5.3.1函数的单调性【5大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

5.3.1函数的单调性 【考点梳理】 · 考点一：利用导数求函数的单调性（不含参） · 考点二：由函数的单调性求参数 · 考点三：由函数在区间的单调性求参数 · 考点四：函数与导函数图像的关系 · 考点五：含参分类讨论函数的单调性 【知识梳理】 知识01：函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 知识02：利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求出导数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 知识03：函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 【题型归纳】 题型一：利用导数求函数的单调性（不含参） 1．（24-25高二下·全国·课堂例题）利用导数判断下列函数的单调性： (1)； (2)； (3)． 2．（23-24高二下·山东青岛·期中）若，则的增区间为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏）求下列函数的单调区间． (1)； (2)； (3)． 题型二：由函数的单调性求参数 4．（23-24高二下·山东临沂·期中）函数的单调递减区间是，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 5．（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 6．（23-24高二下·山东烟台·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三：由函数在区间的单调性求参数 7．（24-25高三上·青海·期末）若函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·广东佛山）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·山东菏泽·期中）若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四：函数与导函数图像的关系 10．（23-24高二下·江苏无锡）函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的选项是（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递减 D．在上单调递增 11．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数（）的图象如图，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下·天津·期中）已知函数与的图象如图所示，则函数（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数 题型五：含参分类讨论函数的单调性 13．（24-25高二下·全国）设函数，其中．讨论的单调性． 14．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 15．（23-24高二下·海南海口·期中）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【高分演练】 一、单选题 16．（23-24高二下·江苏南通）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 18．（22-23高二下·广东阳江·期中）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高二下·广西玉林·期末）函数在R上是单调递增的充分条件是：（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二下·海南·期中）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高二下·天津北辰·期中）若函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二下·北京通州·期中）定义在区间上的函数，则的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 23．（23-24高二下·天津河东·期中）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二下·青海西宁·期中）已知函数，，若对任意两个不相等正数，，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 25．（23-24高二下·辽宁辽阳·期中）已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在处的切线方程为 C．在上单调递增 D．方程有两个不同的解 26．（23-24高二下·内蒙古赤峰·阶段练习）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知定义在上的可导函数满足，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高二下·广东广州·期中）已知函数则下列结论正确的是（    ） A．在定义域上是增函数 B．的值域为 C． D．若，则 三、填空题 30．（24-25高二下·山西·开学考试）已知函数在定义域上单调递增，则实数m的最大值是 . 31．（24-25高三·上海·课堂例题）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 ． 32．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为 ． 33．（23-24高二下·四川泸州·期中）若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 34．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为 ． 四、解答题 35．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 36．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 37．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围． 38．（23-24高二下·湖北·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围. 39．（23-24高二下·云南红河·期末）已知函数，（）. (1)当时，求出方程解的个数； (2)讨论函数的单调性. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3.1函数的单调性 【考点梳理】 考点一：利用导数求函数的单调性（不含参） 考点二：由函数的单调性求参数 考点三：由函数在区间的单调性求参数 考点四：函数与导函数图像的关系 考点五：含参分类讨论函数的单调性 【知识梳理】 知识01：函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 知识02：利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求出导数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 知识03：函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 【题型归纳】 题型一：利用导数求函数的单调性（不含参） 1．（24-25高二下·全国·课堂例题）利用导数判断下列函数的单调性： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)在上单调递增． (2)在上单调递增 (3)在上单调递减． 【分析】求出导函数以后，根据导函数值的正负情况判断函数的增减区间即可. 【详解】（1）因为，，所以，所以函数在上单调递增． （2）因为，， 所以 ， 所以在上单调递增． （3）因为，， 所以，所以在上单调递减． 2．（23-24高二下·山东青岛·期中）若，则的增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，令，求解再结合定义域即可． 【详解】由题可知，定义域为， ， 令得，所以的增区间为， 故选：B． 3．（23-24高二上·江苏）求下列函数的单调区间． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为． (2)单调递增区间为，单调递减区间为和. (3)单调递增区间为，单调递减区间为和． 【分析】根据导数公式以及导数运算法则进行求导，令导数大于零，求得函数的增区间，令导数小于零，求得函数的减区间，逐一计算即可. 【详解】（1）函数的定义域为，． 令，得，令，得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）函数的定义域为， ， 令，得；令，得或． ∴函数单调递增区间为，单调递减区间为和. （3）函数的定义域为R， ， 令，得；令，得或． ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． 题型二：由函数的单调性求参数 4．（23-24高二下·山东临沂·期中）函数的单调递减区间是，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据是的实数根即可求解. 【详解】由可得， 由于的单调递减区间是，故和是的两个根，故，故， 故选：A 5．（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据的单调递减区间为，而的定义域为，的一个极值点为1，利用即可得解，然后再代入验证是否满足题意即可. 【详解】， 因为的单调递减区间为，而的定义域为， 所以的一个极值点为1， 所以，解得． 所以，， 令，，解得， 所以的单调递减区间为，符合题意， 综上， 故选：B． 6．（23-24高二下·山东烟台·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设可得在上恒成立，分离参数后利用基本不等式可求实数的取值范围. 【详解】因为函数，则， 因为在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立，即，即， 设，，， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 故选：D. 题型三：由函数在区间的单调性求参数 7．（24-25高三上·青海·期末）若函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意转化为导函数恒成立问题，再利用分离参数法求解即可. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减，所以对恒成立， 得到，即对恒成立， 令，则对于恒成立， 当时，由反比例函数性质得在上单调递减， 得到，即，故D正确. 故选：D 8．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知在[1,2]上恒成立，将问题再转化为函数的最值问题求解即可. 【详解】 ，若函数在区间上单调递减， 即在上恒成立， 即在[1,2]上恒成立. 令，则在上单调递减，, 所以,, 即 故选：C. 9．（23-24高二下·山东菏泽·期中）若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，利用单调性列出恒成立的不等式即可求解. 【详解】函数，求导得， 由在区间上单调递增，得，， 而对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，因此， 所以实数k的取值范围为. 故选：B 题型四：函数与导函数图像的关系 10．（23-24高二下·江苏无锡）函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的选项是（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】C 【分析】由的增减性与的正负之间的关系进行判断， 【详解】结合图象可得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 显然C正确，其他选项错误. 故选：C. 11．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数（）的图象如图，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的图象得到的单调性，从而得到的正负，即可得解. 【详解】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减， 则当时，，时，， 时，，所以不等式的解集为. 故选：C. 12．（23-24高二下·天津·期中）已知函数与的图象如图所示，则函数（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数 【答案】B 【分析】求出函数的导数，结合图象求出函数的单调区间即可求解． 【详解】因为， 由图象知，时，，又，所以当时，， 即在上单调递减， 当时，，又，所以当时，， 即在上单调递增，所以选项A、C和D错误，选项B正确， 故选：B． 题型五：含参分类讨论函数的单调性 13．（24-25高二下·全国）设函数，其中．讨论的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】求导得导数的两个零点为或，对分类讨论即可求解. 【详解】的定义域是， 若，，函数在上单调递增， 当时，， 令，解得或， 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 14．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求出函数的定义域，对函数求导后，分，，，和讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间. 