9.2 轴对称 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版2024新教材）

9.2 轴对称 一、轴对称的概念 将一个平面图形沿某条直线翻折后得到另一个图形的平面变换叫作轴对称，这条直线叫作对称轴，此时称这两个图形成轴对称。 二、轴对称的性质 1.成轴对称的两个图形是全等形。 2.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 3.两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。 4.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 三、轴对称图形的定义 如果一个图形关于某条直线成轴对称的图形是其本身，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 四、画轴对称图形的方法 1.在原图形上找特殊点（如线段的端点）。 2.画各个特殊点关于对称轴的对称点。 3.依次连接各对称点。 五、线段的垂直平分线 定义：垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 六、角平分线与垂直平分线的作图 1.角平分线的作图方法 步骤一：画出角AOB。 步骤二：以角的顶点A为圆心，任意长度为半径作弧，交角的两边于点C、D。 步骤三：分别以C、D为圆心，以CD为半径作弧。两弧相交于点E。 步骤四：连接OE（或AE、AF等，根据作图时的具体标记而定），OE即为角AOB的角平分线。 2、垂直平分线的作图方法 步骤一：画出线段AB。 步骤二：以A为圆心，任意长度为半径（但需确保半径大于线段AB的一半）作圆，交线段AB于点C、D（C、D为AB与圆的交点，且C、D位于AB的两侧）。 步骤三：分别以C、D为圆心，以CD为半径作弧。两弧相交于点E（E为两弧的交点，且E位于线段AB的上方或下方）。 步骤四：连结AE、BE（实际上此步骤是为了确认E点的位置，作图时通常不直接画出AE、BE，而是直接进行下一步）。由于∠CEA=∠DEB（根据作图步骤可知），且AE=BE（因为E是两弧的交点，所以到A、B两点的距离相等），所以三角形CEA与三角形DEB是全等的。因此，∠CAE=∠DBE，即AE是∠CAB的角平分线。 步骤五：过E点作线段AB的垂线，该垂线即为线段AB的垂直平分线（因为E是AB的中垂线上的点，所以过E点的垂线就是AB的垂直平分线）。 巩固课内例1:画出轴对称后的图形 1．如图，和关于直线l对称，下列结论正确的有（   ） ①；②；③直线l垂直平分线段 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质：关于某直线对称的两个三角形全等，且对应角相等，对应边相等，对称轴垂直平分对应点的连线，且平分对应点与对称轴上某点连线的夹角，依次判断即可． 【详解】解：∵和关于直线l对称， ∴，直线l垂直平分， ∴，， 所以正确的有3个， 故选：D． 2．如图，若与关于直线对称，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，掌握轴对称图形对应边相等，对应角相等是解题的关键． 根据周对称轴图形的性质“对应角相等”即可求解． 【详解】解：与关于直线对称， ∴， 故答案为： ． 3．如图，在所给的网格图中，完成下列各题（用直尺画图，否则不给分） (1)画出格点关于直线DE的对称的； (2)在DE上画出点P，使最小； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了轴对称变换以及最短路线求法，正确得出对应点位置是解题关键． （1）从三角形各顶点向引垂线并延长相同的长度，找到对应点，顺次连接； （2）利用轴对称图形的性质可作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 巩固课内例2:尺规作垂直平分线 1．下列作线段的垂直平分线的尺规作图，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，根据图形作法逐项判断即可求解，掌握基本作图方法是解题的关键． 【详解】解：、该选项是作角平分线，不合题意； 、该选项是经过直线外一点作已知直线的垂线，不合题意； 、该选项是作线段的垂直平分线，符合题意； 、选项是经过直线上一点作已知直线的垂线，不合题意； 故选：． 2．根据图中尺规作图的痕迹，可判断一定为的 ． 【答案】中线 【分析】本题考查了尺规作图，三角形的中线，根据尺规作图痕迹判断即可． 【详解】解：由作图的痕迹可知点D是线段的中点，所以线段一定为的中线． 故答案为：中线． 3．如图，村庄A，B分别在笔直公路的两侧，一辆汽车在公路上行驶到什么位置时，它到A，B两村庄的距离相等？请指出该位置． 【答案】图见解析 【分析】本题主要考查了作已知线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质等知识点，牢记线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 连接，作的垂直平分线，直线与相交于点，则点即为所求． 【详解】解：如图，连接，作的垂直平分线，直线与相交于点，则点即为所求： 汽车在公路上行驶到点时，它到A，B两村庄的距离相等， 理由：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， 答：汽车在公路上行驶到点时，它到A，B两村庄的距离相等． 巩固课内例3:尺规作已知线段的对称线段 1．已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质即可得线段、、都被直线垂直平分，进而可得答案． 【详解】解：∵点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点， ∴线段、、都被直线垂直平分． 故选：B． 2．如图，、关于直线对称，则点的对称点是 线段的对应线段是 【答案】 点 线段 【分析】此题考查了轴对称，准确找到对应点是解题的关键．根据轴对称的性质进行解答即可． 【详解】解：、关于直线对称，则点的对称点是点C，线段的对应线段是线段． 故答案为：点C；线段． 3．如图，与关于直线对称，其中． (1)你认为点A与点D有何关系？连接，则线段与直线有何关系？ (2)求的度数． 【答案】(1)点A于点D关于直线成轴对称，线段被直线垂直平分 (2) 【分析】本题考查成轴对称的性质． （1）根据成轴对称的性质：对应点连线被对称轴垂直平分，作答即可； （2）根据对应角相等，作答即可． 【详解】（1）解：点与点关于直线成轴对称，线段被直线垂直平分． （2）因为与关于直线对称， 所以， 所以， 因为， 所以． 