专题04：导数新定义问题（新运算) 解析 讲义-2025届高考数学二轮复习压轴题突破拿高分（导数篇）上海专用

2025年高考数学二轮复习压轴题突破拿高分（导数篇） 专题04 导数新定义问题（新运算） 1、 新定义问题的解题思路： 1、找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； 2、由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； 3、将已知条件代入新定义的要素中； 4、结合数学知识进行解答. 1. 解题步骤，求解“新定义”题目，主要分如下几步： 1、对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； 2、对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点； 3、对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键。 题型一：高数背景下的公式、定理 【例】（23-24高二格致中学练习）材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数，我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数.根据以上材料： （1）直接写出初等函数极值点 （2）求初等函数极值. 【例】（2024·广西柳州·模拟预测）帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．注：，，，，…；为的导数）．已知在处的阶帕德近似为． (1)求实数a，b的值； (2)比较与的大小； (3)若有3个不同的零点，求实数m的取值范围． 【例】帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，．已知在处的阶帕德近似为．注： (1)求实数，的值； (2)求证：； (3)求不等式的解集，其中． 【例】我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对于幂指函数，. (1)已知，求曲线在处的切线方程； (2)若且，.研究的单调性； (3)已知均大于0，且，讨论和大小关系. 题型二：利用运算关系构造新函数 【例】（虹口2023二模）设，，. （1）求函数，的单调区间和极值； （2）若关于不等式在区间上恒成立，求实数的值； （3）若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，求证：，，成等比数列. 【例】（2023·上海宝山·统考一模）已知函数，，其中为自然对数的底数. (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)设函数， ①若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围； ②当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【例】（奉贤2023一模21）已知函数，其中. （1）求函数在点的切线方程； （2）函数是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由； （3）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 题型三：利用函数对称平行关系下定义 【例】（2023·上海闵行·一模）定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系． (1)判断函数和是否具有C关系； (2)若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围； (3)若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围． 【例】（23-24高三下·上海·期中）定义 如果函数和的图像上分别存在点和关于轴对称，则称函数和具有关系. (1)若，试判断函数和是否具有关系； (2)若函数和不具有关系，求实数的取值范围； (3)若函数和在区间上具有关系，求实数的取值范围. 【例】（2024届金山区二模）已知函数与有相同的定义域．若存在常数()，使得对于任意的，都存在，满足，则称函数是函数关于的“函数”． （1）若，，试判断函数是否是关于的“函数”，并说明理由； （2）若函数与均存在最大值与最小值，且函数是关于的“函数”，又是关于的“函数”，证明：； （3）已知，，其定义域均为．给定正实数，若存在唯一的，使得是关于的“函数”，求的所有可能值． 题型四：其它角度下定义 【例】已知为实数，．对于给定的一组有序实数，若对任意，，都有，则称为的“正向数组”． (1)若，判断是否为的“正向数组”，并说明理由； (2)证明：若为的“正向数组”，则对任意，都有； (3)已知对任意，都是的“正向数组”，求的取值范围． 【例】（青浦2023一模21）设函数（其中是非零常数，是自然对数的底），记 （）. （1）求对任意实数，都有成立的最小整数的值（）； （2）设函数，若对任意，都存在极值点，求证：点（）在一定直线上，并求出该直线方程； （3）是否存在正整数和实数，使且对于任意，至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的和，若不存在，说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学二轮复习压轴题突破拿高分（导数篇） 专题04 导数新定义问题（新运算） 1、 新定义问题的解题思路： 1、找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； 2、由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； 3、将已知条件代入新定义的要素中； 4、结合数学知识进行解答. 