精品解析：上海市嘉定高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年上海市嘉定高级中学高一（上）期中数学试卷✥ 一､单选题：本题共4小题，共18分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则的值( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数的运算性质即可求得. 【详解】因为，所以. 故选：D. 2. 已知， 则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】由充分条件，必要条件定义，结合即可判定. 【详解】， 若，则，又，所以， 若，，故，即， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3. 已知集合，，则下列结论正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 当时， C. 当时， D. 对任意的，都有 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何含义可知A错误；通过求解两直线交点可知B错误；分别讨论和的情况，得到C错误；通过计算两直线重合的情况可知D正确. 【详解】对于A，表示过定点，且斜率不为的直线， 集合表示直线上所有的点，，A错误； 对于B，当时，，， 由得：，，B错误； 对于C，当时，，满足； 当，即时，直线与平行， ，解得：； 综上所述：当时，或，C错误； 对于D，若，则且直线与重合， ，方程组无解，，D正确. 故选：D. 4. 设都是非零实数，方程与的解集分别为集合与，那么“”是“” 的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】；不能推出. 【详解】由都是非零实数 ， 可得， 方程与方程为同一方程，故； 而当时，可以取方程与方程. 故选: A. 【点睛】充要条件需要判断两个互逆命题的真假；真命题需要证明，假命题举反例. 二､填空题：本题共12小题，共54分. 5. 方程组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】解方程结合列举法表示集合即可得结果. 【详解】因，解得， 所以方程组的解集是. 故答案为：. 6. 命题“若，则”是_____命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】通过取反例即可判断. 详解】取，满足， 显然不成立，所以命题为假命题. 故答案为：假 7. “且”的否定形式为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】由原命题的否定的定义可直接得到结论. 【详解】“且”的否定形式为：或. 故答案为：或. 8. 已知集合，，若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】由交集定义可得答案. 【详解】因，，，则，故. 故答案为： 9. 关于的方程的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】整理可得，结合对数解方程即可. 【详解】因为，可得， 所以方程的解集为. 故答案为：. 10. 不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法求解， 【详解】恒成立，原不等式可化为，即， 解得， 故答案为： 11. 已知，则函数的最大值为_________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据重要不等式，当且仅当时等号成立，得到，当且仅当时等号成立，代入即可求得函数的最大值. 【详解】因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数最大值为4. 故答案为：4 12. 关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据题意可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】当时，则有，合乎题意； 当时，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知正实数a，b满足，则的最小值为_____. 【答案】8 【解析】 【分析】应用基本不等式“1”代换求目标式的最小值. 【详解】由及，则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为8. 故答案为：8. 14. 已知集合有且仅有两个子集，则实数__________. 【答案】1或 【解析】 【分析】结合已知条件，求出的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可. 【详解】若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解， ①当时，，满足题意； ②当时，，所以， 综上所述，或. 故答案为：1或. 15. x为实数，且不等式有解，则实数m的取值范围是________________. 【答案】 【解析】 【分析】求出的最小值，只需m大于最小值即可满足题意. 【详解】利用三角不等式，有，当时等号成立 因为有解，只需即可, 所以实数m的取值范围是. 故答案为： 16. 已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知：的根为，且，利用韦达定理可得之间的关系，代入运算即可. 【详解】由题意可知：的根为，且， 则，可得， 不等式即为， 且，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 三､解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知集合，．若，且，求实数p及q的值． 