5.1导数的概念及其意义【6大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第二册)

5.1导数的概念及其意义 【考点梳理】 · 考点一：函数的平均变化率 · 考点二：瞬时变化率理解 · 考点三：导数（导函数）的理解 · 考点四：导数定义中的极限的简单计算 · 考点五：利用导数几何意义求斜率 · 考点六：导数意义的综合问题 【知识梳理】 知识01：瞬时速度的定义 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ . 知识02二：函数的平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 知识03：函数在某点处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ . 知识04：导数的几何意义 1．割线斜率与切线斜率 设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝. 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 知识05：导函数的定义 从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝ . 规律总结： 区别 联系 f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值 f′(x) f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数 【题型归纳】 题型一：函数的平均变化率 1．（23-24高二下·福建龙岩·期中）若函数，则函数从到的平均变化率为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 2．（23-24高二下·陕西渭南·期中）某质点沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·广东佛山·期中）已知函数的图象上一点及附近一点，则（    ） A． B．2 C． D． 题型二：瞬时变化率理解 4．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·重庆·期中）某物体的运动方程为（位移单位：，时间单位：），若，则下列说法中正确的是（    ） A．是物体从开始到这段时间内的平均速度 B．是物体从到这段时间内的速度 C．是物体在这一时刻的瞬时速度 D．是物体从到这段时间内的平均速度 6．（22-23高二下·宁夏银川）在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度单位：）是，则运动员在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 题型三：导数（导函数）的理解 7．（23-24高二下·河南·期中）若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．（22-23高二下·重庆·期末）若函数的满足，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 9．（22-23高二下·陕西渭南·期中）若函数在处的瞬时变化率为，且，则（    ） A．2 B．4 C． D． 题型四：导数定义中的极限的简单计算 10．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C． D．2 11．（23-24高二下·四川凉山·期中）设函数在处可导，且满足，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 12．（23-24高二下·河北保定·期末）若曲线 在 处的切线的斜率为，则 （      ） A． B． C． D．6 题型五：利用导数几何意义求斜率 13．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）设，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C．1 D．4 14．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（      ） A．1 B．3 C．6 D．9 15．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 题型六：导数意义的综合问题 16．（24-25高二上·全国）已知函数图象上两点，． (1)若割线的斜率不大于－1，求的取值范围； (2)求曲线在点处的切线方程． 17．（23-24高二下·北京·期中）已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且． (1)利用导数定义求函数的导数； (2)求直线、的方程． 18．（23-24高二下·山东德州·阶段练习）已知函数图像上两点. (1)若割线的斜率不大于，求的范围； (2)求及在点处的切线方程. 【高分达标】 一、单选题 19．（23-24高二下·江西萍乡·期中）设在上的导函数为，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 20．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，则（    ） A． B．1 C． D． 21．（24-25高二上·全国）已知函数，且，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 22．（23-24高二下·山东菏泽·期中）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二下·江西萍乡·期中）已知甲､乙两个小区在这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论，其中正确结论的个数为（    ） ①在这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢； ②在这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快； ③在时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢； ④乙小区在时刻的分出量比时刻的分出量增长得快． A．