八下数学第一次月考卷-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

2024-2025学年八下数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1-2章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各式中是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的代数式叫做二次根式，其中．根据二次根式定义判断即可． 【详解】解：A、是二次根式，故A选项符合题意．     B、是三次根式，故B选项不符合题意．     C、，不是二次根式，故C选项不符合题意．     D、，不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：A． 2．一元二次方程的一次项系数是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：找多项式的各项系数时带着前面的符号． 根据一元二次方程的一般形式，找出一次项系数即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：C． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简及加减运算，熟练掌握二次根式的化简及加减运算法则是解题的关键．根据二次根式的化简及加减运算即可求解． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能进行运算，故A选项计算错误； B、，故B选项计算正确； C、，故C选项计算错误； D、，故D选项计算错误， 故选B． 4．一元二次方程的解是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，方程不含一次项，用直接开平方法即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴． 故选：D． 5．下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的定义．掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A．，，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B．，，所以与是同类二次根式，故此选项符合题意； C．，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D．，，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 6．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式大于0及二次项系数不为0列不等式求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得：， ， 实数k的取值范围为且， 故选C． 7．如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为32和2，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积=大长方形面积两个正方形面积，本题得以解决．本题考查二次根式混合运算的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴题图中阴影部分的面积为． 故选：C． 8．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张，设小组有人，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该小组共有x人，则每人赠送张贺卡，与全组共送贺卡90张，据此列出关于x的一元二次方程即可解答． 【详解】解：设该小组共有x人，则每人赠送张贺卡， 依题意得：． 故选A． 9．估计的值应在（   ） A．18到19之间 B．19到20之间 C．20到21之间 D．21到22之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 根据二次根式的混合运算化简，估算无理数的大小即可得出答案． 【详解】解： ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ 即的值应在20到21之间， 故选：C． 10．若关于的一元二次方程有一个根为2020，则方程必有根为（   ） A．2020 B．2021 C．2019 D．2022 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键．设，即可改写为，由题意关于x的一元二次方程有一根为，即有一个根为，所以，即可求出结论． 【详解】解：由得到， 设， 所以， 而关于x的一元二次方程有一根为， 所以有一个根为， 则， 解得， 所以一元二次方程有一根为． 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．若有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为： 12．一元二次方程的一个根为2，则的值 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键在于理解方程根的含义，即将已知的根值代入原方程，以此来解出方程中的未知参数．这种解题方法适用于已知方程部分解的情形，通过代入已知解，可以快速求解未知数的值，从而解出方程的完整解集或求解特定参数的值． 【详解】解：2是一元二次方程的一个根， ， 解得：． 故答案为：． 13．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，先利用二次根式的性质化简，再计算减法． 【详解】解：， 故答案为：． 14．在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查实数的新定义的运算，解一元二次方程．根据新定义的运算将转化为一元二次方程，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 化简，得， 解得，． 