巩固课内例4:尺规作角平分线 1．如图，作已知的平分线，合理的顺序是（   ） ① 作射线；②在，上分别截取，，使；③分别以N，M为圆心，以大于 为半径画弧，两弧在 内交于点C． A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②① 【答案】C 【分析】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握作角平分线的步骤． 根据作角平分线的步骤即可判断． 【详解】解：作已知的平分线 ，作图步骤是： 第一步：在，上分别截取，，使； 第二步：分别以N，M为圆心，以大于 为半径画弧，两弧在 内交于点C； 第三步：作射线； ∴合理的顺序是：②③①， 故选：C． 2．如图所示，已知∠AOB=40°，现按照以下步骤作图： ①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD=OE； ②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C； ③作射线OC． 则∠AOC的大小为 ． 【答案】20°． 【详解】根据画图的方法可知：OC是∠AOB的角平分线， ∴∠AOC=40°÷2=20°． 故答案是：20°． 3．如图，在中作出和，其中． (1)请你根据作图的痕迹，写出结论：是的__________； (2)请你根据作图的痕迹，写出结论：是边的__________； 【答案】(1)平分线 (2)垂直平分线 【分析】本题考查了尺规作图，根据作图痕迹判断即可． 【详解】（1）解：由作法可知，是的平分线． 故答案为：平分线； （2）解：由作法可知，是边的垂直平分线． 故答案为：垂直平分线． 类型一、轴对称图形 1．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学校徽中的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选C． 2．汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现了人类追求均衡对称、和谐稳定的天性，宋体的汉字“王”“中”“田”等都是轴对称图形，请再写出两个这样的汉字： ． 【答案】甲，由（答案不唯一） 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：轴对称图形的汉字，如甲，由（答案不唯一）． 故答案为：甲，由（答案不唯一）． 3．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的均在格点上，位置如图所示． (1)请画出关于直线对称的； (2)连接、，并计算四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）根据对称点到对称轴的距离相等且与对称轴垂直，确定对称轴点，后依次连接得到图形即可． （2）利用梯形的面积公式计算即可． 本题考查了轴对称图形的基本作图，图形的面积计算，熟练掌握轴对称基本作图是解题的关键． 【详解】（1）解：根据轴对称的基本作图，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，得四边形的面积为． 类型二、成轴对称的两个图形 1．甲在照镜子，如图，镜子里哪个是他的像？（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了镜面对称，正确把握镜面对称的定义是解题关键．直接利用镜面对称的定义得出答案． 【详解】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有B与原图形成镜面对称． 故选：B． 2．如图，直线左边是计算器上的数字“5”．若以直线为对称轴，那么与它成轴对称图形的数字是 ． 【答案】2 【解析】略 3．如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点______，的对应边是______； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握性质，准确计算． （1）本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质解答即可． （2）本题根据轴对称性质推出，从而得出，最后根据即可解题． 【详解】（1）解：由题意可得：图中点的对应点是点，的对应边是， 故答案为：，． （2）解：， ， ， ． 类型三、点的对称 1．如图，和关于直线l对称，点A的对称点是（　　） A．点C B．点F C．点E D．点D 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质进行解答即可，此题考查了轴对称，准确找到对应点是解题的关键． 【详解】解：∵和关于直线l对称， ∴点A的对称点是点D， 故选：D 2．如图，与交于点O，和关于直线对称，点A、B的对称点分别是点C、D．则以下结论： ①； ②； ③垂直平分．其中正确的结论序号为 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，根据轴对称图形的性质求解即可． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，故①正确； ∴，，，故②错误； ∴点A和点C关于对称 ∴垂直平分，故③正确． 综上所述，其中正确的结论序号为①③． 故答案为：①③． 3．如图，和关于直线对称，和的交点F在直线上．    (1)图中点B的对称点是点______，的对应角是______； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)D； (2)3 【分析】（1）根据轴对称的性质求解即可； （2）根据轴对称的性质得，从而即可求解． 【详解】（1）解：图中点B的对称点是点D，的对应角是， 故答案为∶ D，； （2）解：∵和关于直线对称， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，两个图形的对应线段，对应角，分别相等． 类型四、线段的额对称 1．如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段，，被直线垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线上 【答案】D 【分析】此题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质依次分析判断，正确掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A、和关于直线对称， ， ，正确，不符合题意； B、和关于直线对称， 线段，，被直线垂直平分，正确，不符合题意； C、和关于直线对称， 是线段的垂直平分线， 为等腰三角形，正确，不符合题意； D、和关于直线对称， 线段所在直线的交点一定在直线上，原说法错误，符合题意． 