1. 解题步骤，求解“新定义”题目，主要分如下几步： 1、对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； 2、对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点； 3、对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。 题型一：高数背景下的公式、定理 【例】（23-24高二格致中学练习）材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数，我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数.根据以上材料： （1）直接写出初等函数极值点 （2）求初等函数极值. 【答案】（1））极小值点为，无极大值点；（2）极大值且为，无极小值. 【分析】（1）， ，由此求得求得极值点. （2）利用复合函数求导研究的单调性，由此求得的极值. 【详解】（1）极小值点为，无极大值点. （2）， 所以， 令得，当时，，此时函数单调递增； 当时，，此时函数单调递减. 所以有极大值且为，无极小值. 【例】（2024·广西柳州·模拟预测）帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．注：，，，，…；为的导数）．已知在处的阶帕德近似为． (1)求实数a，b的值； (2)比较与的大小； (3)若有3个不同的零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，． (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求出，，，，根据，列方程组即可求解； （2）令，利用导数研究的单调性即可比较大小； （3），除1外还有2个零点，设为，，，由导数由函数零点个数求m的范围． 【详解】（1）由，， 知，，，， 由题意，， 所以，所以，． （2）由（1）知，，令， 则， 所以在其定义域内为增函数， 又， ∴时，； 时，， 所以时，；时，． （3）由（1）知，， 注意到，则除1外还有2个零点，设为，， ， 令， 当时，在上恒成立，则， 所以在上单调递减，不满足，舍去， 当时，除1外还有2个零点，设为，，则不单调， 所以存在两个零点，∴，解得， 当时，设的两个零点分别为s，， 则，， ∴，当时，，，则单调递增， 当时，，，则单调递减； 当时，，，则单调递增， 又，不妨设，， 而，且，，且， 所以存在，，满足， 即有3个零点，1，， 综上所述，m的取值范围为． 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 【例】帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，．已知在处的阶帕德近似为．注： (1)求实数，的值； (2)求证：； (3)求不等式的解集，其中． 【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3) 【详解】（1）因为，所以，，，则，，由题意知，，，所以，解得，. （2）由（1）知，即证，令，则且，即证时， 记，，则，所以在上单调递增，在上单调递增，当时，即，即成立，当时，即，即成立，综上可得时， 所以成立，即成立. （3）由题意知，欲使得不等式成立，则至少有，即或，首先考虑，该不等式等价于，即，又由（2）知成立， 所以使得成立的的取值范围是，再考虑，该不等式等价于，记，，则，所以当时，时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，，所以，，当时由，可知成立，当时由，可知不成立，所以使得成立的的取值范围是，综上可得不等式的解集为. 【例】我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对于幂指函数，. (1)已知，求曲线在处的切线方程； (2)若且，.研究的单调性； (3)已知均大于0，且，讨论和大小关系. 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)答案见解析 【详解】（1），则，所以，又因为，所以切线方程为. （2），，， 令，令，，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以， 所以在上单调递增. （3）由（2）知，令，得，由（2）知在上单调递增. 所以在上单调递增，当时，，即. 当时， 题型二：利用运算关系构造新函数 【例】（虹口2023二模）设，，. （1）求函数，的单调区间和极值； （2）若关于不等式在区间上恒成立，求实数的值； （3）若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，求证：，，成等比数列. 解：（1）解：（1）由题设，有，可得 2分 所以，当时，；当时，.令，当在变化时，，的变化情况如下表： 0 + 0 - 0 + 0 - 单调增 极大值 单调减 极小值 单调增 极大值 单调减 所以，函数在上的增区间为：与；减区间为：与.函数在上的极值为： ，，. 4分 （2）关于不等式，即：在区间上恒成立. 令，则由条件可知：是函数在上的一个极小值. 由，得，所以. 7分 下面证明：当时，在上恒成立. 当时，， 由（1）知：在上的极大值为，从而在上的最大值为1，即在上恒成立. 于是在上恒成立，所以在上严格增；从而，所以在上严格增；从而在上恒成立.即知：当时在上恒成立. 综合上述，得：. 10分 证：（3）对于函数，令，则.从而 当时，，函数在上严格增；当时，，函数在上严格减；故. 对于函数，令，则.从而 当时，，函数在上严格增；当时，，函数在上严格减；故. 12分 因此，函数与有相同的最大值.其图像如下图所示. 下面先证明：曲线与有唯一交点. 由，得，即方程有唯一实数根. 令，则.所以在上恒为负数. 易知，曲线与在区间上没有交点.