第三单元、长方体和正方体（单元复习讲义）（16大考点典例讲解+知识总结+易错点拨+变式训练+课后同步练习）（解析版+学生版）-2024-2025学年五年级数学下册（人教版）

【单元复习讲义】2024-2025学年人教版五年级数学下册 第三单元、长方体和正方体 （16大考点典例讲解+知识总结+易错点拨+变式训练+课后同步练习） 知识点01：长方体和正方体的认识 1、长方体 （1）一般是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。 两个面相交的边叫做棱。 三条棱相交的点叫做顶点。 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 （2）长方体特征： ①面：长方体有6个面，这6个面一般是长方形的，特殊情况有两个相对的面是正方形；相对的面完全相同。 ②棱：长方体有12条棱，相对的棱长度相等。长方体12条棱可以分成3组，分别有4条长、4条宽、4条高。 ③顶点：长方体有8个顶点。 （3）长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4 ＝长×4＋宽×4＋高×4 长＝棱长总和÷4－宽－高 宽＝棱长总和÷4－长－高 高＝棱长总和÷4－长－宽 2、正方体 （1）由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。 （2）正方体特征： ①正方体有12条棱，它们的长度都相等。有8个顶点。 ②正方形的6个面是完全相同的正方形。 ③正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 （3）正方体的棱长总和＝棱长×12 正方体的棱长＝棱长总和÷12 3、长方体和正方体的异同点 4、长方体和正方体的关系：正方体是长、宽、高都相等的长方体。 知识点02：长方体和正方体的表面积 1、表面积 长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2、长方体的表面积 长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 用字母表示：S＝（ab＋ah＋bh）×2 3、正方体的表面积 正方体的表面积＝棱长×棱长×6 用字母表示：S＝6a2 知识点03：长方体和正方体的体积 1、长方体的体积公式 长方体的体积＝长×宽×高 如果用字母V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高可以写成：V＝abh。 2、正方体的体积公式 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 如果用字母V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，那么正方体的体积计算公式可以写成：V＝a3。 3、长方体或正方体底面的面积叫作底面积。 长方体（或正方体）的体积＝底面积×高 如果用字母S表示底面积，上面的公式可以写成：V＝Sh。 4、体积单位间的进率 （1）每相邻两个体积单位之间的进率是1000。 1dm³＝1000cm³；1m³＝1000dm³ （2）体积单位间的换算 （1）高级单位换成低级单位，乘进率，小数点向右移动。 （2）低级单位换成高级单位，除以进率，小数点向左移动。 5、容积和容积单位 （1）容器所能容纳物体的体积，叫做它们的容积。 （2）计量容积一般用体积单位：立方厘米、立方分米和立方米。但计量液体的体积，如水、油等，常用升和毫升（即L和ml）。 （3）容积单位和体积单位间的关系 1L＝1dm³；1mL＝1cm³；1L＝1000mL 易错点01：棱长总和计算错误。 长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；正方体的棱长总和＝棱长×12。 易错点02：不能正确确定长方体或正方体的面的数量和面积计算方法。例如，在计算无盖长方体的表面积时，仍然按照6个面来计算；或者在计算有特殊情况的长方体表面积时，如两个面是正方形的长方体，没有正确处理正方形面和长方形面的面积计算。 对于不同类型的长方体和正方体表面积计算问题，要仔细分析物体的实际情况，确定需要计算几个面的面积。可以通过画图的方式，将物体的各个面表示出来，标注出长、宽、高，然后分别计算每个面的面积，最后相加。在计算过程中，注意面积单位的换算。 易错点03：在计算长方体或正方体的表面积、体积等问题时，没有将题目中的单位统一就直接进行计算。 在计算过程中，若单位不一致，要先根据单位换算规则将所有数据的单位统一后再进行计算。 易错点04：在进行长度、面积、体积单位换算时，记错单位之间的进率。 长度单位相邻进率为 10，面积单位相邻进率为100，体积单位相邻进率为1000，容积单位L和mL相邻进率为1000。 易错点05：不能准确判断切割后表面积的增加情况。 通过画图或借助实物模型来理解切割过程中表面积的变化情况。明确不同切割方式会增加哪些面，以及这些面的面积如何计算。对于复杂的切割问题，可以分步计算，先算出原来的表面积，再加上增加的面的面积。 易错点06：在将几个长方体或正方体组合成一个新的立体图形时，不能正确计算表面积减少的部分。 理解组合过程中表面积减少的原理，无论沿哪个面组合，都会减少两个面的面积。在计算时，先算出原来各个立体图形的表面积之和，再减去组合时减少的面的面积。 考点1：长方体的认识及特征 【典型例题】想一想，围一围。小明要用下面几种规格的纸板（数量足够多）围长方体，他已经选了两个②号纸板，还要再选两个（ ）号纸板和两个（ ）号纸板。 【变式训练】下图是用棱长1厘米的小正方体拼成的长方体，右面的图形哪一个是这个长方体6个面中的一个用“√”标出来，并注明有几个这样的面。 【变式训练2】一个长方体，长4米、宽3米、高2米平放在地面上，占地面积至少是（    ）。 A．4立方米 B．5平方米 C．6平方米 考点2：长方体有关棱长的应用 【典型例题】用铁丝焊接一个长方体框架，同一顶点上的三根铁丝长分别为、和，则一共用了（ ）铁丝。 【变式训练1】用一根丝带捆扎一个礼盒（如下图），打结处的丝带长30厘米，捆扎这个礼盒至少需要多长的丝带？ 【变式训练2】如果一个长方体的棱长总和是96cm，那么这个长方体的一组长、宽、高的和是（    ）。 A．16cm B．24cm C．8cm D．48cm 考点3：长方体的展开图 【典型例题】下面哪个图形沿虚线折叠后不能围成长方体（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】在长方体展开图中，用数字表示前、后、左、右、上、下六个面，如果“1”是右面，那么“5”是（ ）面。“6”的对面是（ ）。 考点4：正方体的认识及特征 【典型例题】至少用（    ）个棱长1厘米的正方体，才能拼成一个大的正方体。 A．6 B．8 C．10 【变式训练】一个长方体长13厘米，宽8厘米，高6厘米，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正方体的棱长是（    ）厘米。 A．13 B．8 C．6 考点5：正方体有关棱长的应用 【典型例题】一个正方体的棱长是3厘米，这个正方体所有棱长的和是（ ）厘米。 【变式训练1】用一根60cm长的铁丝做一个正方体形状的笼子，这个笼子的棱长是（ ）cm。 【变式训练2】用一根铁丝正好可以做成一个棱长为6厘米的正方体框架，如果用这根铁丝做成一个长为8厘米、宽为5厘米的长方体框架，它的高是多少厘米？ 考点6：正方体的展开图 【典型例题】如图，能直接折成无盖正方体纸盒的是（    ）。 A．   B．   C．   【变式训练1】中国古代的“六艺”是“礼、乐、射、御、书、数”，如下图在正方体的平面展开图上分别写着“六艺”中的一种，则原正方体中与“御”字相对的面上的字是（    ）。 A．书 B．数 C．礼 D．乐 【变式训练2】将如图沿虚线折起来，可折成一个正方体。这时正方体的4号面所对的面是（    ）号面。 A．1 B．2 C．3 考点7：长方体的表面积 【典型例题】下面是一个长方体展开图，折成的长方体的长是（    ）厘米，宽是（    ）厘米，高是（    ）厘米，这个长方体纸盒的表面积是（    ）平方厘米。 【变式训练1】一个通风管的横截面为正方形，边长为4分米，通风管长3米，做4节这样的通风管需要多少铁皮？ 【变式训练2】一个长方体的高增加5米后就变成了一个正方体，表面积增加了160平方米。原来长方体的长是（    ）。 A．3米 B．