故选：D． 2．如图，与关于直线对称，对应点所连线段与直线交于点，则 是 的垂直平分线．若，则 ， ．    【答案】 直线 线段 3 90 【分析】根据轴对称的性质即可解答． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴直线是线段的垂直平分线，， ∵， ∴， 故答案为：直线，线段，3，90． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握对称轴垂直平等对应点连线． 3．如图，四边形与四边形关于对称． (1)与、、、的对称点分别是_____，线段、的对应线段分别是_____， _____， _____， _____； (2)连接、，与平行吗？为什么？ (3)对称轴与线段的关系？ 【答案】(1)，，，；，；；； (2)，根据对应点的连线互相平行或共线，这里不共线，所以平行 (3)对称轴垂直平分．根据对称轴垂直平分对称点的连线 【分析】（1）根据图形写出对称点和对应线段即可； （2）对称图形的对应点的连线平行，据此求解； （3）根据“对应点的连线被对称轴垂直平分”求解； 【详解】（1）、、、的对称点分别是，，，，线段、的对应线段分别是，，，，； 故答案为：，，，；，；；；． （2），根据对应点的连线互相平行或共线，这里不共线，所以平行； （3）对称轴垂直平分．根据对称轴垂直平分对称点的连线． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是了解轴对称的性质，难度不大，属于基础题． 类型五、三角形的对称 1．如图，与关于直线对称，连接交对称轴于点，若，，则下列说法不正确的是（   ） A．三角形与三角形的周长相等 B．且 C． D．连接，，则，且 【答案】D 【考点】本题主要考查轴对称的性质和三角形的内角和定理的应用，根据轴对称的性质得三角形与三角形的周长相等，且，，，结合三角形的内角和定理即可求得． 【详解】解：∵与关于直线对称，，， 三角形与三角形的周长相等，且，，， ， ，，正确，不符合题意； 但不正确，错误，符合题意． 故选：． 2．如图，三角形与三角形关于直线l对称．若，，则 ． 【答案】 【解析】略 3．如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接和，则和的位置关系为___________； (3)若，，，求的度数． 【答案】(1)6 (2) (3)． 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，熟练掌握轴对称的性质是银题的关键． （1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可； （2）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得，，即可由平行线的判定即可得出结论； （3）根据轴对称的性质：对应角相等，以及三角形内角和等于180度，求解即可． 【详解】（1）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴ ； （2）解：， 理由：如图，    ∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称，点与点关于直线对称， ∴，， ． 故答案为：； （3）解：∵和关于直线对称， ∴，与关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 类型六、对称轴 1．下列轴对称图形中有且只有一条对称轴的图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进行判断． 本题考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：根据题意，左起第一个图形是轴对称图形且只有一条对称轴；第二个图形有4条对称轴，第三、第四个图形含有2条对称轴， ∴有且只有一条对称轴的图形有1个． 故选：A． 2．如图是采用我国非遗纺织印染工艺——蜡染制作的精美图案，该图案有 条对称轴． 【答案】4 【分析】本题考查了轴对称图形的对称轴，掌握轴对称图形的定义，找出对称轴是解题的关键． 轴对称图形：是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴，由此即可求解． 【详解】解：根据题意作图得， ∴图案有4条对称轴， 故答案为：4 ． 3．作出下列轴对称图形的一条对称轴． 【答案】 【分析】本题考查了画对称轴，根据轴对称图形的特征，作一个图形的对称轴时，可连结两个对称点，对称轴就是对称点连线的垂直平分线，解决本题的关键是熟记轴对称图形的定义． 依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可解答． 【详解】解：如图所示， ． 类型一、轴对称的基本性质求长度 1．如图，与关于直线l对称，若，则的长是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，全等三角形的性质．根据轴对称图形的性质可得，再由全等三角形的判性质解答即可． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图，点P关于、的对称点分别为C、D，连结，交于M，交于N，若线段的长为16厘米，则的周长 ． 【答案】16 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键 根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．可得，，根据三角形周长的定义即可解答． 【详解】点P关于、的对称点分别为C、D，连结，交于M， ，， ∵的周长， ， ， 故答案为：16． 3．如图，在四边形中，，，，为的中点．将沿翻折，点恰好落在上的点处．求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，根据折叠可得，，，根据中点可得，根据全等三角形的判定和性质可证，，由此即可求解． 【详解】证明：将沿翻折，点恰好落在上的点处， ∴， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 类型二、轴对称的基本性质求角度 1．