专题02：导数新定义问题（新概念）讲义-2025届高三数学二轮复习（上海专用）

2025年高考数学二轮复习压轴题突破拿高分（导数篇） 专题02 导数新定义问题（新概念） “新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，意在考查学生处理新问题的能力、转化与化归能力以及运算求解能力 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种， 一、新定义问题的解题思路： 1.理解新函数的定义：深刻理解题目中新函数的定义，新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系。 （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 2.转化：将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图像解决问题，或者将新函数转化为已学过的函数的复合函数形式。 3.代入特殊值：如果新函数的某一性质对某些数值恒成立，可以通过代入特殊值，得到特殊函数值甚至函数解析式，从而解决问题。 2、 解题步骤，求解“新定义”题目，主要分如下几步： 1、 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； 2、 对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点； 3、对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。 题型一：切线角度下定义 【例1】若对任意的实数、，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”． （1）判断函数是否为“恒切函数”； （2）若函数是“恒切函数”，求实数、满足的关系式； （3）若函数是“恒切函数”，求证：. 【例2】若函数在定义域内存在两个不同的数，，同时满足，且在点，处的切线斜率相同，则称为“切合函数”. (1)证明：为“切合函数”； (2)若为“切合函数”（其中为自然对数的底数），并设满足条件的两个数为，. （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：. 【例3】（22-23上海松江·期末）设是直角坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”. (1)判断点是否为函数的度点，并说明理由； (2)若点是的度点，求的最小值； (3)求函数的全体度点构成的集合． 【例4】（2024届黄浦区二模）若函数的图像上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图像的“自公切线”，称这两点为函数的图像的一对“同切点”． （1）分别判断函数与的图像是否存在“自公切线”，并说明理由； （2）若，求证：函数有唯一零点且该函数的图像不存在“自公切线”； （3）设，的零点为，，求证：“存在 ，使得点与是函数的图像的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”． 题型二：方程角度下定义 【例5】设是函数的导函数，我们把使的实数x叫做函数的好点.已知函数， （1）若0是函数的好点，求a； （2）若当时，函数无好点，求a的取值范围. 【例6】记、分别为函数、的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”． （1）证明：函数与不存在“点”； （2）若函数与存在“点”，求实数的值． 【例7】对于定义在D上的函数，其导函数为．若存在，使得，且是函数的极值点，则称函数为“极致k函数”． （1）设函数，其中，． ①若是单调函数，求实数a的取值范围； ②证明：函数不是“极致0函数”． （2）对任意，证明：函数是“极致0函数”． 【例8】（2023·上海宝山·三模）记，分别为函数，的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”. (1)证明：函数与不存在“S点”； (2)若函数与存在“S点”，求实数的值； (3)已知，.若存在实数，使函数与在区间内存在“S点”，求实数的取值范围. 【例9】（22-23高二下·上海奉贤·期末）对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“t跃点” (1)若m为实数，函数，是“跃点”函数，求m的取值范围； (2)若a为非零实数，函数，是“2跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“2跃点”，求a的值： (3)若b为实数，函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求b的取值范围. 【例10】（2025届闵行区一模）设函数的定义域为，集合．若中有且仅有一个元素，则称为函数的一个“值” （1）设，求的值； （2）设，且，若的函数值中不存在值，求实数取值的集合； （3）已知定义域为的函数的图象是一条连续曲线，且函数的所有函数值均为值，若，证明：在上为严格增函数的一个充要条件是． 