8米 C．32 平方米 考点8：正方体的表面积 【典型例题】一个正方体玻璃鱼缸的棱长为3分米，制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？（上面没有盖。） 【变式训练1】用一根长60cm的铁丝做一个长8cm，宽5cm的长方体框架，这个长方体的高是（ ）。如果将这根铁丝做成一个正方体，这个正方体的表面积是（ ）。 【变式训练2】把表面积是12平方分米的两个正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（ ）平方分米。 考点9：体积和体积单位 【典型例题】一台微波炉的体积大约是40（    ）。 A．立方分米 B．立方米 C．立方厘米 D．立方毫米 【变式训练】小芳新买的文具盒的体积是240（    ）。 A．立方米 B．立方分米 C．立方厘米 D．立方毫米 考点10：长方体的体积 【典型例题】建筑工地要挖一个长50厘米、宽30米、深50厘米的长方体土坑，一共要挖出多少立方米的土？ 【变式训练1】一个长方体，如果高减少3厘米，则变成一个正方体，这时正方体的表面积比原长方体表面积少48平方厘米，求原长方体的体积？ 【变式训练2】一个长方体，如果高减少3厘米，就成为一个正方体。这时表面积比原来减少了48平方厘米。原来长方体的体积是（ ）立方厘米。 考点11：正方体的体积 【典型例题】用一根长24厘米的铁丝做一个正方体框架，这个框架的体积是（ ）立方分米。 【变式训练1】一个正方体玻璃缸，棱长5分米，用它装满水，再把水全部倒入一个底面积为20平方分米的长方体玻璃水槽中，槽内水的深度是多少分米？（玻璃的厚度忽略不计） 【变式训练2】一个长方体的长8厘米、宽5厘米，高4厘米，截去一个最大的正方体后剩下体积是（ ）立方厘米。 考点12：体积单位间的进率与换算 【典型例题】50dm2＝（ ）m2       370cm3＝（ ）dm3 45dm3＝（ ）m3             2.01m3＝（ ）dm3 【变式训练1】4.5立方厘米＝（ ）立方分米 750立方厘米＝（ ）立方米 12立方分米＝（ ）立方厘米 4.07立方米＝（ ）立方米（ ）立方分米 【变式训练2】一个长方体木箱的体积是120dm3，这个木箱的底面是一个边长为40cm的正方形，木箱的高是（ ）cm。 考点13：容积和容积单位 【典型例题】一个矿泉水瓶的容积大约为350（    ）。 A．毫升 B．升 C．立方米 D．平方厘米 【变式训练1】一罐可口可乐的容量可能是（    ）。 A．385L B．385mL C．385dm3 【变式训练2】在括号里填上合适的单位。 （1）一部手机的体积是50（ ）。 （2）一瓶墨水的容积约是60（ ）。 （3）一台冰箱的体积是500（ ）。 （4）一个油箱能装油120（ ）。 考点14：容积、体积单位间的进率与换算 【典型例题】900毫升＝（ ）升 0.08立方米＝（ ）升 【变式训练1】将50L的牛奶分装在容积为500mL的小盒内出售，可以装（ ）盒。 【变式训练2】在括号里填上适当的数。 1450毫升＝（ ）升＝（ ）立方分米 考点15：组合体的表面积和体积 【典型例题】求下面图形的表面积和体积。单位：（dm） 【变式训练1】求下面图形的体积。 【变式训练2】计算这块空心砖的表面积和体积（单位：厘米）。 考点16：“排水法”求不规则物体体积 【典型例题】一个棱长为8分米的正方体水缸，水深6分米，如果放入一块石头完全浸入水中，水溢出25升，则这块石头的体积是（ ）立方分米。 【变式训练1】一个装满水的长方体玻璃容器，长是10厘米，宽是8厘米，高是6厘米，然后把两个长4厘米、宽3厘米、高8厘米的铁块立着放入容器中，容器溢出的水的体积是多少？ 【变式训练2】一个长方体的水槽，从里面量长20厘米、宽15厘米、高10厘米，里面水深8厘米。将一个不规则的土豆放入后，水面升到9厘米处。这个土豆的体积是多少？ 一、选择题 1．下面的图形折叠后，能围成小正方体的是（    ）。 A． B． C． 2．如图，一长方体被挖去一块小长方体，下面说法正确的是（    ）。 A．体积和表面积都减少了 B．体积减少，表面积不变 C．体积减少，表面积增加了 3．把两个棱长为a厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．12a2 B．2a2 C．10a2 4．一个长方体油箱，从里面量长5分米，宽4分米，高4分米。如果每升汽油的价格为6.2元，加满这个油箱一共要用（    ）元。 A．469 B．496 C．498 5．一种饮料包装箱从里面量长28厘米、宽14厘米、高24厘米，要装底面直径是7厘米、高是12厘米的罐装饮料，最多能装（    ）罐。 A．12 B．16 C．20 二、填空题 6．在括号里填上合适的单位。 一台冰箱的体积约是500（ ） 一听雪碧的容量约是330（ ）。 7．把一根长1m的长方体木棍截成3段，表面积增加20平方厘米，原来这根木棍的体积是（ ）平方厘米。 8．一个长方体的横截面为边长是5cm的正方形，长方体的长是17cm，这个长方体可以截成（ ）个最大的正方体，增加的表面积是（ ）cm2。 9．用两个棱长是2.5cm的正方体木块拼成一个长方体，表面积减少了（ ）cm2。 10．一个长方体，长9dm，宽6dm，棱长和为80dm，它的体积是（ ）dm3，表面积是（ ）m2。 11．一个长方体容器，从里面量长、宽均为3分米，向容器里倒入9升水，把一个铁块放入水中，水上升了1.5厘米，则铁块的体积是（ ）立方分米。 12．用一根长36厘米的铁丝围成一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是（ ）厘米。 13．从一个长9厘米、宽8厘米、高7厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下的几何体的表面积是（ ）平方厘米。 14．用3个完全相同的小正方体拼成一个长方体，如果小正方体的棱长是5cm，那么拼成的长方体的表面积是（ ）cm2，体积是（ ）cm3。其中一个小正方体的棱长总和是（ ）cm。 15．2040cm3＝（ ）dm3  6.2L＝（ ）mL＝（ ）cm3 16．要做一个底面周长是10cm、高是6cm的长方体框架，至少需要（ ）长的铁丝。 17．如图，正方体的棱长为10厘米，在它的一个面上挖去一个长10厘米、宽3厘米、高3厘米的长方体后，表面积是（ ）平方厘米。 三、判断题 18．棱长12厘米的正方体是棱长6厘米的正方体的体积的8倍。（ ） 19．一个正方体的一条棱长为5厘米，这个正方体的棱长总和是20厘米。（ ） 20．棱长是6cm的正方体的表面积比体积大。（ ） 21．拼成一个稍大的正方体至少需要4个完全相同的小正方体。（ ） 22．一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，则表面积扩大到原来的6倍，体积扩大到原来的27倍。（ ） 四、计算题 23．计算下面长方体和正方体的表面积。           24．看如图求它的表面积与体积。（单位：dm） 五、解答题 25．一个长、宽、高分别为45厘米、35厘米、20厘米的长方体小纸箱，在所有的棱上粘上一圈胶带，至少需要多长的胶带？ 26．一个长方体的饼干盒，长8厘米，宽6厘米，高10厘米。如果围着它四周贴商标纸（上、下面不贴），这张商标纸的面积至少有多少平方厘米？ 27．一个无盖的长方体的铁皮水桶底面是边长4分米的正方形，桶高60厘米，做一对这样的水桶，至少需要多少平方分米的铁皮？它们一共能盛水多少升？ 28．一根铁丝可以焊接成一个长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体框架，如果用它焊接成一个正方体框架，那么这个正方体框架的棱长是多少厘米？ 29．一个长方体水箱，从里面量长为8分米，宽为5分米，高为3分米，容器内水深26厘米。把一个棱长为3分米的正方体铁块放入水中，水箱的水会不会溢出？如果溢出，会溢出多少升水？ 30．学校要粉刷一间会议室，会议室的长是15米，宽是8米，高是4米。扣除门窗和黑板的面积25.4平方米，粉刷的面积是多少平方米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【单元复习讲义】2024-2025学年人教版五年级数学下册 第三单元、长方体和正方体 （16大考点典例讲解+知识总结+易错点拨+变式训练+课后同步练习） 知识点01：长方体和正方体的认识 1、长方体 （1）一般是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。 