如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、，根据图中标示的角度，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查轴对称的性质，连接，利用轴对称的性质解答即可． 【详解】解：连接， 点分别以、为对称轴，画出对称点、， ，， ，， ， ， 故选：D． 2．如图，一张长方形纸片，它的四个内角都是直角，将其分别沿折叠后，点落在点处，点落在上点处，若，则的角度用含的代数式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，由折叠的性质得出，进而求出，再根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠知：， ∴， ∵长方形中，， ∴， 故答案为：． 3．利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点A落在点，点B落在点，连接．      (1)如图2，若点恰好落在上，且，则 ； (2)如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，掌握从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． （1）由折叠得出，，由平角的性质可得，再由，即可求解； （2）同（1）的方法求出，再由即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，， ，， ， 故答案为：； （2）解：由题意知，， ，，， ， ． 类型三、轴对称的基本性质求周长 1．如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（   ） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，直接利用轴对称的性质得出，再用周长公式计算即可得出答案，熟练掌握轴对称的性质并能正确得出对应线段是解决此题的关键． 【详解】解：和关于直线对称，直线l与相交于点O， ， ， ，，， 五边形的周长为：， 故选：． 2．如图，将沿所在的直线翻折后，使点B落在点D处，再将线段沿着射线向左平移若干单位长度得到，如果四边形的周长是10，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，折叠的性质，先由平移的性质得到，再由四边形周长计算公式推出，进一步由折叠的性质得到，据此根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：由平移的性质可得， ∵四边形的周长是10， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故答案为：． 3．如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若的周长为_______． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，熟知轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【详解】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ∵， ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为4． 故答案为：4 类型四、轴对称的基本性质求面积 1．如图，将一张长方形纸片按如图方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为49和16的正方形，则阴影部分的面积为（    ） A．33 B．12 C．7 D．6 【答案】B 【分析】本题考查折叠问题，关键是求出两个正方形的边长．求出两个正方形的边长分别是7和4，得到阴影的长是4，宽是3，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：两个正方形的面积分别为49和16， 两个正方形的边长分别是7和4， 阴影的长是4，宽是， 阴影部分的面积． 故选：B． 2．如图，正方形的边长为a，E，F分别是对角线上的两点，过点E，F分别作，的平行线，则图中阴影部分的面积之和为 ．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，得出将四边形沿翻折到四边形的位置后两个四边形重合是解题的关键．由于正方形关于直线对称，将四边形沿翻折到四边形的位置，此时阴影部分的面积之和转化为等腰直角三角形的面积． 【详解】解：正方形关于直线对称， 将四边形沿翻折到四边形的位置后两个四边形重合， 图中阴影部分的面积之和为 故答案为：． 3．如图，在中，，点，在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， (1)求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题主要考查了折叠变换的性质、三角形面积等知识： （1）由折叠可得，，，再根据，即可得出； （2）在中，得出，再计算出，由三角形面积公式可得结论． 【详解】（1）解：由折叠可得，，， 又， ， 即； （2）解：由折叠，得， ． 类型一、尺规作图——垂直平分线与角平分线 1．数学老师提出问题：已知线段，，利用尺规作图作，使线段，分别为三角形的一条直角边和斜边．小明所作的图如图所示，下列作图步骤中，小明的作图顺序是（   ） ①以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； ②画直线； ③分别以点，为圆心，大于线段的长为半径画弧，交于点； ④以点为圆心，线段的长为半径画弧，交直线于点，连接； ⑤画射线，并在上截取线段 A．⑤①③②④ B．⑤④③②① C．⑤③②①④ D．⑤①④③② 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图——复杂作图、线段垂直平分线的性质等，掌握基本作图的方法是解题的关键．根据尺规作直角三角形的方法进行判断即可． 【详解】解：小明的作图顺序是⑤①③②④， 故选：A． 2．如图，已知与给出部分尺规作图痕迹如图所示（无需补全作图痕迹），尺规作图过程如下； （1）以为圆心，适当长为半径作弧（弧足够长），交射线，分别为，两点，连接： （2）以为圆心，长为半径作弧（弧足够长），交于点： （3）以为圆心，长为半径作弧，交弧于点，作射线． 若，当为的平分线时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角平分线的定义，角的和差，分射线在的内部和外部两种情况求解即可． 