【例11】（2024届金山区二模）已知函数与有相同的定义域．若存在常数()，使得对于任意的，都存在，满足，则称函数是函数关于的“函数”． （1）若，，试判断函数是否是关于的“函数”，并说明理由； （2）若函数与均存在最大值与最小值，且函数是关于的“函数”，又是关于的“函数”，证明：； （3）已知，，其定义域均为．给定正实数，若存在唯一的，使得是关于的“函数”，求的所有可能值． 题型三：不等式角度下定义 【例12】（23-24高二下·云南楚雄·期末）定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”． (1)若是上的“好函数”，求的取值范围． (2)（ⅰ）证明：是上的“好函数”． （ⅱ）设，证明：． 【例13】（23-24高二下·上海·期中）已知与都是定义在上的函数，函数图像上任意两点，记表示此两点连线的斜率.当时，都有，则称是的一个“T函数”． (1)判断是否为函数的一个函数，并说明理由； (2)设的导数为，求证：关于的方程在区间上有实数解； (3)函数的导函数存在记为，即导函数存在记为，当都有，函数是否存在T函数?若存在，请求出的所有函数；若不存在，请说明理由． 【例14】（2024届杨浦区二模）函数、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有或成立，则称与为相关函数对. （1）判断函数与是否为相关函数对，并说明理由； （2）已知与为相关函数对，求实数的取值范围； （3）已知函数与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均有.求证：存在实数，使得对任意，均有. 【例15】（2023·上海徐汇·二模）已知常数为非零整数，若函数，满足：对任意，，则称函数为函数. (1)函数，是否为函数﹖请说明理由； (2)若为函数，图像在是一条连续的曲线，，，且在区间上仅存在一个极值点，分别记、为函数的最大、小值，求的取值范围； (3)若，，且为函数，，对任意，恒有，记的最小值为，求的取值范围及关于的表达式. 题型四：函数性质角度下定义 【例16】若函数和同时在x=t处取得极小值，则称和为一对“P（t）函数”. （1）试判断与是否是一对“P（1）函数”，并说明理由； （2）若与是一对“P（t）函数”，求实数a和t的值. 【例17】如果是定义在区间D上的函数，且同时满足：①；②与的单调性相同，则称函数在区间D上是“链式函数”.已知函数，. （1）判断函数与在上是否是“链式函数”，并说明理由； （2）求证：当时，. 题型五：构造新函数 【例18】在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，其中shx＝，chx＝分别称为双曲正弦、余弦函数． (1)若对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围． (2)若a＞0，存在，使得成立，试比较a﹣1与(e﹣1)lna的大小，并证明你的结论． 【例19】（23-24高三上·上海·阶段练习）已知函数，，其中为自然对数的底数，设函数， (1)若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围； (2)当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. (3)对于函数，若实数满足，其中F、D为非零实数，则称为函数的“笃志点”. ①已知函数，且函数有且只有3个“笃志点”，求实数a的取值范围； ②定义在R上的函数满足：存在唯一实数m，对任意的实数x，使得恒成立或恒成立.对于有序实数对，讨论函数“笃志点”个数的奇偶性，并说明理由 【例20】（2024上海高考）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”． （1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”； （2）对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； （3）已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学二轮复习压轴题突破拿高分（导数篇） 专题02 导数新定义问题（新概念） 新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；意在考查学生处理新问题的能力、转化与化归能力以及运算求解能力． 一、新定义问题的类型： 新定义概念，新定义性质，新定义运算． 二、解决新定义问题的着手点： （1）正确新定义：这类问题不是简单地考查概念或性质的问题 ，而是以导数为载体的有关新定义问题，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等。剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识． （2）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 三、导数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 题型一：切线角度下定义 【例1】若对任意的实数、，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”． （1）判断函数是否为“恒切函数”； （2）若函数是“恒切函数”，求实数、满足的关系式； （3）若函数是“恒切函数”，求证：. 【解析】（1）根据题意，若函数为“恒切函数”，切点为， 则，即， 对于函数，，，解得.因此，函数是“恒切函数”； （2）若函数是“恒切函数”，设切点坐标为， 则，则有，可得，解得， 故实数、满足的关系式为； （3）根据题意，函数是“恒切函数”，设切点为， 又由，可得， 则有，即，考查方程的解， 设，，令，得. 当时，；当时，. 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. . （i）当时，，， 所以，函数在区间上存在唯一零点. 又； （ii）当时，，函数在区间上有唯一零点，则 综上所述，. 【例2】若函数在定义域内存在两个不同的数，，同时满足，且在点，处的切线斜率相同，则称为“切合函数”. (1)证明：为“切合函数”； (2)若为“切合函数”（其中为自然对数的底数），并设满足条件的两个数为，. （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：. 【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析；②证明见解析 【详解】（1）假设存在，满足题意，易知，由题可得：，代入上式可解得， ，或，， 故为“切合函数”. （2）由题可知，因为为“切合函数”，故存在不同的，（不妨设）， 使得，即， （ⅰ）先证：，即证：，令，则由可知，要证上式，只需证：，易知，故在上单调递减，所以，故有成立，由上面的②式可得； （ⅱ）由上面的②式可得：，代入到①式中可得： ，且由（ⅰ）可得. （另解：由上面的②式可得，代入到①式的变形：，整理后也可得到）故要证，只需证：，设，则即证：， ，设，，，， 在上单调递增， ，下面证明在上恒成立，令，则，所以当时，，当时，，所以在处取得最小值，，所以在上恒成立，所以当时，，即， 在上单调递增，，所以原不等式成立. 【例3】（22-23高三下·上海松江·期末）设是直角坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”. (1)判断点是否为函数的度点，并说明理由； (2)若点是的度点，求的最小值； (3)求函数的全体度点构成的集合． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）转化为根据切线方程，只能求解一个切点，即可说明； （2）首先根据切线过点，转化为方程有解，再构造函数，再利用导数判断函数的单调性，并通过讨论，结合零点存在性定理即可求解； （3）利用导数的几何意义转化为恰有两个不同的实数解，再构造函数，转化为函数有2个不同零点，再利用导数判断函数的零点个数求参数的取值集合. 【解析】（1）设，则曲线在点处的切线方程为， 则该切线过点当且仅当，即，故原点是函数的一个度点； （2）设，， 则曲线在点处的切线方程为， 则该切线过点当且仅当， 设，则当时，， 故在区间上严格增，，， ①若，恒不成立，即点是的一个度点； ②若，则当时，，存在唯一的，使得成立， 即点是的一个度点，综上，实数的最小值为； （3），对任意， 曲线在点处的切线方程为， 故点为函数的一个度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解， 设，则点为函数的一个度点当且仅当两个不同的零点， ①若，则在上严格增，只有一个实数解，不合要求； ②若，因为，解得有两个驻点，， 由或时得严格增； 而当时，得严格减， 故在时取得极大值，在时取得极小值， 又因为，， 所以当时，由零点存在定理，在、、上各有一个零点，不合要求； 当时，仅上有一个零点，不合要求； 当时，仅上有一个零点，也不合要求， 故两个不同的零点当且仅当或 ③若，同理可得两个不同的零点当且仅当或， 综上，的全体度点构成的集合为或. 【点睛】思路点睛：本题有3问，所考察的知识点都是利用导数的几何意义求切线方程，根据切线过定点，转化为方程实数根问题，利用导数判断函数的零点个数. 【例4】（2024届黄浦区二模）若函数的图像上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图像的“自公切线”，称这两点为函数的图像的一对“同切点”． （1）分别判断函数与的图像是否存在“自公切线”，并说明理由； （2）若，求证：函数有唯一零点且该函数的图像不存在“自公切线”； （3）设，的零点为，，求证：“存在 ，使得点与是函数的图像的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”． 