七下数学第一次月考卷-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

1 2024-2025 学年七下数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1-2章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．杭州亚运会是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事，如图是亚运会的会徽，通过平移可以得到的图形是 （ ） A． B． C． D． 2．若方程 2 1ax y x   是关于 x， y的二元一次方程，则 a的取值范围为（ ） A． 0a  B． 1a   C． 1a  D． 2a  3．下面能判断 AB CD∥ 的条件是（ ） A． 180ADC BCE    B． 2 3  C． ADE BCE  D． 1 4   2 4．用代入消元法解二元一次方程组 2 4 4 3 18 x y x y      ① ② 时，由①变形可得到（ ） A． 2 4y x  B． 2 4y x  C． 2 4y x   D． y x  2 4 5．将等腰直角三角尺和长方形纸片按如图所示方式摆放，若 1 35  ，则 2 的度数为（ ） A．30 B．10 C．15 D．5 6．如图， 45ABC  ， 60EDF  ，若要使直线 BC EG∥ ，则可使直线 EG绕点 D逆时针旋转（ ） A．15 B． 25 C．30 D．105 7．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载 了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少 4元，问有多少 人？该物品价几何？设有 x人，物品价值 y元，则所列方程组正确的是（ ） A． 8 3 7 4 y x y x      B． 8 3 7 4 x y x y      C． 8 3 7 4 y x y x      D． 8 3 7 4 x y x y      8．如果方程组 2 3 1 x y y z z x          的解也是方程3 5 0x y mz   的解，那么m的值是（ ） A． 2 B．2 C． 1 2  D． 1 2 3 9．在如图所示的长方形 ABCD中放入六个长，宽都相同的小长方形．若 6cmBE  ， 14cmBC  ，则图中阴 影部分的面积之和为（ ） A． 248cm B． 244cm C． 236cm D． 224cm 10．如图所示， AB CD∥ ，若 3 33 1, 4 2 2 2       ，下列各式：① 1 2 E   ② 1 2 3 4 F         ③ 3 4 360F       ④5 2 720E F     其中正确的是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。 11．请写出二元一次方程 2 7x y  的一组解 ． 12．如图，在 ABCV 中， BD AC 于点 D，点 E在CD上．若 2.5, 4.8BD BC  ，那么线段 BE的长可以 是 ．（写出一个即可） 13．如图，将Rt ABC△ 沿着直线 BC向右平移到 DEF 的位置，平移距离为 7， 13, 6AB DO  ，则图中阴 影部分的面积为 ． 4 14．若关于 ,x y的方程组 3 5 2 2 3 x y m x y m       的解 x与 y的和为 2，则 2 4 4m m  的值为 ． 15．若关于 x、y 的方程组 3 9 2 3 0 ax y x y      有整数解，则正整数 a 的值为 ． 16．如图，已知CD AB∥ ， MFN   ， 14 3 CMF   ， 15 3 BNF   ，则 H I  的值为 （用 表示） 三、解答题：本题共 8 小题，共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．用加减法解下列方程组： (1) 1 2 4 x y x y       ； (2)  3 1 4 1 3 6 x y x y x y           ． 18．如图，在8 10 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1， ABCV 的顶点均在小正方形的顶点上． (1)把 ABCV 先向右移动 5 个单位长度，再向下移动 3 个单位长度得到 1 1 1A BC△ ，画出 1 1 1A BC△ （其中点 A 的对应点为 1A，点 B 的对应点为 1B ，点 C 的对应点为 1C ）； (2)连接 1AA， 1BB ，判定 1AA与 1BB 的位置关系，并写出 1 1 1A BC△ 的面积． 5 19．如图，已知，直线 AB、CD 相交于点 O，过点 O 作OE CD ，OF AB ，若 32AOC   .求 EOF 的度 数. 20．某校为改善学校多媒体课室教学设施，计划购进一批电脑和电子白板．经过市场考察得知，购买1台电 脑和 2台电子白板需要3.6万元，购买 2台电脑和3台电子白板需要 5.6万元．求每台电脑和每台电子白板各 是多少万元？ 21．已知：如图，GD CAP ， 1 2 180    ． (1)判断CD与 EF的位置关系，并说明理由． (2)若DG平分 CDB ， 40ACD  ，求 EFB 的度数． 6 22．【观察思考】 第 1 个方程组为 1 1 x y x y      解为 1 0 x y    第 2 个方程组为 1 2 4 x y x y      解为 2 1 x y     第 3 个方程组为 1 3 9 x y x y      解为 3 2 x y     第 4 个方程组为 1 4 16 x y x y      解为 4 3 x y     …… 【规律发现】 (1)按照以上规律，写出第 5个方程组为________，解为________． (2)写出你猜想的第 n个方程组和它的解并说明理由． 23．口罩是疫情防控的重要物资，某药店销售 A、B两种品牌口罩，购买 2盒 A品牌和 3盒 B品牌的口罩 共需 240元；购买 3盒 A品牌和 1盒 B品牌的口罩共需 185元． (1)求这两种品牌口罩的单价． (2)学校开学前夕，该药店对学生进行优惠销售这两种口罩，具体办法如下：A品牌口罩按原价的八折销售， B品牌口罩 5盒以内（包含 5盒）按原价销售，超出 5盒的部分按原价的七折销售． 若购买 x盒 A品牌口罩时，需要的费用为 元；若购买 x（ 5x  ）盒 B品牌口罩时，需要的费用为 元；（用 含 x的式子表示，化到最简） (3)在（2）的前提下，当学生李明到该药店需要购买 50盒口罩时，买哪种品牌的口罩更合算？ 