8.2圆锥及其侧面展开图讲义2024-2025学年沪教版（五四制）六年级数学下册

圆锥及其侧面展开图（1） 知识通关 知识一、圆锥的形成 如下图，直角三角形ABC（∠C为直角），以它的一条直角边AC所在的直线为轴顺时针（或逆时针）方向旋转一周，所形成的立体图形叫做圆锥。 知识二、圆锥的组成和特征 如下图，我们把这个圆形的面叫作圆锥的底面，P叫作圆锥的顶点，夹在顶点和底面之间的曲面叫作圆锥的侧面。顶点P和底面圆心O的距离叫作圆锥的高，连接圆锥顶点与底面圆上任意一点的线段都叫作圆锥的母线。 知识三、圆锥的侧面展开图 沿着圆锥的任意一条母线（AB）把它的侧面剪开，得到的是一个扇形，这样得到的平面图形叫作圆锥的侧面展开图。 ①扇形的半径等于圆锥的母线 ②扇形的弧长等于圆锥的底面周长． 知识四、圆锥的侧面积 设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，侧面展开图的圆心角为n°，则 = 2πr，可得 n = 360· ，所以圆锥的侧面积S侧 = · π · l² =360 · · = πrl = · 2πrl 这就得到结论：圆锥的侧面积等于它的底面周长和母线长的乘积的一半，即 S侧＝ Cl＝πrl． 其中，S侧表示圆锥的侧面积，C、r和l分别表示它的底面周长，底面半径和母线长。 知识五、圆锥的表面积 S表＝S底+S侧＝πr2+πrl 知识点六、化曲为直法 “化曲为直”是把曲面（圆锥的侧面）展开成平面（扇形，即圆锥的侧面展开图），利用（两点之间线段最短）来解决路程最短问题。 题型归纳 题型一、圆锥的认识 【例1】判断下列各图形是不是圆锥？（是的画“√”，不是的画“×”。） ( )  ( )    ( )   ( ) 【练习1-1】在圆锥的下面画“√”，在圆柱的下面画“×”。 题型二、求圆锥的侧面积 【例2】某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【变式2-1】如图，圆锥的底面半径OB为3，高AO为4，则圆锥侧面积是 ．    【变式2-2】已知圆锥的底面半径r为3，母线l长为5，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】将圆心角为的扇形围成一个圆锥，若底面圆的直径为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】若圆锥的底面半径为2，母线长为8，则圆锥的侧面积为 ． 【变式2-5】如图，在中，，以所在直线为轴，把旋转1周，得到一个圆锥，这个圆锥的侧面积为 ． 【变式2-6】化学实验中使用的锥形漏斗起着过滤的作用，如图把漏斗抽象成圆锥，若圆锥的母线长为5 cm，底面圆的直径长为 6 cm，则其侧面积为15πcm². 【变式2-7】如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为（　　） A．4π B．6π C．12π D．16π 【变式2-8】已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（       ） A．36πcm² B．24πcm² C．16πcm² D．12πcm² 【变式2-9】已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则它的侧面展开图的面积是（　　） A．6 B．12 C．6π D．12π 【变式2-10】已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（　　） A．15πcm2 B．15cm2 C．20πcm2 D．20cm2 【变式2-11】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为, 扇形的圆心角的度数是120°，则圆锥的侧面积为 （结果保留）．    【变式2-12】如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为 　 　cm2．（结果保留π） 【变式2-13】有一个圆锥形的零件，底面半径长为4cm，母线长为10cm，用一张扇形铁皮恰好能将这个零件的侧面包裹住（接缝忽略不计），这张扇形铁皮的面积是 　 　cm2． 【变式2-14】将圆心角为的扇形围成一个圆锥，若底面圆的直径为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2-15】某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【变式2-16】圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为 ．（结果保留π） 【变式2-17】如果圆锥的底面圆的周长是，侧面展开后所得的扇形的圆心角为，求该圆锥的侧面积和全面积． 题型三、求圆锥的底面半径、直径、周长或面积 【例3】已知一圆锥侧面展开图如图所示，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B．1 C．π D．2 【练习3-1】用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式3-2】将圆心角为，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 ． 【变式3-3】已知圆锥的母线长是5cm，侧面积是15πcm²，则这个圆锥底面圆的半径是（ ） A．1.5cm B．3cm C．4cm D．6cm 【变式3-4】如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（    ）    A．4π B．6π C．8π D. 16π 【变式3-5】已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3cm的扇形，则这个圆锥的底面圆周长是___________cm． 【变式3-6】一个圆锥的母线长为3cm，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则这个圆锥的底面圆半径为 （　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【变式3-7】现有一个半径为7cm的半圆形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为_________cm． 【变式3-8】已知圆锥侧面展开图圆心角的度数是120°，母线长为3，则圆锥的底面圆的半径是_________． 【变式3-9】如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-10】用一个圆心角为90°，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式3-11】如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面积为（　　） A．4πcm2 B．6πcm2 C．9πcm2 D．12πcm2 【变式3-12】如图，小明用图中的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的圆心角为216°，半径是5cm，那么这个圆锥的底面半径是 　 　． 【变式3-13】用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式3-14】已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥的母线长为2，则圆锥的底面半径是（   ） A． B．1 C． D． 【变式3-15】将圆心角为，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 ． 【变式3-16】一个母线长为的圆锥，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径是 ． 题型四、求母线长 【例4】圆锥的展开图的面积为200πcm²，圆锥母线与底面圆的半径之比为2 : 1，则母线长为（    ）cm． A．10 B．20 C． D． 【变式4-1】已知圆锥的底面圆半径为，侧面积为则这个圆锥的母线长为? 【变式4-2】如图，用一个圆心角为θ的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为8π的圆锥体，则该扇形的母线的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-3】圆锥的侧面展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为 ． 