【答案】（1）函数的图象存在“自公切线”； 函数的图象不存在“自公切线”，理由见解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由直线切的图象于点判断，由导数确定意见性判断. （2）利用导数探讨单调性结合零点存在性定理推理即得唯一零点，再假定存在“自公切线”，利用导数的几何意义求出切线方程，证明在上无解即得. （3）求出在点与处的切线方程，利用（2）的结论，结合诱导公式，及充要条件的证明方法推理即得. 【小问1详解】 显然直线切的图象于点， 直线是的图象的一条“自公切线”，因此函数的图象存在“自公切线”； 对于是严格减函数，则在不同点处的切线斜率不同， 所以函数的图象不存在“自公切线”. 【小问2详解】 由恒成立，且仅当时， 则是上的严格增函数，可得它至多有一个零点， 令， 由的图象是连续曲线，且， 因此在上存在零点，即在上存在零点，所以有唯一零点； 假设的图象存在“自公切线”，则存在且， 使得的图象在与处的切线重合，即，有，不妨设， 切线，， 有相同截距，即，而， 则，即， 则有，即，令，， 即函数在上单调递增，，因此当时，， 即在上无解， 所以的图象不存在“自公切线”. 【小问3详解】 对给定的，由（2）知有唯一零点，即唯一确定， 又在点处的切线方程为，即， 在点处的切线方程为， 若存在，使得点与是函数图象的一对“同切点”， 则，又，则， 所以，且，从而存在， 使得，代入，可得，则，即是数列中的项； 反之，若是数列中的项，则存在，使得，即， 由（2）中的严格增，可知严格增，又且，可知， 令，则且， 即，可得，所以存在， 使得点与是函数的图象的一对“同切点”. 所以存在，使得点与是函数图象的一对“同切点”的充要条件是“是数列中的项”. 【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：. 题型二：方程角度下定义 【例5】设是函数的导函数，我们把使的实数x叫做函数的好点.已知函数， （1）若0是函数的好点，求a； （2）若当时，函数无好点，求a的取值范围. 【解析】（1）∵，∴， 由，得，即，∵0是函数的好点， ∴，∴. （2），由，得， 即，令，将问题转化为讨论函数的零点问题， ∵当时，，若函数不存在好点， 等价于没有零点，即的最小值大于零， 由得，，因为，则由得， ∴当时，；当时， ∴在上单调递减，在上单调递增，∴， 又当且仅当，即时，，∴无零点，无好点； a的取值范围为. 【例6】记、分别为函数、的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”． （1）证明：函数与不存在“点”； （2）若函数与存在“点”，求实数的值． 【解析】（1）函数，，则，． 由，可得，此方程组无解， 因此，函数与不存在“点”； （2）函数，，则，， 设为与的“点”，由可得， 可得，解得，此时.因此，. 【例7】对于定义在D上的函数，其导函数为．若存在，使得，且是函数的极值点，则称函数为“极致k函数”． （1）设函数，其中，． ①若是单调函数，求实数a的取值范围； ②证明：函数不是“极致0函数”． （2）对任意，证明：函数是“极致0函数”． 【解析】（1）①由题意，得． （i）若在上单调递减，则恒成立，即恒成立，所以； （ii）若在上单调递增，则恒成立，即恒成立，所以． 综上，实数a的取值范围为． ②假设是“极致0函数”，则是的极值点，所以，解得， 由①可知，当时，在上单调递减，与是的极值点矛盾， 故不是“极致0函数”． （2）由题意，得，则． 当时，，易知当时，． 设，． ①当，即时，由（i）可知，在上单调递减， 又，所以当时，，即；当时，，即，所以在处取得极大值，此时是“极致0函数”； ②当，即时，由（ii）可知，在上单调递增， 又，所以当时，，即，当时，，即， 所以在处取得极小值，此时是“极致0函数”； ③当时，，设， 易知在上单调递增，在上单调递减．因为，， 所以存在，，使得，且当时，， 即， 在上单调递增． 又，所以当时，，即，当时，，即， 所以在处取得极小值，此时是“极致0函数”．综上，对任意，均为“极致0函数”． 【例8】（2023·上海宝山·三模）记，分别为函数，的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”. (1)证明：函数与不存在“S点”； (2)若函数与存在“S点”，求实数的值； (3)已知，.若存在实数，使函数与在区间内存在“S点”，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）求导，假设存在“S点”，解方程组可得结论； （2）求导，设“S点”为，解方程组得结论． （3）设“S点”为，由，用表示出，由求得的范围，利用导数求得的范围. 【解析】（1）因为，，则，， 假设存在函数与存在“S点” 即存在满足，方程组无解， 所以函数与不存在“S点”. （2）因为与，则与， 设“S好点”为，满足，， 所以. （3）由已知，， 依题意可得：存在满足，代入得， 解得， 由，又，故解得， 令，则，在上增函数， ，时，，且当时，， 所以，即． 【点睛】思路点睛：本题考查导数的定义，解题关键是掌握新定义“S点”的含义，对函数的“好点”，实质就是解方程组，因此凡是出现“S点”，解题时就是由此方程组求解．这样就把新定义转化一般的函数及其导数问题． 