9.4矩形、菱形 、正方形（菱形） 巩固练习 2024-2025学年苏科版数学八年级下册

2024-2025学年苏科版数学八年级下册 9.4矩形、菱形 、正方形（菱形） （巩固练习） 【典型例题】 【例1】如图，在中，对角线、相交于点，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是　　 A. B． C． D． 【例2】菱形的两条对角线的长分别是和，则菱形的面积是（    ） A． B． C． D． 【例3】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△CDE的面积为（　　） A．11 B．12 C．24 D．22 【例4】如图，已知菱形ABCD的边长是13，O是对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．若菱形一条对角线长为10，则图中阴影部分的面积为______． 【例5】如图，矩形中，点E、F分别在边、上，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若四边形是菱形，，，求菱形的周长． 【举一反三】 【变式1】在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中不一定正确的是（　　） A．AB＝AD B．AC⊥BD C．∠DAC＝∠BAC D．AC＝BD 【变式2】下列不属于菱形性质的是（　　） A．四条边都相等 B．两条对角线相等 C．两条对角线互相垂直 D．每一条对角线平分一组对角 【变式3】如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点F，E为垂足，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式4】如图，在菱形中，对角线、交于点O，且，，过A 点作垂直，交点E，则 的值为_________ 【变式5】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长． 【巩固练习】 1.依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（    ） A． B．C．D． 2.如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ）    A．20 B．24 C．30 D．48 3.如图，菱形对角线，，则菱形高长为（ ） A. B. C. D. 4.如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法： ① 四边形EFGH一定是平行四边形； ②若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形； ③若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形． 其中正确的是（   ） A.① B．①② C．①③ D．①②③ 5.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知AB∥CD，AB＝CD，请你添加一个条件 　　，使四边形ABCD是菱形． 6.如图，菱形的面积为120cm2，正方形的面积为50cm2时，则菱形的边长为____cm． 7.如图，把一个矩形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个内角为100°的菱形，剪口与竖直折痕所成的锐角的度数为______． 　　 　　 8.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC平分∠DAB，连接BD交AC于点O，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E． （1）求证：四边形ABCD为菱形； （2）若OA＝4，OB＝3，求CE的长． 9.如图所示，点O是菱形对角线的交点，，连接，交于F． （1）求证：四边形是矩形 （2）如果设，求的长． 10.如图，在矩形中，垂直平分，分别交于点，连接． 求证：四边形是菱形； 若，求的长． 答案解析 【典型例题】 【例1】如图，在中，对角线、相交于点，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是　　 A. B． C． D． 【答案】C 【例2】菱形的两条对角线的长分别是和，则菱形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【例3】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△CDE的面积为（　　） A．11 B．12 C．24 D．22 【答案】B 【例4】如图，已知菱形ABCD的边长是13，O是对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．若菱形一条对角线长为10，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】60 【例5】如图，矩形中，点E、F分别在边、上，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若四边形是菱形，，，求菱形的周长． 【答案】（1）∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）菱形的周长为20 【举一反三】 【变式1】在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中不一定正确的是（　　） A．AB＝AD B．AC⊥BD C．∠DAC＝∠BAC D．AC＝BD 【答案】D 【变式2】下列不属于菱形性质的是（　　） A．四条边都相等 B．两条对角线相等 C．两条对角线互相垂直 D．每一条对角线平分一组对角 【答案】B 【变式3】如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点F，E为垂足，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【变式4】如图，在菱形中，对角线、交于点O，且，，过A 点作垂直，交点E，则 的值为_________ 【答案】 【变式5】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长． 【答案】(1)证明:∵四边形ABCD为菱形， ∴点O为BD的中点， ∵点E为AD中点， ∴OE为△ABD的中位线， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形 ∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形． (2)∵点E为AD的中点，AD=10， ∴AE= ∵∠EFA=90°，EF=4， ∴在Rt△AEF中，． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=AD=10， ∴OE=AB=5， ∵四边形OEFG为矩形， ∴FG=OE=5， ∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2． 故答案为：OE=5，BG=2． 【巩固练习】 1.依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（    ） A． B．C．D． 【答案】C 2.如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ）    A．20 B．24 C．30 D．48 【答案】B 3.如图，菱形对角线，，则菱形高长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 4.如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法： ① 四边形EFGH一定是平行四边形； ②若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形； ③若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形． 其中正确的是（   ） A.① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】D 5.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知AB∥CD，AB＝CD，请你添加一个条件 　　，使四边形ABCD是菱形． 【答案】AC⊥BD或AB＝AD（答案不唯一） 6.如图，菱形的面积为120cm2，正方形的面积为50cm2时，则菱形的边长为____cm． 【答案】13 7.如图，把一个矩形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个内角为100°的菱形，剪口与竖直折痕所成的锐角的度数为______． 　　 　　 【答案】40°或50° 8.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC平分∠DAB，连接BD交AC于点O，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E． （1）求证：四边形ABCD为菱形； （2）若OA＝4，OB＝3，求CE的长． 【答案】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC， ∴∠BAC＝∠DCA，四边形ABCD是平行四边形， ∵AC平分∠DAB， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，OA＝4，OB＝3， ∴AC⊥BD，AC＝2OA＝8，BD＝2OB＝6， ∴∠AOB＝90°， ∴AB＝＝＝5， ∵CE⊥AB， ∴S菱形ABCD＝AB•CE＝AC•BD， 即5CE＝×8×6， 解得：CE＝， 即CE的长为． 9.如图所示，点O是菱形对角线的交点，，连接，交于F． （1）求证：四边形是矩形 （2）如果设，求的长． 【答案】（1）∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴平行四边形是矩形； （2）∵四边形是菱形，， ∴， ∵四边形是矩形 ∴， ∴． 10.如图，在矩形中，垂直平分，分别交于点，连接． 求证：四边形是菱形；若，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， 垂直平分， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）四边形是菱形， ， ，， ， 设，则， 在中，， 即， ， ， ， ． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$