两个面相交的边叫做棱。 三条棱相交的点叫做顶点。 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 （2）长方体特征： ①面：长方体有6个面，这6个面一般是长方形的，特殊情况有两个相对的面是正方形；相对的面完全相同。 ②棱：长方体有12条棱，相对的棱长度相等。长方体12条棱可以分成3组，分别有4条长、4条宽、4条高。 ③顶点：长方体有8个顶点。 （3）长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4 ＝长×4＋宽×4＋高×4 长＝棱长总和÷4－宽－高 宽＝棱长总和÷4－长－高 高＝棱长总和÷4－长－宽 2、正方体 （1）由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。 （2）正方体特征： ①正方体有12条棱，它们的长度都相等。有8个顶点。 ②正方形的6个面是完全相同的正方形。 ③正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 （3）正方体的棱长总和＝棱长×12 正方体的棱长＝棱长总和÷12 3、长方体和正方体的异同点 4、长方体和正方体的关系：正方体是长、宽、高都相等的长方体。 知识点02：长方体和正方体的表面积 1、表面积 长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2、长方体的表面积 长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 用字母表示：S＝（ab＋ah＋bh）×2 3、正方体的表面积 正方体的表面积＝棱长×棱长×6 用字母表示：S＝6a2 知识点03：长方体和正方体的体积 1、长方体的体积公式 长方体的体积＝长×宽×高 如果用字母V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高可以写成：V＝abh。 2、正方体的体积公式 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 如果用字母V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，那么正方体的体积计算公式可以写成：V＝a3。 3、长方体或正方体底面的面积叫作底面积。 长方体（或正方体）的体积＝底面积×高 如果用字母S表示底面积，上面的公式可以写成：V＝Sh。 4、体积单位间的进率 （1）每相邻两个体积单位之间的进率是1000。 1dm³＝1000cm³；1m³＝1000dm³ （2）体积单位间的换算 （1）高级单位换成低级单位，乘进率，小数点向右移动。 （2）低级单位换成高级单位，除以进率，小数点向左移动。 5、容积和容积单位 （1）容器所能容纳物体的体积，叫做它们的容积。 （2）计量容积一般用体积单位：立方厘米、立方分米和立方米。但计量液体的体积，如水、油等，常用升和毫升（即L和ml）。 （3）容积单位和体积单位间的关系 1L＝1dm³；1mL＝1cm³；1L＝1000mL 易错点01：棱长总和计算错误。 长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；正方体的棱长总和＝棱长×12。 易错点02：不能正确确定长方体或正方体的面的数量和面积计算方法。例如，在计算无盖长方体的表面积时，仍然按照6个面来计算；或者在计算有特殊情况的长方体表面积时，如两个面是正方形的长方体，没有正确处理正方形面和长方形面的面积计算。 对于不同类型的长方体和正方体表面积计算问题，要仔细分析物体的实际情况，确定需要计算几个面的面积。可以通过画图的方式，将物体的各个面表示出来，标注出长、宽、高，然后分别计算每个面的面积，最后相加。在计算过程中，注意面积单位的换算。 易错点03：在计算长方体或正方体的表面积、体积等问题时，没有将题目中的单位统一就直接进行计算。 在计算过程中，若单位不一致，要先根据单位换算规则将所有数据的单位统一后再进行计算。 易错点04：在进行长度、面积、体积单位换算时，记错单位之间的进率。 长度单位相邻进率为 10，面积单位相邻进率为100，体积单位相邻进率为1000，容积单位L和mL相邻进率为1000。 易错点05：不能准确判断切割后表面积的增加情况。 通过画图或借助实物模型来理解切割过程中表面积的变化情况。明确不同切割方式会增加哪些面，以及这些面的面积如何计算。对于复杂的切割问题，可以分步计算，先算出原来的表面积，再加上增加的面的面积。 易错点06：在将几个长方体或正方体组合成一个新的立体图形时，不能正确计算表面积减少的部分。 理解组合过程中表面积减少的原理，无论沿哪个面组合，都会减少两个面的面积。在计算时，先算出原来各个立体图形的表面积之和，再减去组合时减少的面的面积。 考点1：长方体的认识及特征 【典型例题】想一想，围一围。小明要用下面几种规格的纸板（数量足够多）围长方体，他已经选了两个②号纸板，还要再选两个（ ）号纸板和两个（ ）号纸板。 【答案】 ③ ④ 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面积是正方形），相对面的面积相等；据此解答。 【详解】如图： 小明已经选了两个②号纸板，还要再选两个③号纸板和④号纸板。 【变式训练】下图是用棱长1厘米的小正方体拼成的长方体，右面的图形哪一个是这个长方体6个面中的一个用“√”标出来，并注明有几个这样的面。 【答案】见详解 【分析】看图，拼成的长方体长、宽、高分别是3厘米、1厘米和2厘米，长方体有6个面，其中正面和后面相同，左面和右面相同，上面和下面相同。据此解题。 【详解】如图： 【变式训练2】一个长方体，长4米、宽3米、高2米平放在地面上，占地面积至少是（    ）。 A．4立方米 B．5平方米 C．6平方米 【答案】C 【分析】要使该长方体占地面积最小，则用最小的面朝下即可，也就是（3×2）的面。 【详解】3×2＝6（平方米） 则占地面积至少是6平方米。 故答案为：C 考点2：长方体有关棱长的应用 【典型例题】用铁丝焊接一个长方体框架，同一顶点上的三根铁丝长分别为、和，则一共用了（ ）铁丝。 【答案】188 【分析】已知这个长方体铁丝框架同一顶点上的三根铁丝的长度分别为20cm、15cm、12cm，要求得一共用了多长的铁丝，根据长方体棱长＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可。 【详解】（20＋15＋12）×4 ＝47×4 ＝188（cm） 一共用了188cm铁丝。 【变式训练1】用一根丝带捆扎一个礼盒（如下图），打结处的丝带长30厘米，捆扎这个礼盒至少需要多长的丝带？ 【答案】160厘米 【分析】观察图形可知，捆扎这个礼盒至少需要丝带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋打结用的长度，据此解答。 【详解】25×2＋20×2＋10×4＋30 ＝50＋40＋40＋30 ＝90＋40＋30 ＝130＋30 ＝160（厘米） 答：捆扎这个礼盒至少需要160厘米的丝带。 【变式训练2】如果一个长方体的棱长总和是96cm，那么这个长方体的一组长、宽、高的和是（    ）。 A．16cm B．24cm C．8cm D．48cm 【答案】B 【分析】根据题意，我们需要理解长方体的结构。长方体有12条棱，其中每组相对的面上的4条棱长度都是相等的。这意味着长方体有3组不同的棱长，每组有4条相等的棱。假设长方体的长、宽、高分别为l cm、w cm 和 h cm。根据题目，长方体的棱长总和是96cm。由于每组有4条相等的棱，所以长方体的棱长总和可以表示为：4l＋4w＋4h＝96，为了找到一组长、宽、高的和，我们可以将上面的方程两边都除4：l＋w＋h＝96 ÷ 4，现在我们可以直接计算 l＋w＋h的值。 【详解】4l＋4w＋4h＝96 4×（l＋w＋h）÷ 4＝96 ÷ 4 l＋w＋h＝96 ÷ 4 l＋w＋h＝24（cm） 个长方体的一组长、宽、高的和是24cm。 故答案为：B 考点3：长方体的展开图 【典型例题】下面哪个图形沿虚线折叠后不能围成长方体（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（同时情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等。据此解答即可。 【详解】A．