【详解】（1）由，可得， 则且， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）由函数的定义域为，且， 若，令，解得，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 若，令，解得或， ①若，即时，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ②若，即时，当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ③若，即时，可得且等号不恒成立， 所以函数的单调递增区间为． ④若，即时，当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 15．（23-24高二下·海南海口·期中）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出、代入直线的点斜式方程可得答案； （2）分、、讨论，利用导数判断可得答案． 【详解】（1）若，则， ，所以， ， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）， 当时，， 在上单调递增， 当时，由得，或， 由得， 所以在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递减； 当时，由得，或， 由得， 所以在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递减； 综上所述， 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为. 【高分演练】 一、单选题 16．（23-24高二下·江苏南通）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出导数，利用导数大于0可得答案. 【详解】函数 的定义域为 ， ， 由 得，解得 ， 所以 的单调增区间为 . 故选：B. 17．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，再解不等式即可得解. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得， 所以函数的单调递减区间是. 故选：B 18．（22-23高二下·广东阳江·期中）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意对于恒成立，转化为对于恒成立，求出即可. 【详解】由题意知，的定义域为， 所以， 因为在上单调递增， 所以对于恒成立， 即对于恒成立， 又函数在R上单调递增，故， 所以， 所以实数a的取值范围是. 故选：A. 19．（23-24高二下·广西玉林·期末）函数在R上是单调递增的充分条件是：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对函数求导，再由题意可得恒成立，则，从而可求出实数m的取值范围，进而可求解. 【详解】因为，所以． 因为函数在R上单调递增，所以恒成立， 则，解得， 所以函数在R上是单调递增的充分条件是的非空子集. 只有B选项符合. 故选：B. 20．（23-24高二下·海南·期中）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导函数，根据导函数在给定区间上大于等于0恒成立，结合二次函数的零点分布即可求出的取值范围． 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立， 所以或， 解得或 综上可得， 故选：A 21．（23-24高二下·天津北辰·期中）若函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用求导，将函数在给定区间上为增函数转化为不等式在上恒成立问题，即求出二次函数在上的最大值即得. 【详解】由可得， 因在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立， 而函数在上单调递减，则， 故，即a的取值范围是. 故选：A. 22．（23-24高二下·北京通州·期中）定义在区间上的函数，则的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】D 【分析】对函数求导并令，利用三角函数单调性解不等式即可求得结论. 【详解】由可得， 令, 当时，由可得，解得； 当时，由可得，解得； 因此可得在的单调递减区间是和. 故选：D 23．（23-24高二下·天津河东·期中）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求，利用函数的单调性得，整理得，利用指数函数的单调性计算即可. 【详解】由题意可知， 又，所以有恒成立，其中， 易知在上单调递增， 所以，即， 解之得. 故选：D 【点睛】思路点睛：由函数在定区间单调得出导函数的符号，将问题转化为恒成立，利用指数函数的单调性计算即可. 24．（23-24高二下·青海西宁·期中）已知函数，，若对任意两个不相等正数，，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知不等式的形式构造新函数，利用新函数的单调性，结合导数的性质进行求解即可. 【详解】不妨设，由，得， 令，所以在区间上单调递减， 所以在上恒成立， 即，所以， 即的取值范围是. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键由变形为，然后通过构造新，利用导数的性质进行求解. 二、多选题 25．（23-24高二下·辽宁辽阳·期中）已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在处的切线方程为 C．在上单调递增 D．方程有两个不同的解 【答案】BC 【分析】求导即可判断AC，根据导数的几何意义即可判断B，将方程的解转化为函数图像的交点，即可判断D. 【详解】 ，故A错误； 因为，则，且， 则在处的切线方程为， 即，故B正确； 因为，则， 令可得，其中，则， 所以在上单调递增，故C正确； 方程的解的个数，即为的解的个数， 即函数与函数图像交点个数， 作出函数与的图像，如图所示， 由图像可知，方程只有一个解，故D错误； 故选：BC 26．（23-24高二下·内蒙古赤峰·阶段练习）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】每个选项求导判断在上是否恒成立. 【详解】对于A：，，所以不恒成立，故A错误； 对于B：在上恒成立，函数递增，故B正确； 对于C：，函数递增，故C正确； 对于D：，所以在单调递减，故D错误； 故选：BC 27．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先求出函数的导数，再根据在上不单调可得在上有零点，且在该零点的两侧附近函数值异号，就和分类讨论后可得实数的取值范围，从而可得正确的选项. 【详解】， 若在上不单调，令， 对称轴方程为，则函数与轴在上有交点． 当时，显然不成立； 当时，有，即，解得或． 四个选项中的范围，为的真子集， ∴在上不单调的一个充分不必要条件是和. 