22.2 二次函数与一元二次方程 同步训练 2024-2025学年人教版九年级数学上册

22.2 二次函数与一元二次方程 一、选择题： 1.二次函数的图象与轴只有一个交点，则“”中的数可以为 A. B. C. D. 2.若抛物线与轴有两个不同的交点，则的取值范围为(    ) A. B. C. 且 D. 且 3.若二次函数的图象与坐标轴有三个交点，则的取值范围是(    ) A. 且 B. 且 C. D. 4.已知二次函数，下列说法正确的是(    ) A. 当，随的增大而增大 B. 图象与轴只有一个交点 C. 图象的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 5.已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是(    ) A. B. C. D. 6.已知二次函数其中是自变量，当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为(    ) A. B. C. 或 D. 或 7.已知二次函数图象与轴只有一个交点，且图象过和两点，设，则(    ) A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 8.如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是(    ) A. 二次函数图象的对称轴是直线 B. 二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 二次函数图象与轴的交点的纵坐标是 二、填空题： 9.在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： 则当时，的取值范围是          ． 10.若二次函数的图象与轴只有一个公共点，则           ． 11.若抛物线是常数与轴没有交点，则的取值范围是          ． 12.二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴的交点为，则方程的解为______． 13.二次函数的图象如图所示，若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最小值为          ． 14.抛物线是常数，经过，两点，且下列四个结论： ； 若，则； 若，则关于的一元二次方程无实数解； 点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的是______填写序号． 三、解答题： 15. 已知二次函数的图象如图所示． 求这个二次函数的解析式； 根据图象直接回答：当为何值时，． 16.已知抛物线与轴交于，两点点在点的左侧 求，两点的坐标； 若点在该抛物线上，且的面积为，求点的坐标． 17. 已知二次函数中函数与自变量的部分对应值如表： 根据表格填空： 该函数图象的开口方向______，对称轴为______； 方程的正根的范围为______； 不等式解集是______． 18.二次函数的图象经过，两点，将图象中，的部分称为函数的图象，将平行于轴的直线平行移动． 求二次函数的图象与轴的交点坐标； 求直线平移与函数的图象只有一个公共点时，的取值范围． 19. 已知抛物线的顶点在 轴上． 求 的值； 求的值． 20.已知二次函数为常数． 求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点； 当取什么值时，该函数的图象与轴的交点在轴的上方？ 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：根据题意得：， 解得， 则“”中的数可以为． 故选：． 利用判别式的意义得到，进而可以判断得解． 本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程；决定抛物线与轴的交点个数． 2.【答案】  【解析】根据抛物线与轴有两个不同的交点，得出，进而求出的取值范围． 【详解】二次函数的图象与轴有两个交点， ， ， 抛物线为二次函数， ， 则的取值范围为且， 故选C． 3.【答案】  【解析】解：抛物线与坐标轴有三个交点， ， 解得， 抛物线不经过原点， ， 且， 故选：． 当抛物线与坐标轴有三个交点时，抛物线与轴有两个交点且不经过原点． 本题考查二次函数的图象，解题关键是掌握二次函数与轴交点个数由判断，与轴交点由判断． 4.【答案】  【解析】解：， 抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，所以选项不符合题意； 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小，所以选项不符合题意，选项符合题意； 当时，， 抛物线开口向下，顶点坐标为， 抛物线与轴有个交点，所以选项不符合题意． 故选：． 先利用配方法得到，则抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，则可对各选项进行判断． 本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 5.【答案】  【解析】本题考查了用二次函数确定性一元二次方程的近似根．解决本题的关键是根据二次函数与轴的交点的横坐标就是一元二次方程的解，从而利用二次函数的性质确定方程的解的范围． 【详解】解：从表中可以看出， 当时，， 当时，， 当对应的的值一定有， 一元二次方程的解的范围是．   故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了二次函数的性质的知识，弄清当时对应的函数值均为正数的意义，然后分情况讨论是解题的关键．先求出二次函数与轴的交点和对称轴，然后分和讨论得出的取值范围． 