根据长方体展开图的特征可知：沿虚线折叠后能围成长方体； B．沿虚线折叠后能围成长方体； C．不能围成长方体，因为它相对的面不相等； D．沿虚线折叠后能围成长方体。 故答案为：C 【变式训练】在长方体展开图中，用数字表示前、后、左、右、上、下六个面，如果“1”是右面，那么“5”是（ ）面。“6”的对面是（ ）。 【答案】 前 2 【分析】观察图形可知，展开图符合长方体展开图的“1－4－1”型结构，折叠后①对应的是④，②对应的是⑥；③对应⑤，由此可知，①是右面，④是左面；②是下面，⑥是上面，③是后面，⑤是前面。 【详解】由分析可得：如果“1”是右面，那么“5”是前面。“6”的对面是2。 考点4：正方体的认识及特征 【典型例题】至少用（    ）个棱长1厘米的正方体，才能拼成一个大的正方体。 A．6 B．8 C．10 【答案】B 【分析】用同样大小的正方体拼成一个较大的正方体，每条棱上至少需要2个小正方体，所以拼成这个大正方体至少需要的小正方体是：2×2×2＝8（个）。 【详解】2×2×2 ＝4×2 ＝8（个） 至少用8个棱长1厘米的正方体，才能拼成一个大的正方体。 故答案为：B 【变式训练】一个长方体长13厘米，宽8厘米，高6厘米，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正方体的棱长是（    ）厘米。 A．13 B．8 C．6 【答案】C 【分析】比较长方体的长、宽、高的大小，切成的正方体棱长最长不能超过它们中最小的数据，据此解答。 【详解】13＞8＞6 即正方体的棱长最长是6厘米。 故答案为：C 考点5：正方体有关棱长的应用 【典型例题】一个正方体的棱长是3厘米，这个正方体所有棱长的和是（ ）厘米。 【答案】36 【分析】根据正方体的棱长总和公式可知，正方体的棱长总和＝棱长×12，直接代入数据计算即可得解。 【详解】3×12＝36（厘米） 即这个正方体所有棱长的和是36厘米。 【变式训练1】用一根60cm长的铁丝做一个正方体形状的笼子，这个笼子的棱长是（ ）cm。 【答案】5 【分析】这根铁丝的总长度相当于正方体的棱长之和，正方体的棱长＝棱长之和÷12，据此解答。 【详解】60÷12＝5（cm） 所以，这根笼子的棱长是5cm。 【变式训练2】用一根铁丝正好可以做成一个棱长为6厘米的正方体框架，如果用这根铁丝做成一个长为8厘米、宽为5厘米的长方体框架，它的高是多少厘米？ 【答案】5厘米 【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，用棱长乘12即可求出正方体的棱长之和；再根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用棱长和除以4，再减去长方体的长和宽，即可求出长方体的高，列式解答即可。 【详解】6×12÷4－8－5 ＝72÷4－8－5 ＝18－8－5 ＝10－5 ＝5（厘米） 答：它的高是5厘米。 考点6：正方体的展开图 【典型例题】如图，能直接折成无盖正方体纸盒的是（    ）。 A．   B．   C．   【答案】A 【分析】在哪个图形的任一位置添加一个相同的正方形能成为正方体展开图，哪个图形能直接折成无盖正方体纸盒。 【详解】A、在中行左边或右边添加一个相同的正方形，成为正方体展开图的“1－4－1”型，在下行的右边添加一个相同的正方形，成为正方体展开图的“1－3－2”型，因此，此图能直接折成无盖正方体纸盒。 B、在任何位置添加一个相同的正方形都不是正方体展开图，因此，此图不能直接折成无盖正方体纸盒。 C、在任何位置添加一个相同的正方形都不是正方体展开图，因此，此图不能直接折成无盖正方体纸盒。 故答案为：A 【变式训练1】中国古代的“六艺”是“礼、乐、射、御、书、数”，如下图在正方体的平面展开图上分别写着“六艺”中的一种，则原正方体中与“御”字相对的面上的字是（    ）。 A．书 B．数 C．礼 D．乐 【答案】B 【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“2—2—2”型，折成正方体后，汉字“御”与“数”相对，“射”与“礼”相对，“书”与“乐”相对。据此解答。 【详解】如图： 原正方体中与“御”字相对的面上的字是“数”。 故答案为：B 【变式训练2】将如图沿虚线折起来，可折成一个正方体。这时正方体的4号面所对的面是（    ）号面。 A．1 B．2 C．3 【答案】A 【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1－3－2”型，折成正方体后，1号面与4号面相对，2号面与5号面相对，3号面与6号面相对。 【详解】如图沿虚线折起来，可折成一个正方体。这时正方体的4号面所对的面是1号面。 故答案为：A 考点7：长方体的表面积 【典型例题】下面是一个长方体展开图，折成的长方体的长是（    ）厘米，宽是（    ）厘米，高是（    ）厘米，这个长方体纸盒的表面积是（    ）平方厘米。 【答案】30；15；15；2250 【分析】看图可知，这个长方体有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。折成长方体后，长30厘米，宽和高都是15厘米，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式解答即可。 【详解】折成的长方体的长是30厘米，宽是15厘米，高是15厘米。 （30×15＋30×15＋15×15）×2 ＝（450＋450＋225）×2 ＝1125×2 ＝2250（平方厘米） 答：这个长方体纸盒的表面积是2250平方厘米。 【变式训练1】一个通风管的横截面为正方形，边长为4分米，通风管长3米，做4节这样的通风管需要多少铁皮？ 【答案】1920平方分米 【分析】根据题意，一节通风管需要的铁皮是通风管的侧面积，先计算出通风管的侧面积，而侧面积正好等于长方体的四个面的面积和，底面为正方形的长方体，侧面四个面的形状大小完全一样，据此求出一节通风管的铁皮面积，然后再乘4即可。 【详解】3米＝30分米 一节铁皮面积： （平方分米） 4节通风管铁皮面积：（平方分米） 答：做4节这样的通风管需要1920平方分米铁皮。 【变式训练2】一个长方体的高增加5米后就变成了一个正方体，表面积增加了160平方米。原来长方体的长是（    ）。 A．3米 B．8米 C．32 平方米 【答案】B 【分析】根据题意可知，将一个长方体的高增加5米就成为一个正方体可知：原长方体的长＝宽＝正方体的棱长，这时表面积比原来增加160平方米，表面积增加的是高5米的长方体的4个侧面的面积，因此可以求出一个侧面的面积，进而求出原来长方体的长。据此解答。 【详解】160÷4÷5＝8（米） 原来长方体的长是8米。 故答案为：B 考点8：正方体的表面积 【典型例题】一个正方体玻璃鱼缸的棱长为3分米，制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？（上面没有盖。） 【答案】45平方分米 【分析】求这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃，实际是求正方体的表面积。正常情况正方体有6个面，但这个鱼缸上面没有盖，所以只要求5个面的面积和，根据求正方体表面积方法求解即可。 【详解】3×3×5 ＝9×5 ＝45（平方分米） 答：制作这个鱼缸至少需要45平方分米的玻璃。 【变式训练1】用一根长60cm的铁丝做一个长8cm，宽5cm的长方体框架，这个长方体的高是（ ）。如果将这根铁丝做成一个正方体，这个正方体的表面积是（ ）。 【答案】 2cm/2厘米 150cm2/150平方厘米 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，棱长总和÷4－（长＋宽）＝高；正方体的棱长总和＝12×正方体的棱长，正方体的表面积＝6a2，把数据代入公式解答即可。 【详解】60÷4－（8＋5） ＝15－13 ＝2（cm） 60÷12＝5（cm） 5×5×6 ＝25×6 ＝150（cm2） 所以用一根长60cm的铁丝做一个长8cm，宽5cm的长方体框架，这个长方体的高是2cm。如果将这根铁丝做成一个正方体，这个正方体的表面积是150cm2。 【变式训练2】把表面积是12平方分米的两个正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（ ）平方分米。 【答案】24 【分析】正方体有6个面积相等的面，正方体的表面积是12平方分米，则一个面的面积是12÷6＝2（平方分米）。