1 B．2 C．3 D．4 24．（23-24高二下·福建漳州·期末）设函数在附近有定义，且，为常数，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 25．（23-24高二下·四川广元·期中）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则下列说法正确的是（    ） A．前内球滚下的垂直距离的增量 B．在时间内球滚下的垂直距离的增量 C．前内球在垂直方向上的平均速度为 D．第时刻在垂直方向上的瞬时速度为 26．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 27．（22-23高二上·吉林·期末）某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中错误的是（    ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 C．18m/s是物体从3s到s这段时间内某一时刻的速度 D．18m/s是物体从3s到s这段时间内的平均速度 28．（23-24高二下·江西赣州·期中）如图，直线与曲线，，，均相交，则（    ） A． B． C． D． 30．（24-25高二下·全国·随堂练习）如图是某变量变化的折线图，则该变量在区间上的平均变化率为 ．    31．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点在曲线上，且曲线在点处的切线与曲线相切，则点的坐标为 ． 32．（22-23高二下·全国）若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是 ． 四、解答题 33．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知函数 (1)写出； (2)求出； (3)求出； (4)写出，， 34．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知函数． (1)求函数在区间上的平均变化率； (2)求函数在区间上的平均变化率． 35．（23-24高二下·河南驻马店·期中）已知曲线，求： (1)的导数； (2)曲线在点处的切线方程. 36．（23-24高二下·上海闵行）遥控飞机上升后一段时间内，第时的高度为，其中上升高度的单位为m，t的单位为s； (1)求飞机在时间段内的平均速度； (2)求飞机在时的瞬时速度. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1导数的概念及其意义 【考点梳理】 · 考点一：函数的平均变化率 · 考点二：瞬时变化率理解 · 考点三：导数（导函数）的理解 · 考点四：导数定义中的极限的简单计算 · 考点五：利用导数几何意义求斜率 · 考点六：导数意义的综合问题 【知识梳理】 知识01：瞬时速度的定义 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ . 知识02二：函数的平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 知识03：函数在某点处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ . 知识04：导数的几何意义 1．割线斜率与切线斜率 设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝. 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 知识05：导函数的定义 从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝ . 规律总结： 区别 联系 f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值 f′(x) f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数 【题型归纳】 题型一：函数的平均变化率 1．（23-24高二下·福建龙岩·期中）若函数，则函数从到的平均变化率为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】利用平均变化率的定义可得答案. 【详解】因为，所以，， 故函数从到的平均变化率为. 故选：B. 2．（23-24高二下·陕西渭南·期中）某质点沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均速度的计算方法，列式计算，即可得答案. 【详解】由题意知位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为， 则该质点在这段时间内的平均速度为（）. 故选：A 3．（23-24高二下·广东佛山·期中）已知函数的图象上一点及附近一点，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据和概念进行运算即可. 【详解】由题有： . 故选：D. 题型二：瞬时变化率理解 4．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据瞬时速度的定义结合导数的定义直接求解即可. 【详解】因为时刻该物体的瞬时速度为， 所以. 故选：C 5．（23-24高二下·重庆·期中）某物体的运动方程为（位移单位：，时间单位：），若，则下列说法中正确的是（    ） A．是物体从开始到这段时间内的平均速度 B．是物体从到这段时间内的速度 C．是物体在这一时刻的瞬时速度 D．是物体从到这段时间内的平均速度 【答案】C 【分析】根据瞬时速度的定义即可得解. 【详解】由， 可知，是物体在这一时刻的瞬时速度. 故选：C 6．（22-23高二下·宁夏银川·阶段练习）在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度单位：）是，则运动员在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据瞬时速度的定义直接求解即可． 【详解】 运动员在时的瞬时速度即为，令， 根据导数的定义， ， 所以， 故运动员在时的瞬时速度为. 故选：A． 题型三：导数（导函数）的理解 7．