故选：BC． 28．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知定义在上的可导函数满足，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】构造函数，结合单调性即可判断. 【详解】因为，所以. 故构造函数，.则， 所以在上单调递增.由，得， 由的单调性可得当时，.当时，. A选项：，解得，A错误； B选项：，解得，B正确； C选项：，解得，C正确； D选项：，解得，D正确. 故选：BCD. 29．（23-24高二下·广东广州·期中）已知函数则下列结论正确的是（    ） A．在定义域上是增函数 B．的值域为 C． D．若，则 【答案】BD 【分析】确定函数定义域，利用导数判断其单调性，可判断A；作出函数图象，数形结合判断B；推出可判断C；将化简变形，可得，结合的单调性，即可判断D. 【详解】对于A，的定义域为， ，则函数在上均单调递增， 但由于的图象在处不连续，故不能说在定义域上是增函数，A错误； 对于B，当时，趋向于负无穷，当时，趋向于正无穷， 当时，趋向于负无穷，当时，趋向于正无穷， 结合的单调性，作出其图象： 由此可知，的值域为，B正确； 对于C，，则， 故， 而，故，C错误； 对于D，由题意知， 又 即，由于，则， 结合在上单调递增，可得，D正确， 故选：BD 三、填空题 30．（24-25高二下·山西·开学考试）已知函数在定义域上单调递增，则实数m的最大值是 . 【答案】3 【分析】根据函数在定义域上单调递增，由恒成立求解. 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 所以恒成立， 即恒成立， 令，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，即， 所以实数的最大值为3. 故答案为：3 31．（24-25高三·上海·课堂例题）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意转化为恒成立，利用参变分离，转化为求函数的最值，即可求解. 【详解】由，得，恒成立， 所以，，恒成立，即，即， 得. 故答案为： 32．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先构造函数，再根据导函数得出函数的单调性，最后应用单调性解不等式. 【详解】设，则， ，，，在R上单调递减， ，， 又，，， 的解集为． 故答案为：. 33．（23-24高二下·四川泸州·期中）若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】求导得，转化为在上有解，最后分离参数即可. 【详解】函数，则 ， 因为在上存在单调递增区间，所以在上有解， 所以当时，有解， 令，而当时，令 ， 即为， 此时(此时)，所以， 故答案为：. 34．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求导得，由题意得时，恒成立，即在区间上恒成立，令，对称轴为，对对称轴的位置分类讨论：①；②；③.分别求出，解不等式，即可求解. 【详解】由， 得． 又在区间上单调递增， 所以时恒成立，即在区间上恒成立． 令， 函数图象的对称轴为直线． 当，即时，， 解得，又此时无解； 当，即时，， 解得，故； 当，即时，， 解得，故． 综上可得，实数a的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题 35．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)． (2)单调减区间是，单调增区间是． 【分析】（1）求出导函数，计算导数得切线斜率，再求得后由点斜式得切线方程并整理成一般式； （2）由得增区间，由得减区间． 【详解】（1），，又， 所以切线方程为，即． （2），定义域是， ， 当时，，当时，， 所以的单调减区间是，单调增区间是． 36．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为． 【分析】（1）求出，求导得到，利用导函数几何意义得到切线方程； （2）求导，解不等式得到单调区间. 【详解】（1）∵，∴， 且，∴， ∴函数在点处的切线方程为，即． （2）∵的定义域为R， ∴由（1）得． 令，解得， ∴当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 即函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 37．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件可得切线的斜率为，利用导数的几何意义列方程求； （2）条件可转化为在上恒成立，再分离变量，结合基本不等式求结论. 【详解】（1）设曲线在点处的切线的斜率， 直线的斜率为， 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，即， 又的导函数， 所以， 所以， 所以， （2）由若在上单调递增，可得在上恒成立， 由（1）可得在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以，其中， 又当时，，当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 38．（23-24高二下·湖北·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，对进行分类讨论，由导数符号与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：对分类讨论；方法二：参变分离，转换成不等式恒成立求参数，构造适当的函数，利用导数求最值即可得解. 【详解】（1）因为，，所以. 若，则恒成立， 此时的单调递增区间为，无单调递减区间. 若，则当时，，当时，， 此时的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）方法一：当时，，不符合恒成立. 当时，由（1）可知，. 因为恒成立，所以，解得，故a的取值范围为. 方法二：恒成立等价于恒成立. 令，则. 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 则，故a的取值范围为. 39．（23-24高二下·云南红河·期末）已知函数，（）. (1)当时，求出方程解的个数； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)1个 (2)见解析 【分析】（1）设，结合函数的单调性求解即可； （2）根据和0的大小关系，进行分类讨论即可. 【详解】（1）当时，， 即， 设， 则， 且定义域为， 故在时，恒成立，在上单调递增， 在时，恒成立，在上单调递减， 所以， 故只有一个解， 即方程只有一个解. （2）函数定义域为， 由题意， 当时，在时，恒成立，在上单调递增， 当时，的解为，的解为， 在上递增，在上递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上递增，在上递减． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$