故答案为：， 15．若，求 ． 【答案】2025 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据实数的性质可得，进而得到，则可求出． 【详解】解；有意义， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2025． 16．已知为方程的两根，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，方程的解． 利用根与系数的关系及方程的解得到，，，求出原式，再根据根的判别式求出，代入计算即可． 【详解】解：为方程的两根， ， ． ， 把代入，得原式， ∵方程有两个根， ， ， 当时，有最小值，为． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答； （2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2） ． 18．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活掌握一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有直接开方法，因式分解法，公式法，配方法，属于中考常考题型． （1）用公式法先求出根的判别式再代入求根公式求解即可； （2）用十字相乘法将方程先变形成，再解两个一元一次方程即可． 【详解】（1）解： ，，， ， ． ，； （2）解：， ． 或． ，． 19．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25． (1)大正方形的边长是______，小正方形的边长是_____． (2)求图中阴影部分的周长． 【答案】(1)5， (2) 【分析】（1）根据正方形的性质，利用求算术平方根的方法解答即可． （2）根据周长的定义，二次根式的乘法，加减混合计算解答即可． 【详解】（1）解：∵长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25． ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， 故答案为：5，． （2）解：根据题意，得阴影的周长为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，算术平方根的计算，二次根式的化简，二次根式的乘法，二次根式的加减，熟练掌握正方形的性质，算术平方根的解答，二次根式的运算是解题的关键． 20．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，且，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根和系数的关系，完全平方公式，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式即可求解； （2）根据一元二次方程根和系数的关系可得，由完全平方公式可得，求出k的值即可． 【详解】（1）关于的一元二次方程有实数根 即，解得：； （2）方程的两个实数根分别为 ，． 整理得： 解得：， 又， 21．当下，夜经济已成为成都经济高质量发展的重要组成部分，李华在某夜市商圈销售成都文创纪念T恤，他以每件55元的价格进购一批纪念T恤，以70元售出，平均每天能售出36件．经李华调查发现，这种纪念T恤的售价每增加1元，其日销售量就将减少2件． (1)求关于的函数表达式； (2)为了实现平均每天400元的销售利润，纪念T恤的售价应定为多少元． 【答案】(1) (2)为了实现平均每天400元的销售利润，纪念T恤的售价应定为80元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用； （1）等量关系式：销售量70元售出时的平均每天销售量售价增价，列出函数，即可求解； （2）等量关系式：平均每天400元的销售利润每件利润销售量，据此列出方程，即可求解； 找出等量关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：当时， ， ； （2）解：由题意可知： 每日销量为， 每件纪念T恤的利润为元， 每日的利润为元， 根据题意可列方程， ，， 又， 舍去， 为了实现平均每天400元的销售利润，纪念T恤的售价应定为80元． 22．阅读材料，解决问题． 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个实数的最大整数，这个实数的小数部分是这个实数与它的整数部分差的绝对值．例如：2.4的整数部分为2，小数部分为0.4，的整数部分为1，小数部分为，的整数部分为，小数部分为．由此我们得到：如果，其中是整数，且，那么，．请解答： (1)的整数部分为______，小数部分为______； (2)如果，其中是整数，且，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)3， (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的加减法、相反数，解题的关键是确定无理数的整数部分． （1）估算出，即可确定整数部分为，根据定义，即可求出小数部分为； （2）估算出，即可得出，即可确定和的值，再代入计算即可； （3）估算出，即可得出，即可确定和的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， 即的整数部分为， 则小数部分为； 故答案为：，． （2）解：， ， ， ，， ． （3）解：， ， ． ，其中是整数，且， ，， ， 的相反数为． 23．先阅读，后解答： ，； 像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． (1)的有理化因式是______；的有理化因式是______； (2)将下列式子进行分母有理化：①______；②______； (3)类比（2）中②的计算结果，计算： 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据分母有理化的定义即可得到答案； （2）按照分母有理化的方法进行计算即可； （3）把每个式子分别进行有理化，再进行二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解：的有理化因式是，的有理化因式是， 故答案为：，； （2）解：， ， 故答案为：，； （3）解：原式 ． 