【变式4-4】如图，已知圆锥底面半径为，其侧面展开图面积是，则该圆锥的母线长为 ． 题型五、求圆锥侧面展开图的圆心角 【例5】如图，用一个圆心角为θ的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为8π的圆锥，则该扇形的圆心角为θ为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为8πcm，侧面积为72πcm²，则这个扇形的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm，母线长是12cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ． 【变式5-3】如图，用一个半径为12cm，面积为48πcm²的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗）． (1)求扇形的圆心角的度数； (2)求圆锥的底面半径r． 【变式5-4】已知圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则圆锥侧面展开图的圆心角为 　 　° 【变式5-5】若圆锥侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是 （ ） （A）120° （B）135° （C）150° （D）180° 【变式5-6】若圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，则它的侧面展开图的圆心角是　 　． 【变式5-7】如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为为（   ） A． B． C． D． 【变式5-8】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式5-9】若一个圆锥的底面圆的周长是，母线长是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ． 【变式5-10】数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽．若圆锥的底面圆的半径为1分米，母线长为4分米，则该圆锥侧面展开图的圆心角为 【变式5-11】如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗）． (1)求扇形的圆心角的度数； (2)求圆锥的底面半径． 【变式5-12】若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 ． 题型六、求圆锥的表面积 【例6】如图，一个圆锥的底面半径为6 cm，母线长为10 cm.求这个圆锥的侧面积和表面积. 【变式6-1】如图，已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为9 cm，圆心角为120°的扇形.求： (1) 圆锥的底面半径； (2) 圆锥的表面积. 题型七、求组合图形的表面积（含圆锥） 【例7】如图，一个蒙古包可以近似地看作一个圆锥和圆柱的组合体.已知圆柱的高h1＝6 m，圆锥的高h2＝4 m，r＝3 m，求此蒙古包(含底面圆)的表面积. 【变式7-1】如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝13 cm，一条直角边AC＝5 cm，以直线AB为轴旋转一周得一个几何体，则这个几何体的表面积为多少？ . 题型八、圆锥的实际应用问题 【例8】如图，如果从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的底面半径为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式8-1】某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（    ）  A． B． C． D． 【变式8-2】如图，圆锥的底面圆直径为，母线长为，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为________． 【变式8-3】小红用图中所示的扇形纸片制作一个圆锥形容器（接缝忽略不计）的侧面，已知扇形纸片的半径为5cm，圆心角为240°，那么这个圆锥形容器底面半径为 　 　cm． 【变式8-4】要制造一个如图所示的粮仓，其上部是圆锥，下部是圆柱，如果每平方米需用铁皮（底部不用铁皮，接头忽略不计），根据图中数据，求制作该粮仓大约需要多少铁皮？（，精确到） 【变式8-5】如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（　　） A．80cm2 B．40cm2 C．80πcm2 D．40πcm2 【变式8-6】如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长为（    ） A． B． C． D． 【变式8-7】用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． 【变式8-8】一个圆锥形的烟囱帽的侧面积为2000cm²，母线长为 50cm，那么这个烟囱帽的底面直径为 ． 题型九、综合型问题【提高】 【例9】把一个圆心角为120°，半径为9cm的扇形纸片，通过用胶水粘贴制作成了一个底面周长为4πcm的圆锥侧面，如图所示，则圆锥上粘贴部分（图中阴影部分）的面积是______cm2．（　　） A．8π B．9π C．19π D．27π 题型十、沿高线切割引起的表面积变化【提高】 【例10】一个圆锥的底面周长是25.12cm，高是4cm．从顶点沿高把它切成相等的两半，表面积增加了 　 　cm2 题型十一、圆锥的侧面上最短路径问题【提高】 【例11】如图，圆锥的底面半径是2，母线长是6. (1)圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数为120°； (2)如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，这根绳子的最短长度为________. 【变式11-1】如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，SB＝6，AB＝4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（　　） A．5 B． C． D． 课堂训练 【变式训练1 求圆锥的侧面积】 1．一个圆锥的底面半径的长为3，母线的长为15，则侧面展开图的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，圆锥底面圆的半径r为，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个圆心角θ为的扇形，则圆锥的侧面积为 ．（用含的式子表示） 【变式训练2 求圆锥底面半径】 1．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为6的扇形，这个圆锥的底面圆的直径为（    ） A． B． C．5 D．12 2．用一个圆心角为，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的直径为 ． 【变式训练4 求圆锥侧面展开图的圆心角】 1．如图，圆锥的底面半径为，母线的长为，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为（）度． A．120 B．150 C．135 D．125 2．圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 °． 1．若圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积的比为（    ） A． B． C． D． 2．如图，以正方形纸片的顶点A为圆心，长为半径画弧，用这个纸片制作一个无底的圆锥．若正方形的边长为1，则圆锥底面的半径为（　　） A． B． C． D．1 3．小亮在手工制作课上，用半径为，圆心角为的扇形彩纸围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面积为 ． 4．如图，现有圆心角为的一个扇形纸片，该扇形的半径为．