7 24．如图， PQ MN∥ ，A、 B分别为直线MN、 PQ上两点，且 45BAN  ，若射线 AM 绕点A顺时针旋 转至 AN后立即回转，射线 BQ绕点 B逆时针旋转至 BP后立即回转，两射线分别绕点A、点 B不停地旋转， 若射线 AM 转动的速度是 /a 秒，射线 BQ转动的速度是 /b 秒，且 a、b满足  28 2 0a b    ． (1)a ______，b  ______； (2)若射线 AM、射线 BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线 AM 、射线 BQ互相垂直． (3)若射线 AM绕点A顺时针先转动 15 秒，射线 BQ才开始绕点 B逆时针旋转，在射线 BQ第一次到达BA之 前，问射线 AM 再转动多少秒时，射线 AM 、射线 BQ互相平行？ 2024-2025学年七下数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1-2章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．杭州亚运会是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事，如图是亚运会的会徽，通过平移可以得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，根据平移后的图形只是位置发生改变，形状，大小，方向都不发生改变，据此进行判断即可． 【详解】解：由题意，只有选项C的图形与原图形的形状，大小，方向都相同，可以通过平移得到； 故选C． 2．若方程是关于，的二元一次方程，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数且未知数的次数是1的整式方程，根据二元一次方程的定义即可求出答案． 【详解】解：原方程整理后得， ∵原方程是关于，的二元一次方程， ∴， ∴ 故选：B． 3．下面能判断的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，则，不能判断，本选项不符合题意； B、，则，不能判断，本选项不符合题意； C、，则，不能判断，本选项不符合题意； D、，则，本选项符合题意； 故选：D． 4．用代入消元法解二元一次方程组时，由①变形可得到（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键．利用代入消元法变形即可得到结果． 【详解】解：代入消元法解二元一次方程组时，由①变形可得到， 故选：B． 5．将等腰直角三角尺和长方形纸片按如图所示方式摆放，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，与三角板有关的计算，根据平行线的性质得到，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∵长方形纸片的对边平行， ∴， ∵， ∴； 故选B． 6．如图，，，若要使直线，则可使直线绕点D逆时针旋转（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 根据同位角相等，两直线平行可知当时，，进而可得，由此即可求解． 进行判断． 【详解】解：如图， 当时，， 因为，所以． 所以． 因为，所以． 故选A． 7．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出元，多元；每人出元，少元，问有多少人？该物品价几何？设有人，物品价值元，则所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有人，物品价值元，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设有人，物品价值元， 由题意得，， 故选：D． 8．如果方程组的解也是方程的解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三元一次方程组的解法；把三元转换成二元利用消元法解出的值，再代入求解即可． 【详解】解：， 得④， 得， 解得：， ∴， ∴将，代入， 得， 解得：， 故选：B． 9．在如图所示的长方形中放入六个长，宽都相同的小长方形．若，，则图中阴影部分的面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用（几何问题），读懂题意，根据题中的几何关系正确列出方程组是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据题意得，解方程组即可求出、的值，然后根据“”即可求出图中阴影部分的面积之和． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ， 故选：． 10．如图所示，，若，下列各式：①  ②  ③  ④ 其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】过点E作，点F作，根据平行公理得，根据平行线的性质逐一计算解题即可． 【详解】解：如图，过点E作， ∵， ∴，    ∴，， ∴， 故①正确； 如图，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， 故②不正确； 又∵， ∴， 即， 故③不正确；    ∵， ∴， ∵， ∴， ， 故④正确； ∴正确的为①④， 故选D． 【点睛】本题考查平行线的性质，能作辅助线构造平行线转化角是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．请写出二元一次方程的一组解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是掌握二元一次方程解的定义，根据“使二元一次方程两边相等的未知数的值是二元一次方程的解”进行解答即可． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴是原方程的一组解， 故答案为：（答案不唯一）． 12．如图，在中，于点D，点E在上．若，那么线段的长可以是 ．（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了垂线段最短，根据垂线段最短即可求解． 【详解】解：根据垂线段最短可得，， ∵点E在上， ∴， ∴， 故答案为：3（答案不唯一） 13．如图，将沿着直线向右平移到的位置，平移距离为7，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】70 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段相等是解此题的关键．