24．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用、代数式的最值等知识点，灵活运用完全平方公式是解本题的关键． （1）直接利用完全平方公式和材料求解即可； （2）先作差，再利用完全平方公式和材料求解即可； （3）根据题意表示出，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为，即A的最小值为． （2）解：，理由如下： ∵， ∵， ∴， ∴ （3）解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为4．即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2024-2025 学年八下数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1-2章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．下列各式中是二次根式的是（ ） A． 2 B． 3 4 C． 22 D． 3 2．一元二次方程 25 3 2 0x x - + 的一次项系数是（ ） A．5 B． 25x C． 3 D． 23x 3．下列运算正确的是（ ） A． 2 3 5  B． 3 6 2 2  C． 2 3 6  D． 2( 3) 3   4．一元二次方程 2 4 0x   的解是（ ） A． 2 B．2 C． 2 D． 2 5．下列二次根式中，是同类二次根式的是（ ） A． 8与 12 B． 33x 与 27x C． 2b b与 2b b D． 2a b与 3ab 6．已知关于 x的一元二次方程  2 2 1 3 0kx k x k     有两个不相等的实数根，则实数 k的取值范围是 （ ） A． 1 8 k   B． 1 8 k  C． 1 8 k   且 0k  D． 1 8 k  且 0k  2 7．如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为 32 和 2，则图中阴影部分的面积为（ ） A．3 2 B． 4 2 C．6 D．8 8．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共 90 张，设小 组有 x人，列方程正确的是（ ） A．  1 90x x  B．  1 180x x   C．  1 90x x  D．  1 180x x   9．估计 7 3 21 3         的值应在（ ） A．18 到 19 之间 B．19 到 20 之间 C．20 到 21 之间 D．21 到 22 之间 10．若关于 x的一元二次方程  2 8 0 0ax bx a    有一个根为 2020，则方程  2( 1) 1 8a x b x     必有根 为（ ） A．2020 B．2021 C．2019 D．2022 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。 11．若 2x 有意义，则 x的取值范围是 ． 12．一元二次方程 2 2 0x mx   的一个根为 2，则m的值 ． 13．计算：3 16  ． 14．在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为 3( )a b a b ab  ※ ．根据这个规则，方程 ( 1) 3x x  ※ 的解是 ． 15．若  22024 2025a a a    ，求 22024a   ． 16．已知 ,a b为方程 2 2 3 0x x t    的两根，则    22 5 2a t b   的最小值为 ． 3 三、解答题：本题共 8 小题，共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．计算： (1)  1 15 20 5 5 25 2   ； (2)       2 2024 2023 2 1 2 2 3 2 2 3    ． 18．解方程： (1) 2 2 4 0x x   ； (2) 2 5 6 0x x   ． 19．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为 18 和 25． (1)大正方形的边长是______，小正方形的边长是_____． (2)求图中阴影部分的周长． 20．已知关于 x的一元二次方程  2 22 1 5 0x k x k     有实数根． (1)求 k的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为 1 2,x x ，且 2 21 2 36 x x ，求 k的值． 4 21．当下，夜经济已成为成都经济高质量发展的重要组成部分，李华在某夜市商圈销售成都文创纪念 T 恤， 他以每件 55 元的价格进购一批纪念 T恤，以 70 元售出，平均每天能售出 36 件．经李华调查发现，这种纪 念 T 恤的售价 x每增加 1 元，其日销售量 y就将减少 2 件  70 88x  ． (1)求 y关于 x的函数表达式； (2)为了实现平均每天 400 元的销售利润，纪念 T 恤的售价应定为多少元． 22．阅读材料，解决问题． 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个实数的最大整数，这个实数的小数部分是这个实数与它的整 数部分差的绝对值．例如：2.4的整数部分为 2，小数部分为 0.4， 2的整数部分为 1，小数部分为 2 1 ， 2.6 的整数部分为 3 ，小数部分为  2.6 3 0.4    ．由此我们得到：如果 3 x y  ，其中 x是整数，且 0 1y  ，那么 1x  ， 3 1y   ．请解答： (1) 15的整数部分为______，小数部分为______； (2)如果 11 a b   ，其中 a是整数，且0 1b  ，求 11b a  的值； (3)已知7 5 x y   ，其中 x是整数，且 0 1y  ，求 x y 的相反数． 5 23．