小红同学为了在“圣诞”节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是 度；圆锥的侧面积是 ． 综合题型 1.如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥． (1)若圆锥的母线长为，求圆锥的侧面积． (2)若圆锥底面圆的半径为，求扇形的半径． 2.一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为120°的扇形，求： （1）圆锥的底面半径； （2）圆锥的全面积. 3.如图，现有圆心角为的一个扇形纸片，该扇形的半径为．小红同学为了在“圣诞”节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是 度；圆锥的侧面积是 ． 4．云南十八怪，草帽当锅盖．使用草编的锅盖蒸米饭，不传热、不吸水、透气性好，搭配攀枝花木甑子，蒸出的米饭香气浓郁，满是家的味道．某同学发现家里的草帽锅盖可以近似看作一个圆锥，测量得母线长为，高度为，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长等于（    ） A． B． C． D． 5．若圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积的比为（    ） A． B． C． D． 6.如图，用一个半径为12 cm，面积为48π cm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗). (1)求扇形的圆心角的度数； (2)求圆锥的底面半径r. 7.圆锥的底面直径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角是 ，这个圆锥的全面积是 ． 9．如图，现有圆心角为的一个扇形纸片，该扇形的半径为．小红同学为了在“圣诞”节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是_____度；圆锥的侧面积是 ． 10．如图，已知扇形的圆心角为120°，半径为6cm． (1)求扇形的弧长；（结果保留π） (2)如图所示，若把扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高．（结果保留根号） 11. 如图，已知圆锥的底面半径为，母线长为．求它的侧面展开扇形的圆心角的度数和它的表面积． 课后作业 一、单选题（每小题4分.共32分） 1．已知圆锥的底面直径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（　　） A． B． C． D． 2．一个圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 5．为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（    ） A． B． C． D． 6．如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分。共20分） 9．圆锥的底面圆的半径为2，母线长为7，则圆锥的侧面积 ． 11．小宁要制作一个圆锥形冰激凌包装纸筒，其底面圆的半径是．他先在一张纸片上，以点为圆心，为半径画一个扇形，再将扇形剪下围成一个圆锥，则所画扇形的圆心角 ．    三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分） 14．用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示 ． (1)求圆锥的高； (2)求所需铁皮的面积（结果保留）． 18．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，求这个圆锥侧面展开图的圆心角． 19．如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的半径为4m，高为3m． (1)求这个圆锥的母线长； (2)为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？（π取3.14，结果精确到1m2） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 圆锥及其侧面展开图（1） 知识通关 题型归纳 题型一、圆锥的认识 【例1】判断下列各图形是不是圆锥？（是的画“√”，不是的画“×”。） ( √ )   ( × )    ( √ )   ( × ) 【练习1-1】在圆锥的下面画“√”，在圆柱的下面画“×”。 ( × )  ( × )    ( × )   ( × )  ( √ )  题型二、求圆锥的侧面积 【例2】某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公式计算即可求解，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：圆锥的底面圆周长为厘米， ∴圆锥的侧面积为平方厘米， 故选：． 【变式2-1】如图，圆锥的底面半径OB为3，高AO为4，则圆锥侧面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的母线和侧面积公式是关键． 先求圆锥的母线，再根据公式求侧面积． 【详解】解：由勾股定理得：母线， ． 故答案为：． 【变式2-2】已知圆锥的底面半径r为3，母线l长为5，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键． 【详解】解：， 故选B． 【变式2-3】将圆心角为的扇形围成一个圆锥，若底面圆的直径为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积，扇形弧长公式；利用圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆周长，先求出圆锥母线长，再求出侧面积即可． 【详解】解：设圆锥母线长为l，则有：， 解得：， 则圆锥侧面积为：， 故选：B． 【变式2-4】若圆锥的底面半径为2，母线长为8，则圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了圆锥的侧面积的计算公式，熟记关于底面半径和母线长的圆锥的侧面积公式为底面半径母线长是解决本题的关键． 【详解】解：圆锥的侧面积=， 故答案为：． 【变式2-5】如图，在中，，以所在直线为轴，把旋转1周，得到一个圆锥，这个圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥侧面积的计算，掌握圆锥的定义以及侧面积计算公式成为解题的关键． 先根据勾股定理求解得到的母线长，再运用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：由已知得，圆锥母线长，底面圆的半径r为8， ∴圆锥的侧面积是． 故答案为：． 【变式2-6】化学实验中使用的锥形漏斗起着过滤的作用，如图把漏斗抽象成圆锥，若圆锥的母线长为5 cm，底面圆的直径长为 6 cm，则其侧面积为15πcm². 【变式2-7】如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为（　　） A．4π B．6π C．12π D．16π 【变式2-8】已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（       ） A．36πcm² B．24πcm² C．16πcm² D．12πcm² 【变式2-9】已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则它的侧面展开图的面积是（　　） A．6 B．12 C．6π D．12π 【变式2-10】已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（　　） A．15πcm2 B．15cm2 C．20πcm2 D．20cm2 【变式2-11】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为, 扇形的圆心角的度数是120°，则圆锥的侧面积为 （结果保留）．    【变式2-12】如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为 　 　cm2．