【解答】 解：令，则， 二次函数与轴的交点坐标为， 二次函数的对称轴是：， 当，时，满足当时对应的函数值均为正数， ， 解得：， ； 当时，令，则， 解得：， ， 综上，的取值范围为或． 故选D． 7.【答案】  【解析】本题考查的是二次函数的性质，先求解，，，再建立二次函数，从而可得答案． 【详解】解：二次函数的图象与轴只有一个交点， ，即，对称轴为直线． ， 二次函数过和两点， ，， ， ， ， 当时，的最小值为， 故选： 8.【答案】  9.【答案】  10.【答案】  【解析】【分析】此题考查了二次函数图象与一元二次方程根的关系，根据二次函数图象与一元二次方程的关系“二次函数图象与轴的交点个数等于对应的一元二次方程根的个数，与轴横坐标等于对应一元二次方程的解”，即可解答． 【详解】解：二次函数的图象与轴只有一个公共点， 方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 11.【答案】  12.【答案】，  【解析】【分析】 本题主要考查抛物线与轴的交点，掌握抛物线与轴交点的横坐标即为方程的解是解题的关键． 根据抛物线的对称性由抛物线与轴的一个交点为且对称轴为直线，得抛物线与轴的另一个交点为，从得出答案． 【解答】 解：抛物线与轴的一个交点为，且对称轴为直线， 则抛物线与轴的另一个交点为， 方程的解为，， 故答案为，． 13.【答案】  【解析】【分析】本题考查抛物线与轴的交点问题．根据抛物线的图象以及二次函数与一元二次方程的之间的关系即可求出答案． 【详解】解：有两个不相等的实数根， 有两个不相等的实数根， 令，表示与轴平行的直线， 与有两个交点， ， ， 是整数， ， 故答案为：． 14.【答案】  【解析】解：是常数，经过，两点，且， 对称轴为直线， ， ， ， ，故错误； ， ，即，两点之间的距离大于， 又， 时，， 若，则，故正确； 由可得， ，即， 当时，抛物线解析式为， 设顶点线坐标为， 抛物线是常数，经过， ， ， ， ，，对称轴为直线， 当时，取得最大值为，而， 关于的一元二次方程无解，故正确； ，抛物线开口向下，点，在抛物线上，，，总有， 又， 点离较远， 对称轴， 解得：，故正确； 故答案为：． 通过对称轴可判断；，两点之间的距离大于，所以若，则，判断正确；根据抛物线的最大值判断；根据点和点离对称轴的距离判断． 本题考查了二次函数的性质，二次函数系数与图象的关系，二次函数图象上的点的特征等，掌握二次函数性质是解题的关键． 15.【答案】解：设解析式为． 图象过点，，， ， 解得， 二次函数的解析式为； 根据图象知，当或时，．  【解析】【分析】 根据图象特点，可设解析式为交点式或一般式求解； 利用图象在轴下方的图象小于得解． 此题考查了运用待定系数法求函数解析式、运用图象得出函数与不等式的关系等知识点．利用数形结合得出是解题关键． 16.【答案】解：令，则， 解得，． 点在点的左侧， ， ． ，， ． 的面积为， ， ． 当时，， 解得，， 点的坐标为，； 当时，，即， ， 方程无解， 不存在． 综上，点的坐标为，．   【解析】本题考查了二次函数与轴的交点，二次函数与面积问题． 令，则，解方程即可求解； 根据三角形面积公式求出点的纵坐标，然后把点的纵坐标代入函数解析式求解即可． 17.【答案】向下  直线      【解析】解：由表格可得， 该函数的对称轴是直线，开口方向向下， 故答案为：向下，直线； 由函数的对称性可知方程的正根的范围为； 故答案为：； 由函数的对称性可得，当时，， 故不等式解集是． 故答案为：． 根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到该函数图象的开口方向、对称轴； 根据表格中的数据和二次函数的对称性，可以得到方程的正根的范围为； 根据表格中的数据和二次函数的对称性，可以得到不等式解集是． 本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式组，一元二次方程的近似根，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 18.【答案】解：由题意可知，函数的图象如图所示． 将与分别代入抛物线， 解得，，，即， 令，即 ，解得，， 图象与轴的交点坐标为，． 由题意可知图象中：当时，；当时，；顶点坐标为． 当直线平移与函数图象只有一个交点时，或．   【解析】本题考查求函数图象与轴交点坐标的求法，数形结合的分析、解决平行移动的直线与函数图象交点的个数问题． 19.【答案】解：  的顶点在轴上， 方程  有两个相等的实数根，  ，即  ，  ，  ，  ． 解：  ，  ，   ，  ，  ，  ，  ，  ，  ．   【解析】由抛物线的顶点在  轴上，则对应一元二次方程方程有两个相等的实数根，然后根据根的判别式即可解答； 由得  则  ，然后变形可得  ，以此类推可得  、  ；然后对  变形得到  ， 最后将  、  整体代入即可解答． 20.【答案】解：证明：当时，， 解得：，， 当，即时，方程有两个相等的实数根； 当，即时，方程有两个不相等的实数根， 不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点； 当时，， 该函数的图象与轴交点的纵坐标为， 当，即时，该函数的图象与轴的交点在轴的上方．  【解析】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：由方程有解证出该函数的图象与轴总有公共点；利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与轴交点的纵坐标． 代入求出的值，分和两种情况考虑方程解的情况，进而即可证出：不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点； 利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与轴交点的纵坐标，令其大于即可求出结论． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$