先阅读，后解答： 1 1 2 2 22 2 2     ， 2 2 3 3( 3 2) 3 6 3 6 3 2 ( 3 2)( 3 2) ( 3) ( 2)           ； 像上述解题过程中， 2与 2、 3 2 与 3 2 相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互 为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． (1) 3的有理化因式是______； 5 2 的有理化因式是______； (2)将下列式子进行分母有理化：① 1 7  ______；② 1 2 1   ______； (3)类比（2）中②的计算结果，计算： 1 1 1 1 2 1 3 2 4 3 2024 2023          24．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式 2x bx c  变形为  2x m n  的形式，然后由  2 0x m  就可求出多项式 2x bx c  的最小值． 例：求多项式 2 4 5x x  的最小值． 解：  22 24 5 4 4 1 2 1x x x x x         ．因为  22 0x   所以  22 1x   当 2x  时，  22 1 1x    ，因此  22 1x   有最小值，最小值为 1，即 2 4 5x x  的最小值为 1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式 2 8 9A x x   ，求 A 的最小值； (2)【类比应用】比较代数式 23 2 5x x  与 22 4 6x x  的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图， ABCV 中， 90C  ， 4cmAC  ， 8cmBC  ，点M ，N分别是线段 AC和 BC上 的动点，点M 从 A 点出发以1cm / s的速度向C点运动；同时点 N从C点出发以 2cm / s的速度向 B点运动， 当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为 t，则当 t的值为多少时， MCN△ 的面积最大， 最大值为多少？ 2024-2025学年八下数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1-2章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各式中是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的一次项系数是（   ） A．5 B． C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．一元二次方程的解是（   ） A． B．2 C． D． 5．下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 7．如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为32和2，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．6 D．8 8．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张，设小组有人，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 9．估计的值应在（   ） A．18到19之间 B．19到20之间 C．20到21之间 D．21到22之间 10．若关于的一元二次方程有一个根为2020，则方程必有根为（   ） A．2020 B．2021 C．2019 D．2022 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．若有意义，则的取值范围是 ． 12．一元二次方程的一个根为2，则的值 ． 13．计算： ． 14．在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是 ． 15．若，求 ． 16．已知为方程的两根，则的最小值为 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．计算： (1)； (2)． 18．解方程： (1)； (2)． 19．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25． (1)大正方形的边长是______，小正方形的边长是_____． (2)求图中阴影部分的周长． 20．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，且，求的值． 21．当下，夜经济已成为成都经济高质量发展的重要组成部分，李华在某夜市商圈销售成都文创纪念T恤，他以每件55元的价格进购一批纪念T恤，以70元售出，平均每天能售出36件．经李华调查发现，这种纪念T恤的售价每增加1元，其日销售量就将减少2件． (1)求关于的函数表达式； (2)为了实现平均每天400元的销售利润，纪念T恤的售价应定为多少元． 22．阅读材料，解决问题． 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个实数的最大整数，这个实数的小数部分是这个实数与它的整数部分差的绝对值．例如：2.4的整数部分为2，小数部分为0.4，的整数部分为1，小数部分为，的整数部分为，小数部分为．由此我们得到：如果，其中是整数，且，那么，．请解答： (1)的整数部分为______，小数部分为______； (2)如果，其中是整数，且，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 23．先阅读，后解答： ，； 像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． (1)的有理化因式是______；的有理化因式是______； (2)将下列式子进行分母有理化：①______；②______； (3)类比（2）中②的计算结果，计算： 24．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2024-2025 学年八下数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1-2章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．