（结果保留π） 【变式2-13】有一个圆锥形的零件，底面半径长为4cm，母线长为10cm，用一张扇形铁皮恰好能将这个零件的侧面包裹住（接缝忽略不计），这张扇形铁皮的面积是 　 　cm2． 【解答】解：设这张扇形铁皮的面积是S， 由题意得，S＝πrl＝π×4×10＝40π（cm2）， 故答案为：40π． 【变式2-14】将圆心角为的扇形围成一个圆锥，若底面圆的直径为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积，扇形弧长公式；利用圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆周长，先求出圆锥母线长，再求出侧面积即可． 【详解】解：设圆锥母线长为l，则有：， 解得：， 则圆锥侧面积为：， 故选：B． 【变式2-15】某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公式计算即可求解，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：圆锥的底面圆周长为厘米， ∴圆锥的侧面积为平方厘米， 故选：． 【变式2-16】圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】此题考查了圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积． 故答案为：． 【变式2-17】如果圆锥的底面圆的周长是，侧面展开后所得的扇形的圆心角为，求该圆锥的侧面积和表面积． 答案】该圆锥的侧面积为，全面积为 【分析】根据底面周长可求得底面半径，进而可求得底面积，根据扇形的弧长=圆锥的底面周长可得到母线长，进而求得侧面积． 【详解】解：设底面半径为r，母线长为R，则底面周长， 所以， ∴底面面积， ∵， ∴， ∴侧面面积， 所以表面积． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算，牢记圆锥的侧面积公式是解答本题的关键．如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么圆锥的侧面积等于． 题型三、求圆锥的底面半径、直径、周长或面积 【例3】已知一圆锥侧面展开图如图所示，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B．1 C．π D．2 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长列方程即可． 【详解】解：依题意， 解得： 故选：B． 【变式3-1】用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查求圆锥的底面直径，熟记公式的灵活应用是解题的关键．先利用弧长公式求出扇形的弧长即圆锥的底面周长，再根据圆的周长公式求出直径即可． 【详解】解：扇形的弧长：， 则圆锥的底面直径：． 故选：B． 【变式3-2】将圆心角为，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了圆锥的计算，掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面的周长是解题的关键．设圆锥的底面圆半径为，根据弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】设圆锥的底面圆半径为， 根据题意得， 解得：， 即这个圆锥的底面圆半径为1． 故答案为：1． 【变式3-2】将圆心角为，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 ． 【变式3-3】已知圆锥的母线长是5cm，侧面积是15πcm²，则这个圆锥底面圆的半径是（ ） A．1.5cm B．3cm C．4cm D．6cm 【变式3-4】如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（    ）    A．4π B．6π C．8π D. 16π 【变式3-5】已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3cm的扇形，则这个圆锥的底面圆周长是___________cm． 【变式3-6】一个圆锥的母线长为3cm，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则这个圆锥的底面圆半径为 （　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【变式3-7】现有一个半径为7cm的半圆形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为_________cm． 【变式3-8】已知圆锥侧面展开图圆心角的度数是120°，母线长为3，则圆锥的底面圆的半径是_________． 【变式3-9】如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-10】用一个圆心角为90°，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式3-11】如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面积为（　　） A．4πcm2 B．6πcm2 C．9πcm2 D．12πcm2 【解答】解：由弧长公式可知：＝＝4π ∴底面圆的周长为4π， 设底面圆的半径为CD＝r， ∴4π＝2πr ∴r＝2， ∴圆锥的底面积为π×22＝4π， 故选：A． 【变式3-12】如图，小明用图中的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的圆心角为216°，半径是5cm，那么这个圆锥的底面半径是 　 　． 【解答】解：设这个圆锥的底面半径为r，根据题意得， ， 其中n＝216，l＝5， ∴， 故答案为：3cm． 【变式3-13】用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查求圆锥的底面直径，熟记公式的灵活应用是解题的关键．先利用弧长公式求出扇形的弧长即圆锥的底面周长，再根据圆的周长公式求出直径即可． 【详解】解：扇形的弧长：， 则圆锥的底面直径：． 故选：B． 【变式3-14】已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥的母线长为2，则圆锥的底面半径是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】此题是圆锥的计算，主要考查了圆锥的侧面积和底面积公式，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长． 设出圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积和底面积之间的倍数关系求得圆锥的底面半径即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为， 根据题意得：， 解得：． 故选：B． 【变式3-15】将圆心角为，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了圆锥的计算，掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面的周长是解题的关键．设圆锥的底面圆半径为，根据弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】设圆锥的底面圆半径为， 根据题意得， 解得：， 即这个圆锥的底面圆半径为1． 故答案为：1． 【变式3-16】一个母线长为的圆锥，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径是 ． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 本题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，掌握扇形的弧长等于圆锥底面周长是解题的关键． 【详解】解：设这个圆锥的底面半径为， 由题意可得：， 解得：， 故答案为：． 题型四、求母线长 【例4】圆锥的展开图的面积为200πcm²，圆锥母线与底面圆的半径之比为2 : 1，则母线长为（    ）cm． A．10 B．20 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆锥的侧面积，设圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，则：母线长为，由题意，得： ， ∴（负值舍去）， ∴母线长为； 故选：B． 