把表面积是12平方分米的两个正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比两个正方体的表面积之和减少了2个正方形的面积，据此计算出拼成的长方体的表面积，再进行判断。 【详解】12÷6＝2（平方分米） 12×2－2×2 ＝24－4 ＝20（平方分米） 则这个长方体的表面积是20平方分米。 考点9：体积和体积单位 【典型例题】一台微波炉的体积大约是40（    ）。 A．立方分米 B．立方米 C．立方厘米 D．立方毫米 【答案】A 【分析】棱长为1分米的正方体的体积为1立方分米，再根据生活实际经验及体积单位、数据的大小可知，计量微波炉的体积应用“立方分米”作单位。 【详解】由分析可知： 一台微波炉的体积大约是40立方分米。 故答案为：A 【变式训练】小芳新买的文具盒的体积是240（    ）。 A．立方米 B．立方分米 C．立方厘米 D．立方毫米 【答案】C 【分析】常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米。立方厘米用字母表示是cm3，立方分米用字母表示是dm3，立方米用字母表示是m3。棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米；棱长1分米的正方体，体积是1立方分米；棱长1米的正方体，体积是1立方米。一个骰子的体积接近1立方厘米；一个魔方的体积接近1立方分米；一个鱼缸的体积接近1立方米。根据生活经验，计量文具盒的体积用“立方厘米”作单位比较合适。 【详解】小芳新买的文具盒的体积是240立方厘米。 故答案为：C 考点10：长方体的体积 【典型例题】建筑工地要挖一个长50厘米、宽30米、深50厘米的长方体土坑，一共要挖出多少立方米的土？ 【答案】7.5立方米 【分析】求长方体土坑能挖出多少立方米的土，先把长和深换算成米为单位，再根据长方体体积公式求出体积是多少立方米，据此解答。 【详解】50厘米＝0.5米 0.5×30×0.5 ＝15×0.5 ＝7.5（立方米） 答：一共要挖出7.5立方米的土。 【变式训练1】一个长方体，如果高减少3厘米，则变成一个正方体，这时正方体的表面积比原长方体表面积少48平方厘米，求原长方体的体积？ 【答案】112立方厘米 【分析】如果长方体的高减少3厘米，则长方体的侧面积减少，根据侧面积＝底面周长×高，据此可知侧面减少的面积除以减少的高度，即可求出长方体的底面周长，因为高减少3厘米，就成为一个正方体，说明长方体的底面是一个正方形，根据正方形的周长公式，用底面周长除以4即可求出底面的长和宽，再加上3即可求出长方体原来的高，最后根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可求出原来长方体的体积。 【详解】48÷3＝16（厘米） 16÷4＝4（厘米） 4＋3＝7（厘米） 4×4×7＝112（立方厘米） 答：原长方体的体积是112立方厘米。 【变式训练2】一个长方体，如果高减少3厘米，就成为一个正方体。这时表面积比原来减少了48平方厘米。原来长方体的体积是（ ）立方厘米。 【答案】112 【分析】由题意可知，如果长方体的高减少3厘米，就成为一个正方体，表面积比原来减少了48平方厘米，即减少了高为3厘米的长方体的侧面积，用48除以3即可求出长方体的底面周长，根据正方形的周长公式：C＝4a，据此求出长方体的底面的长和宽，最后根据长方体的体积公式：V＝abh，据此计算即可。 【详解】48÷3＝16（厘米） 16÷4＝4（厘米） 4×4×（4＋3） ＝16×7 ＝112（立方厘米） 则原来长方体的体积是112立方厘米。 考点11：正方体的体积 【典型例题】用一根长24厘米的铁丝做一个正方体框架，这个框架的体积是（ ）立方分米。 【答案】0.008 【分析】用一根长24厘米的铁丝做一个正方体框架，也就是正方体的棱长总和是24厘米，首先用棱长总和除以12求出它的棱长；再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此解答。 【详解】据题意，正方体的棱长：（厘米） 正方体的体积： ＝ ＝（立方分米） 所以，这个框架的体积是立方分米。 【变式训练1】一个正方体玻璃缸，棱长5分米，用它装满水，再把水全部倒入一个底面积为20平方分米的长方体玻璃水槽中，槽内水的深度是多少分米？（玻璃的厚度忽略不计） 【答案】6.25分米 【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，据此求出水的体积，再根据长方体的体积公式：V＝Sh，用水的体积除以长方体玻璃水槽的底面积即可求出槽内水的深度。 【详解】5×5×5÷20 ＝125÷20 ＝6.25（分米） 答：槽内水的深度是6.25分米。 【变式训练2】一个长方体的长8厘米、宽5厘米，高4厘米，截去一个最大的正方体后剩下体积是（ ）立方厘米。 【答案】96 【分析】在这个长方体中截取一个最大的正方体，这个正方体的棱长等于长方体最短的一条边，即等于长方体的高，根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，分别求出长方体和正方体的体积，再相减即可解答。 【详解】8×5×4－4×4×4 ＝40×4－16×4 ＝160－64 ＝96（立方厘米） 一个长方体的长8厘米、宽5厘米，高4厘米，截去一个最大的正方体后剩下体积是96立方厘米。 考点12：体积单位间的进率与换算 【典型例题】50dm2＝（ ）m2       370cm3＝（ ）dm3 45dm3＝（ ）m3             2.01m3＝（ ）dm3 【答案】 0.5 0.37 0.045 2010 【分析】根据1m2＝100dm2，1m3＝1000dm3，1dm3＝1000cm3，高级单位换算成低级单位，乘进率，低级单位换算成高级单位，除以进率，据此解答。 【详解】50dm2＝0.5m2       370cm3＝0.37dm3 45dm3＝0.045m3          2.01m3＝2010dm3 【变式训练1】4.5立方厘米＝（ ）立方分米 750立方厘米＝（ ）立方米 12立方分米＝（ ）立方厘米 4.07立方米＝（ ）立方米（ ）立方分米 【答案】 0.0045 0.00075 12000 4 70 【分析】根据1立方分米＝1000立方厘米，1立方米＝1000000立方厘米，1立方米＝1000立方分米，进行换算即可。 【详解】4.5立方厘米÷1000＝0.0045立方分米；750立方厘米÷1000000＝0.00075立方米 12立方分米×1000＝12000立方厘米；0.07立方米×1000＝70立方分米，4.07立方米＝4立方米70立方分米 【变式训练2】一个长方体木箱的体积是120dm3，这个木箱的底面是一个边长为40cm的正方形，木箱的高是（ ）cm。 【答案】75 【分析】根据题意，长方体木箱的底面是一个边长为40cm的正方形，根据正方形的面积S＝a2，求出木箱的底面积；然后根据长方体的体积V＝Sh可知，长方体的高h＝V÷S，即可求出木箱的高。注意单位的换算：1dm3＝1000cm3。 【详解】120dm3＝120000cm3 120000÷（40×40） ＝120000÷1600 ＝75（cm） 木箱的高是75cm。 考点13：容积和容积单位 【典型例题】一个矿泉水瓶的容积大约为350（    ）。 A．毫升 B．升 C．立方米 D．平方厘米 【答案】A 【分析】容器能容纳物体的多少，就是它的容量，为了准确测量或计算容器的容量，要用统一的容积单位。容积单位有升和毫升，其中升是较大的容积单位，一瓶沐浴露的容积大约是1升。毫升是较小的容积单位，一小瓶指甲油都5毫升以上。根据生活经验，一瓶矿泉水瓶的容积选择毫升作单位比较合适。 【详解】一个矿泉水瓶的容积大约为350毫升。 故答案为：A 【变式训练1】一罐可口可乐的容量可能是（    ）。 A．385L B．385mL C．385dm3 【答案】B 【分析】立方分米（dm3）是体积单位，一罐可口可乐的容量需要选择恰当的容积单位升（L）或毫升（mL），生活里一小瓶矿泉水的容积是500mL，据此选择即可。 【详解】A．生活里一小瓶矿泉水的容积是500mL，常见的可乐容积数量385可以，但是升（L）作单位太大，因为1L＝1000mL； B．生活里一小瓶矿泉水的容积是500mL，常见的可乐容积数量385可以，毫升（mL）作单位恰当； C．生活里一小瓶矿泉水的容积是500mL，常见的可乐容积数量385可以，立方分米（dm3）常用作体积单位； 所以一罐可口可乐的容量可能是385mL。 