而在区间上，函数严格减，函数严格增，所以函数在上严格减，进而函数在上严格减.由，及零点存在定理得：函数在上存在唯一零点，从而方程在上有唯一实数根，且. 14分 下面再证明：直线与曲线，有3个交点，，，且，，成等比数列. 由于直线与曲线，共有3个不同交点，故直线必过点，且，， 由，得，即，而函数在上严格增，，，故 ① 16分 由，得，即，而函数在上严格减，，，故 ② 由①，②得. ③ 由，得，故有 ④ 因此，由③，④得，即，，成等比数列. 18分 【例】（2023·上海宝山·统考一模）已知函数，，其中为自然对数的底数. (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)设函数， ①若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围； ②当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)①单调区间见解析，，②. 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即得. （2）①把代入，求出的导数，确定的解集得单调区间，结合极大值、极小值求出的范围；②由导数求出，构造函数并借助导数探讨不等式恒成立即可. 【详解】（1）函数，求导得，得，而， 所以切线方程为，即. （2）函数的定义域为R，求导得， ①当时，，，由，得或， 当或时，，当时，， 因此函数的单调增区间为和，单调减区间为； 极大值，极小值， 又， ， 所以函数有三个零点时的取值范围为. ②令，得或，解得或， 当或时，，当时，， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 因此当时，取得极大值，当时，取得极小值，即有， 而，， 又不等式对任意恒成立，于是， 设， 显然，， 令，求导得， 则函数在上严格递减，有， 当时，，则有函数在上严格递减， ，符合题意； 当时，存在，使得，当时，，当时，， 因此函数在上严格递增，有，不符合题意， 所以实数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 【例】（奉贤2023一模21）已知函数，其中. （1）求函数在点的切线方程； （2）函数是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由； （3）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2），不存在极值点；，存在一个极小值点，无极大值点；（3）. 【分析】（1）对求导，求出切点斜率，再根据切点求出切线方程即可； （2）令，对进行求导，再讨论及时导函数的正负及极值点即可； （3）将代入，先讨论时的取值范围，再全分离，构造新函数，求导求单调性求最值，即可得出的取值范围. 【解析】（1）因为 1分 1分 所以在点的切线方程为，即； 2分 （2）设，定义域为， 1分 则， 1分 ①当时，恒成立， 所以在严格增，所以不存在极值点； 2分 ②当时，令，则， 当时，；当时，； 所以在上严格减，在上严格增， 2分 所以函数存在一个极小值点，无极大值点； 1分 （3）原不等式，当时，恒成立； 1分 当时，， 2分 由（2）知在有最小值，故，所以 ， 2分 . 3分 【点睛】该题考查导数的综合应用，属于难题，关于恒成立问题的方法如下: （1）若，恒成立，则只需； （2） 若，恒成立，则只需； （3） 若，恒成立，则只需； (4) 若，恒成立，则只需； (5) 若，恒成立，则只需； (6) 若，恒成立，则只需； (7) 若，恒成立，则只需； (8) 若，恒成立，则只需. 题型三：利用函数对称平行关系下定义 【例】（2023·上海闵行·一模）定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系． (1)判断函数和是否具有C关系； (2)若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围； (3)若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）根据C关系的理解，令，解得，从而得以判断； （2）利用换元法，结合二次函数的性质得到在上恒成立，分类讨论与，利用基本不等式即可求得a的取值范围； （3）构造函数，将问题转化为在上存在零点，分类讨论与，利用导数与函数的关系证得时，在上有零点，从而得解. 【解析】（1）与是具有C关系，理由如下： 根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在，使得， 因为，，， 所以， 令，即，解得， 所以与具有C关系. （2）令， 因为，，所以， 令，则，故， 因为与不具有C关系，所以在上恒为负或恒为正， 又因为开口向下，所以在上恒为负，即在上恒成立， 当时，显然成立； 当时，在上恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，所以， 综上：，即. （3）因为和， 令，则， 因为与在上具有C关系，所以在上存在零点， 因为， 当且时，因为，所以， 所以在上单调递增，则， 此时在上不存在零点，不满足题意； 当时，显然当时，， 当时，因为在上单调递增，且， 故在上存在唯一零点，设为，则， 所以当；当；又当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值点， 因为，所以， 又因为，所以在上存在唯一零点， 所以函数与在上具有C关系， 综上：，即. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是理解新定义，得到与具有C关系，则在定义域上存在，使得，从而得解. 【例】（23-24高三下·上海·期中）定义 如果函数和的图像上分别存在点和关于轴对称，则称函数和具有关系. (1)若，试判断函数和是否具有关系； (2)若函数和不具有关系，求实数的取值范围； (3)若函数和在区间上具有关系，求实数的取值范围. 