【例9】（22-23高二下·上海奉贤·期末）对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“t跃点” (1)若m为实数，函数，是“跃点”函数，求m的取值范围； (2)若a为非零实数，函数，是“2跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“2跃点”，求a的值： (3)若b为实数，函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求b的取值范围. 【答案】(1) (2)或. (3) 【分析】（1）根据函数解析式计算，再由“跃点”函数的定义结合三角函数的性质求得实数的取值范围； （2）若函数是“2跃点”函数，则方程有解，即有解，结合二次函数的性质和“2跃点”函数的定义求解即可； （3）将题意转化为方程，即有一个不同的实数根，令，对求导，求出的单调性和最值，结合图象即可得出答案. 【解析】（1）函数的导函数为， 若函数，是“跃点”函数， 则方程有解，即有解， 又因为，故，即. （2）因为，所以， 若该函数是“2跃点”函数，则方程①有解， 即有解， 由因式分解可得， 当时上述方程成立，因此是方程的一个实数根； 当时，②， 当即时，方程②为，即方程②有两个相等的实数根， 此时方程①的根为，则函数有两个不同的“2跃点”； 当即时，方程②无解，此时方程①的根为，则函数有一个“2跃点”； 当即时，方程②有两个不相等的实数根，若函数有两个不同的“2跃点”， 则其中一个是实数根为，则，解得：. 综上：的值为或. （3）函数，， 若该函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个 “1跃点”， 则方程，即恰有一个实数根， 即，， 令，解得：；令，解得：且， 故函数在和是严格的减函数，在上是严格的增函数. 且， 当趋近于负无穷，趋近于，当趋近于正无穷，趋近于正无穷， 的图象如下图：    故当时，恰有一个实数根， 即时，恰有一个实数根， 所以b的取值范围为. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 【例10】（2025届闵行区一模）设函数的定义域为，集合．若中有且仅有一个元素，则称为函数的一个“值” （1）设，求的值； （2）设，且，若的函数值中不存在值，求实数取值的集合； （3）已知定义域为的函数的图象是一条连续曲线，且函数的所有函数值均为值，若，证明：在上为严格增函数的一个充要条件是． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可知有唯一解，由可求出结果； （2）求以及，研究的单调性，分析的图像，可得出的函数值中不存在值时的情况，列出等式可解出的取值； （3）从充分性以及必要性两种情况来证. 【小问1详解】 由题设知：有唯一解， 即有唯一解，所以，解得：. 所以的值为. 【小问2详解】 ， 当时，由可得：或，由可得：或， 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，当时，，且，，画简图如下： 若的函数值中不存在值，则不存在唯一解，即， 解得：； 当时，，令，则，令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增，此时存在有唯一解，不符合题意，所以，实数取值的集合为. 【小问3详解】 由函数的图象是一条连续曲线，且函数的所有函数值均为值可知，的任一解均唯一，即是单调函数. 充分性：若在上为严格增函数，则对， 有，即成立，则有； 必要性：若在上不为严格增函数，因为是单调函数，则假设是单调减函数， 则对，都有，即成立， 与矛盾，所以假设不成立，即在上为严格增函数. 得证. 【点睛】思路点睛：若集合中有且仅有一个元素，等价于有唯一解，研究函数的单调性以及图像，判断有唯一解的情况即可. 【例11】（2024届金山区二模）已知函数与有相同的定义域．若存在常数()，使得对于任意的，都存在，满足，则称函数是函数关于的“函数”． （1）若，，试判断函数是否是关于的“函数”，并说明理由； （2）若函数与均存在最大值与最小值，且函数是关于的“函数”，又是关于的“函数”，证明：； （3）已知，，其定义域均为．给定正实数，若存在唯一的，使得是关于的“函数”，求的所有可能值． 21．（1）不是关于的“函数”． ………… 2分 解法一：当时，，所以不存在，使得 …… 4分 解法二：因为函数()的值域为，比如取，则，不存在，使得． ………… 4分 （2）设． 由题意，存在，使得． 因为函数是关于的“函数”， 所以存在，满足， 从而． ………… 6分 同理，由是关于的“函数”， 可得， ………… 8分 综上，． ………… 10分 （3）记集合，． 由是关于的“函数”，得． ①当时， ，， 从而 解得． 因唯一，令，解得(舍)或(舍)． ………… 12分 ②当时，，， 从而 解得． 因唯一，令，解得，符合题意． ………… 14分 ③当时，，， 从而 解得． 因唯一，令，解得，符合题意． ………… 16分 综上，的所有可能值为或． ……… 18分 题型三：不等式角度下定义 【例12】（23-24高二下·云南楚雄·期末）定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”． (1)若是上的“好函数”，求的取值范围． (2)（ⅰ）证明：是上的“好函数”． （ⅱ）设，证明：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用给定定义结合分离参数法求解即可. （2）（ⅰ）利用给定定义结合导数证明即可.（ⅱ）利用给定定义结合裂项相消法证明即可. 【详解】（1）由题可知任意，且， 即，解得． 因为，所以，即的取值范围为． （2）（ⅰ）证明：设， 则． 令，且， 则，则在上单调递增， 所以，即， 所以是上的“好函数”． （ⅱ）证明：由（ⅰ）可知，当时，， 令，则， 即． 故， 化简可得． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后结合裂项相消法得到所要求的不等关系即可． 【例13】（23-24高二下·上海·期中）已知与都是定义在上的函数，函数图像上任意两点，记表示此两点连线的斜率.当时，都有，则称是的一个“T函数”． (1)判断是否为函数的一个函数，并说明理由； (2)设的导数为，求证：关于的方程在区间上有实数解； (3)函数的导函数存在记为，即导函数存在记为，当都有，函数是否存在T函数?若存在，请求出的所有函数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是，理由见详解 (2)证明见详解 (3)函数存在唯一T函数 【分析】（1）根据题意结合T函数的定义，即可得出结论； （2）先证引理：对连续可导函数，对任意，均存在，使得，结合引理即可证明； （3）根据（2）种引理可证为T函数，再通过导数证明唯一性可得解. 【解析】（1）是函数的一个函数，理由如下： 因为， 若，则， 即，可知是函数的一个函数. （2）先证引理：对连续可导函数，对任意，均存在，使得. 构建，则， 可知，且在区间上连续不断， 反证：若函数在区间上没有零点， 则（或）在区间内恒成立， 可知在内单调递增（减）， 则（或），这与相矛盾， 所以假设不成立， 即函数在区间上有零点，设为， 可知，即. 由题意可知：， 由引理可知：存在，使得， 即关于的方程在区间上有实数解. （3）由引理可知：存在，使得，即， 又因为在内恒成立，可知在内单调递增， 可知，即， 所以为的一个T函数； 下证T函数的唯一性：假设存在T函数， 对任意， 当时，均存在，使得， 因为，即， 下证：， 若存在使得， 因为在的严格增函数， 故存在使得， 可知存在使得， 则，由的单调性知，矛盾， 故对任意都有 同理可证：对任意都有，从而； 综上所述：函数存在唯一T函数. 【点睛】关键点点睛：对于函数的新定义题要理解好定义的内容，不等式运算时注意不等式的要求，变号时要多注意，一般的大题在前面的问题和后面的问题有联系，后面的问题没有思路时看看前面的问题 【例14】（2024届杨浦区二模）函数、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有或成立，则称与为相关函数对. （1）判断函数与是否为相关函数对，并说明理由； （2）已知与为相关函数对，求实数的取值范围； （3）已知函数与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均有.求证：存在实数，使得对任意，均有. 【答案】（1）若与不为相关函数对，则且，则 ，所以只要即可 当，时，， 所以函数与是相关函数对； （2）因为与为相关函数对，所以 令，，当时，；当时，，所以是极小值点，，所以，所以 （3）假设对任意均存在，均有，则取，，，使得，对任意，，有，，又函数与为相关函数对，则①若，则 ；②若，则，由①②知： ，由，将其分为很多个子区间，如，，，……则以上每个区间至多包含一个，矛盾，假设不成立，故存在实数，使得对任意，均有. 【例15】（2023·上海徐汇·二模）已知常数为非零整数，若函数，满足：对任意，，则称函数为函数. (1)函数，是否为函数﹖请说明理由； (2)若为函数，图像在是一条连续的曲线，，，且在区间上仅存在一个极值点，分别记、为函数的最大、小值，求的取值范围； (3)若，，且为函数，，对任意，恒有，记的最小值为，求的取值范围及关于的表达式. 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)， 【分析】 （1）根据函数的定义，即可证明； （2）分为在区间上仅存的极大值点或极小值点讨论单调性，以及根据函数的性质，列式求解； （3）首先根据函数是函数，构造函数，再求函数的导数，参变分离后转化为求函数的值域，并求. 【解析】（1）是函数，理由如下， 对任意，， ，故 （2）（ⅰ）若为在区间上仅存的一个极大值点，则在严格递增，在严格递减， 由，即，得， 又，，则，（构造时，等号成立）， 所以； （ⅱ）若为在区间上仅存的一个极小值点，则在严格递减，在严格增， 由，同理可得， 又，，则，（构造时，等号成立）， 所以； 综上所述：所求取值范围为； （3）显然为上的严格增函数，任意，不妨设， 此时， 由为函数，得恒成立，即 恒成立， 设，则为上的减函数，，得对恒成立， 易知上述不等号右边的函数为上的减函数， 所以，所以的取值范围为， 此时， 法1：当时，即，由，而，所以为上的增函数， 法2：， 因为，当，，所以为上的增函数， 由题意得，，. 