【变式4-1】已知圆锥的底面圆半径为，侧面积为，则这个圆锥的母线长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是圆锥的计算，熟记扇形面积公式是解题的关键．根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 由题意得：， 解得：， ∴这个圆锥的母线长为 故答案为：5． 【变式4-2】如图，用一个圆心角为θ的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为8π的圆锥体，则该扇形的母线的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：设圆锥的母线长为l， 由题意得：2πl＝8π， 解得：l＝4， 故选：D． 【变式4-3】圆锥的侧面展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为 ． 【答案】/厘米 【分析】本题考查圆锥的侧面积，设圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，则：母线长为， 由题意，得：， ∴（负值舍去）， ∴母线长为． 故答案为：． 【变式4-4】如图，已知圆锥底面半径为，其侧面展开图面积是，则该圆锥的母线长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求得圆锥的底面周长，然后根据“圆锥的侧面积=底面周长×母线长”即可到关于母线长的方程，解方程求得母线长． 【详解】圆锥的底面周长是：， 设圆锥的母线长是，则， 解得：； 故答案为：12． 题型五、求圆锥侧面展开图的圆心角 【例5】如图，用一个圆心角为θ的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为8π的圆锥，则该扇形的圆心角为θ为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数，根据圆锥侧面积计算公式，得出，进而根据弧长公式进行求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为， ∵ ∴ ∴ 解得： 故选：C． 【变式5-1】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为8πcm，侧面积为72πcm²，则这个扇形的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆锥的计算，根据圆锥底面周长与展开后所得的扇形的弧长相等，圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等，利用扇形面积公式与弧长公式计算即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为cm，扇形的圆心角为， ∵圆锥的底面圆周长为cm， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为cm， 由题意得：，解得：， 则，解得，即扇形的圆心角为， 故答案为：B． 【变式5-2】若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm，母线长是12cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查求圆锥展开图的圆心角的度数，设圆心角的度数为，根据圆锥底面圆的周长为展开图扇形的弧长，列出方程求解即可． 【详解】解：设圆心角的度数为，由题意，得：， 解得：， ∴圆心角的度数为； 故答案为：． 【变式5-3】如图，用一个半径为12cm，面积为48πcm²的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗）． (1)求扇形的圆心角的度数； (2)求圆锥的底面半径r． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （1）先求出半径为的圆面积，结合面积为的扇形，即可作答． （2）利用圆锥的侧面展开图为一扇形，结合弧长公式：，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到，然后解方程求出r即可． 【详解】（1）解：∵一个半径为，面积为的扇形铁皮 ∴ ∴扇形的圆心角的度数为； （2）解：根据题意得 解得． 所以圆锥的底面半径r为 【变式5-4】已知圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则圆锥侧面展开图的圆心角为 　 　° 【变式5-5】若圆锥侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是 （ ） （A）120° （B）135° （C）150° （D）180° 【变式5-6】若圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，则它的侧面展开图的圆心角是　 　． 【解答】解：圆锥的底面周长是：2×1π＝2π， 设圆心角的度数是n°，则， 解得：n＝120． 故侧面展开图的圆心角的度数是120°． 故答案是：120°． 【变式5-7】如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数，根据圆锥侧面积计算公式，得出，进而根据弧长公式进行求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为， ∵ ∴ ∴ 解得： 故选：C． 【变式5-8】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆锥的计算，根据圆锥底面周长与展开后所得的扇形的弧长相等，圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等，利用扇形面积公式与弧长公式计算即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为cm，扇形的圆心角为， ∵圆锥的底面圆周长为cm， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为cm， 由题意得：，解得：， 则，解得，即扇形的圆心角为， 故答案为：B． 【变式5-9】若一个圆锥的底面圆的周长是，母线长是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查求圆锥展开图的圆心角的度数，设圆心角的度数为，根据圆锥底面圆的周长为展开图扇形的弧长，列出方程求解即可． 【详解】解：设圆心角的度数为，由题意，得：， 解得：， ∴圆心角的度数为； 故答案为：． 【变式5-10】数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽．若圆锥的底面圆的半径为1分米，母线长为4分米，则该圆锥侧面展开图的圆心角为 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解． 【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：（分米）， 设圆心角的度数是n度．则 ， 解得：． 故答案为：． 【变式5-11】如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗）． (1)求扇形的圆心角的度数； (2)求圆锥的底面半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （1）先求出半径为的圆面积，结合面积为的扇形，即可作答． （2）利用圆锥的侧面展开图为一扇形，结合弧长公式：，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到，然后解方程求出r即可． 【详解】（1）解：∵一个半径为，面积为的扇形铁皮 ∴ ∴扇形的圆心角的度数为； （2）解：根据题意得 解得． 所以圆锥的底面半径r为 【变式5-12】若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是多少度？ 【答案】° 【思路点拨】此题主要考查了圆锥的侧面积公式以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的关键．