故答案为：B 【变式训练2】在括号里填上合适的单位。 （1）一部手机的体积是50（ ）。 （2）一瓶墨水的容积约是60（ ）。 （3）一台冰箱的体积是500（ ）。 （4）一个油箱能装油120（ ）。 【答案】（1）立方厘米/cm3 （2）毫升/mL （3）立方分米/dm3 （4）升/L 【分析】（1）棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米，手指尖的体积大约是1立方厘米，所以计量一部手机的体积用“立方厘米”作单位比较合适； （2）1毫升液体的体积就是1立方厘米，计量比较少的液体，通常用“毫升”作单位，所以计量一瓶墨水的容积用“毫升”作单位比较合适； （3）棱长1分米的正方体，体积是1立方分米，一个粉笔盒的体积约为1立方分米，所以计量一台冰箱的体积用“立方分米”作单位比较合适； （4）1升液体的体积就是1立方分米，结合单位前的数据，所以计量一个油箱能装油的量用“升”作单位比较合适。 【详解】（1）一部手机的体积是50立方厘米。 （2）一瓶墨水的容积约是60毫升。 （3）一台冰箱的体积是500立方分米。 （4）一个油箱能装油120升。 考点14：容积、体积单位间的进率与换算 【典型例题】900毫升＝（ ）升 0.08立方米＝（ ）升 【答案】 0.9 80 【分析】1升＝1000毫升，1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1升，1立方分米＝1000立方厘米，高级单位换算低级单位乘进率，低级单位换算高级单位除以进率，据此解答。 【详解】900÷1000＝0.9（升） 0.08×1000＝80（立方分米） 80立方分米＝80升 【变式训练1】将50L的牛奶分装在容积为500mL的小盒内出售，可以装（ ）盒。 【答案】100 【分析】1L＝1000mL，先把高级单位转化为低级单位，求50L里面有多少个500mL用除法计算，据此解答。 【详解】50L＝50000mL 50000÷500＝100（盒） 所以，可以装100盒。 【变式训练2】在括号里填上适当的数。 1450毫升＝（ ）升＝（ ）立方分米 【答案】1.45 1.45 【分析】根据1立方米＝1000立方分米，高级单位化低级单位要乘进率，低级单位化高级单位要除以进率，单名数化为复名数。 【详解】因为1450÷1000＝1.45，所以1450毫升＝1.45升＝1.45立方分米； 考点15：组合体的表面积和体积 【典型例题】求下面图形的表面积和体积。单位：（dm） 【答案】264dm2；248dm3 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6；该组合体的表面积＝长方体的表面积＋正方体4个侧面的面积； 长方体的体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，该组合体的体积＝长方体的体积＋正方体体积，将数据代入求值即可。 【详解】由分析可得： （10×6＋6×4＋10×4）×2＋2×2×4 ＝（60＋24＋40）×2＋4×4 ＝124×2＋16 ＝248＋16 ＝264（dm2） 10×6×4＋2×2×2 ＝60×4＋4×2 ＝240＋8 ＝248（dm3） 所以该组合图形表面积是264dm2，体积是248dm3。 【变式训练1】求下面图形的体积。 【答案】304m3 【分析】组合体的体积＝棱长是4m的正方体的体积＋长是12m，宽是4m，高是5m的长方体的体积，根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长；长方体的体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】4×4×4＋12×4×5 ＝16×4＋48×5 ＝64＋240 ＝304（m3） 组合体的体积是304m3。 【变式训练2】计算这块空心砖的表面积和体积（单位：厘米）。 【答案】表面积：2400平方厘米；体积：4500立方厘米 【分析】（1）大长方体的四个侧面、小长方体的四个侧面，再加上上、下面的面积就是空心砖的表面积； （2）大长方体体积与小长方体体积的差就是空心砖的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入相应数值计算，据此解答。 【详解】（1）（30×10＋20×10＋15×10＋10×10）×2＋（30×20－15×10）×2 ＝（300＋200＋150＋100）×2＋（600－150）×2 ＝750×2＋450×2 ＝1500＋900 ＝2400（平方厘米） （2）30×20×10－15×10×10 ＝6000－1500 ＝4500（立方厘米） 因此这块空心砖的表面积是2400平方厘米，体积是4500立方厘米。 考点16：“排水法”求不规则物体体积 【典型例题】一个棱长为8分米的正方体水缸，水深6分米，如果放入一块石头完全浸入水中，水溢出25升，则这块石头的体积是（ ）立方分米。 【答案】153 【分析】由题意得石头的体积等于上升的水的体积加上溢出水的体积，根据长方体的体积计算公式：长方体体积＝长×宽×高计算即可。 【详解】25升＝25立方分米 8×8×（8－6）＋25 ＝8×8×2＋25 ＝64×2＋25 ＝128＋25 ＝153（立方分米） 一个棱长为8分米的正方体水缸，水深6分米，如果放入一块石头完全浸入水中，水溢出25升，则这块石头的体积是153立方分米。 【变式训练1】一个装满水的长方体玻璃容器，长是10厘米，宽是8厘米，高是6厘米，然后把两个长4厘米、宽3厘米、高8厘米的铁块立着放入容器中，容器溢出的水的体积是多少？ 【答案】144立方米 【分析】铁块的长×宽×玻璃容器的高＝一个铁块让容器溢出的水的体积，一个铁块让容器溢出的水的体积×2＝容器溢出的水的体积。 【详解】4×3×6×2 ＝12×6×2 ＝72×2 ＝144（立方米） 答：容器溢出的水的体积是144立方米。 【变式训练2】一个长方体的水槽，从里面量长20厘米、宽15厘米、高10厘米，里面水深8厘米。将一个不规则的土豆放入后，水面升到9厘米处。这个土豆的体积是多少？ 【答案】300立方厘米 【分析】本题属于等积变形，水面上升的体积＝土豆的体积，水面上升的体积＝长方体的长×宽×水面上升的高度。 【详解】20×15×（9－8） ＝20×15×1 ＝300（立方厘米） 答：这个土豆的体积是300立方厘米。 一、选择题 1．下面的图形折叠后，能围成小正方体的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】根据正方体展开图共四种类型，分别是1－4－l型、2－3－1型、2－2－2型、3－3型，展开图中出现“田”、“凹”、“L”形，不折叠成正方体或长方体。据此解答。 【详解】 A．不属于正方体展开图的类型，所以不能围成小正方体； B．属于1－4－l型，可以围成小正方体； C．不属于正方体展开图的类型，所以不能围成小正方体。 故答案为：B 2．如图，一长方体被挖去一块小长方体，下面说法正确的是（    ）。 A．体积和表面积都减少了 B．体积减少，表面积不变 C．体积减少，表面积增加了 【答案】B 【分析】长方体表面积是6个面的面积和，从长方体的顶点上挖去一个小长方体，剩下的体积＝大长方体体积－挖去的小长方体体积；看上去表面减少了3个不同的面的面积，同时又增加了3个相同的面，因此表面积不变，据此分析。 【详解】从顶点上挖去一个小块后，体积减少了；表面减少了3个不同的面的面积，同时又增加了3个切面，即相当于相互抵消，实际上表面积不变；所以体积减少，表面积不变。 故答案为：B 3．把两个棱长为a厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．12a2 B．2a2 C．10a2 【答案】C 【分析】根据题意，把两个棱长为a厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积比两个正方体的表面积减少2个正方形的面积； 根据正方体的表面积公式S＝6a2，求出一个正方体的表面积，再乘2，求出两个正方体的表面积，然后减去2个正方形的面积，即是拼成的长方体的表面积。 【详解】6a2×2－2a2 ＝12a2－2a2 ＝10a2（平方厘米） 拼成的长方体的表面积是10a2平方厘米。 故答案为：C 4．一个长方体油箱，从里面量长5分米，宽4分米，高4分米。如果每升汽油的价格为6.2元，加满这个油箱一共要用（    ）元。 A．469 B．496 C．