由平移的性质可得，，，从而得出，再由可得，即可得解． 【详解】解：由平移的性质可得：，，， ， ， ， ， 故答案为：70． 14．若关于的方程组的解与的和为2，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键. 用加减消元法去掉参数，得到新方程组，求出，继而求出，代入，计算即可得到答案. 【详解】解： ， 得， ， ， 解得：， 把代入得， ， . 故答案为：. 15．若关于x、y的方程组有整数解，则正整数a的值为 ． 【答案】1或3或5 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先利用加减消元法解方程组得到，再根据方程组有整数解得到和都是整数，据此求解即可． 【详解】解：， 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴方程组的解为， ∵关于x、y的方程组有整数解， ∴和都是整数， ∴或， 又∵，即，且a为正整数， 解得或或或（舍去）， 故答案为：1或3或5． 16．如图，已知，，，，则的值为 （用表示） 【答案】 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，先作辅助线过H作，过F作，过I作，根据平行线的性质可得，等量代换得再根据等量代换即可得出答案． 【详解】解：过H作，过F作，过I作，如图： ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．用加减法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法消去一个未知数是解题的关键． （1）直接利用加减消元法求解即可； （2）先整理方程组，然后再利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ， ①＋②得：，解得， 把代入方程①，得：， 所以这个方程组的解是：． （2）解：由整理得 ③＋④得，解得：， 把代入方程③，得：， 所以这个方程组的解是：． 18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在小正方形的顶点上． (1)把先向右移动5个单位长度，再向下移动3个单位长度得到，画出（其中点A的对应点为，点B的对应点为，点C的对应点为）； (2)连接，，判定与的位置关系，并写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，7 【分析】本题考查作图—平移变换、三角形的面积： （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据平移的性质可知；利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由平移可知，． 的面积为． 19．如图，已知，直线AB、CD相交于点O，过点O作，，若.求的度数. 【答案】148° 【分析】先根据垂直定义得到∠COE=∠AOF=90°，再根据周角是360°求解即可． 【详解】解：∵，， ∴∠COE=∠AOF=90°， ∴∠EOF=360°-∠AOC-∠COE-∠AOF =360°-32°-90°-90° =148°． 【点睛】本题考查垂直定义、周角，理解垂直定义，熟知周角等于360°是解答的关键． 20．某校为改善学校多媒体课室教学设施，计划购进一批电脑和电子白板．经过市场考察得知，购买台电脑和台电子白板需要万元，购买台电脑和台电子白板需要万元．求每台电脑和每台电子白板各是多少万元？ 【答案】每台电脑万元，每台电子白板万元 【分析】设每台电脑万元，每台电子白板万元，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设每台电脑万元，每台电子白板万元，根据题意可得： ，解得，， ∴每台电脑万元，每台电子白板万元． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 21．已知：如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)；理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质，是解题的关键； （1）根据可得，从而证明，根据平行线的判定即可证明结论； （2）根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，最后根据平行线的性质得出． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 22．【观察思考】 第1个方程组为解为第2个方程组为解为 第3个方程组为解为第4个方程组为解为 …… 【规律发现】 (1)按照以上规律，写出第5个方程组为________，解为________． (2)写出你猜想的第个方程组和它的解并说明理由． 【答案】(1)， (2)第个方程组为，它的解为，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组，平方差公式． （1）根据前4个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第5个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解． 【详解】（1）解：按照以上规律，写出第5个方程组为，解为 （2）解：每个方程组的第1个方程都为， 第2个方程的中的系数为1，的系数为，等号右边的数为， 方程组的解，， ∴第个方程组为，它的解为 检验： 得，，即， 解得：， 代入①可得，， ∴方程组的解为：． 23．口罩是疫情防控的重要物资，某药店销售A、B两种品牌口罩，购买2盒A品牌和3盒B品牌的口罩共需240元；购买3盒A品牌和1盒B品牌的口罩共需185元． (1)求这两种品牌口罩的单价． (2)学校开学前夕，该药店对学生进行优惠销售这两种口罩，具体办法如下：A品牌口罩按原价的八折销售，B品牌口罩5盒以内（包含5盒）按原价销售，超出5盒的部分按原价的七折销售． 若购买x盒A品牌口罩时，需要的费用为 元；若购买x（）盒B品牌口罩时，需要的费用为 元；（用含x的式子表示，化到最简） (3)在（2）的前提下，当学生李明到该药店需要购买50盒口罩时，买哪种品牌的口罩更合算？ 【答案】(1)，两种品牌口罩单价分别为元和元 (2)； (3)买品牌更合算 【分析】本题考查了二元一次方程组解实际问题的运用，列代数式及求值； （1）设，两种品牌口罩单价分别为，元，根据条件建立方程组求出其解即可； （2）由（1）的结论，根据总价单价数量就可以得出关系式； （3）将代入求解即可． 