【点睛】本题考查函数新定义，以及理由导数研究函数性质，不等式的综合应用问题，本题的关键是理解函数的定义，并结合构造函数，不等式关系，进行推论论证. 题型四：函数性质角度下定义 【例16】若函数和同时在x=t处取得极小值，则称和为一对“P（t）函数”. （1）试判断与是否是一对“P（1）函数”，并说明理由； （2）若与是一对“P（t）函数”，求实数a和t的值. 【解析】由题意可设， （1）则，所以，，若与是否是一对“P（1）函数”， 则，解得，此时，即无极小值，故与不是一对“P（1）函数”. （2）由题意，则， ， 若与是一对“P（t）函数”， 可令，解得， 1°若a>0，则有 x －a－1 －1 + 0 － 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 因为在x=t处取得极小值，所以t=－1，从而， 解得.经验证可知在x=1处取得极小值，所以. 2°若a<0，则有 x －1 －a－1 + 0 － 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 因为在x=t处取得极小值，所以t=－a－1，从而， 令，则，则在上单调递减， 且，所以a=－1，从而， 经验证可知在x=0处取得极小值，所以. 3°若a=0，则有，即在定义域内单调递增，则无极小值，不满足题意； 综上所述：或. 【例17】如果是定义在区间D上的函数，且同时满足：①；②与的单调性相同，则称函数在区间D上是“链式函数”.已知函数，. （1）判断函数与在上是否是“链式函数”，并说明理由； （2）求证：当时，. 【解析】（1），令则， 在上单调递增， 又当时，，在上单调递增， 又当时，， ∴当时，，与在上均单调递增，∴在上是“链式函数”. ，令，则， ∴在上单调递减，又当时，， ∴在上单调递减，又当时，， ∴当时，，与在上均单调递减， ∴在上是“链式函数”. （2）当时，由（1）知，所以， 又由（1）知，所以，两式相加得，即， 令，则， 所以在上单调递增， 则当时，，即，∴当时，， 故当时，. 题型五：构造新函数 【例18】在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，其中shx＝，chx＝分别称为双曲正弦、余弦函数． (1)若对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围． (2)若a＞0，存在，使得成立，试比较a﹣1与(e﹣1)lna的大小，并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)答案见解析﹒ 【分析】（1）不等式左边构造为函数g(x)，g(x)为偶函数，∴不等式恒成立转换为g(x)的最大值小于等于零，故对g(x)的单调性进行讨论，求其最大值； （2）该存在性问题转化为，故对函数y＝ch x和函数h(x)＝的单调性进行讨论，分别求它们的最小值和最大值，由此即可得到参数a的取值范围；要比较a﹣1与(e﹣1)lna的大小，构造函数t(a)＝(e﹣1)lna﹣a＋1，根据前步求出的a的范围求其单调性进行研究﹒ (1) 设， ∵g(x)为定义域R上的偶函数，∴只需x≥0时g(x)≤0即可； ∵g(0)＝0，，g′(0)＝0； 令，则． ①当时，m′(x)≤0，∴对任意x≥0，g′(x)单调递减，g′(x)≤g′(0)＝0，g(x)单调递减； ∴对任意x≥0，g(x)≤0恒成立； ②当λ≥0时，m′(x)＞0，∴任意x≥0，g′(x)单调递增，g′(x)≥g′(0)＝0，g(x)单调递增； ∴对任意x≥0，g(x)≥0恒成立，不满足题意； ③当时，若，则m′(x)＞0，g′(x)单调递增，g′(x)＞g′(0)＝0， g(x)单调递增，g(x)＞g(0)＝0，不满足题意； 综上知，实数λ的取值范围是． (2) 若a＞0，存在，使得成立， 则； ∵，∴当x≥1时(chx)′＞0； ∴y＝chx在[1，＋∞)上单调递增，∴chx≥ch1，即； 令h(x)＝a(﹣ch2x＋4shx﹣1)，则h(x)＝a(﹣1﹣sh2x＋4shx﹣1)＝a[﹣(shx﹣2)2＋2]； ∵a＞0，x≥1，y＝shx在[1，＋∞)上单调递增，∴，∴＝2a； ∴，即． 设t(a)＝(e﹣1)lna﹣a＋1，则，因为； 当时，t′(a)＞0，t(a)单调递增，当a＞e﹣1时，t′(a)＜0，t(a)单调递减； ∴t(a)至多有两个零点； 又t(1)＝t(e)＝0，∴当a＞e时，t(a)＜0，即(e﹣1)lna＜a﹣1； 当a＝e时，t(a)＝0，即(e﹣1)lna＝a﹣1； 当时，t(a)＞0，即(e﹣1)lna＞a﹣1． 综上，a＞e时，(e﹣1)lna＜a﹣1； a＝e时，(e﹣1)lna＝a﹣1； 时，(e﹣1)lna＞a﹣1． 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效． 