专题03：导数新定义问题（新性质）讲义-2025届高三数学二轮复习（上海专用）

2025年高考数学二轮复习压轴题突破拿高分（导数篇） 专题03 导数新定义问题（新性质） “新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，意在考查学生处理新问题的能力、转化与化归能力以及运算求解能力 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种， 一、新定义问题的解题思路： 1.理解新函数的定义：深刻理解题目中新函数的定义，新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系。 （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 2.转化：将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图像解决问题，或者将新函数转化为已学过的函数的复合函数形式。 3.代入特殊值：如果新函数的某一性质对某些数值恒成立，可以通过代入特殊值，得到特殊函数值甚至函数解析式，从而解决问题。 1. 解题步骤，求解“新定义”题目，主要分如下几步： 1. 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； 1. 对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点； 3、对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。 题型一：切线角度定义的性质 【例1】若直线与曲线满足下列两个条件：（1）直线在点处与曲线相切；（2）曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.下列结论正确的是（ ） A．直线在点处“切过”曲线 B．直线在点处“切过曲线 C．直线在点处“切过”曲线 D．直线在点处“切过”曲线 【解析】对于A，由，得，则从而可得曲线在点处的切线为. 当时，，当时，，则曲线在点附近位于直线的两侧，故A正确. 对于B，由，得，则，从而可得曲线在点处的切线为. 因为， 故当时，，当时，， 则曲线在点附近位于直线的两侧，故B正确. 对于C，由，得，则，从而可得曲线在点的切线为.因为，所以，则曲线在点附近位于直线的同侧，故C错误. 对于D，由得，则，从而可得曲线在点处的切线为.令，则且， ，故且， 当时，；当时，， 故在为增函数，在上为减函数，故在上，，在上， 故当且仅当时等号成立，故当时，，当时，， 故当时，，当，，则曲线在点附近位于直线的两侧，故D正确. 故选：ABD. 【例2】（2025上海奉贤·一模）若函数的图象上存在个不同点、、、处的切线重合，则称该切线为函数的一条点切线，该函数具有点切线性质． (1)判断函数，的奇偶性并写出它的一条点切线方程（无需理由）； (2)设，判断函数是否具有点切线性质，并说明理由； (3)设，证明：对任意的，，函数具有点切线性质，并求出所有相应的切线方程． 【答案】(1)偶函数，一条点切线方程为 (2)没有，理由见解析 (3)证明见解析，切线方程为和 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可得出函数的奇偶性，数形结合可得出该函数的一条点切线方程； （2）求出，分析函数的单调性，即可得出结论； （3）取点、、，利用导数求出曲线在三处的切线方程，利用这三条切线重合可得出，然后对、、的关系进行讨论，即可求出对应的切线方程. 【详解】（1）令，其中，则， 所以，函数为偶函数，且，如下图所示： 由图可知，函数的一条点切线方程为. （2）因为，该函数的定义域为，且， 令，其中，则， 所以，函数在上为增函数， 因此，不可能存在、且，使得， 因此，函数不具有点性质. （3）取点、、， 因为，则， 所以，曲线在点处的切线方程为， 即， 曲线在点处的切线方程为， 曲线在点处的切线方程为， 由题意可知，这三条切线重合， 则， 由上得，则，，， （i）若，，， 则，所以，， 因为，则（舍去）； （ii）若，，中至少有一个成立， 不妨设，则， 若，则（舍去），所以，， 故或. 综上所述，点切线方程为和. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问题考查点切线的新定义，解题的关键就是利用切线重合得出，通过分析、、之间的关系来求解. 题型二：不等式角度下定义的性质 【例3】（2024·上海普陀·二模）对于函数，和，，设，若，，且，皆有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数，与“具有性质”，求的取值范围； (3)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据条件，结合性质的定义判断即可； （2）根据，，与 “具有性质”，可得对，,恒成立，再求出的范围即可； （3）根据条件，得到，再构造函数，结合条件证明不等式即可． 【解析】（1）由，且， 得，即， 则， 即 ， 即 ， 则函数与“具有性质”. （2）由函数与“具有性质”， 得，，且， 即， 整理得， 则对恒成立， 又，， 则，，即， 则，即所求的的取值范围为. （3）由函数在有两个零点，得， 又函数与“具有性质”， 则， 即，                           即， 令，即， 记，即， 因为， 当时，；当时，， 所以函数在区间是减函数，在上是增函数. 