（23-24高二下·河南·期中）若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据导数的定义计算即可求解. 【详解】由题意知，， 则. 故选：D 8．（22-23高二下·重庆·期末）若函数的满足，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】由极限的定义化简即可求出答案. 【详解】因为， 所以 故选：D 9．（22-23高二下·陕西渭南·期中）若函数在处的瞬时变化率为，且，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】 根据导数的定义，直接代入求值. 【详解】根据导数的定义可知， . 故选：B 题型四：导数定义中的极限的简单计算 10．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】解：因为， 所以，即， 所以， 故选：B 11．（23-24高二下·四川凉山·期中）设函数在处可导，且满足，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】由导数的概念求解即可得. 【详解】. 故选：B. 12．（23-24高二下·河北保定·期末）若曲线 在 处的切线的斜率为，则 （      ） A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据导数的定义和性质即可求解. 【详解】, 故选：D 题型五：利用导数几何意义求斜率 13．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）设，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】利用导数的定义，化简整理，可得，根据导数的几何意义，即可求得答案. 【详解】因为 =， 所以， 则曲线在点处的切线斜率为， 故选：A 14．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（      ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用导数的定义及几何意义求解即得. 【详解】依题意，，则，即， 所以曲线在点处的切线的斜率是9. 故选：D 15．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的定义和几何意义就可以求出切线斜率，然后即可得切线方程. 【详解】由可得：，即， 根据导数的定义可知：， 又根据导数的几何意义可知：在点处的切线斜率， 所以过点处的切线方程为：，即， 故选：A. 题型六：导数意义的综合问题 16．（24-25高二上·全国）已知函数图象上两点，． (1)若割线的斜率不大于－1，求的取值范围； (2)求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由可得结果； （2）根据计算可得结果. 【详解】（1）由题意得，割线的斜率为 由，得． 又因为，所以的取值范围是． （2）由（1）可得函数的图象在点(2，)处的切线的斜率为． 又，所以所求切线方程为，即． 17．（23-24高二下·北京·期中）已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且． (1)利用导数定义求函数的导数； (2)求直线、的方程． 【答案】(1) (2)：；： 【分析】（1）结合导数的定义及极限的运算性质计算可得； （2）结合（1）求出直线的斜率，即可求出直线的方程，设的切点为，利用导数的几何意义及两直线垂直斜率之积为，求出，从而得到切点坐标，再由点斜式求出切线方程. 【详解】（1）因为， 所以； （2）点满足曲线，即为直线的切点， 直线的斜率为， 故直线的方程为，即； 又为该曲线的另一条切线，设该切点为，则， 因为，所以，解得，所以， 即切点为，切线的斜率为， 故的方程为，即． 18．（23-24高二下·山东德州·阶段练习）已知函数图像上两点. (1)若割线的斜率不大于，求的范围； (2)求及在点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两点斜率公式求割线的斜率，由条件列不等式求的范围； （2）根据导数的定义求，结合导数的几何意义求在点处的切线方程. 【详解】（1）由题意得，割线AB的斜率 ， 由，得，又 所以的取值范围是. （2）由（1）知函数在时的导数为， 又， 由导数的几何意义可得函数在点处的切线斜率为， 所以函数在点处的切线的方程为，即. 【高分达标】 一、单选题 19．（23-24高二下·江西萍乡·期中）设在上的导函数为，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【分析】由已知结合导数定义即可求解. 【详解】由于，则. 故选：C. 20．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由条件可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，，则， 所以. 故选：A 21．（24-25高二上·全国）已知函数，且，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】∵， ∴， ∴，，解得． 故选：D. 22．（23-24高二下·山东菏泽·期中）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据在某点处的导数的定义即可求解. 【详解】由题得. 故选：B. 23．（23-24高二下·江西萍乡·期中）已知甲､乙两个小区在这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论，其中正确结论的个数为（    ） ①在这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢； ②在这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快； ③在时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢； ④乙小区在时刻的分出量比时刻的分出量增长得快． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据图象的性质，结合图象的变化快慢，即可判断选项. 