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 【例19】（23-24高三上·上海·阶段练习）已知函数，，其中为自然对数的底数，设函数， (1)若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围； (2)当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. (3)对于函数，若实数满足，其中F、D为非零实数，则称为函数的“笃志点”. ①已知函数，且函数有且只有3个“笃志点”，求实数a的取值范围； ②定义在R上的函数满足：存在唯一实数m，对任意的实数x，使得恒成立或恒成立.对于有序实数对，讨论函数“笃志点”个数的奇偶性，并说明理由 【答案】(1)函数的单调递增区间为和，单调递减区间为， (2) (3)①；②答案见解析 【分析】（1）求导得到单调区间，计算极值，画出函数图像，根据图像得到答案. （2）求导得到导函数，确定极值点和单调区间，确定，构造新函数，确定函数的单调区间，计算最值，考虑和两种情况，根据函数的单调性计算最值即可. （3）①考虑，，三种情况，代入数据，构造新函数，根据二次函数根的分布得到范围；②确定，比较与的大小关系，得到，得到答案. 【解析】（1）， ， 当时，，，故，函数单调递增； 当时，，，故，函数单调递减； 当时，，，故，函数单调递增； 综上所述：函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. ，，画出函数图像，如图所示： 根据图像知. （2），， 取，得到或， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 故是极大值点，是极小值点， 恒成立， ，，故， 设，， ， 设，则恒成立， 故在上单调递减，， 当时，，函数单调递减，； 当时，存在，使得， 时，，函数单调递减；时，，函数单调递增； 故，不成立； 综上所述：. （3）①有三个不等的实数根， 当时，，故，解得，不符合； 当时，，故，即， 令，则在上恒成立，故在上单调递增，故， 故当时，在有1个“笃志点”； 当时，，故， 则，由于至多有两个根， 结合前面分析的取值范围为的子集， 令，其中， ，当时，， 的图象的对称轴为， 故在上有两个不相等的实数根， 综上所述： 函数有且只有3 个“笃志点”，则实数的取值范围为； ② 定义在上的函数满足： 存在唯一实数，对任意的实数，使得恒成立， 故，， 因为，所以， 即， 比较与的大小关系， 若存在，使得，即， 则有成立， 故对于有序实数对，函数“笃志点” 个数为奇数个， 同理，对于定义在上的函数满足： 存在唯一实数，对任意的实数，使得恒成立， 故，， 因为，所以， 即，可得到同样的结论；综上所述：若存在，使得， 则函数“笃志点”个数为奇数个， 否则，函数“笃志点”个数为偶数个. 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义问题，利用导航求参数范围，函数的最值极值，零点问题和恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的方法是解题的关键，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握. 【例20】（2024上海高考）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”． （1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”； （2）对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； （3）已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， （3）严格单调递减 【解析】 【分析】（1）代入，利用基本不等式即可； （2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可； （3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性. 【小问1详解】 当时，， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”． 【小问2详解】 由题设可得， 则，因为均为上单调递增函数， 则在上为严格增函数， 而，故当时，，当时，， 故，此时， 而，故在点处的切线方程为. 而，故，故直线与在点处切线垂直． 【小问3详解】 设， ， 而， ， 若对任意的，存在点同时是在的“最近点”， 设，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点， 则存在,使得， 即① ② 由①②相等得，即， 即，又因为函数在定义域R上恒正， 则恒成立， 接下来证明， 因为既是的最小值点，也是的最小值点， 则， 即，③ ，④ ③④得 即，因为 则，解得， 则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到，再利用最值点定义得到即可. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$