498 【答案】B 【分析】根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，求出这个长方体油箱的容积，1立方分米＝1升，把立方分米换算成升，再乘6.2，即可解答。 【详解】5×4×4 ＝20×4 ＝80（立方分米） 80立方分米＝80升 80×6.2＝496（元） 一个长方体油箱，从里面量长5分米，宽4分米，高4分米。如果每升汽油的价格为6.2元，加满这个油箱一共要用496元。 故答案为：B 5．一种饮料包装箱从里面量长28厘米、宽14厘米、高24厘米，要装底面直径是7厘米、高是12厘米的罐装饮料，最多能装（    ）罐。 A．12 B．16 C．20 【答案】B 【分析】先分别用长和宽除以直径求出长边装的罐数和宽边装的罐数，再用长方体的高除以饮料罐的高求出饮料罐的层数，再将三者个数相乘算出结果。 【详解】28÷7＝4（罐） 14÷7＝2（罐） 24÷12＝2（层） 4×2×2 ＝8×2 ＝16（罐） 则最多能装16罐。 故答案为：B 二、填空题 6．在括号里填上合适的单位。 一台冰箱的体积约是500（ ）；一听雪碧的容量约是330（ ）。 【答案】 立方分米/dm3 毫升/mL 【分析】根据生活经验、对体积单位、容积单位和数据大小的认识可知， 棱长1分米的正方体，体积是1立方分米，一个粉笔盒的体积约为1立方分米，所以计量冰箱的体积用“立方分米”作单位比较合适； 1毫升液体的体积就是1立方厘米，计量比较少的液体，通常用“毫升”作单位，所以计量一听雪碧的容量用“毫升”作单位比较合适。 【详解】一台冰箱的体积约是500立方分米； 一听雪碧的容量约是330毫升。 7．把一根长1m的长方体木棍截成3段，表面积增加20平方厘米，原来这根木棍的体积是（ ）平方厘米。 【答案】500 【分析】根据长方体木棍截成3段，要截两次，每截一次，会增加两个面，所以截两次，会增加4个横截面的面积，用增加的表面积除以4求出每个横截面的面积，再根据长方体的体积公式即可求出这根木棍的体积。 【详解】1米＝100厘米 20÷4＝5（平方厘米） 5×100＝500（平方厘米） 原来这根木棍的体积是（500）平方厘米。 8．一个长方体的横截面为边长是5cm的正方形，长方体的长是17cm，这个长方体可以截成（ ）个最大的正方体，增加的表面积是（ ）cm2。 【答案】 3 150 【分析】由题意可知，把长方体截成最大的正方体，则这个正方体的棱长为5cm，用长方体的长除以5即可求出这个长方体可以截成多少个最大的正方体；截一次则表面积比原来增加两个横截面的面积，据此计算即可。 【详解】17÷5＝3（个）⋯⋯2（cm） 则这个长方体可以截成3个最大的正方体，即共截了3次 5×5×（3×2） ＝25×6 ＝150（cm2） 则增加的表面积是150cm2。 9．用两个棱长是2.5cm的正方体木块拼成一个长方体，表面积减少了（ ）cm2。 【答案】12.5 【分析】拼接一次少两个边长为2.5厘米的正方形面，正方形的面积＝边长×边长。 【详解】2.5×2.5×2 ＝6.25×2 ＝12.5（平方厘米） 表面积减少了12.5平方厘米。 10．一个长方体，长9dm，宽6dm，棱长和为80dm，它的体积是（ ）dm3，表面积是（ ）m2。 【答案】 270 2.58 【分析】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，则长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，长方体的体积＝长×宽×高，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可。 【详解】高： 80÷4－9－6 ＝20－9－6 ＝11－6 ＝5（dm） 体积： 9×6×5 ＝54×5 ＝270（dm3） 表面积： （9×6＋9×5＋6×5）×2 ＝（54＋45＋30）×2 ＝129×2 ＝258（dm2） ＝2.58（m2） 体积是270dm3，表面积是2.58m2。 11．一个长方体容器，从里面量长、宽均为3分米，向容器里倒入9升水，把一个铁块放入水中，水上升了1.5厘米，则铁块的体积是（ ）立方分米。 【答案】1.35 【分析】根据不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，据此进行计算即可。 【详解】1.5厘米＝0.15分米 3×3×0.15 ＝9×0.15 ＝1.35（立方分米） 则铁块的体积是1.35立方分米。 12．用一根长36厘米的铁丝围成一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是（ ）厘米。 【答案】3 【分析】铁丝长度相当于正方体棱长总和，根据正方体棱长＝棱长总和÷12，列式计算即可。 【详解】36÷12＝3（厘米） 这个正方体框架的棱长是3厘米。 13．从一个长9厘米、宽8厘米、高7厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下的几何体的表面积是（ ）平方厘米。 【答案】284 【分析】从长方体中截下一个最大的正方体，正方体的棱长是长方体中最短的边。如图所示剩下几何体的表面积比原来长方体表面积少正方体上下2个面的面积。长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方形面积＝边长×边长，用长方体表面积减去2个正方形的面积即是剩下的几何体的表面积。 【详解】（9×8＋9×7＋8×7）×2－7×7×2 ＝（72＋63＋56）×2－98 ＝191×2－98 ＝382－98 ＝284（平方厘米） 则剩下的几何体的表面积是284平方厘米。 14．用3个完全相同的小正方体拼成一个长方体，如果小正方体的棱长是5cm，那么拼成的长方体的表面积是（ ）cm2，体积是（ ）cm3。其中一个小正方体的棱长总和是（ ）cm。 【答案】 350 375 60 【分析】（长×宽＋长×高＋宽×高）×2＝长方体的表面积；长×宽×高＝长方体的体积；正方体的棱长×12＝正方体的棱长总和。 【详解】拼成的长方体长是5×3＝15（cm），宽和高都是5cm； 长方体表面积：（15×5＋15×5＋5×5）×2 ＝（75＋75＋25）×2 ＝175×2 ＝350（cm2） 长方体体积：15×5×5 ＝75×5 ＝375（cm3） 一个小正方体棱长总和：5×12＝60（cm） 那么拼成的长方体的表面积是（350）cm2，体积是（375）cm3。其中一个小正方体的棱长总和是（60）cm。 15．2040cm3＝（ ）dm3      6.2L＝（ ）mL＝（ ）cm3 【答案】 2.04 6200 6200 【分析】1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L＝1000cm3；高级单位换算成低级单位，乘进率；低级单位换算成高级单位，除以进率，据此解答。 【详解】2040cm3＝2040÷1000＝2.04dm3 6.2L＝6.2×1000＝6200mL 6.2L＝6.2×1000＝6200cm3 6.2L＝6200mL＝6200cm3 16．要做一个底面周长是10cm、高是6cm的长方体框架，至少需要（ ）长的铁丝。 【答案】44cm/44厘米 【分析】已知长方体框架的底面周长是10cm，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可知，长、宽之和＝周长÷2； 求做一个长方体框架至少需要铁丝的长度，就是求长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算，即可求解。 【详解】底面的长、宽之和：10÷2＝5（cm） （5＋6）×4 ＝11×4 ＝44（cm） 至少需要44cm长的铁丝。 17．如图，正方体的棱长为10厘米，在它的一个面上挖去一个长10厘米、宽3厘米、高3厘米的长方体后，表面积是（ ）平方厘米。 【答案】642 【分析】通过观察可知，挖去后的立体图形面积比原来减少了左右两个边长为3厘米的正方形面积，增加了两个长为10厘米、宽为3厘米的长方形面积，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方形的面积＝边长×边长以及长方形的面积＝长×宽，用原来的正方体的表面积－两个边长为3厘米的正方形面积＋两个长为10厘米、宽为3厘米的长方形面积即可求出现在立体图形的表面积。 【详解】10×10×6－3×3×2＋10×3×2 ＝600－18＋60 ＝642（平方厘米） 表面积是642平方厘米。 