要证，即证， 不妨设，即证， 只需证， 即证， 设，即， 因为， 所以函数在是减函数，且， 又，则， 即，则得证， 故 . 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用不等式恒成立求出参数的取值范围，关键是利用极值点偏移构造函数证明不等式． 【例4】（2025上海虹口·一模）设．若函数满足恒成立，则称函数具有性质． (1)判断是否具有性质，并说明理由； (2)设，若函数具有性质，求实数a的取值范围； (3)设函数的定义域为R，且对任意以及，都有．若当时，恒有．求证：函数对任意实数a均具有性质． 【答案】(1)具有，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）首先判断为偶函数，再判断出时，即可； （2）求导得，得到其单调性，再对分和以及讨论即可； （3）根据定义知，再利用反证法即可证明. 【详解】（1）记， 显然，则其是偶函数. 当时，，故， 所以对恒成立，具有性质. （2）， 当时严格单调递增， 当时严格单调递减. 若，则，函数在上严格单调递增，恒成立， 此时函数具有性质. 若，则函数在上严格单调递减， ， 故函数不具有性质. 若，则函数在上严格单调递增， “对恒成立”等价于“对恒成立”， 而在上严格单调递减，在上严格单调递增， 故，即， 即. 综上，的取值范围是. （3）对任意及， 都有， 即对任意都有. 假设存在使得不具有性质， 则存在使得. 若，则. 当时，则在中取， 对任意有， 于是， 即. 而当时，， 故有，矛盾. 当时，记，则， 由得，得， 故. 与当时同理可得矛盾. 若，则，与时同理可得矛盾. 综上，假设不成立，即函数对任意实数均具有性质. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用反证法得到与定义像矛盾的结论. 【例5】（2025宝山区一模）已知都是定义在实数集上的可导函数. 对于正整数，当分别是和的驻点时，记，若，则称和满足性质；当，且时，记，若，则称和满足性质. (1) 若，，判断和是否满足性质，并说明理由； (2) 若，，且和满足性质，求实数的取值范围； (3) 若的最小正周期为4，且，.当时，的驻点与其两侧区间的部分数据如下表所示： 1 3 0 0 极小值 极大值1 极小值 已知和满足性质，请写出的充要条件，并说明理由. 解：（1）.......................2分 所以和是满足性质. .......................................4分 （2）由可知，驻点...................................5分 又 当时，不存在驻点； 当时，的驻点..................................... .....7分 由题意可知，.......................................... ......8分 解得.................................................10分 （3）的充要条件是......................................11分 首先证明必要性： 当时，由题意可知不是常函数，所以 因为和满足性质，所以，所以， 又是正整数，故..................................... ......12分 其次证明充分性： 由题意可知，，，且 1 当()时， 可知. 否则，若存在，有 因为，所以与已知矛盾. 同理，.............................................. ......14分 故 所以，即 同理，，得 所以.......................................................16分 ②当()时， 任意，有，又由①可知， 若存在有，则， 所以 由已知，其中 于是有，矛盾，所以 所以， 得 因为，所以，从而，即. ③当()时， 任意，有，同理可得 所以， 得 因为，所以，从而，即. 综上，.....................................................18分 （3）另解：（反证法） 由题意可知，，，且. 2 任意时，可知. 否则，若存在，使 因为，所以与已知矛盾. 同理，.............................................. ......14分 ②先证任意时，有. 反证，若存在，使. 若时， 则与已知矛盾. 若时， 则与已知矛盾. 由于，， 可得，任意时，有................................16分 ③下证任意时，有. 反证，若存在，使. 由于，可得存在满足. 则与已知矛盾. 综上，.....................................................18分 题型三：从图形几何性质下定义 【例6】对于高次方程的根的问题，牛顿在《流数法》一书中，给出了用导数方法求方程近似解的方法——牛顿法．在处作图象的切线，切线与轴的交点为；用替代一直继续下去得到，，，…，，则，，，…，为的近似解．在切线方程为：，时，设，继续这个过程可以得到求方程根的牛顿法公式：．则下列选项正确的是（ ） A．若，，则． B．若，，则． C．若，，则． D．