【详解】解：由作图可知，． 如图，当射线在的内部时， ∵，， ∴． ∵为的平分线， ∴； 如图，当射线在的外部时， ∵，， ∴． ∵为的平分线，， ∴． 故答案为：或． 3．如图，某娱乐休闲景区内有两条小路与相交于点C，咖啡厅和购物商店分别在点A和点C处，景区管理员打算在区域内的点Q处修建游客服务区，要求点Q到的距离与点Q到的距离相等，且．请你帮景区管理员找出点Q．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，作角平分线和线段的垂直平分线，涉及角平分线的判定和线段的垂直平分线的判定，正确理解题意是解题的关键． 作出线段的垂直平分线和的平分线，交点即为点． 【详解】解：如图，点即为所求， 类型二、台球与光线的反射问题 1．如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，理解题意，掌握碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角是解题的关键． 根据黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角，轴对称图形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角， ∴最后进入的球洞的序号是①， 故选：A ． 2．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多反射），则该球最后将落入的球袋是 ． 【答案】4 【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键． 3．如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了轴对称作图，解题的关键是熟练掌握光在入射时，入射角等于反射角；两条入射光线的交点处是点光源所在处．作出和的入射光线，相交处即为点S所在位置． 【详解】解：如图所示： 类型三、折叠问题 1．如图，在中，，，点，分别在，上，将沿折叠得，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、直角三角形的性质．首先根据平行的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据邻补角的定义可得，根据折叠的性质可得． 【详解】解：如下图所示， ， ， ， ， ， 根据折叠的性质可知． 故选：A ． 2．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，、两点落在、点处，若得，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，邻补角，根据折叠的性质可得，再根据，可得出的度数． 【详解】解：根据折叠的性质得：， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，将三角形纸片折叠，为折痕，点落在外的点处，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，折叠的性质，互补的计算，掌握折叠的性质，三角形内角和定理，互补的计算方法是解题的关键． 根据三角形内角和定理可得，根据周角可得，由折叠的性质可得，，再根据互补的计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵折叠得到， ∴，， ∴， ∴， ∴． 类型四、最短问题 1．如图，直线是一条河，P，Q是两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，向P，Q两村庄供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称性质，两点之间线段最短，读懂题意，过点作关于直线的对称点，再连接，与直线交于一点，连接，则，即可作答． 【详解】解：依题意，直线是一条河，P，Q是两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，向P，Q两村庄供水，所需管道最短， 则如图所示：过点作关于直线的对称点，再连接，与直线交于一点，连接， 此时， ∴所需管道最短的是， 故选：A． 2．如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点 处．（填图中的字母） 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，掌握轴对称的性质并正确作图是解题的关键．根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：如图：作点B关于直线a的对称点N，连接，则交直线a于点C， 由对称性可得，， ， 当三点共线时，最短， 点P的位置应选在点C处． 故答案为：C． 3．【问题提出】唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这个问题． 【解决问题】如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 证明过程如下：如图3，在直线上另取任一点，连接，，， 因为直线是点，的对称轴，点，在直线上， 所以______，______． 所以______． 因为在中，（三角形的两边之和大于第三边） 所以，即最小． 本问题实际上是利用了轴对称变换的思想，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中在与直线的交点上，即，，三点共线），本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【拓展延伸】如图所示，点是锐角内部的一点．请你在边和边上分别找到点，，使得的周长最小． 【答案】[解决问题]，，； [拓展延伸]见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、三角形三边的关系、以及两点之间线段最短等知识，利用轴对称的性质对线段进行转化是解题的关键． [解决问题]利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决； [拓展延伸]作出点M关于的对称点，点M关于的对称点，连接，交于P，交于Q，根据两点之间线段最短，P、Q即为所求． 【详解】[解决问题] 证明：如图3，在直线上另取任一点，连接，，， 因为直线是点，的对称轴，点，在直线上， 所以，． 所以． 因为在中，（三角形的两边之和大于第三边） 所以，即最小． 