【详解】（1）解：设，两种品牌口罩单价分别为，元， 由题意得，解得． 答：，两种品牌口罩单价分别为元和元． （2）若购买x盒A品牌口罩时，需要的费用为， 若购买x（）盒B品牌口罩时，需要的费用为，， 故答案为：；． （3）当时，（元）， （元），， 买品牌更合算． 24．如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足． (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】(1)8；2 (2)9秒 (3)6秒或10秒 【分析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解方程的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0． （1）依据非负数的性质即可得到，的值； （2）依据，，即可得到射线、射线第一次互相垂直的时间； （3）分两种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ，， ，， 故答案为：8；2； （2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直． 如图，设旋转后的射线、射线交于点，则， ， ， ， ， 又，， ， ， ∴至少旋转9秒时，射线、射线互相垂直； （3）解：设射线再转动秒时，射线、射线互相平行． 如图，射线绕点顺时针先转动15秒后，转动至的位置，则， ∴； 分两种情况： ①当时，，， ∵， ∴， ，， 当时，， ∴， 解得； ②当时，，， ，， 当时，， 此时，， 解得； 综上所述，射线再转动6秒或10秒时，射线、射线互相平行． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七下数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1-2章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．杭州亚运会是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事，如图是亚运会的会徽，通过平移可以得到的图形是（   ） A．B．C． D． 2．若方程是关于，的二元一次方程，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．下面能判断的条件是（    ） A． B． C． D． 4．用代入消元法解二元一次方程组时，由①变形可得到（   ） A． B． C． D． 5．将等腰直角三角尺和长方形纸片按如图所示方式摆放，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，，，若要使直线，则可使直线绕点D逆时针旋转（   ） A． B． C． D． 7．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出元，多元；每人出元，少元，问有多少人？该物品价几何？设有人，物品价值元，则所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如果方程组的解也是方程的解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D． 9．在如图所示的长方形中放入六个长，宽都相同的小长方形．若，，则图中阴影部分的面积之和为（   ） A． B． C． D． 10．如图所示，，若，下列各式：①  ②  ③  ④ 其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．请写出二元一次方程的一组解 ． 12．如图，在中，于点D，点E在上．若，那么线段的长可以是 ．（写出一个即可） 13．如图，将沿着直线向右平移到的位置，平移距离为7，，则图中阴影部分的面积为 ． 14．若关于的方程组的解与的和为2，则的值为 ． 15．若关于x、y的方程组有整数解，则正整数a的值为 ． 16．如图，已知，，，，则的值为 （用表示） 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．用加减法解下列方程组： (1)； (2)． 18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在小正方形的顶点上． (1)把先向右移动5个单位长度，再向下移动3个单位长度得到，画出（其中点A的对应点为，点B的对应点为，点C的对应点为）； (2)连接，，判定与的位置关系，并写出的面积． 19．如图，已知，直线AB、CD相交于点O，过点O作，，若.求的度数. 20．某校为改善学校多媒体课室教学设施，计划购进一批电脑和电子白板．经过市场考察得知，购买台电脑和台电子白板需要万元，购买台电脑和台电子白板需要万元．求每台电脑和每台电子白板各是多少万元？ 21．已知：如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，，求的度数． 22．【观察思考】 第1个方程组为解为第2个方程组为解为 第3个方程组为解为第4个方程组为解为 …… 【规律发现】 (1)按照以上规律，写出第5个方程组为________，解为________． (2)写出你猜想的第个方程组和它的解并说明理由． 23．口罩是疫情防控的重要物资，某药店销售A、B两种品牌口罩，购买2盒A品牌和3盒B品牌的口罩共需240元；购买3盒A品牌和1盒B品牌的口罩共需185元． (1)求这两种品牌口罩的单价． (2)学校开学前夕，该药店对学生进行优惠销售这两种口罩，具体办法如下：A品牌口罩按原价的八折销售，B品牌口罩5盒以内（包含5盒）按原价销售，超出5盒的部分按原价的七折销售． 若购买x盒A品牌口罩时，需要的费用为 元；若购买x（）盒B品牌口罩时，需要的费用为 元；（用含x的式子表示，化到最简） (3)在（2）的前提下，当学生李明到该药店需要购买50盒口罩时，买哪种品牌的口罩更合算？ 24．如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足． (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2024-2025 学年七下数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1-2章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．