若，，用牛顿法公式求近似解的过程中，随着变大，与的精确解误差越来越小． 【解析】对于A中，函数，可得， 因为，所以，， 所以，所以， ，所以A正确； 对于B中，函数，可得， 因为，所以，， 所以，所以， ，所以B正确； 对于C中，函数，可得，因为，所以，， 所以，所以， ，所以C不正确； 对于D中，函数，，用牛顿法公式求近似解的过程中， 可得 随着的变大，越来越小，逐渐趋于0， 所以与的精确解误差越来越小．所以D正确. 故答案为：ABD 【例7】在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数） (1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率； (2)求椭圆在处的曲率； (3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围． 【答案】(1)1；(2)；(3) 【详解】（1）． （2），，，故，，故． （3），，故，其中，令，，则，则，其中（不妨），令，在递减，在递增，故；令，，令，则，当时，恒成立，故在上单调递增， 可得，即，故有，则在递增， 又，，故，故． 【例8】（24-25高三上·上海松江·期末）定义在上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数在的相依区间．已知． (1)当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点； (2)若函数在上处处相依，且对任意实数、，，都有恒成立，求实数的取值范围． (3)当时，，为函数在的相依区间，证明：． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)证明见详解 【分析】（1）求出，根据零点存在性定理判断证明； （2）根据函数在上处处相依，可得，使得，转化为，，得解； （3）根据题意可得，结合的单调性将要证明的问题转化为，，构造函数，利用导数证明. 【详解】（1）当时，， ， 所以，， 即，又在上处处相依， 所以函数在上有零点. （2），， ， 因为函数在上处处相依， 所以，，使得， 即，使得， ，，即，， 又， . 所以实数的取值范围为. （3）当时，，则， 因为为函数的在的相依区间， 所以，又， 则， 因为，，即单调递减， ，，即单调递增， 所以，则， 要证，即证，即证， 即证，， 令， ， 令，， ， 因为，，， 所以，即在上单调递减，则， 所以，即在上单调递减， 所以，即，即证得成立. 从而证明得到. 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是根据相依区间的定义得到，结合条件利用分析法转化为，，构造函数证明. 题型四：从函数性质角度下定义 【例9】（2024徐汇区一模）若函数的导函数是以为周期的函数，则称函数具有“性质”． （1）试判断函数和是否具有“性质”，并说明理由； （2）已知函数，其中具有“性质”，求函数在上的极小值点； （3）若函数具有“性质”，且存在实数使得对任意都有成立，求证：为周期函数． （可用结论：若函数的导函数满足，则（常数）．） 【答案】（1）不具有“性质”，具有“性质”，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据所给定义计算可得； （2）法一：依题意可得可得对恒成立，再令、求出、的值，再利用导数求出函数的极小值点；法二：依题意可得，所以且，即可求出、的值，再利用导数求出函数的极小值点； （3）令，则，从而得到（为常数），法一：分、、三种情况讨论；法二：分和两种情况讨论，当时，不妨令，记，推出矛盾即可得解. 【小问1详解】 不具有“性质”．理由是：，，； 具有“性质”．理由是：，． 【小问2详解】 法一：，则， 由可得对恒成立． 令，得 ①；令，得 ②． 得，因此，从而恒成立， 即有且． 由得，所以，当时，令可得，列表如下： x + 0 0 + 极大值 极小值 函数在的极小值点为． 法二：， 由，可得， 所以， 即， 所以，所以且，所以且且． 由得，所以，当时，令可得，列表如下： x + 0 0 + 极大值 极小值 函数在的极小值点为． 【小问3详解】 令，因为具有“”性质 ， ， （为常数）， 法一： ① 若，是以为周期的周期函数； ②若，由， 当时，，这与矛盾，舍去； ③若，由， 当时，，这与矛盾，舍去． 综上，．，所以是周期函数． 法二： 当时，，所以是周期函数． 当时，不妨令，记，其中表示不大于的最大整数．（同理可证）， 若存在，这． 这与矛盾． 若存在，这． 这与矛盾． 若不存在，使得或，则，此时，与矛盾，故舍去． 综上，．，所以是周期函数． 【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 【例10】（2025届高三上·上海黄浦·期末）函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？ (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 【答案】(1)函数在上的极值点不偏移 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先求的根及的极值点，再根据题设定义，即可求解； （2）先求的根，对求导，得到，通过计算得到，再利用二次函数的性质，即可求解； （3）设的两个零点为，根据条件得到，再构造函数，利用函数的单调性，得到，即可求解. 