故答案为： ，，； [拓展延伸] 解：如图所示，作出点M关于的对称点，点M关于的对称点，连接，交于P，交于Q，此时的周长最小． 1．近日，“湘潮”号主题列车正式上线长沙地铁2号线，“湘潮”号地铁列车以“非遗潮起来”为主题，采用“锦灰堆”非遗设计风格，将长沙、汕头两地的非遗元素进行融合，打造了创意满满的沉浸地铁车厢场景，下列与“非遗”相关的图案中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 2．将一张纸按如图的方式折叠，、为折痕，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠性质，熟练掌握折叠性质是解答的关键．根据折叠性质和平角定义求解即可． 【详解】解：如图，标注字母， 由对折可得：，， ∴． 故选：B． 3．如图，直线表示一条河．表示两个村庄，欲在上的某处修建一个给水站，向两个村庄供水，现有如下图四种铺设管道的方案．图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对称性，最短路径的计算，掌握轴对称图形的性质，两点之间线段最短是解题的关键． 根据作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，由两点直线线段最短得到点即为所求点的位置，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，点关于直线的对称点，连接，交直线于点， ∴点即为所求点的位置， ∴所需管道最短的方案是D， 故选：D ． 4．有下列图形：①线段；②角；③两条平行线；④圆；⑤直角三角形；⑥平行四边形．其中不一定是轴对称图形的是 （填序号）． 【答案】⑤⑥/⑥⑤ 【分析】本题考查了轴对称图形的定义及识别，掌握其定义，找出对称轴是解题的关键．在平面内，如果一个图形能够沿一条直线折叠，使得折叠后的两边完全重合，这样的图形被称为轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此即可求解． 【详解】解：①线段，对称轴是过线段中点的垂线，故线段是轴对称图形； ②角，对称轴是角的平分线所在的直线，故角是轴对称图形； ③两条平行线，对称轴有无数条，故平行线是轴对称图形； ④圆，对称轴是直径所在的直线，有无数条，故圆是轴对称图形； ⑤直角三角形，不一定是轴对称图形，故符合题意； ⑥平行四边形，不一定是轴对称图形，故符合题意； 故答案为：⑤⑥ ． 5．如图，点O，M分别在长方形纸片的边，上，连接，将对折，使点B落在直线上的点处，得到折痕，若，则的度数为 ．    【答案】/125度 【分析】本题考查的是平角的含义，轴对称的性质，角的和差运算，先求解，结合轴对称可得，再进一步解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由对折可得：， ∴， 故答案为： 6．如图，是的垂直平分线，点P是上一点，若周长是，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得出，再求出，进而可得出答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵周长是，即， ∴， ∴， 故答案为：6 7．指出下列轴对称图形各有几条对称轴，并把它们作出来． 【答案】对称轴的条数分别为1条、2条、2条、4条，图见解析 【分析】本题主要考查画轴对称图形的对称轴，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一解答即可． 【详解】解：4个图形对称轴的条数分别为1条、2条、2条、4条．如答图所示． 8．如图，在和关于直线l对称，求的度数和的长度； 【答案】， 【分析】本题主要考查了两个图形成轴对称的性质：两个图形关于一条直线成轴对称，那么这两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，它们的形状相同，大小不变．据此即可求解． 【详解】解：∵和关于直线l对称， ∴，． 9．如图，在四边形中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使点到和的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线的性质及作角平分线，由到和的距离相等可得点在角平分线上，作角平分线即可，，以为圆心，任意半径画弧分别交、于点、，再分别以、，大于长为半径画弧交于点，连接，则是角平分线，连接与的交点即为点 【详解】解：如图，点即为所求 10．如图，在中，将沿直线折叠，使点C与点B重合，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 【答案】(1)； (2)的周长． 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形的内角和定理等知识点， (1)先由三角形的内角和定理求得,再根据折叠的性质，得到,从而即可求解； (2)根据折叠的性质，得到,进而计算周长即可； 熟练掌握折叠的性质和三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：,, ， 由折叠可知，， , ； （2）解：由折叠可知，， 的周长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.2 轴对称 一、轴对称的概念 将一个平面图形沿某条直线翻折后得到另一个图形的平面变换叫作轴对称，这条直线叫作对称轴，此时称这两个图形成轴对称。 二、轴对称的性质 1.成轴对称的两个图形是全等形。 2.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 3.两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。 4.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 三、轴对称图形的定义 如果一个图形关于某条直线成轴对称的图形是其本身，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 四、画轴对称图形的方法 1.在原图形上找特殊点（如线段的端点）。 2.画各个特殊点关于对称轴的对称点。 3.依次连接各对称点。 五、线段的垂直平分线 定义：垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 六、角平分线与垂直平分线的作图 1.角平分线的作图方法 步骤一：画出角AOB。 步骤二：以角的顶点A为圆心，任意长度为半径作弧，交角的两边于点C、D。 