下列各式中是二次根式的是（ ） A． 2 B． 3 4 C． 22 D． 3 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如 a的代数式叫做二次根式，其中 0a  ．根据二次根式定义判断 即可． 【详解】解：A、 2是二次根式，故 A 选项符合题意． B、 3 4是三次根式，故 B 选项不符合题意． C、 22 4 0    ， 22 不是二次根式，故 C 选项不符合题意． D、 3 0  ， 3 不是二次根式，故 D 选项不符合题意． 故选：A． 2．一元二次方程 25 3 2 0x x - + 的一次项系数是（ ） A．5 B． 25x C． 3 D． 23x 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：找多项式的各项系数时带着前面的符号． 根据一元二次方程的一般形式，找出一次项系数即可． 2 【详解】解：一元二次方程 25 3 2 0x x - + 的一次项系数是 3 ， 故答案为：C． 3．下列运算正确的是（ ） A． 2 3 5  B． 3 6 2 2  C． 2 3 6  D． 2( 3) 3   【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简及加减运算，熟练掌握二次根式的化简及加减运算法则是解题的关 键．根据二次根式的化简及加减运算即可求解． 【详解】解：A、 3 2和 不是同类二次根式，不能进行运算，故 A选项计算错误； B、 3 6 2 2  ，故 B 选项计算正确； C、 2 3 6  ，故 C 选项计算错误； D、  23 3 3    ，故 D 选项计算错误， 故选 B． 4．一元二次方程 2 4 0x   的解是（ ） A． 2 B．2 C． 2 D． 2 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，方程不含一次项，用直接开平方法即可求解． 【详解】解： 2 4 0x   ， ∴ 2 4x  ， ∴ 2x   ． 故选：D． 5．下列二次根式中，是同类二次根式的是（ ） A． 8与 12 B． 33x 与 27x C． 2b b与 2b b D． 2a b与 3ab 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的定义．掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此 3 判断即可． 【详解】解：A． 8 2 2 ， 12 2 3 ，所以 8与 12 不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B． 33 3x x x ， 27 3 3x x ，所以 33x 与 27x是同类二次根式，故此选项符合题意； C． 2 2 2bb b b b b    ，所以 2b b与 2b b 不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D． 2a b a b ， 3ab b ab ，所以 2a b与 3ab 不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 6．已知关于 x的一元二次方程  2 2 1 3 0kx k x k     有两个不相等的实数根，则实数 k的取值范围是 （ ） A． 1 8 k   B． 1 8 k  C． 1 8 k   且 0k  D． 1 8 k  且 0k  【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程根的判 别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式大于 0 及二次项系数不为 0 列不等式求解即可． 【详解】解：关于 x的一元二次方程  2 2 1 3 0kx k x k     有两个不相等的实数根， ∴这个方程根的判别式    22 1 4 3 0k k k       ， 解得： 1 8 k   ， 0k  ， 实数 k 的取值范围为 1 8 k   且 0k  ， 故选 C． 7．如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为 32 和 2，则图中阴影部分的面积为（ ） A．3 2 B． 4 2 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积=大长方形面积两个正方形面积，本题得以解决．本题考 查二次根式混合运算的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的 4 思想解答． 【详解】解：由题意可得，大正方形的边长为 32 4 2 ，小正方形的边长为 2， ∴题图中阴影部分的面积为 4 2 (4 2 2) 32 2 6     ． 故选：C． 8．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共 90 张，设小 组有 x人，列方程正确的是（ ） A．  1 90x x  B．  1 180x x   C．  1 90x x  D．  1 180x x   【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该小组共有 x 人，则每人赠送  1x  张贺卡，与全组共送贺卡 90 张，据此列出关于 x 的一元二次方程即 可解答． 【详解】解：设该小组共有 x 人，则每人赠送  1x  张贺卡， 依题意得：  1 90x x  ． 故选 A． 9．估计 7 3 21 3         的值应在（ ） A．18 到 19 之间 B．19 到 20 之间 C．20 到 21 之间 D．21 到 22 之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 根据二次根式的混合运算化简，估算无理数的大小即可得出答案． 【详解】解： 7 3 21 3         7 21 3 21 3     7 3 21  ∵ 2 24.5 21 4.6  ， 5 ∴ 4.5 21 5  ∴13.5 3 21 15  ∴20.5 7 3 21 22   ∵  2 23 21 189,14 196  ， ∴3 21 14 ， ∴7 3 21 21  ， ∴20.5 7 3 21 21   即 7 3 21 3         的值应在 20 到 21 之间， 故选：C． 