根据圆锥的侧面积公式求出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数． 【规范解答】根据圆锥侧面积公式：，可得 解得：， ， 解得， 侧面展开图的圆心角是． 故答案为：°． 题型八、圆锥的实际应用问题 【例8】如图，如果从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的底面半径为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式8-1】某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（    ）  A． B． C． D． 【变式8-2】如图，圆锥的底面圆直径为，母线长为，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为________． 【变式8-3】小红用图中所示的扇形纸片制作一个圆锥形容器（接缝忽略不计）的侧面，已知扇形纸片的半径为5cm，圆心角为240°，那么这个圆锥形容器底面半径为 　 　cm． 【变式8-4】要制造一个如图所示的粮仓，其上部是圆锥，下部是圆柱，如果每平方米需用铁皮（底部不用铁皮，接头忽略不计），根据图中数据，求制作该粮仓大约需要多少铁皮？（，精确到） 【变式8-5】如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（　　） A．80cm2 B．40cm2 C．80πcm2 D．40πcm2 【解答】解：由图知，底面直径为8cm，母线长为10cm， 则底面周长为8πcm， 所以蛋筒圆锥部分包装纸的面积是，． 故选：D． 【变式8-6】如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥底面圆的周长是侧面展开图扇形的弧长，列式计算即可． 【详解】解：设底面圆的半径为，母线长为， 由题意，得：， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查求圆锥的母线长．熟练掌握圆锥底面圆的周长是侧面展开图扇形的弧长，是解题的关键 【变式8-7】用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥的底面圆周长为半圆形铁皮的周长（不包括直径）列式求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为l， 由题意得：， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了求圆锥的母线长，熟知圆锥的底面圆周长为半圆形铁皮的周长（不包括直径）是解题的关键． 【变式8-8】一个圆锥形的烟囱帽的侧面积为2000cm²，母线长为 50cm，那么这个烟囱帽的底面直径为 ． 【答案】 【分析】先根据圆锥的侧面积公式，求得圆锥的底面周长，再根据圆的周长公式即可求得底面圆半径，从而得到结果． 【详解】解：圆锥侧面展开为扇形，则，其中为圆锥母线长，为圆锥底面圆的半径， ∴，解得：， 即：底面圆的直径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥的侧面积公式，圆的周长公式等，掌握圆锥的相关知识以及运算公式是解题关键． 题型九、综合型问题【提高】 【例9】把一个圆心角为120°，半径为9cm的扇形纸片，通过用胶水粘贴制作成了一个底面周长为4πcm的圆锥侧面，如图所示，则圆锥上粘贴部分（图中阴影部分）的面积是______cm2．（　　） A．8π B．9π C．19π D．27π 【解答】解：∵圆锥的底面周长为4πcm， ∴围成圆锥的扇形弧长为4π（cm）， ∵已知扇形的弧长为＝6π（cm）， ∴粘贴部分的弧长为6π﹣4π＝2π（cm）， ∴圆锥上粘贴部分的面积是×2π×9＝9π（cm2）． 故选：B． 题型十、沿高线切割引起的表面积变化【提高】 【例10】一个圆锥的底面周长是25.12cm，高是4cm．从顶点沿高把它切成相等的两半，表面积增加了 　 　cm2 【解答】解：25.12÷π＝8（cm）， ×8×4×2＝32（cm2）， ∴表面积增加了32cm2． 题型八、圆锥的侧面上最短路径问题【提高】 【例7】如果那么正确的比例式是（ ） 课堂训练 【变式训练1 求圆锥的侧面积】 1．一个圆锥的底面半径的长为3，母线的长为15，则侧面展开图的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥侧面积展开图公式计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得： 侧面展开图的面积是， 故选：C． 2．如图，圆锥底面圆的半径r为，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个圆心角θ为的扇形，则圆锥的侧面积为 ．（用含的式子表示） 【答案】/厘米 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，求圆锥的母线长，根据圆锥底面圆周长等于其侧面展开图的弧长结合弧长公式求出母线长，进而根据扇形面积计算公式求出对应的侧面积即可． 【详解】解：设该圆锥的母线长为l， 由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练2 求圆锥底面半径】 1．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为6的扇形，这个圆锥的底面圆的直径为（    ） A． B． C．5 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图与底面圆之间的关系，求弧长；理解圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：； 故选：C． 2． 用一个圆心角为，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的直径为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长计算公式，解题的关键是熟练掌握弧长计算公式和圆的周长计算公式．根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解． 【详解】解：扇形的弧长， 设圆锥的底面半径为r，则， 所以， 所以圆的直径为． 故答案为：． 【变式训练4 求圆锥侧面展开图的圆心角】 1．如图，圆锥的底面半径为，母线的长为，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为（）度． A．120 B．150 C．135 D．125 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据圆锥的底面周长得到扇形圆心角的表达式子．先由半径求得圆锥底面周长，再由扇形的圆心角的度数圆锥底面周长计算． 【详解】解：圆锥底面周长， ∴这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为圆锥底面周长． 故选:． 2．圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 °． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图以及扇形的弧长公式，圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为， ∴底面周长为： 解得：， 故答案为： 1．若圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，由地面圆的周长等于侧面展开图的弧长，可得，所以，再计算圆锥的侧面积与底面积的比即可． 【详解】解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R， 由题意得， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 2．如图，以正方形纸片的顶点A为圆心，长为半径画弧，用这个纸片制作一个无底的圆锥．若正方形的边长为1，则圆锥底面的半径为（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的计算，掌握这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长是解题的关键． 