步骤三：分别以C、D为圆心，以CD为半径作弧。两弧相交于点E。 步骤四：连接OE（或AE、AF等，根据作图时的具体标记而定），OE即为角AOB的角平分线。 2、垂直平分线的作图方法 步骤一：画出线段AB。 步骤二：以A为圆心，任意长度为半径（但需确保半径大于线段AB的一半）作圆，交线段AB于点C、D（C、D为AB与圆的交点，且C、D位于AB的两侧）。 步骤三：分别以C、D为圆心，以CD为半径作弧。两弧相交于点E（E为两弧的交点，且E位于线段AB的上方或下方）。 步骤四：连结AE、BE（实际上此步骤是为了确认E点的位置，作图时通常不直接画出AE、BE，而是直接进行下一步）。由于∠CEA=∠DEB（根据作图步骤可知），且AE=BE（因为E是两弧的交点，所以到A、B两点的距离相等），所以三角形CEA与三角形DEB是全等的。因此，∠CAE=∠DBE，即AE是∠CAB的角平分线。 步骤五：过E点作线段AB的垂线，该垂线即为线段AB的垂直平分线（因为E是AB的中垂线上的点，所以过E点的垂线就是AB的垂直平分线）。 巩固课内例1:画出轴对称后的图形 1．如图，和关于直线l对称，下列结论正确的有（   ） ①；②；③直线l垂直平分线段 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图，若与关于直线对称，则的度数为 ． 3．如图，在所给的网格图中，完成下列各题（用直尺画图，否则不给分） (1)画出格点关于直线DE的对称的； (2)在DE上画出点P，使最小； 巩固课内例2:尺规作垂直平分线 1．下列作线段的垂直平分线的尺规作图，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．根据图中尺规作图的痕迹，可判断一定为的 ． 3．如图，村庄A，B分别在笔直公路的两侧，一辆汽车在公路上行驶到什么位置时，它到A，B两村庄的距离相等？请指出该位置． 巩固课内例3:尺规作已知线段的对称线段 1．已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，、关于直线对称，则点的对称点是 线段的对应线段是 3．如图，与关于直线对称，其中． (1)你认为点A与点D有何关系？连接，则线段与直线有何关系？ (2)求的度数． 巩固课内例4:尺规作角平分线 1．如图，作已知的平分线，合理的顺序是（   ） ① 作射线；②在，上分别截取，，使；③分别以N，M为圆心，以大于 为半径画弧，两弧在 内交于点C． A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②① 2．如图所示，已知∠AOB=40°，现按照以下步骤作图： ①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD=OE； ②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C； ③作射线OC． 则∠AOC的大小为 ． 3．如图，在中作出和，其中． (1)请你根据作图的痕迹，写出结论：是的__________； (2)请你根据作图的痕迹，写出结论：是边的__________； 类型一、轴对称图形 1．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学校徽中的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现了人类追求均衡对称、和谐稳定的天性，宋体的汉字“王”“中”“田”等都是轴对称图形，请再写出两个这样的汉字： ． 3．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的均在格点上，位置如图所示． (1)请画出关于直线对称的； (2)连接、，并计算四边形的面积． 类型二、成轴对称的两个图形 1．甲在照镜子，如图，镜子里哪个是他的像？（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线左边是计算器上的数字“5”．若以直线为对称轴，那么与它成轴对称图形的数字是 ． 3．如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点______，的对应边是______； (2)若，，求的度数． 类型三、点的对称 1．如图，和关于直线l对称，点A的对称点是（　　） A．点C B．点F C．点E D．点D 2．如图，与交于点O，和关于直线对称，点A、B的对称点分别是点C、D．则以下结论： ①； ②； ③垂直平分．其中正确的结论序号为 ． 3．如图，和关于直线对称，和的交点F在直线上．    (1)图中点B的对称点是点______，的对应角是______； (2)若，，求的长度． 类型四、线段的额对称 1．如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段，，被直线垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线上 2．如图，与关于直线对称，对应点所连线段与直线交于点，则 是 的垂直平分线．若，则 ， ．    3．如图，四边形与四边形关于对称． (1)与、、、的对称点分别是_____，线段、的对应线段分别是_____， _____， _____， _____； (2)连接、，与平行吗？为什么？ (3)对称轴与线段的关系？ 类型五、三角形的对称 1．如图，与关于直线对称，连接交对称轴于点，若，，则下列说法不正确的是（   ） A．三角形与三角形的周长相等 B．且 C． D．连接，，则，且 2．如图，三角形与三角形关于直线l对称．若，，则 ． 3．如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接和，则和的位置关系为___________； (3)若，，，求的度数． 类型六、对称轴 1．下列轴对称图形中有且只有一条对称轴的图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图是采用我国非遗纺织印染工艺——蜡染制作的精美图案，该图案有 条对称轴． 3．作出下列轴对称图形的一条对称轴． 类型一、轴对称的基本性质求长度 1．如图，与关于直线l对称，若，则的长是（  ） A． B． C． D． 2．如图，点P关于、的对称点分别为C、D，连结，交于M，交于N，若线段的长为16厘米，则的周长 ． 3．如图，在四边形中，，，，为的中点．将沿翻折，点恰好落在上的点处．求的长． 类型二、轴对称的基本性质求角度 1．