杭州亚运会是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事，如图是亚运会的会徽，通过平移可以得到的图形是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，根据平移后的图形只是位置发生改变，形状，大小，方向都不发生改变， 据此进行判断即可． 2 【详解】解：由题意，只有选项 C 的图形与原图形的形状，大小，方向都相同，可以通过平移得到； 故选 C． 2．若方程 2 1ax y x   是关于 x， y的二元一次方程，则 a的取值范围为（ ） A． 0a  B． 1a   C． 1a  D． 2a  【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数且未知数的次数是 1 的整式方程，根据二元一次 方程的定义即可求出答案． 【详解】解：原方程整理后得  1 2 1a x y   ， ∵原方程是关于 x， y的二元一次方程， ∴ 1 0a   ， ∴ 1a   故选：B． 3．下面能判断 AB CD∥ 的条件是（ ） A． 180ADC BCE    B． 2 3  C． ADE BCE  D． 1 4   【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角 互补，两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理对选项进行逐一判 断即可． 【详解】解：A、 180ADC BCE   ，则 AD BC∥ ，不能判断 AB CD∥ ，本选项不符合题意； B、 2 3  ，则 AD BC∥ ，不能判断 AB CD∥ ，本选项不符合题意； C、 ADE BCE  ，则 AD BC∥ ，不能判断 AB CD∥ ，本选项不符合题意； D、 1 4   ，则 AB CD ，本选项符合题意； 故选：D． 3 4．用代入消元法解二元一次方程组 2 4 4 3 18 x y x y      ① ② 时，由①变形可得到（ ） A． 2 4y x  B． 2 4y x  C． 2 4y x   D． y x  2 4 【答案】B 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键．利用代入消元法变形即可得到结 果． 【详解】解：代入消元法解二元一次方程组 2 4 4 3 18 x y x y      ① ② 时，由①变形可得到 2 4y x  ， 故选：B． 5．将等腰直角三角尺和长方形纸片按如图所示方式摆放，若 1 35  ，则 2 的度数为（ ） A．30 B．10 C．15 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，与三角板有关的计算，根据平行线的性质得到 3 1 35    ，再根据角的 和差关系求出 2 的度数即可． 【详解】解：如图，由题意，得： 2 3 45   ， ∵长方形纸片的对边平行， ∴ 3 1 35    ， ∵ 2 3 45   ， ∴ 2 45 35 10     ； 故选 B． 6．如图， 45ABC  ， 60EDF  ，若要使直线 BC EG∥ ，则可使直线 EG绕点 D逆时针旋转（ ） 4 A．15 B． 25 C．30 D．105 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补， 两直线平行． 根据同位角相等，两直线平行可知当 ABC ADI  时，HI BC∥ ，进而可得 45FDH ADI   ，由此即 可求解． 进行判断． 【详解】解：如图， 当 ABC ADI  时，HI BC∥ ， 因为 45ABC  ，所以 45ADI  ． 所以 45FDH ADI   ． 因为 60EDF  ，所以 15EDH EDF FDH    ． 故选 A． 7．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载 了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少 4元，问有多少 人？该物品价几何？设有 x人，物品价值 y元，则所列方程组正确的是（ ） A． 8 3 7 4 y x y x      B． 8 3 7 4 x y x y      C． 8 3 7 4 y x y x      D． 8 3 7 4 x y x y      【答案】D 5 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有 x人，物品价值 y元，根据题意列出方程组即可求解，根 据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设有 x人，物品价值 y元， 由题意得， 8 3 7 4 x y x y      ， 故选：D． 8．如果方程组 2 3 1 x y y z z x          的解也是方程3 5 0x y mz   的解，那么m的值是（ ） A． 2 B．2 C． 1 2  D． 1 2 【答案】B 【分析】本题主要考查三元一次方程组的解法；把三元转换成二元利用消元法解出 , ,x y z的值，再代入求解 即可． 【详解】解： 2 3 1 x y y z z x          ① ② ③ ， ① ②得 5x z  ④， ③ ④得 2 4x ， 解得： 2x  ， ∴ 0, 3y z   ， ∴将 2x  ， 0, 3y z   代入3 5 0x y mz   ， 得6 3 0m  ， 解得： 2m  ， 故选：B． 9．在如图所示的长方形 ABCD中放入六个长，宽都相同的小长方形．若 6cmBE  ， 14cmBC  ，则图中阴 影部分的面积之和为（ ） 6 A． 248cm B． 244cm C． 236cm D． 224cm 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用（几何问题），读懂题意，根据题中的几何关系正确列出方程组 是解题的关键． 设小长方形的长为 cmx ，宽为 cmy ，根据题意得 3 14 2 6 x y x y y       ，解方程组即可求出 x、 y的值，然后根据 “  2 6S BE y BC xy   阴影 ”即可求出图中阴影部分的面积之和． 【详解】解：设小长方形的长为 cmx ，宽为 cmy ， 根据题意得： 3 14 2 6 x y x y y       ， 解得： 8 2 x y    ，  6S AB BC xy  阴影  2 6BE y BC xy     6 2 2 14 6 8 2       10 14 96   244cm ， 故选：B． 10．如图所示， AB CD∥ ，若 3 33 1, 4 2 2 2       ，下列各式：① 1 2 E   ② 1 2 3 4 F         ③ 3 4 360F       ④5 2 720E F     其中正确的是（ ） 7 A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】过点 E 作 EM AB ，点 F作 FN AB ，根据平行公理得 EM FN AB CD   ，根据平行线的性质逐 一计算解题即可． 【详解】解：如图，过点 E 作EM AB ， ∵ AB CD∥ ， ∴EM AB CD  ， ∴ 1 BEM   ， 2 DEM   ， ∴ 1 2 BEM DEM BED       ， 故①正确； 如图，过点 F 作FN AB ， ∵ AB CD∥ ， ∴FN AB CD  ， ∴ 180ABF BFN   ， 180CDF DFN   ， ∴ 360ABF BFN CDF DFN     ， 即 1 2 3 4 360BFD      ， 故②不正确； 又∵ 3 33 1, 4 2 2 2       ， ∴ 2 23 4 3 4 360 3 3 BFD       ， 即 5 53 4 360 3 3 BFD     ， 故③不正确； 8 ∵ 5 53 4 360 3 3 BFD     ， ∴ 5 5360 3 4 3 3 BFD      ， ∵ 1 2 BEM DEM BED       ， ∴ 2 23 4 3 3 BED     ， 2 2 5 55 2 5 3 4 2 360 3 4 720 3 3 3 3 BED BFD                        o o ， 故④正确； ∴正确的为①④， 故选 D． 【点睛】本题考查平行线的性质，能作辅助线构造平行线转化角是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。 11．请写出二元一次方程 2 7x y  的一组解 ． 【答案】 1 5 x y    （答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是掌握二元一次方程解的定义，根据“使二元一次方 程两边相等的未知数的值是二元一次方程的解”进行解答即可． 【详解】解：当 1x  时， 2 1 7y   ， 解得： 5y  ， ∴ 1 5 x y    是原方程的一组解， 故答案为： 1 5 x y    （答案不唯一）． 12．如图，在 ABCV 中， BD AC 于点 D，点 E在CD上．若 2.5, 4.8BD BC  ，那么线段 BE的长可以 是 ．（写出一个即可） 9 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了垂线段最短，根据垂线段最短即可求解． 【详解】解：根据垂线段最短可得 BE BD ， 2.5BE  ， ∵点 E 在CD上， ∴ BE BC ， ∴2.5 4.8BE  ， 故答案为：3（答案不唯一） 13．如图，将Rt ABC△ 沿着直线 BC向右平移到 DEF 的位置，平移距离为 7， 13, 6AB DO  ，则图中阴 影部分的面积为 ． 【答案】70 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的 线段相等是解此题的关键．由平移的性质可得 13DE AB  ， 7BE CF  ， ABC DEFS S  ，从而得出 7OE  ， 再由 ABC OEC DEF OECS S S S  △ △ △ △ 可得   1 7 13 7 70 2ABEO S S     阴影 梯形 ，即可得解． 【详解】解：由平移的性质可得： 13DE AB  ， 7BE CF  ， ABC DEFS S  ， 6DO  ， 13 6 7OE DE OD      ， ABC OEC DEF OECS S S S      ，  1 7 13 7 70 2ABEO S S      阴影 梯形 ， 故答案为：70． 14．若关于 ,x y的方程组 3 5 2 2 3 x y m x y m       的解 x与 y的和为 2，则 2 4 4m m  的值为 ． 10 【答案】 4 【分析】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键. 用加减消元法去掉参数m，得到新方程组 2 2 2 x y x y      ，求出 2 0 x y    ，继而求出 4m  ，代入 2 4 4m m  ，计 算即可得到答案. 【详解】解： 3 5 2 2 3 x y m x y m       ① ② ， ① ②得 2 2x y  ， 2x y  ， 2 2 2 x y x y      ， 解得： 2 0 x y    ， 把 2 0 x y    代入②得 2 2 3 0 m    ， 4m  ，  2 24 4 4 4 4 4 4m m       . 故答案为： 4 . 15．若关于 x、y 的方程组 3 9 2 3 0 ax y x y      有整数解，则正整数 a 的值为 ． 【答案】1或 3或 5 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先利用加减消元法解方程组得到 9 2 6 2 x a y a          ，再根据方程组 有整数解得到 9 2a  和 6 2a   都是整数，据此求解即可． 【详解】解： 3 9 2 3 0 ax y x y      ① ② ， ① ②得：  2 9a x  ，解得 9 2 x a   ， 把 9 2 x a   代入②得： 18 3 0 2 y a    ，解得 6 2 y a    ， 11 ∴方程组的解为 9 2 6 2 x a y a          ， ∵关于 x、y 的方程组 3 9 2 3 0 ax y x y      有整数解， ∴ 9 2a  和 6 2a   都是整数， ∴ 2 1a    或 2 3a    ， 又∵ 2 0a   ，即 2a  ，且 a 为正整数， 解得 3a  或 1a  或 5a  或 1a   （舍去）， 故答案为：1 或 3 或 5． 16．如图，已知CD AB∥ ， MFN   ， 14 3 CMF   ， 15 3 BNF   ，则 H I  的值为 （用 表示） 【答案】 160 3  【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，先作辅助线过 H 作HG CD∥ ，过 F 作 FE CD ， 过 I 作 IK CD∥ ，根据平行线的性质可得  4 5MHG KIN MHI HIN MHG GHI HIK KIN          ， ， ，等量代换得  1 3 MHI HIN CMF BNF     ，再根据 180CMF MFE   ， BNF EFN MFN MFE EFN         ， ，等量代换即可得出答案． 