根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，求出半径即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为， 由题意得：， 解得：， 故选：A． 3． 小亮在手工制作课上，用半径为，圆心角为的扇形彩纸围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的相关计算，弧长的计算，根据圆锥的计算公式即可求出答案． 【详解】解：由弧长公式可知： ∴底面圆的周长为， 设底面圆的半径为r ， ∴圆锥的底面积为， 故答案为： 4．如图，现有圆心角为的一个扇形纸片，该扇形的半径为．小红同学为了在“圣诞”节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是 度；圆锥的侧面积是 ． 【答案】 /18度 【分析】设被剪去扇形的圆心角为，则留下扇形的圆心角为，根据题意，得，解得；根据圆锥的侧面积就是留下扇形的面积，根据扇形面积公式，得，解答即可． 本题考查了扇形弧长，面积计算，圆锥侧展与扇形的关系，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】设被剪去扇形的圆心角为，则留下扇形的圆心角为， 根据题意，得， 解得； 根据圆锥的侧面积就是留下扇形的面积， 得， 故答案为：，． 综合题型 1.如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥． (1)若圆锥的母线长为，求圆锥的侧面积． (2)若圆锥底面圆的半径为，求扇形的半径． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据扇形面积公式计算； （2）根据弧长公式计算． 本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图、扇形面积公式、弧长公式是解题的关键． 【详解】（1）解：圆锥的母线长为， 扇形的半径为， 扇形面积为：， 圆锥的侧面积为； （2）解：设扇形的半径为， 圆锥底面圆的半径为， 圆锥底面圆的周长为， 扇形弧长为， 则， 解得：， ∴扇形的半径为． 2.一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为120°的扇形，求： （1）圆锥的底面半径； （2）圆锥的全面积. 【答案】（1）圆锥的底面半径为；（2） 【分析】（1）扇形的弧长公式=，利用展开后扇形的弧长即为展开前圆锥底面圆的周长求出半径； （2）S圆锥=，（r1=扇形半径即圆锥母线长，r2=底面圆半径）将已知条件代入即可. 【详解】解：（1）设圆锥的底面半径为， 扇形的弧长， ∴ 解得，，即圆锥的底面半径为； （2）圆锥的全面积 【点睛】本题考查圆锥相关的计算，要求掌握圆锥侧面积与底面积的计算公式，侧面展开图扇形相关的面积和弧长的求算，注意求圆锥面积时母线与底面圆半径的区分. 3.如图，现有圆心角为的一个扇形纸片，该扇形的半径为．小红同学为了在“圣诞”节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是 度；圆锥的侧面积是 ． 【答案】 /18度 【思路点拨】设被剪去扇形的圆心角为，则留下扇形的圆心角为，根据题意，得，解得；根据圆锥的侧面积就是留下扇形的面积，根据扇形面积公式，得，解答即可． 本题考查了扇形弧长，面积计算，圆锥侧展与扇形的关系，熟练掌握公式是解题的关键． 【规范解答】设被剪去扇形的圆心角为，则留下扇形的圆心角为， 根据题意，得， 解得； 根据圆锥的侧面积就是留下扇形的面积， 得， 故答案为：，． 4．云南十八怪，草帽当锅盖．使用草编的锅盖蒸米饭，不传热、不吸水、透气性好，搭配攀枝花木甑子，蒸出的米饭香气浓郁，满是家的味道．某同学发现家里的草帽锅盖可以近似看作一个圆锥，测量得母线长为，高度为，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆锥的底面圆锥的周长等于展开的扇形的弧长，勾股定理， 首先根据勾股定理求出底面圆的半径，然后求出底面圆的周长，进而可得到圆锥的侧面展开图的弧长． 【详解】∵母线长为，高度为， ∴底面圆的半径为， ∴底面圆的周长为， ∴这个圆锥的侧面展开图的弧长等于． 故选：D． 5．若圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，由地面圆的周长等于侧面展开图的弧长，可得，所以，再计算圆锥的侧面积与底面积的比即可． 【详解】解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R， 由题意得， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 6.如图，用一个半径为12 cm，面积为48π cm²的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗). (1)求扇形的圆心角的度数； (2)求圆锥的底面半径r. 7.圆锥的底面直径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角是 ，这个圆锥的全面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考出来圆锥关于圆锥的计算．根据圆锥的底面直径是，母线长，可以求出圆锥的底面半径是，周长是，底面积是，进而求出侧面展开图面积为，圆锥的全面积为．设圆锥的侧面展开图的圆心角是，根据圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的弧长列出方程，即可求出，问题得解． 【规范解答】解：∵圆锥的底面直径是， ∴圆锥的底面半径是， ∴圆锥的底面周长是，底面积是，侧面展开图面积为， ∴圆锥的全面积为． 设圆锥的侧面展开图的圆心角是， 由题意得， 解得． ∴圆锥的侧面展开图的圆心角是，这个圆锥的全面积是． 故答案为：， 9．如图，现有圆心角为的一个扇形纸片，该扇形的半径为．小红同学为了在“圣诞”节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是 度；圆锥的侧面积是 ． 【答案】 /18度 【分析】设被剪去扇形的圆心角为，则留下扇形的圆心角为，根据题意，得，解得；根据圆锥的侧面积就是留下扇形的面积，根据扇形面积公式，得，解答即可． 本题考查了扇形弧长，面积计算，圆锥侧展与扇形的关系，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】设被剪去扇形的圆心角为，则留下扇形的圆心角为， 根据题意，得， 解得； 根据圆锥的侧面积就是留下扇形的面积， 得， 故答案为：，． 10．如图，已知扇形的圆心角为120°，半径为6cm． (1)求扇形的弧长；（结果保留π） (2)如图所示，若把扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据扇形的弧长公式求解即可； （2）设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解得，然后根据勾股定理计算． 【详解】（1）解：∵扇形的圆心角为120°，半径为6cm， ∴． （2）设圆锥底面圆的半径为r， ∴，解得， 在中，，， ∴． 【点睛】本题考查的是求解扇形的弧长，圆锥的高，掌握“圆锥的底面圆的周长对应展开图扇形的弧长”是解本题的关键． 中等题真题汇编练 1．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）已知圆锥的底面半径是2，侧面展开图的圆心角为，则其侧面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了圆锥的计算．设圆锥的母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，解方程求出，然后根据扇形的面积公式计算扇形的面积，从而得到圆锥的侧面积． 【规范解答】解：设圆锥的母线长为， 根据题意得， 解得， 所以圆锥的侧面积． 故选：A． 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，的斜边，一条直角边，现以边所在直线为轴将这个三角形旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了圆锥的计算和点、线、面、体，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 可得圆锥的底面半径为，母线长为，再根据圆锥的侧面积底面周长母线长即可得出答案． 