如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、，根据图中标示的角度，的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，一张长方形纸片，它的四个内角都是直角，将其分别沿折叠后，点落在点处，点落在上点处，若，则的角度用含的代数式表示为 ． 3．利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点A落在点，点B落在点，连接．      (1)如图2，若点恰好落在上，且，则 ； (2)如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 类型三、轴对称的基本性质求周长 1．如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（   ） A．18 B．16 C．14 D．12 2．如图，将沿所在的直线翻折后，使点B落在点D处，再将线段沿着射线向左平移若干单位长度得到，如果四边形的周长是10，那么 ． 3．如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若的周长为_______． 类型四、轴对称的基本性质求面积 1．如图，将一张长方形纸片按如图方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为49和16的正方形，则阴影部分的面积为（    ） A．33 B．12 C．7 D．6 2．如图，正方形的边长为a，E，F分别是对角线上的两点，过点E，F分别作，的平行线，则图中阴影部分的面积之和为 ．    3．如图，在中，，点，在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， (1)求的度数； (2)若，，求的面积． 类型一、尺规作图——垂直平分线与角平分线 1．数学老师提出问题：已知线段，，利用尺规作图作，使线段，分别为三角形的一条直角边和斜边．小明所作的图如图所示，下列作图步骤中，小明的作图顺序是（   ） ①以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； ②画直线； ③分别以点，为圆心，大于线段的长为半径画弧，交于点； ④以点为圆心，线段的长为半径画弧，交直线于点，连接； ⑤画射线，并在上截取线段 A．⑤①③②④ B．⑤④③②① C．⑤③②①④ D．⑤①④③② 2．如图，已知与给出部分尺规作图痕迹如图所示（无需补全作图痕迹），尺规作图过程如下； （1）以为圆心，适当长为半径作弧（弧足够长），交射线，分别为，两点，连接： （2）以为圆心，长为半径作弧（弧足够长），交于点： （3）以为圆心，长为半径作弧，交弧于点，作射线． 若，当为的平分线时，的度数为 ． 3．如图，某娱乐休闲景区内有两条小路与相交于点C，咖啡厅和购物商店分别在点A和点C处，景区管理员打算在区域内的点Q处修建游客服务区，要求点Q到的距离与点Q到的距离相等，且．请你帮景区管理员找出点Q．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 类型二、台球与光线的反射问题 1．如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多反射），则该球最后将落入的球袋是 ． 3．如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 类型三、折叠问题 1．如图，在中，，，点，分别在，上，将沿折叠得，且满足，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，、两点落在、点处，若得，则的度数为 ． 3．如图，将三角形纸片折叠，为折痕，点落在外的点处，，，，求的度数． 类型四、最短问题 1．如图，直线是一条河，P，Q是两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，向P，Q两村庄供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点 处．（填图中的字母） 3．【问题提出】唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这个问题． 【解决问题】如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 证明过程如下：如图3，在直线上另取任一点，连接，，， 因为直线是点，的对称轴，点，在直线上， 所以______，______． 所以______． 因为在中，（三角形的两边之和大于第三边） 所以，即最小． 本问题实际上是利用了轴对称变换的思想，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中在与直线的交点上，即，，三点共线），本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【拓展延伸】如图所示，点是锐角内部的一点．请你在边和边上分别找到点，，使得的周长最小． 1．近日，“湘潮”号主题列车正式上线长沙地铁2号线，“湘潮”号地铁列车以“非遗潮起来”为主题，采用“锦灰堆”非遗设计风格，将长沙、汕头两地的非遗元素进行融合，打造了创意满满的沉浸地铁车厢场景，下列与“非遗”相关的图案中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．将一张纸按如图的方式折叠，、为折痕，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线表示一条河．表示两个村庄，欲在上的某处修建一个给水站，向两个村庄供水，现有如下图四种铺设管道的方案．图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（   ） A． B． C． D． 4．有下列图形：①线段；②角；③两条平行线；④圆；⑤直角三角形；⑥平行四边形．其中不一定是轴对称图形的是 （填序号）． 5．如图，点O，M分别在长方形纸片的边，上，连接，将对折，使点B落在直线上的点处，得到折痕，若，则的度数为 ．    6．如图，是的垂直平分线，点P是上一点，若周长是，，则的长为 ． 7．指出下列轴对称图形各有几条对称轴，并把它们作出来． 8．如图，在和关于直线l对称，求的度数和的长度； 9．如图，在四边形中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使点到和的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 10．如图，在中，将沿直线折叠，使点C与点B重合，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$