10．若关于 x的一元二次方程  2 8 0 0ax bx a    有一个根为 2020，则方程  2( 1) 1 8a x b x     必有根 为（ ） A．2020 B．2021 C．2019 D．2022 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键．设 1t x  ，即  2( 1) 1 8a x b x     可改写为 2 8 0at bt   ，由题意关于 x 的一元二次方程  2 8 0 0ax bx a    有一根 为 2020x  ，即 2 8 0at bt   有一个根为 2020t  ，所以 1 2020x   ，即可求出结论． 【详解】解：由  2( 1) 1 8a x b x     得到  2( 1) 1 8 0a x b x     ， 设 1t x  ， 所以 2 8 0at bt   ， 而关于 x 的一元二次方程  2 8 0 0ax bx a    有一根为 2020x  ， 所以 2 8 0at bt   有一个根为 2020t  ， 则 1 2020x   ， 解得 2021x  ， 所以一元二次方程  2( 1) 1 8a x b x     有一根为 2021x  ． 故选：B． 第Ⅱ卷 6 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。 11．若 2x 有意义，则 x的取值范围是 ． 【答案】 2x  【分析】本题考查二次根式有意义，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得： 2 0x   ， ∴ 2x  ； 故答案为： 2x  12．一元二次方程 2 2 0x mx   的一个根为 2，则m的值 ． 【答案】 1 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键在于理解方程根的含义，即将已知的根值代入原方程， 以此来解出方程中的未知参数．这种解题方法适用于已知方程部分解的情形，通过代入已知解，可以快速 求解未知数的值，从而解出方程的完整解集或求解特定参数的值． 【详解】解：2 是一元二次方程 2 2 0x mx   的一个根，  22 2 2 0m   ， 解得： 1m   ． 故答案为： 1 ． 13．计算：3 16  ． 【答案】 1 【分析】本题考查二次根式的运算，先利用二次根式的性质化简 16，再计算减法． 【详解】解：3 16 3 4 1     ， 故答案为： 1 ． 14．在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为 3( )a b a b ab  ※ ．根据这个规则，方程 ( 1) 3x x  ※ 的解是 ． 【答案】 1 0x  ， 2 5x  【分析】本题考查实数的新定义的运算，解一元二次方程．根据新定义的运算将 ( 1) 3x x  ※ 转化为一元二 次方程，再解方程即可． 【详解】解：∵ ( 1) 3x x  ※ ， ∴    3 1 1 3x x x x     ， 7 化简，得 2 5 0x x  ， 解得 1 0x  ， 2 5x  ． 故答案为： 1 0x  ， 2 5x  15．若  22024 2025a a a    ，求 22024a   ． 【答案】2025 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据实数的性质可得 2025 0a   ，进而得到 2024 2025a a a    ，则可求出 22024 2025a   ． 【详解】解；  22024 2025a a a    有意义， 2025 0a   ， 2025a  ， 2024 0  a ，   22024 2025a a a    ，  | 2024 | 2025   a a a ，  2024 2025a a a    ，  2025 2024a   ， 22025 2024  a ， 22024 2025  a ． 故答案为：2025． 16．已知 ,a b为方程 2 2 3 0x x t    的两根，则    22 5 2a t b   的最小值为 ． 【答案】9 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，方程的解．利用根与系数的关系及方程的解得到 2a b  ， 3ab t  ， 2 2 3 0b b t    ，求出原式  25 8t   ，再根据根的判别式求出 4t  ，代入计算即可． 【详解】解： ,a b 为方程 2 2 3 0x x t    的两根， 22, 3, 2 3 0a b ab t b b t         ， 2 2 3b b t    ．            2 22 5 2 2 5 2 5 4 2 10 10 25a t b a t b t t ab t a b a b t                 ， 8 把 2, 3a b ab t    代入，得原式    22 4 3 2 2 10 2 10 25 5 8t t t t t            ， ∵方程 2 2 3 0x x t    有两个根，    22 4 1 3 4 4 12 4 16 0t t t             ， 4t  ， 当 4t  时，    22 5 2a t b   有最小值，为 2(4 5) 8 9   ． 故答案为：9． 三、解答题：本题共 8 小题，共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．计算： (1)  1 15 20 5 5 25 2   ； (2)      2 2024 20232 1 2 2 3 2 2 3    ． 【答案】(1) 5 (2)6 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答； （2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答． 【详解】（1）解：  1 15 20 5 5 25 2   5 5 5 2 5    = 5 ； （2）      2 2024 20232 1 2 2 3 2 2 3        20232 1 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3             20233 2 2 8 9 2 2 3      3 2 2 2 2 3    6 ． 