【规范解答】解：圆锥的侧面积为． 故选：． 3．（2024·四川达州·三模）如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了求圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数，根据圆锥侧面积计算公式，得出，进而根据弧长公式进行求解即可． 【规范解答】解：设圆锥的母线长为， ∵ ∴ ∴ 解得： 故选：C． 8．（2024·广西南宁·一模）一个圆锥的母线长为6，底面圆的直径为8，那么这个圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【思路点拨】根据圆锥的侧面积公式计算即可． 本题考查了圆锥的侧面积的计算．圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 【规范解答】圆锥的侧面积，其中，， ∴这个圆锥的侧面积， 故答案为：． 培优题真题汇编练 17． 一个圆锥的侧面展开图是半径为、面积为的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题主要考查圆锥的计算．根据扇形的面积求得侧面展开图扇形的弧长，即圆锥底面的周长，再根据圆的周长公式即可求得底面圆的半径． 【规范解答】设侧面展开扇形的弧长为l， 由可得， ∴， ∴侧面展开扇形的弧长为，即圆锥底面的周长为， 设底面圆的半径为r，则， ∴， ∴圆锥底面圆的半径为． 故答案为：3． 20． （23-24九年级上·广东肇庆·期末）圆锥的母线长l为，底面圆半径r为，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是熟记圆锥的侧面积公式．根据圆锥的侧面积计算公式求解即可． 【规范解答】解：∵圆锥的母线长是，底面圆半径为 ∴圆锥的侧面积：， 故答案为：． 23．（22-23六年级上·全国·单元测试）要制造一个如图所示的粮仓，其上部是圆锥，下部是圆柱，如果每平方米需用铁皮（底部不用铁皮，接头忽略不计），根据图中数据，求制作该粮仓大约需要多少铁皮？（，精确到） 【答案】 【思路点拨】根据扇形面积公式求出圆锥的侧面积，再根据圆柱的侧面展开图为长方形，求出圆柱的侧面积，即可求解． 【规范解答】解：由题意，得圆锥的侧面积为：， 圆柱的侧面积为：． ∴． 答：制作该粮仓大约需要铁皮． 【考点评析】本题主要考查了求圆锥和圆柱的侧面积，解题的关键是掌握扇形面积公式为，圆柱的侧面展开图为长方形． 课后作业 一、单选题（每小题4分.共32分） 1．已知圆锥的底面直径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图、扇形面积公式，根据圆锥的侧面展开图是扇形，结合扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面直径为，母线长为， ∴圆锥的侧面积是， 故选：C． 2．一个圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：该圆锥的侧面积为； 故选B． 3．如图已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设围成的圆锥的底面圆的半径为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：设围成的圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得， 解得， 即围成的圆锥的底面圆的半径为． 故选：B 5．为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积，弧长公式等知识；设扇形的半径为r，扇形面积可求得半径r；再由弧长公式即可求得扇形圆心角的度数． 【详解】解：设扇形的半径为r，则， 解得：； 设扇形圆心角度数为n度，则， 解得：， 即扇形圆心角为； 故选：B． 6．如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据底面周长等于的长，即可求解． 【详解】解：依题意，的长， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图的弧长，熟练掌握圆锥底面周长等于的长是解题的关键． 二、填空题（每小题4分。共20分） 9．圆锥的底面圆的半径为2，母线长为7，则圆锥的侧面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积．熟练掌握：，其中是底面圆的半径，是母线长是解题的关键． 根据，其中是底面圆的半径，是母线长，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，圆锥的侧面积， 故答案为：． 11．小宁要制作一个圆锥形冰激凌包装纸筒，其底面圆的半径是．他先在一张纸片上，以点为圆心，为半径画一个扇形，再将扇形剪下围成一个圆锥，则所画扇形的圆心角 ．    【答案】 【分析】本题考查求圆锥的相关计算，由底面圆的半径是可知底面圆的周长为，等于侧面展开后的扇形弧长，圆锥的母线为，等于侧面展开后的扇形的半径长度，设展开后的扇形圆心角为，则根据弧长公式得，即可求解． 【详解】解：∵依题意，由底面圆的半径是可知底面圆的周长为，圆锥的母线为， 设展开后的扇形圆心角为， ∴， 解得： 故答案为：． 三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分） 14．用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示 ． (1)求圆锥的高； (2)求所需铁皮的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆锥的母线、高和底面圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理即可求解； （2）根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，圆锥的母线长是扇形的半径进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，设为圆锥的高，为圆锥的母线，为底面圆的半径， ∴，，， ∴有中， ∴圆锥的高为． （2）圆锥的底面周长为：， ∵圆锥的底面周长是侧面展开得到的扇形的弧长， ∴扇形的弧长为， ∴扇形的面积为， ∴所需铁皮的面积为． 【点睛】本题考查圆锥的计算．正确理解圆锥的高、母线与底面圆的半径构成直角三角形，圆锥的侧面与它的侧面展开图扇形之间的关系是解决本题的关键，要正确理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 18．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，求这个圆锥侧面展开图的圆心角． 【答案】这个圆锥侧面展开图的圆心角为 【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解． 【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：， 设圆心角的度数是度，则， 解得：， 这个圆锥侧面展开图的圆心角为． 【点睛】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 19．如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的半径为4m，高为3m． (1)求这个圆锥的母线长； (2)为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？（π取3.14，结果精确到1m2） 【答案】(1)5m (2)63m2 【分析】（1）如图，构造Rt，为圆锥的高，为圆锥底面圆的半径，为圆锥的母线长，根据勾股定理进而得出结论； （2）先求出顶部圆锥的底面圆周长，再求出圆锥的侧面积即可求出所需油毡的面积． 【详解】（1）如图，圆锥的轴截面为， 为圆锥的高，为圆锥底面圆的半径，为圆锥的母线长， 由题意可知，m，m， ∴母线长m； （2）顶部圆锥的底面圆周长为m， ∴圆锥的侧面积为m2， ∴所需油毡的面积至少是m2． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积和顶部圆锥的底面圆周长，正确掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$