精品解析：甘肃省天水市第一中学2024-2025学年高二下学期开学检测数学试题

天水市一中2024-2025学年第二学期高二开学检测数学试题 命题：张莉娜 审核：高路 满分：100分时间：90分钟 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1. 在等比数列中，，公比，则（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式计算． 【详解】. 故选：A． 2. 曲线在点处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得函数的导数，利用导数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得，所以， 所以曲线在点处的切线斜率. 故选：B. 3. 已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率为，求出，从而可得双曲线的渐近线方程. 【详解】因为双曲线的离心率为， 故， 则， 故双曲线的渐近线方程为，即， 故选：B. 4. 已知曲线：（），从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 【答案】C 【解析】 【分析】设点，由题意，根据中点坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则，， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点轨迹方程为. 故选：C. 5. 用0．1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A. 24个 B. 26个 C. 30个 D. 42个 【答案】C 【解析】 【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理，结合排列的定义即可求. 【详解】若0在个位，则可组成个偶数； 若2在个位，则可组成个偶数； 若4在个位，则可组成个偶数； 所以偶数共有个. 故选：C 6. 已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程求出的取值范围，再将两圆方程化为标准式，得到圆心坐标与半径，分两圆外切或内切两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】由圆得，解得． 圆的标准方程为，圆心，半径； 圆的标准方程为，圆心，半径． 因为圆与圆有且仅有一个公共点，所以两圆外切或内切． ①若两圆内切，则，解得，符合， ②若两圆外切，则，解得，符合． 综合①②得实数或． 故选：C． 二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 7. 已知二项式的二项式系数和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 展开式中只有第三项的二项式系数最大 C. 展开式各项系数之和是243 D. 展开式中的有理项有4项 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项式系数和为，计算可得，判断A；根据，即可判断B；令，即可判断C；求出展开式的通项，令的幂指数为整数，即可判断D. 【详解】因为知二项式的二项式系数和为，所以，即，故A正确； 因为，所以二项展开式有6项，所以展开式的第三项和第四项的二项式系数均为最大值，故B错误； 令，，所以展开式各项系数之和是243，故C正确； 二项式展开式的通项为，， 所以、、时，为有理项，即展开式中的有理项只有项，故D错误. 故选：AC 8. 已知点在圆上，点分别为直线 与轴，轴的交点，则下列结论正确的是 （ ） A. 直线与圆相切 B. 圆截轴所得的弦长为 C. 最大值为 D. 的面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得圆的圆心，半径，以及，根据，可判定A正确；由圆的弦长公式，可判定B不正确；求得，得到的最大值为，可判定C正确；求得圆心到直线的距离为，求得最小距离，结合面积公式，可判定D正确. 【详解】由圆，可得，可得圆心，半径为， 因为点分别为直线与轴、轴的交点，可得， 对于A中，因为圆心到直线的距离为，所以A正确； 对于B中，由圆截轴的弦长为，所以B不正确； 对于C中，点在圆上，且，其中，所以的最大值为，所以C正确； 对于D中，因为圆心到直线的距离为， 则圆上点到直线的最小距离为， 因为，所以的面积的最小值为，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）． 9. 若函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式和导数的加法法则即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 10. 已知点，则线段的垂直平分线的一般式方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出的中点坐标以及垂直平分线的斜率，由点斜式得出其方程并整理可得一般式方程. 【详解】易知的中点坐标为，且， 所以线段的垂直平分线的斜率为2， 可得所求直线方程为，即. 故答案为： 11. 2022年11月，第五届中国国际进口博览会即将在上海举行，组委员会准备安排5名工作人员去A，B，C，D这4所场馆，其中A场馆安排2人，其余场馆各1人，则不同的安排方法种数为____． 【答案】60 【解析】 【分析】运用分步乘法先安排2人去A场馆，再安排其余3人到剩余3个场馆即可得结果. 【详解】分为两步，第一步：安排2人去A场馆有种结果，第二步：安排其余3人到剩余3个场馆，有种结果，所以不同的安排方法种数为． 故答案为：60. 四、解答题：（本题共3小题，共43分．第12题14分，第13题14分，第14题15分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．） 12. 已知抛物线C：过点． （1）求抛物线C的方程，并求其准线方程； （2）过该抛物线焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于两点，求线段的长度． 【答案】（1），准线方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出抛物线方程和准线方程； （2）在第一问基础上求出直线，与抛物线联立后，得到两根之和，由焦点弦长公式求出答案. 【小问1详解】 ∵过点， ∴，解得， ∴抛物线C：，准线方程为； 【小问2详解】 由（1）知，抛物线焦点为， 设直线AB：，，， 由，得：，则， 则． 13. 已知等差数列的前项和为，数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为,根据等差数列通项公式及前n项和公式得到方程组，解出即可； （2）首先得到，再利用错位相减法求和即可得到答案. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为,则 ∵，∴，解得 ∴数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1），得， ∴数列的前项和 ∴ ∴ 所以 14. 已知左､右焦点分别为､的椭圆C：过点，以为直径的圆过C的下顶点A. （1）求椭圆C的方程； （2）若过点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，且直线､的斜率分别为､，证明：为定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由以为直径的圆过下顶点得，结合椭圆参数关系及点在椭圆上求，写出椭圆方程即可. （2）由题意，可设直线l为，联立椭圆方程，由韦达定理得，又，得表达式并求值，即可证明结论. 【详解】（1）∵以为直径的圆过点， ∴，又， ∴椭圆，又C过点， ∴，解得， ∴椭圆C的方程为. （2）由题意，直线l的斜率一定存在， ∴设直线l的方程为， 由，消去y得，. 于是，又， ∴，则为定值. 【点睛】关键点点睛：第二问，首先确定直线l的斜率一定存在，再设直线方程并联立椭圆方程，应用韦达定理、斜率两点式，求得表达式，最后求证是否为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天水市一中2024-2025学年第二学期高二开学检测数学试题 命题：张莉娜 审核：高路 满分：100分时间：90分钟 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1. 在等比数列中，，公比，则（ ） A. 6 B. C. 12 D. 2. 曲线在点处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知曲线：（），从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 5. 用0．1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A. 24个 B. 26个 C. 30个 D. 42个 6. 已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 7. 已知二项式的二项式系数和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 展开式中只有第三项的二项式系数最大 C. 展开式各项系数之和是243 D. 展开式中的有理项有4项 8. 已知点在圆上，点分别为直线 与轴，轴交点，则下列结论正确的是 （ ） A. 直线与圆相切 B. 圆截轴所得弦长为 C. 的最大值为 D. 的面积的最小值为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）． 9 若函数，则__________. 10. 已知点，则线段的垂直平分线的一般式方程为__________. 11. 2022年11月，第五届中国国际进口博览会即将在上海举行，组委员会准备安排5名工作人员去A，B，C，D这4所场馆，其中A场馆安排2人，其余场馆各1人，则不同的安排方法种数为____． 四、解答题：（本题共3小题，共43分．第12题14分，第13题14分，第14题15分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．） 12. 已知抛物线C：过点． （1）求抛物线C的方程，并求其准线方程； （2）过该抛物线焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于两点，求线段的长度． 13. 已知等差数列的前项和为，数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列前项和. 14. 已知左､右焦点分别为､的椭圆C：过点，以为直径的圆过C的下顶点A. （1）求椭圆C的方程； （2）若过点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，且直线､的斜率分别为､，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$