【详解】（1）由，得到，所以， 又，由，得到，又当时，，当时，， 所以只有一个极值点，且极值点为，此时， 所以函数在上的极值点不偏移. （2）因为， 且，， 由，得到或，则， 又，，则有两根， 不妨设为，且，又，所以， 又时，，时，，所以函数在上只有一个极值点，且， 又， 所以，故函数在上的极值点右偏移. （3）由题知，，令，得到， 当时，，当时，， 所以是的极值点， 且在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，时，，时，，， 则有两个零点，不妨设为，且，所以，， 令， 则在恒成立， 所以在区间上单调递增， 所以，即， 故，又， 故，得到，即， 所以当时，函数在上的极值点左偏移． 【点睛】方法点睛：本题第三问考查极值点偏移问题，解决极值点偏移的主要方法有： 1．构造对称函数； 2．比值换元； 3．对数平均不等式. 【例11】（2024长宁区二模）设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称函数有上界，实数的最小值为函数的上确界. 记集合在区间上是严格增函数. （1）求函数的上确界； （2）若，求的最大值； （3）设函数的定义域为.若，且有上界，求证：，且存在函数，它的上确界为0. 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）. （1）解：函数在区间严格减, 所以函数的值域为， ……2分 进而函数的上确界为2. ……4分 （2）解：，， ……2分 由已知，当时，恒成立， ………4分 因为，所以. 所以的最大值为4 ………6分 （3）证明：因为函数有上界，设. 假设存在，使得，设， 因为,所以在上严格增，进而 得，， ……3分 取，且， 由，得① 由，得② ①式与②式矛盾，所以假设不成立， 即对于任意，均有. ……6分 令，则 因为当时，， 所以在上严格增， 因为的值域为， 所以函数的上确界为0. ……8分 【例12】（2024上海普陀一模）对于一个在区间上连续的可导函数，在上任取两点，，如果对于任意的与的算术平均值的函数值大于等于对于任意的与的函数值的算术平均值，则称该函数在上具有“M性质”.如果对于任意的与的几何平均值的函数值大于等于对于任意的与的函数值的几何平均值，则称在上具有“L性质”. (1)如果函数在定义域内具有“M性质”，求的取值范围. (2)对于函数，若该函数的一个驻点是，求，并且证明该函数在上具有“L性质”. (3)设存在，使得. ①证明:取，则有 ②若，设命题:函数具有“性质”，命题为严格减函数，试证明是的必要条件. (可用结论:若函数在区间上可导，且在区间上连续，若有，且，则在区间上存在驻点) 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）由新定义列出方程组结合对数函数的性质即可得解； （2）利用驻点的含义求出，再由“L性质”的定义结合导数即可得证； （3）①由结论可得函数存在驻点，即可得证； ②利用新定义结合①中的结论即可得解. 【解析】（1）由函数在上具有“性质”， 可得对任意. 又，所以； （2）令由，得 则，在上严格减:在上严格增. 要证在上具有“性质”. 需证， 即证， 而， 则 ， 需证， 由， 故只需证， 下面给出证明：设，则， 即在上递减， 所以， 即. 综上，成立， 故，得证. （3）①令，， 由可用结论，令为该函数的驻点，则， 即取，则有，得证. ②取，设， 记，则，由①中的结论，则有: （1） （2） 由(1)(2)，得对在区间使用①中的结论，则： ， 其中，. 由于是严格减函数，则， 即， 即. 所以是的必要条件. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是准确理解新定义，在此基础上对所证明的结论合理变形，再结合导数即可得解. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学二轮复习压轴题突破拿高分（导数篇） 专题03 导数新定义问题（新性质） “新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，意在考查学生处理新问题的能力、转化与化归能力以及运算求解能力 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种， 一、新定义问题的解题思路： 1.理解新函数的定义：深刻理解题目中新函数的定义，新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系。 （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 2.转化：将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图像解决问题，或者将新函数转化为已学过的函数的复合函数形式。 3.代入特殊值：如果新函数的某一性质对某些数值恒成立，可以通过代入特殊值，得到特殊函数值甚至函数解析式，从而解决问题。 1. 解题步骤，求解“新定义”题目，主要分如下几步： 1. 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； 1. 