【详解】①在这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢，故①正确； ②在这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快,故②正确； ③在时刻，乙的图象比甲的图象陡，所以乙的瞬时增长快，故③正确； ④乙小区在时刻比在时刻陡，所以在时刻的分出量比时刻的分出量增长得快，故④正确. 故选：D 24．（23-24高二下·福建漳州·期末）设函数在附近有定义，且，为常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知条件化为，然后使用导数的定义即可得到结果. 【详解】在中用替换，知. 所以. 故. 故选：D. 二、多选题 25．（23-24高二下·四川广元·期中）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则下列说法正确的是（    ） A．前内球滚下的垂直距离的增量 B．在时间内球滚下的垂直距离的增量 C．前内球在垂直方向上的平均速度为 D．第时刻在垂直方向上的瞬时速度为 【答案】BCD 【分析】利用函数关系式计算可判定A、B，由平均速度、瞬时速度的求法可判定C、D选项. 【详解】前内，，， 此时球在垂直方向上的平均速度为，A错误；C正确； 在时间内，，，B正确； ，，则第2s时刻在垂直方向上的瞬时速度为， D正确． 故选：BCD． 26．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用导数的定义逐个求解. 【详解】，故A错； ，故B对； ，由导数的定义知C对； ，故D对； 故选：BCD 27．（22-23高二上·吉林·期末）某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中错误的是（    ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 C．18m/s是物体从3s到s这段时间内某一时刻的速度 D．18m/s是物体从3s到s这段时间内的平均速度 【答案】ACD 【分析】由瞬时速度定义可得答案. 【详解】因表示秒这一时刻的瞬时速度，则表示在3s这一时刻的瞬时速度，故不选B，选ACD. 故选：ACD 28．（23-24高二下·江西赣州·期中）如图，直线与曲线，，，均相交，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据导数的定义和几何意义判断即可. 【详解】， ， 由图可知，且曲线在处比曲线更陡峭， 曲线在处比曲线更陡峭， 所以， 所以A，B，D选项正确，C错误， 故选：ABD. 三、填空题 29．（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知函数在上存在导数，且，则 . 【答案】 【分析】根据条件，利用导数的定义，即可求出结果. 【详解】因为， 又，所以， 故答案为：. 30．（24-25高二下·全国·随堂练习）如图是某变量变化的折线图，则该变量在区间上的平均变化率为 ．    【答案】/0.75 【分析】根据图象求解函数表达式，即可由平均变化率的计算公式求解. 【详解】由图可知在上的函数表达式为，即可， 故当时，， 在上的函数表达式为，即可， 当 在区间上的平均变化率为， 故答案为： 31．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点在曲线上，且曲线在点处的切线与曲线相切，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】先根据题干中的题意求出曲线在点处的切线，又切线与曲线相切，联立切线和曲线方程利用即可得到结果. 【详解】设，则， 易得曲线在点处的切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 又因为该直线与曲线相切， 所以该直线与曲线只有一个公共点． 由得， 则， 解得，则， 所以点的坐标为或． 故答案为：或 32．（22-23高二下·全国·课后作业）若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】利用导数定义求出，设，根据垂直得出切线斜率为，则可得，进而求出点坐标. 【详解】设，则 ， 因为点处的切线垂直于直线， 所以点处的切线的斜率为， 所以，解得，则， 即点的坐标是． 故答案为： 四、解答题 33．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知函数 (1)写出； (2)求出； (3)求出； (4)写出，， 【答案】(1) (2) (3) (4)，， 【分析】（1）代入直接计算即可； （2）直接作商即可求解； （3）直接进行简单极限运算； （4）利用导函数概念求解导函数，代入法求解，. 【详解】（1） ； （2）； （3）； （4）由（2）知， 则，. 34．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知函数． (1)求函数在区间上的平均变化率； (2)求函数在区间上的平均变化率． 【答案】(1) (2)8.02 【分析】（1）利用平均变化率的定义求解． （2）由（1）可知，令即可求解结果． 【详解】（1） ， 函数在区间上的平均变化率为． （2）由（1）可知在区间上的平均变化率为， 当，时， ， 即函数在区间上的平均变化率为8.02． 35．（23-24高二下·河南驻马店·期中）已知曲线，求： (1)的导数； (2)曲线在点处的切线方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用导数的定义，结合解析式，求解即可； （2）根据（1）中所求导数，结合导数的几何意义以及直线的点斜式方程，直接求解即可. 【详解】（1）； 故； 则． 故． （2）切线的斜率为函数在处的导数，又， 所以曲线在点的切线方程为，即. 36．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）遥控飞机上升后一段时间内，第时的高度为，其中上升高度的单位为m，t的单位为s； (1)求飞机在时间段内的平均速度； (2)求飞机在时的瞬时速度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平均变化率计算； （2）根据瞬时变化率计算． 【详解】（1）. （2）第末的瞬时速度为 . 因此，第末的瞬时速度为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$