【详解】解：过 H 作HG CD∥ ，过 F 作 FE CD ，过 I 作 IK CD∥ ，如图： ∵CD AB∥ 12 ∴CD EF HG IK AB∥ ∥ ∥ ∥ ∴ 4 5MHG KIN     ， ， 180CMF MFE BNF EFN      ， ， ∵ MHI MHG GHI HIN HIK KIN       ， ， ∴  MHI HIN MHG GHI HIK KIN       4 5    1 1 1 3 3 3 CMF BNF CMF BNF       又∵ MFN MFE EFN     ， ∴    1 1 1180 60 3 3 3 CMF BNF          ． 故答案为： 160 3  ． 三、解答题：本题共 8 小题，共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．用加减法解下列方程组： (1) 1 2 4 x y x y       ； (2)  3 1 4 1 3 6 x y x y x y           ． 【答案】(1) 1 2 x y     (2) 13 6 1 2 x y        【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法消去一个未知数是解题的关键． （1）直接利用加减消元法求解即可； （2）先整理方程组，然后再利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 1 2 4 x y x y       ① ② ， ①＋②得：3 3x  ，解得 1x  ， 把 1x  代入方程①，得： = 2y  ， 13 所以这个方程组的解是： 1 2 x y     ． （2）解：由  3 1 4 1 3 6 x y x y x y           ① ② 整理得 3 7 3 6 x y x y      ③ ④ ③＋④得6 13x  ，解得： 13 6 x  ， 把 13 6 x  代入方程③，得： 1 2 y   ， 所以这个方程组的解是： 13 6 1 2 x y        ． 18．如图，在8 10 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1， ABCV 的顶点均在小正方形的顶点上． (1)把 ABCV 先向右移动 5 个单位长度，再向下移动 3 个单位长度得到 1 1 1A BC△ ，画出 1 1 1A BC△ （其中点 A 的对应点为 1A，点 B 的对应点为 1B ，点 C 的对应点为 1C ）； (2)连接 1AA， 1BB ，判定 1AA与 1BB 的位置关系，并写出 1 1 1A BC△ 的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 1 1AA BB ，7 【分析】本题考查作图—平移变换、三角形的面积： （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据平移的性质可知 1 1AA BB ；利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图， 1 1 1A BC△ 即为所求． 14 （2）解：由平移可知， 1 1AA BB ． 1 1 1A BC△ 的面积为   1 1 12 3 5 3 1 2 4 7 2 2 2           ． 19．如图，已知，直线 AB、CD 相交于点 O，过点 O 作OE CD ，OF AB ，若 32AOC   .求 EOF 的度 数. 【答案】148° 【分析】先根据垂直定义得到∠COE=∠AOF=90°，再根据周角是 360°求解即可． 【详解】解：∵OE CD ，OF AB ， ∴∠COE=∠AOF=90°， ∴∠EOF=360°-∠AOC-∠COE-∠AOF =360°-32°-90°-90° =148°． 【点睛】本题考查垂直定义、周角，理解垂直定义，熟知周角等于 360°是解答的关键． 20．某校为改善学校多媒体课室教学设施，计划购进一批电脑和电子白板．经过市场考察得知，购买1台电 脑和 2台电子白板需要3.6万元，购买 2台电脑和3台电子白板需要 5.6万元．求每台电脑和每台电子白板各 是多少万元？ 【答案】每台电脑 0.4 万元，每台电子白板1.6万元 【分析】设每台电脑 x万元，每台电子白板 y万元，根据题意列方程组求解即可． 15 【详解】解：设每台电脑 x万元，每台电子白板 y万元，根据题意可得： 2 3.6 2 3 5.6 x y x y      ，解得， 0.4 1.6 x y    ， ∴每台电脑 0.4 万元，每台电子白板1.6万元． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握二元一次方程组的解法 是解题的关键． 21．已知：如图，GD CAP ， 1 2 180    ． (1)判断CD与 EF的位置关系，并说明理由． (2)若DG平分 CDB ， 40ACD  ，求 EFB 的度数． 【答案】(1)CD EF∥ ；理由见解析 (2) 80EFB   【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质，是解题的关 键； （1）根据GD CAP 可得 2 ACD  ，从而证明 1 180ACD   ，根据平行线的判定即可证明结论； （2）根据平行线的性质得出 2 40ACD   ，根据角平分线定义得出 2 2 80CDB    ，最后根据平行 线的性质得出 80EFB CDB   ． 【详解】（1）解：CD EF∥ ．理由如下： ∵GD CAP ， ∴ 2ACD   ， ∵ 1 2 180    ， ∴ 1 180ACD   ， ∴CD EF∥ ； （2）解：∵GD CAP ， ∴ 2 40ACD   ， ∵DG平分 CDB ， 16 ∴ 2 2 80CDB    ， ∵CD EF∥ ， ∴ 80EFB CDB   ． 22．【观察思考】 第 1 个方程组为 1 1 x y x y      解为 1 0 x y    第 2 个方程组为 1 2 4 x y x y      解为 2 1 x y     第 3 个方程组为 1 3 9 x y x y      解为 3 2 x y     第 4 个方程组为 1 4 16 x y x y      解为 4 3 x y     …… 【规律发现】 (1)按照以上规律，写出第 5个方程组为________，解为________． (2)写出你猜想的第 n个方程组和它的解并说明理由． 