18．解方程： (1) 2 2 4 0x x   ； 9 (2) 2 5 6 0x x   ． 【答案】(1) 1 21 5, 1 5x x    (2) 1 26, 1x x   【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活掌握一元二次方程的解法，一元二次方程的解 法有直接开方法，因式分解法，公式法，配方法，属于中考常考题型． （1）用公式法先求出根的判别式再代入求根公式求解即可； （2）用十字相乘法将方程先变形成   6 1 0x x   ，再解两个一元一次方程即可． 【详解】（1）解： 2 2 4 0x x   1a  ， 2b   ， 4c   ，    22 4 1 4 4 16 20 0           ， 2 2 5 2 x   ． 1 1 5x   ， 2 1 5x   ； （2）解： 2 5 6 0x x   ，   6 1 0x x    ． 6 0x   或 1 0x   ． 1 6x  ， 2 1x   ． 19．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为 18 和 25． (1)大正方形的边长是______，小正方形的边长是_____． (2)求图中阴影部分的周长． 【答案】(1)5，3 2 (2)10 6 2 【分析】（1）根据正方形的性质，利用求算术平方根的方法解答即可． （2）根据周长的定义，二次根式的乘法，加减混合计算解答即可． 【详解】（1）解：∵长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为 18 和 25． ∴大正方形的边长为 25 5 ，小正方形的边长为 18 3 2 ， 10 故答案为：5，3 2． （2）解：根据题意，得阴影的周长为：  3 2 4 5 3 2 2    12 2 10 6 2   10 6 2  ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，算术平方根的计算，二次根式的化简，二次根式的乘法，二次根式的 加减，熟练掌握正方形的性质，算术平方根的解答，二次根式的运算是解题的关键． 20．已知关于 x的一元二次方程  2 22 1 5 0x k x k     有实数根． (1)求 k的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为 1 2,x x ，且 2 21 2 36 x x ，求 k的值． 【答案】(1) 2k  ； (2) 3k  ． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根和系数的关系，完全平方公式，掌握以上知识点是解题 的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式 0  即可求解； （2）根据一元二次方程根和系数的关系可得 2 1 2 1 22 2 5x x k x x k    ， ，由完全平方公式可得      222 2 21 2 1 2 1 22 2 1 2 5 36x x x x x x k k           ，求出 k 的值即可． 【详解】（1）关于 x的一元二次方程  2 22 1 5 0x k x k     有实数根    2 2Δ 2 1 4 5 0k k         即8 16 0k   ，解得： 2k  ； （2）方程的两个实数根分别为 1 2,x x  1 2 2 1x x k    ， 21 2 5x x k  ． 2 2 1 2 36x x   22 21 2 1 2 1 22x x x x x x        2 22 1 2 5 36k k       整理得： 2 4 21 0k k   解得： 1 7k   ， 2 3k  11 又 2k  ， 3k  21．当下，夜经济已成为成都经济高质量发展的重要组成部分，李华在某夜市商圈销售成都文创纪念 T 恤， 他以每件 55 元的价格进购一批纪念 T恤，以 70 元售出，平均每天能售出 36 件．经李华调查发现，这种纪 念 T 恤的售价 x每增加 1 元，其日销售量 y就将减少 2 件  70 88x  ． (1)求 y关于 x的函数表达式； (2)为了实现平均每天 400 元的销售利润，纪念 T 恤的售价应定为多少元． 【答案】(1) 2 176y x   (2)为了实现平均每天 400 元的销售利润，纪念 T 恤的售价应定为 80 元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用； （1）等量关系式：销售量70 元售出时的平均每天销售量  2售价增价，列出函数，即可求解； （2）等量关系式：平均每天 400 元的销售利润 每件利润销售量，据此列出方程，即可求解； 找出等量关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：当70 88x  时，  36 2 70y x   36 2 140x   2 176x   ， 2 176y x    ； （2）解：由题意可知： 每日销量为 2 176y x   ， 每件纪念 T 恤的利润为  55x  元， 每日的利润为   2 176 55x x   元， 根据题意可列方程   2 176 55 400x x    ， 1 80x  ， 2 63x  ， 又 70 88x  ，  2 63x  舍去， 为了实现平均每天 400 元的销售利润，纪念 T 恤的售价应定为 80 元． 12 22．阅读材料，解决问题． 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个实数的最大整数，这个实数的小数部分是这个实数与它的整 数部分差的绝对值．例如：2.4的整数部分为 2，小数部分为 0.4， 2的整数部分为 1，小数部分为 2 1 ， 2.6 的整数部分为 3 ，小数部分为  2.6 3 0.4    ．由此我们得到：如果 3 x y  ，其中 x是整数，且 0 1y  ，那么 1x  ， 3 1y   ．请解答： (1) 15的整数部分为______，小数部分为______； (2)如果 11 a b   ，其中 a是整数，且0 1b  ，求 11b a  的值； (3)已知7 5 x y   ，其中 x是整数，且 0 1y  ，求 x y 的相反数． 