三、判断题 18．棱长12厘米的正方体是棱长6厘米的正方体的体积的8倍。（ ） 【答案】√ 【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，代入棱长的数据，分别求出棱长12厘米的正方体的体积和棱长6厘米的正方体的体积，再相除即可得解。 【详解】12×12×12＝1728（立方厘米） 6×6×6＝216（立方厘米） 1728÷216＝8 即棱长12厘米的正方体是棱长6厘米的正方体的体积的8倍。 故答案为：√ 19．一个正方体的一条棱长为5厘米，这个正方体的棱长总和是20厘米。（ ） 【答案】× 【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，已知一个正方体的一条棱长为5厘米，代入数据即可求出正方体的棱长总和，据此解答。 【详解】5×12＝60（厘米） 即这个正方体的棱长总和是60厘米。 故答案为：× 20．棱长是6cm的正方体的表面积比体积大。（ ） 【答案】× 【分析】（1）意义不同，正方体的表面积是指组成正方体所有面的总面积，而正方体的体积是指正方体所占空间的大小； （2）计算方法不同，表面积＝a×a×6，而体积＝a×a×a； （3）计量单位不同，表面积用面积单位，而体积用体积单位。 【详解】物体的体积和表面积是两类不同的量，不能进行比较，原题说法错误。 故答案为：× 21．拼成一个稍大的正方体至少需要4个完全相同的小正方体。（ ） 【答案】× 【分析】假设一个小正方体的棱长为1厘米，其体积为立方厘米；拼成的大正方体的棱长最少由2个同样的小正方体组成，即稍大的正方体的棱长为2厘米，这个稍大的正方体的体积为立方厘米，所以这个稍大的正方体由个小正方体组成。 【详解】由分析可知，拼成一个稍大的正方体至少需要8个完全相同的小正方体，原题说法错误； 故答案为：× 22．一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，则表面积扩大到原来的6倍，体积扩大到原来的27倍。（ ） 【答案】× 【分析】正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，根据正方体表面积和体积公式，正方体的棱长扩大到原来的几倍，表面积扩大到原来的倍数×倍数，体积扩大到原来的倍数×倍数×倍数，据此分析。 【详解】3×3＝9 3×3×3＝27 一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，则表面积扩大到原来的9倍，体积扩大到原来的27倍，所以原题说法错误。 故答案为：× 四、计算题 23．计算下面长方体和正方体的表面积。           【答案】正方体的表面积是150dm2；长方体的表面积是3.92m2 【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6、长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入公式即可解答。 【详解】正方体的表面积：5×5×6 ＝25×6 ＝150（dm2） 长方体的表面积：（0.8×0.5＋0.8×1.2＋0.5×1.2）×2 ＝（0.4＋0.96＋0.6）×2 ＝1.96×2 ＝3.92（m2） 24．看如图求它的表面积与体积。（单位：dm） 【答案】236 dm2；232 dm3 【分析】由图可知：该图形的表面积＝大长方体的表面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入求值即可解答； 正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高，该图形的体积＝大长方体的体积－小正方体体积，将数据代入求值即可。 【详解】S：（8×6＋8×5＋6×5）×2 ＝118×2 ＝236（dm2） V：8×6×5－2×2×2 ＝240－8 ＝232（dm3） 五、解答题 25．一个长、宽、高分别为45厘米、35厘米、20厘米的长方体小纸箱，在所有的棱上粘上一圈胶带，至少需要多长的胶带？ 【答案】400厘米 【分析】长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4，由题意可知：要求所需胶带的长度即是求长方体纸箱的棱长之和；据此解答。 【详解】（45＋35＋20）×4 ＝（80＋20）×4 ＝100×4 ＝400（厘米） 答：至少需要400厘米的胶带。 26．一个长方体的饼干盒，长8厘米，宽6厘米，高10厘米。如果围着它四周贴商标纸（上、下面不贴），这张商标纸的面积至少有多少平方厘米？ 【答案】280平方厘米 【分析】上、下面不贴商标纸，求这张商标纸的面积，实际是求长方体4个侧面的面积，根据长方体的表面积公式：S＝2ah＋2bh，代入数据即可求出这张商标纸的面积。 【详解】8×10×2＋6×10×2 ＝80×2＋60×2 ＝160＋120 ＝280（平方厘米） 答：这张商标纸的面积至少有280平方厘米。 27．一个无盖的长方体的铁皮水桶底面是边长4分米的正方形，桶高60厘米，做一对这样的水桶，至少需要多少平方分米的铁皮？它们一共能盛水多少升？ 【答案】224平方分米；192升 【分析】要计算一个无盖的长方体水桶的铁皮面积，就是要求一个无盖的长方体的表面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，再减去一个边长是4分米的正方形面积，要求一对这样的水桶，用结果再乘2即可解答；要计算它们一共能盛水多少升，就是求这个长方体的体积，根据长方体＝长×宽×高，计算出一个长方体水桶的体积，再乘2就得到了一共盛水多少升，最后注意换算单位。据此解答即可。 【详解】60厘米＝6分米 （4×4＋4×6＋4×6）×2－4×4 ＝64×2－16 ＝128－16 ＝112（平方分米） 112×2＝224（平方分米） 4×4×6×2 ＝96×2 ＝192（立方分米） 192立方分米＝192升 答：做一对这样的水桶，至少需要224平方分米的铁皮，它们一共能盛水192升。 28．一根铁丝可以焊接成一个长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体框架，如果用它焊接成一个正方体框架，那么这个正方体框架的棱长是多少厘米？ 【答案】4厘米 【分析】根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，可计算出这根铁丝的长度；再根据正方体棱长总和＝棱长×12，据此可得出正方体的棱长。进而得出答案。 【详解】正方体框架棱长为： （厘米） 答：这个正方体框架的棱长是4厘米。 29．一个长方体水箱，从里面量长为8分米，宽为5分米，高为3分米，容器内水深26厘米。把一个棱长为3分米的正方体铁块放入水中，水箱的水会不会溢出？如果溢出，会溢出多少升水？ 【答案】会；11升 【分析】根据题意，长方体水箱高3分米，水深26厘米即2.6分米，那么水箱无水部分的高度是（3－2.6）分米；根据长方体的体积（容积）公式V＝abh，求出水箱无水部分的容积； 把一个棱长为3分米的正方体铁块放入水中，水面会上升，先根据正方体的体积公式V＝a3，求出铁块的体积； 然后把铁块的体积与水箱无水部分的容积进行比较，如果铁块的体积大于水箱无水部分的容积，则水会溢出，反之，不会溢出。若溢出，用铁块体积减去水箱无水部分的容积即可。 【详解】26厘米＝2.6分米 8×5×（3－2.6） ＝8×5×0.4 ＝16（立方分米） 3×3×3＝27（立方分米） 27＞16，水会溢出。 27－16＝11（立方分米） 11立方分米＝11升 答：水箱的水会溢出，会溢出11升水。 30．学校要粉刷一间会议室，会议室的长是15米，宽是8米，高是4米。扣除门窗和黑板的面积25.4平方米，粉刷的面积是多少平方米？ 【答案】278.6平方米 【分析】粉刷这间会议室，地板不刷，只要粉刷它的上面和前后左右面共5个面，再减去门窗和黑板的面积，因此粉刷面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2－门窗和黑板的面积，据此代入数据计算即可。 【详解】15×8＋（15×4＋8×4）×2－25.4 ＝120＋（60＋32）×2－25.4 ＝120＋92×2－25.4 ＝120＋184－25.4 ＝278.6（平方米） 答：粉刷的面积是278.6平方米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$