【答案】(1) 1 5 25 x y x y      ， 5 4 x y     (2)第 n个方程组为 2 1x y x ny n      ，它的解为 1 x n y n     ，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组，平方差公式． （1）根据前 4个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第 5个方程组； （2）根据规律得出第 n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解． 【详解】（1）解：按照以上规律，写出第 5 个方程组为 1 5 25 x y x y      ，解为 5 4 x y     （2）解：每个方程组的第 1个方程都为 1x y  ， 第 2 个方程的中 x的系数为 1， y的系数为 n ，等号右边的数为 2n ， 方程组的解 x n ， 1 1y x n     ， ∴第 n个方程组为 2 1x y x ny n      ，它的解为 1 x n y n     检验： 2 1x y x ny n      ① ② ② ①得， 2 1ny y n    ，即     1 1 1n y n n    ， 17 解得： 1y n  ， 代入①可得， x n ， ∴方程组的解为： 1 x n y n     ． 23．口罩是疫情防控的重要物资，某药店销售 A、B两种品牌口罩，购买 2盒 A品牌和 3盒 B品牌的口罩 共需 240元；购买 3盒 A品牌和 1盒 B品牌的口罩共需 185元． (1)求这两种品牌口罩的单价． (2)学校开学前夕，该药店对学生进行优惠销售这两种口罩，具体办法如下：A品牌口罩按原价的八折销售， B品牌口罩 5盒以内（包含 5盒）按原价销售，超出 5盒的部分按原价的七折销售． 若购买 x盒 A品牌口罩时，需要的费用为 元；若购买 x（ 5x  ）盒 B品牌口罩时，需要的费用为 元；（用 含 x的式子表示，化到最简） (3)在（2）的前提下，当学生李明到该药店需要购买 50盒口罩时，买哪种品牌的口罩更合算？ 【答案】(1)A， B两种品牌口罩单价分别为 45元和50元 (2)36x；35 75x  (3)买A品牌更合算 【分析】本题考查了二元一次方程组解实际问题的运用，列代数式及求值； （1）设A， B两种品牌口罩单价分别为 x， y元，根据条件建立方程组求出其解即可； （2）由（1）的结论，根据总价 单价数量就可以得出关系式； （3）将 50x  代入求解即可． 【详解】（1）解：设A， B两种品牌口罩单价分别为 x， y元， 由题意得 2 3 240 3 185 x y x y      ，解得 45 50 x y    ． 答：A， B两种品牌口罩单价分别为45元和50元． （2）若购买 x盒 A品牌口罩时，需要的费用为 45 80% 36x x   ， 若购买 x（ 5x  ）盒 B品牌口罩时，需要的费用为，50 5 50 70%( 5) 35 75x x      ， 故答案为：36x；35 75x  ． （3）当 50x  时，36 50 1800  （元）， 35 50 75 1825   （元），1800 1825 ， 买A品牌更合算． 18 24．如图， PQ MN∥ ，A、 B分别为直线MN、 PQ上两点，且 45BAN  ，若射线 AM 绕点A顺时针旋 转至 AN后立即回转，射线 BQ绕点 B逆时针旋转至 BP后立即回转，两射线分别绕点A、点 B不停地旋转， 若射线 AM 转动的速度是 /a 秒，射线 BQ转动的速度是 /b 秒，且 a、b满足  28 2 0a b    ． (1)a ______，b  ______； (2)若射线 AM、射线 BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线 AM 、射线 BQ互相垂直． (3)若射线 AM绕点A顺时针先转动 15 秒，射线 BQ才开始绕点 B逆时针旋转，在射线 BQ第一次到达BA之 前，问射线 AM 再转动多少秒时，射线 AM 、射线 BQ互相平行？ 【答案】(1)8；2 (2)9 秒 (3)6 秒或 10 秒 【分析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解方程的运用，解决问 题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为 0，则这两个非负数均等于 0． （1）依据非负数的性质即可得到 a，b的值； （2）依据 90ABO BAO   ， 180ABQ BAM    ，即可得到射线 AM 、射线 BQ第一次互相垂直的时间； （3）分两种情况讨论，依据 ABQ BAM    时，BQ AM ∥ ，列出方程即可得到射线 AM 、射线 BQ互相 平行时的时间． 【详解】（1）解：∵  28 2 0a b    ，  28 0 2 0a b   ， ， ∴  28 2 0a b    8 0a   ， 2 0b  ， 8a  ， 2b  ， 故答案为：8；2； （2）解：设至少旋转 t秒时，射线 AM 、射线 BQ互相垂直． 如图，设旋转后的射线 AM 、射线 BQ交于点O，则 BO AO ， 19 90ABO BAO   ， PQ MN∥ ， 180ABQ BAM    ， 90OBQ OAM    ， 又 2OBQ t   ， 8OAM t  ， 2 8 90t t   ， 9t  ， ∴至少旋转 9 秒时，射线 AM 、射线 BQ互相垂直； （3）解：设射线 AM 再转动 t秒时，射线 AM 、射线 BQ互相平行． 如图，射线 AM 绕点A顺时针先转动 15 秒后， AM 转动至 AM 的位置，则 15 8 120MAM     ， ∴ 180 45 120 15M AB        ∠ ； 分两种情况： ①当 180 45 120 1.875 7.5 8 t        时， 2QBQ t  ， 8MAM t   ， ∵PQ MN∥ ， ∴ 45BAN ABQ     ， 45 2ABQ t     ， 8 15BAM MAM MAB t         ， 当 ABQ BAM    时， BQ AM ∥ ， ∴ 45 2 8 15t t   ， 解得 6t  ； ②当 7.5 13.125t  时， 2QBQ t  ，  8 7.5 8 60NAM t t      ， 45 2ABQ t     ，  45 8 60 105 8BAM t t       ， 20 当 ABQ BAM    时， BQ AM ∥ ， 此时， 45 2 105 8t t   ， 解得 10t  ； 综上所述，射线 AM 再转动 6 秒或 10 秒时，射线 AM 、射线 BQ互相平行．