【答案】(1)3， 15 3 (2)8 (3) 11 5  【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的加减法、相反数，解题的关键是确定无理数的整数部 分． （1）估算出3 15 4  ，即可确定整数部分为3，根据定义，即可求出小数部分为 15 3 ； （2）估算出3 11 4  ，即可得出 4 11 3     ，即可确定 a和b的值，再代入计算即可； （3）估算出 2 5 3  ，即可得出9 7 5 10   ，即可确定 x和 y的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解： 9 15 16  ， 3 15 4   ， 即 15的整数部分为3， 则小数部分为 15 3 ； 故答案为：3， 15 3 ． （2）解： 9 11 16  ， 3 11 4   ， 4 11 3     ， 4a   ， 11 4b    ， 13  11 11 4 4 11 8b a          ． （3）解： 4 5 9  ， 2 5 3   ， 9 7 5 10    ． 7 5 x y   ，其中 x是整数，且0 1y  ， 9x  ， 7 5 9 5 2y      ，  9 5 2 11 5x y       ， x y  的相反数为 11 5  ． 23．先阅读，后解答： 1 1 2 2 22 2 2     ， 2 2 3 3( 3 2) 3 6 3 6 3 2 ( 3 2)( 3 2) ( 3) ( 2)           ； 像上述解题过程中， 2与 2、 3 2 与 3 2 相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互 为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． (1) 3的有理化因式是______； 5 2 的有理化因式是______； (2)将下列式子进行分母有理化：① 1 7  ______；② 1 2 1   ______； (3)类比（2）中②的计算结果，计算： 1 1 1 1 2 1 3 2 4 3 2024 2023          【答案】(1) 3， 5 2 (2) 7 7 ， 2 1 (3)2 506 1 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关 键． （1）根据分母有理化的定义即可得到答案； （2）按照分母有理化的方法进行计算即可； （3）把每个式子分别进行有理化，再进行二次根式的加减法即可． 14 【详解】（1）解： 3的有理化因式是 3， 5 2 的有理化因式是 5 2 ， 故答案为： 3， 5 2 ； （2）解： 7 1 1 7 7 7 7 7     ， 1 2 1 2 1 2 1 ( 2 1)( 2 1)        ， 故答案为： 7 7 ， 2 1 ； （3）解：原式 2 1 3 2 4 3 ... 2024 2023         2024 1  2 506 1  ． 24．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式 2x bx c  变形为  2x m n  的形式，然后由  2 0x m  就可求出多项式 2x bx c  的最小值． 例：求多项式 2 4 5x x  的最小值． 解：  22 24 5 4 4 1 2 1x x x x x         ．因为  22 0x   所以  22 1x   当 2x  时，  22 1 1x    ，因此  22 1x   有最小值，最小值为 1，即 2 4 5x x  的最小值为 1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式 2 8 9A x x   ，求 A 的最小值； (2)【类比应用】比较代数式 23 2 5x x  与 22 4 6x x  的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图， ABCV 中， 90C  ， 4cmAC  ， 8cmBC  ，点M ，N分别是线段 AC和 BC上 的动点，点M 从 A 点出发以1cm / s的速度向C点运动；同时点 N从C点出发以 2cm / s的速度向 B点运动， 当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为 t，则当 t的值为多少时， MCN△ 的面积最大， 最大值为多少？ 【答案】(1) 7 (2) 2 2 63 2 2 45 x xx x    ，理由见解析 15 (3)当 t 的值为 2 时， MCN△ 的面积最大，最大值为 24cm ． 【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用、代数式的最值等知识点，灵活运用完全平 方公式是解本题的关键． （1）直接利用完全平方公式和材料求解即可； （2）先作差，再利用完全平方公式和材料求解即可； （3）根据题意表示出    221 2 4 4 2 4 2MCN S t t t t t           ，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵  22 28 9 8 16 16 9 4 7A x x x x x           ， ∵  24 0x   ， ∴  24 7 7x     ， ∴当 4x  时，  24 7x   有最小值，最小值为 7 ，即 A 的最小值为 7 ． （2）解： 2 2 63 2 2 45 x xx x    ，理由如下： ∵    22 2 23 2 5 2 4 6 6 11 3 2x x x x x x x           ， ∵  23 0x   ， ∴  23 2 2 0x     ， ∴ 2 2 63 2 2 45 x xx x    （3）解：由题意得： 4CM t  ， 2CN t ， ∴    221 2 4 4 2 4 2MCN S t t t t t           ， ∵  22 0t   ， ∴  22 0t   ， ∴  22 4 4t    ， ∴当 2t  时，  22 4t   有最大值，最大值为 4．即：当 t 的值为 2 时， MCN△ 的面积最大，最大值为 24cm ．