【答案】，. 【解析】 【分析】先求出集合A，然后利用已知条件，求出集合B，结合集合B中的不等式，解出实数p及q的值． 【详解】不等式，解得或， 则或， 若且，则， 又，故-2和3是方程的两根， 有，解得，. 18. 设全集为，集合，集合 （1）若，求集合； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）分别求解出分式不等式、绝对值不等式的解集为集合，再根据交集运算求解出； （2）先表示出集合，然后根据列出关于的不等式组，由此求解出结果. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，解得，所以， 又因为，所以，所以，所以， 所以； 【小问2详解】 因为，所以，所以， 又因为，且即， 所以，所以， 所以实数的取值范围是. 19. 设集合． （1）求证：，，； （2）用反证法证明：10不是集合的元素． 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）找出使，，得到答案. （2）假设10是的元素，则，讨论方程成立的各种情况，均无解，得证. 【详解】（1）易知：，， 故，， （2）假设10是的元素，则存在、，使得， 因为同为奇数或者同为偶数， 所以假设不成立 10不是的元素． 【点睛】本题考查了集合的元素与集合关系，反证法，意在考查学生的逻辑推理能力. 20. 设函数. （1）解关于x的不等式； （2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）对a分类讨论：当时；当时；当时.分别求出对应的解集； （2）利用分离参数法得到，再利用基本不等式求出的最小值，即可求出a的取值范围. 【小问1详解】 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 因为，所以由可化为：， 因为（当且仅当，即时等号成立）， 所以.所以a取值范围为. 21. 若集合，满足，则称为集合的一种分拆，并规定：当且仅当时，与为集合的同一种分拆. （1）集合的不同分拆种数为多少？ （2）集合的不同分拆种数为多少？ （3）由上述两题归纳一般的情形：集合的不同分拆种数为多少？（不必证明） 【答案】（1）9 （2）27 （3） 【解析】 【分析】（1）根据分拆的定义，对分以下几种情况讨论：，，，； （2）与（1）一样，考虑集合为，有一个元素，2个元素，和集合相等四种情况，分别求出各自的分析种数，然后把各自的分析种数相加，即可求出值； （3）由（1）（2）猜想集合的不同分拆种数为． 【详解】解：（1）由分拆的定义可知： 或或或， 当时，， 当时，或， 当时，或， 当时，或或或， 综上：集合的不同分拆种数为9种； （2）由分拆的定义可知： 或或或或或或或， 当时，， 当时，或， 当时，或， 当时，或， 当时，或或或， 当时，或或或， 当时，或或或， 当时，或或或或或或或， 综上：集合的不同分拆种数为27种； （3）由（1）（2）知， 当集合有2个元素时，集合的不同分拆种数为种， 当集合有3个元素时，集合的不同分拆种数为种， 于是，集合的不同分拆种数为． 【点睛】本题属于创新型的概念理解题，准确地理解分拆的定义，以及灵活运用集合并集的运算和分类讨论思想是解决本题的关键所在，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年上海市嘉定高级中学高一（上）期中数学试卷✥ 一､单选题：本题共4小题，共18分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则的值( ) A B. C. D. 2. 已知， 则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 已知集合，，则下列结论正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 当时， C 当时， D. 对任意的，都有 4. 设都是非零实数，方程与的解集分别为集合与，那么“”是“” 的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C 充要条件 D. 非充分非必要条件 二､填空题：本题共12小题，共54分. 5. 方程组的解集是______． 6. 命题“若，则”是_____命题．（填“真”或“假”） 7. “且”的否定形式为__________. 8. 已知集合，，若，则____________． 9. 关于的方程的解集为______． 10. 不等式的解集为____________. 11. 已知，则函数最大值为_________. 12. 关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________． 13. 已知正实数a，b满足，则的最小值为_____. 14. 已知集合有且仅有两个子集，则实数__________. 15. x为实数，且不等式有解，则实数m的取值范围是________________. 16. 已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集______． 三､解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知集合，．若，且，求实数p及q的值． 18. 设全集为，集合，集合 （1）若，求集合； （2）若，求实数的取值范围． 19. 设集合． （1）求证：，，； （2）用反证法证明：10不是集合的元素． 20. 设函数. （1）解关于x的不等式； （2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围. 21. 若集合，满足，则称为集合一种分拆，并规定：当且仅当时，与为集合的同一种分拆. （1）集合的不同分拆种数为多少？ （2）集合的不同分拆种数为多少？ （3）由上述两题归纳一般的情形：集合的不同分拆种数为多少？（不必证明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$