内接正四棱锥的体积最大时，正四棱锥的高和底面边长的比值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】设球心到底面距离为，通过正四棱锥的对角面求出棱锥的高，与底面边长，计算出体积后，利用导数的知识求出最大值，得出结论． 【详解】如图，是正四棱锥的对角面，其外接圆是四棱锥外接球的大圆，是圆心（球心）， 设正四棱锥底面边长为，则，，设， 则由得，，，， ， ， 当时，，递增，时， ，递减，∴时，取得极大值也是最大值． 此时高，，． 故选：A． 【题型13】隐零点问题 要点诠释 隐零点问题是指对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题. 1、隐零点就是指一个函数可以判断它在某个区间上有一个零点，但是这个零点具体是什么却无法计算或根本不需要计算，只需利用它的存在去解答题目. 2、在求解函数问题时，很多时候都需要求函数在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数在区间I上存在唯一的零点（例如，函数在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是(因为不易求出，所以把零点叫做隐零点)，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法. 知识点01 利用“隐零点”研究极（最）值问题 要点诠释：在利用“隐零点”研究极(最)值问题时,往往利用零点的存在性,对函数的零点设而不求,通过整体代换、构造函数等,再结合题目条件解决问题. 知识点02 利用“隐零点”确定参数取值范围 利用“隐零点”确定参数取值范围的方法：确定函数的单调性和极值点、利用极值点处导数值为零的条件表达参数、代入极值的保号性求出的范围、最后根据的范围和参数表达式求出参数的取值范围. 要点诠释：在求解参数范围时，需要根据求出的最值范围对零点的范围进行调整，以确保求出的参数范围准确.如果隐零点的限定范围合适，无需再缩小隐零点的范围，否则无法准确判断出参数的最大或最小值. 知识点03 利用“隐零点”解答不等式恒成立（证明）问题 要点诠释：利用“隐零点”解答不等式恒成立（证明）问题，关键在于通过设定隐零点，利用函数的单调性、极值等性质，结合不等式的性质进行解决问题.主要策略包括： ①‌运用隐零点式替换‌，简化函数表达式：通过设置隐零点，将复杂的函数表达式转化为更易于处理的形式，如通过替换幂和对数式等，简化问题的求解过程. ②‌借助隐零点搭桥‌，协助描绘函数性态：通过隐零点的设定和分析，可以更好地理解函数的单调性、极值等性质，从而协助解决问题. 典型例题 【例题1】（高二下·广东深圳·期中）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】利用导数研究函数的单调性，求出函数最小值，依题意，即可得到关于的不等式，解得即可． 【详解】∵的定义域为， ∴， 令，， 又易知在上单调递增， 又，， ∴，使得， ∴时，即单调递减； 当时，即单调递增； ∴的最小值为， ∵，∴，， ∴的最小值为， 又恒成立， ∴，∴， 故实数的取值范围为． 【例题2】已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并说明理由； (2)求证：函数在上有且只有一个极值点． 【答案】(1)函数f（x）在区间上的单调递增，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出导函数，确定在上的正负得单调性； （2）令，求出得的单调性，从而得在上的零点个数，即可得证的极值点个数． 【详解】（1）函数f（x）在区间上的单调递增， ， 因为，所以，， 所以，所以函数f（x）在区间上的单调递增． （2）证明：令，则， 当时，，h（x）单调递减， 又因为，， 所以存在唯一，使得， 随着x变化，的变化情况如下； x + 0 - 递增 极大值 递减 所以f（x）在内有且只有一个极值点． 【例题3】 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2024·浙江金华·一模）已知函数，. (1)若，求的单调区间；(2)若，求的取值范围. 【答案】(1)单调增区间为，减区间为；(2) 【分析】（1）代入参数值，求导函数，解导函数大于0的不等式，得出增减区间； （2）求导函数，得到增减区间，求得最小值；由题意建立不等式，构建对应函数，由导函数求得单调区间得最小值再建立不等关系，得到范围. 【详解】（1）当时， 时，，时，； 的单调增区间为，单调减区间为 （2） 时，，时， 又， 令 则，显然单调递减，且， 必然存在唯一使得 当，，单调递增， 当，，单调递减 由于时，，成立 当时，单调递减，且，因此成立 综上，成立的范围为 【巩固练习2】已知函数，若在有实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 首先分析题意，由于，设出进一步分析，则，分析单调性解出实数的取值范围. 【详解】根据题意，，所以，令， 则函数在上存在零点等价于与的图象有交点. ， 令，则，故在上单调递增， 因为，，所以存在唯一的，使得， 即，即，， 所以当时单调递减，当 时，单调递增，所以， 又时，，故，所以 【巩固练习3】已知，若，且对任意恒成立，则k的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】 因为，且对任意恒成立，即对任意恒成立. 令（），则. 令（），则， 当时，，所以函数在上单调递增. 因为，， 所以方程在上存在唯一实根，满足. 当时，，即，当时，，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 又，所以，故， 所以，， 所以，故整数k的最大值是4. 【巩固练习4】已知函数. (1)若在上是减函数，求实数的最大值；（2）若，求证：. 【答案】（1）（2）证明见解析 【解析】（1）根据函数单调性可将问题转化为在上恒成立问题，通过分离变量的方式将问题转化为，利用导数求得的最大值，进而得到结果； (2)将问题转化为的证明；利用单调递增和零点存在定理可确定存在，使得，从而得到；根据导函数正负可确定单调性，进而得到，化简后，结合基本不等式可证得结论. 【详解】由函数解析式可知，定义域为. （1）， 在上是减函数，在上恒成立，即恒成立 令，则，在上单调递增， ，，解得：， 的最大值为. (2)由（1）知：，则， 在上单调递增. ，当时，，，此时， 由零点存在定理可知，存在，使得，即， . 当时，；当时，， 当时，单调递减；当时，单调递增， （当且仅当，即时取等号）. 当时，. 2 / 65 学科网（北京）股份有限公司 $$