【答案】(1)具有 (2) (3) 【分析】（1）令求出，即可确定对称点的坐标，即可判断； （2）由，利用二倍角公式及辅助角公式得到，结合正弦函数的性质求出的取值范围； （3）令，利用导数说明函数的单调性，得到函数在上存在零点时参数的取值范围，即可得解. 【解析】（1）当时，由， 得，解得，又 ， 所以函数和图像上分别存在点和关于轴对称，故和具有关系. （2）由，得，， ，，， 其中，因为可取一切实数，所以， 所以方程有解的充要条件为， 即，即，所以， 所以函数和不具有关系时， 实数的取值范围为； （3）令，则.             函数和在上具有关系，等价于在上存在零点； 函数和在上不具有关系，等价于在上不存在零点. 1°当，且时，因为，所以， 所以在上是严格增函数，且；此时在上不存在零点， 即函数和在上不具有关系.   2°当时，显然当时，， 当时，因为在是严格增函数，且，，故在存在唯一零点， 设为，即；且当，；当，， 所以在上存在唯一极小值点，所以在上是严格减函数， 在上是严格增函数， 因为，所以，又因为， 所以在上存在唯一零点，所以函数和在上具有关系. 综上所述，若函数和在上具有关系，则实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 【例】（2024届金山区二模）已知函数与有相同的定义域．若存在常数()，使得对于任意的，都存在，满足，则称函数是函数关于的“函数”． （1）若，，试判断函数是否是关于的“函数”，并说明理由； （2）若函数与均存在最大值与最小值，且函数是关于的“函数”，又是关于的“函数”，证明：； （3）已知，，其定义域均为．给定正实数，若存在唯一的，使得是关于的“函数”，求的所有可能值． 21．（1）不是关于的“函数”． ………… 2分 解法一：当时，，所以不存在，使得 …… 4分 解法二：因为函数()的值域为，比如取，则，不存在，使得． ………… 4分 （2）设． 由题意，存在，使得． 因为函数是关于的“函数”， 所以存在，满足， 从而． ………… 6分 同理，由是关于的“函数”， 可得， ………… 8分 综上，． ………… 10分 （3）记集合，． 由是关于的“函数”，得． ①当时， ，， 从而 解得． 因唯一，令，解得(舍)或(舍)． ………… 12分 ②当时，，， 从而 解得． 因唯一，令，解得，符合题意． ………… 14分 ③当时，，， 从而 解得． 因唯一，令，解得，符合题意． ………… 16分 综上，的所有可能值为或． ……… 18分 题型四：其它角度下定义 【例】已知为实数，．对于给定的一组有序实数，若对任意，，都有，则称为的“正向数组”． (1)若，判断是否为的“正向数组”，并说明理由； (2)证明：若为的“正向数组”，则对任意，都有； (3)已知对任意，都是的“正向数组”，求的取值范围． 【答案】(1)不是的“正向数组”；(2)证明见解析；(3)的取值范围是. 【详解】（1）若，，对，即，而当，时， ，，即，不满足题意. 所以不是的“正向数组”. （2）反证法:假设存在,使得,为的“正向数组”，对任意,都有.对任意恒成立.令，则在上恒成立，，设， ，则当时，在上为负，在上为正， 所以在上单调递减，在上单调递增；若，当，，当，，即存在，使在上为正，在上为负，在上为正，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又当，，当，，则的值域为；若，，在上单调递增，又当，，当，，则的值域为. 当时，，在上单调递增，又当，，当，， 必存在，使在上为负，在上为正，所以在上单调递减，在上单调递增，又当，，当，，则的值域为. 由值域可看出，与在上恒成立矛盾.对任意，都有. （3）都是的“正向数组”，对任意，，都有 ，则恒成立或恒成立， 即恒成立或恒成立，设，则，即是的最大值或最小值. ，且. 当时，由（2）可得，的值域为，无最大值或最小值；当时，在上单调递增，又，则在上为负，在上为正，所以在上单调递减，在上单调递增，则是的最小值，满足， 此时对任意，，都有. 的取值范围是. 【例】（青浦2023一模21）设函数（其中是非零常数，是自然对数的底），记 （）. （1）求对任意实数，都有成立的最小整数的值（）； （2）设函数，若对任意，都存在极值点，求证：点（）在一定直线上，并求出该直线方程； （3）是否存在正整数和实数，使且对于任意，至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的和，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）该直线方程为，证明见解析；（3）存在，满足条件. 【分析】（1）按照给定定义，依次求导，再观察规律即可判断作答； （2）由（1）求出函数，求出的导数，再利用已知结合极值点的意义推理作答； （3）由（1）结合已知，确定或，再分类讨论极值点的情况作答. 【解析】（1）依题意， ， 因此时，，即； （2）由（1）知，，， ， ，因为是非零常数，所以函数单调， 仅当时，有唯一零点， 当时，；当时，， 因此当时，函数都存在唯一极值点，依题意， 即，两边同时加上，得， 即，所以点在定直线上； （3）当，时，方程无解，因此要使，必有， ①当时，，即，解得， 故当时，，函数单调递减，无极值点； 而严格减，无极值点，且， 当时，；当时，； 故在上严格增， 在上严格减，有一个极值点，又，则恒成立， 得单调递减，无极值点. 综上，存在，满足条件； ②当时，，即，解得或， ，与是非零常数矛盾；或，解得 严格减， 当时，， 当，， 当时，， 得在上严格增， 在上严格减， 而，， 则存在，使得，在上，， 在上， 在上，， 则在上严格减，在上严格增， 在上严格减， 得有两个极值点，不符合题意，因此. 综上，所以存在，满足条件． 【点睛】可导函数y=f(x)在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧值的符号不同． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$