对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点； 3、对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。 题型一：切线角度定义的性质 【例1】若直线与曲线满足下列两个条件：（1）直线在点处与曲线相切；（2）曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.下列结论正确的是（ ） A．直线在点处“切过”曲线 B．直线在点处“切过曲线 C．直线在点处“切过”曲线 D．直线在点处“切过”曲线 【例2】（2025上海奉贤·一模）若函数的图象上存在个不同点、、、处的切线重合，则称该切线为函数的一条点切线，该函数具有点切线性质． (1)判断函数，的奇偶性并写出它的一条点切线方程（无需理由）； (2)设，判断函数是否具有点切线性质，并说明理由； (3)设，证明：对任意的，，函数具有点切线性质，并求出所有相应的切线方程． 题型二：不等式角度下定义的性质 【例3】（2024·上海普陀·二模）对于函数，和，，设，若，，且，皆有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数，与“具有性质”，求的取值范围； (3)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证. 【例4】（2025上海虹口·一模）设．若函数满足恒成立，则称函数具有性质． (1)判断是否具有性质，并说明理由； (2)设，若函数具有性质，求实数a的取值范围； (3)设函数的定义域为R，且对任意以及，都有．若当时，恒有．求证：函数对任意实数a均具有性质． 【例5】（2025宝山区一模）已知都是定义在实数集上的可导函数. 对于正整数，当分别是和的驻点时，记，若，则称和满足性质；当，且时，记，若，则称和满足性质. (1) 若，，判断和是否满足性质，并说明理由； (2) 若，，且和满足性质，求实数的取值范围； (3) 若的最小正周期为4，且，.当时，的驻点与其两侧区间的部分数据如下表所示： 1 3 0 0 极小值 极大值1 极小值 已知和满足性质，请写出的充要条件，并说明理由. 题型三：从图形几何性质下定义 【例6】对于高次方程的根的问题，牛顿在《流数法》一书中，给出了用导数方法求方程近似解的方法——牛顿法．在处作图象的切线，切线与轴的交点为；用替代一直继续下去得到，，，…，，则，，，…，为的近似解．在切线方程为：，时，设，继续这个过程可以得到求方程根的牛顿法公式：．则下列选项正确的是（ ） A．若，，则． B．若，，则． C．若，，则． D．若，，用牛顿法公式求近似解的过程中，随着变大，与的精确解误差越来越小． 【例7】在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数） (1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率； (2)求椭圆在处的曲率； (3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围． 【例8】（24-25高三上·上海松江·期末）定义在上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数在的相依区间．已知． (1)当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点； (2)若函数在上处处相依，且对任意实数、，，都有恒成立，求实数的取值范围． (3)当时，，为函数在的相依区间，证明：． 题型四：从函数性质角度下定义 【例9】（2024徐汇区一模）若函数的导函数是以为周期的函数，则称函数具有“性质”． （1）试判断函数和是否具有“性质”，并说明理由； （2）已知函数，其中具有“性质”，求函数在上的极小值点； （3）若函数具有“性质”，且存在实数使得对任意都有成立，求证：为周期函数． （可用结论：若函数的导函数满足，则（常数）．） 【例10】（2025届高三上·上海黄浦·期末）函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？ (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 【例11】（2024长宁区二模）设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称函数有上界，实数的最小值为函数的上确界. 记集合在区间上是严格增函数. （1）求函数的上确界； （2）若，求的最大值； （3）设函数的定义域为.若，且有上界，求证：，且存在函数，它的上确界为0. 【例12】（2024上海普陀一模）对于一个在区间上连续的可导函数，在上任取两点，，如果对于任意的与的算术平均值的函数值大于等于对于任意的与的函数值的算术平均值，则称该函数在上具有“M性质”.如果对于任意的与的几何平均值的函数值大于等于对于任意的与的函数值的几何平均值，则称在上具有“L性质”. (1)如果函数在定义域内具有“M性质”，求的取值范围. (2)对于函数，若该函数的一个驻点是，求，并且证明该函数在上具有“L性质”. (3)设存在，使得. ①证明:取，则有 ②若，设命题:函数具有“性质”，命题为严格减函数，试证明是的必要条件. (可用结论:若函数在区间上可导，且在区间上连续，若有，且，则在区间上存在驻点) 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$