精品解析：江苏省无锡市青山高级中学2024-2025学年高一下学期2月质量调研数学试题

无锡市青山高级中学2024-2025学年春学期2月质量调研 高一数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集和交集的定义与运算直接得出结果. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：A 2. 若，，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数幂与根式关系、对数的运算性质判断各项正误. 【详解】A：，对； B：，错； C、D：由对数的运算性质有、，错. 故选：A 3. 已知扇形的半径为2，面积为4，则圆心角为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形面积公式，由题中条件，即可求解. 【详解】记圆心角为，因为扇形的半径为2，面积为4， 所以，则； 故选：C 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值. 【详解】由题意可得：， 则：，， 从而有：， 即. 故选：B. 【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题. 5. 已知命题，命题，若均为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据命题的真假以及三角函数值域即可求得结果. 【详解】若命题为真命题，可得即可，即； 若命题为真命题，可得，即可得， 因此若均为真命题，可得, 即实数的取值范围为. 故选：B 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数、对数函数的单调性可得，即可得出答案. 【详解】，故． 故选：D. 7. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数单调性及零点存在性定理可得答案. 【详解】因均在上单调递减，则在 上单调递减， 又， ，， ，. 注意到，由零点存在性定理可得函数的零点所在的区间为. 故选：C 8. 如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（ ） A. 转动后点距离地面 B. 第和第点距离地面的高度相同. C. 转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D. 转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 【答案】B 【解析】 【分析】设转动过程中，点离地面距离的函数为，由题意求得解析式，然后逐项求解判断. 【详解】设转动过程中，点离地面距离的函数为：， 由题意得：，又， 即，故，， 所以 所以， 选项A，转到后，点距离地面的高度为，故A错误； 选项B，因为 ， ， 所以， 即第和第点距离地面的高度相同，故B正确； 选项C，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，故C不正确； 选项D，令，则， 由，解得， 考虑第一圈时，点距离地面的高度不低于的时长，可得 当时，，当时，， 即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为，故D错误； 故选：B. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A：当时， ，故A错误； 对于B：因为，则，故得，故B正确； 对于 C：若取，，满足， 因，，，显然不满足，故 C错误； 对于D：由，得且， 因，可得，故D正确. 10. 已知函数（且，），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的图象过定点 B. 若，则的最小值为4 C. 若，则 D. 若， 【答案】ABD 【解析】 【分析】A由可得的图象所过定点；B由题可得，然后由基本不等式可得答案；CD由指数函数单调性，结合作差法，正切函数单调性可判断选项正误； 【详解】对于A，令，，则的图象过定点，故A正确； 对于B，，， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，因，则在R上单调递增，又， 则，故C错误； 对于D，因，则在R上单调递减， 又注意到时，函数单调递增， 则，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 11. 若，，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当，即，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 12. 将余弦函数的图象向左平移个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数的图象，若在区间上恰有1个最小值和3个零点，则的取值范围为___. 【答案】 【解析】 【分析】根据图像变换可得，再以为整体，结合余弦函数性质列式求解即可. 【详解】余弦函数的图象向左平移个单位，可得， 再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，可得， 因为，且，则， 由题意可得：，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共4小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13. 设全集，已知，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，根据交集运算列式求解即可； （2）分析可知集合B是集合A的真子集，根据包含关系列式求解即可. 【小问1详解】 对于，可得，等价于，解得， 所以； 又因为，可得； 若，则或，可得或， 所以实数的取值范围. 【小问2详解】 由（2）可知：集合，集合， 若“”是“”的必要不充分条件，可知集合B是集合A的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 14. 设函数与在区间上的图象交于点. （1）求、； （2）若，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系可得出关于的方程，由已知可得出，解出的值，可得出的值，进而可得出的值； （2）由已知可得出，利用诱导公式结合同角三角函数的基本关系可求得所求代数式的值. 【小问1详解】 由题意可得，则， 即，整理可得， 即， 因为，则，解得， 所以，，, 【小问2详解】 因为， 所以， . 15. 已知函数. （1）证明：在上是增函数； （2）若对于任意的，恒有，求实数的取值范围. 【答案】（1） 假设， 则 ， 因为，所以，即，又， 所以， 所以在上是增函数， （2） 【解析】 【分析】（1）由单调性的定义即可求证； （2）由函数的单调性及奇偶性去求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，所以为奇函数， 所以，在恒成立， 等价于， 又在上是增函数， 所以在恒成立， 则在恒成立， ，当时，取等号， 所以，即. 16. 已知函数（，，）的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）直接写出函数的增区间及取得最大值时的集合； （3）若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）单增区间为，取得最大值时的集合 （3） 【解析】 【分析】（1）根据振幅和周期可得，代入最值点即可求， （2）利用整体法即可求解， （3）根据三角恒等变换可将问题转化为在上有四个不同的实数根，利用换元以及三角函数的图象，进一步将问题转化为在上有两个不相等的实数根，即可分离常数，结合对勾函数的图象求解. 【小问1详解】 由图可知周期，故, 此时， 代入可得,故，解得 由于，故取，， 【小问2详解】 ,解得， 故单增区间为， 由可得,故，解得， 故取得最大值时的集合 【小问3详解】 由可得，， 即在上有四个不同的实数根， 令，则， ，则，， 令,则,如图， 要使在上有四个不同的实数根， 则需要在上有两个不相等的实数根 故， 由于时，无解，故，则， 令则且，故， 由于在单调递减，此时至多一个实数根，不符合题意， 故，如图： 当时，， 当且仅当时，取等号， 故 【点睛】方法点睛：已知函数有零点或方程有根求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市青山高级中学2024-2025学年春学期2月质量调研 高一数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知扇形的半径为2，面积为4，则圆心角为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知命题，命题，若均为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（ ） A. 转动后点距离地面 B. 第和第点距离地面的高度相同. C. 转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D. 转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数（且，），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的图象过定点 B. 若，则的最小值为4 C. 若，则 D. 若， 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 11. 若，，且，则的最小值为__________. 12. 将余弦函数的图象向左平移个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数的图象，若在区间上恰有1个最小值和3个零点，则的取值范围为___. 四、解答题：本题共4小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13. 设全集，已知，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 14. 设函数与在区间上的图象交于点. （1）求、； （2）若，求的值. 15. 已知函数. （1）证明：在上是增函数； （2）若对于任意的，恒有，求实数的取值范围. 16. 已知函数（，，）的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）直接写出函数的增区间及取得最大值时的集合； （3）若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $