第05讲平面向量的应用：解三角形专题讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第05讲 解三角形 目录 知识点一：余弦定理 3 知识点二：正弦定理 3 知识点三：解三角形 4 考点1：余弦定理的简单应用 4 考点2： 正弦定理的简单应用 6 考点3： 三角形解的个数 8 考点4： 判断三角形形状 10 考点5：证明三角形的恒等式或不等式 14 知识点四：三角形的面积 21 考点6： 三角形面积公式的应用 22 考点7： 解三角形中范围与最值问题 26  与角度有关的范围与最值问题 26  与边长有关的范围与最值问题 29  与周长有关的范围与最值问题 33  与面积有关的范围与最值问题 36 考点8：几何图形中的计算 42 考点9：解三角形与三角函数的综合应用 57 知识点五：解三角形的实际问题 61 考点10：距离、高度、角度测量问题 62  距离测量问题 62  高度测量问题 66  角度测量问题 71 知识点一：余弦定理 1. 定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 ； ； ． 2. 推论： 知识点二：正弦定理 1. 定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等。 2. 变形公式 (1) 。 (2) 。 (3) 。 (4) 。 3. 推广与推论 (1) 推广：（为的外接圆半径） (2) 常见推论 1　 边化角公式：。 2　 角化边公式：。 3　 。 4　 。 知识点三：解三角形 1. 解三角形 三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形。 2. 利用正弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： 1　 已知两角与任一边，求其他两边和一角。 2　 已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。 3. 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： 1　 已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。 2　 已知三边，求三角形的三个角。 4. 解三角形时，注意的隐含条件： 1　 在中，； ;。 2　 在中， （射影定理）; ; ; 3　 若为锐角三角形，则 ； 。 考点1：余弦定理的简单应用 【例1.1.】 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】， ， ，． ，即． ，，即． 故选：D 【例1.2.】 在中，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为， 两式相减，得， 由正弦定理，得，即， 因为，所以. 故选：C. 【例1.3.】 在中，内角的对边分别为.若，，且则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，且 由余弦定理知， ， 解得， 故选： 【例1.4.】 在中，，，，则最长边（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】在中，，，， 由余弦定理得，， 化简得，解得或， 因为是最长的边，所以， 故选：B 考点2： 正弦定理的简单应用 【例2.1.】 若的三个内角，，所对的边分别为，，，，，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【详解】在中，，所以，所以， 由正弦定理以及比例的性质可得：. 故选：B 【例2.2.】 在中，，，则角A的大小为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】由题意知中，，， 故，即， 由于，故，则或， 故A的大小为或， 故选：D 【例2.3.】 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由以及正弦定理可得：， 因，代入整理得， 因,则得，又因，故. 故选：A. 【例2.4.】 △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C= A． B． C． D． 【答案】B 【详解】sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC， ∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0， ∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC≠0， ∴cosA=﹣sinA， ∴tanA=﹣1， ∵＜A＜π， ∴A= ， 由正弦定理可得， ∵a=2，c=， ∴sinC== ， ∵a＞c， ∴C=， 故选B． 考点3： 三角形解的个数 方法提炼 (1) 在中，已知两边及其中一边的对角，或已知两边及其夹角，或已知三边，则该三角形是唯一确定的。 (2) 在中，已知两边及其中一边的对角时，解的情况如下：（以为例） 为锐角 为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 【例3.1.】 （多选）的内角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的有（    ） A．若，，，则符合条件的只有一解 B．若，，，则符合条件的只有一解 C．若，，，则符合条件的无解 D．若，且符合条件的有二解，则的取值范围为 【答案】BCD 【详解】对于A，由正弦定理得，则，显然角不存在，A错误； 对于B，由正弦定理得，所以， 因为，所以，故唯一，为锐角，所以B正确， 对于C，由得，而，此时三角形显然不存在，C正确； 若，且符合条件的有两解，则,故，D正确， 故选：BCD． 【例3.2.】 在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的值可以是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】如图，过点作，垂足为,则.    若有两解，所以，则，即，得. 故选：B 【例3.3.】 在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则此三角形的解的情况是（      ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 【答案】A 【详解】由，得， 又 ，，故只能为锐角，即， 故该三角形只有一解． 故选：A. 【例3.4.】 在中，已知，，，若存在两个这样的三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理可得， 由题意可知：关于A的方程：在有两解， 在同一坐标系内分别作出曲线，和水平直线，    因为它们有两个不同的交点，所以，所以. 故选：C. 【例3.5.】 （多选）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是（   ） A．，，； B．，，； C．，，； D．，，. 【答案】AD 【详解】对于A，由正弦定理得：， ，，即，，则三角形有唯一解，A正确； 对于B，由正弦定理得：， ，，即，或，则三角形有两解，B错误； 对于C，由正弦定理得：，无解，C错误； 对于D，三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，D正确. 故选：AD 考点4： 判断三角形形状 方法提炼 （1） 用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号） 1　 在中，； 2　 在中，； 3　 在中，； （2） 利用正弦定理或余弦定理进行边角转化，得出边与边或角与角的关系，从而作出判断。 【例4.1.】 的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【详解】由正弦定理可知， 设， 所以，所以，所以的形状是直角三角形， 故选：B 【例4.2.】 在中，已知，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【详解】解：由正弦定理得， 整理得： 即，又因为,所以, 所以，移项得：,所以三角形一定为直角三角形. 故选：B 【例4.3.】 在中，内角的对边分别为若满足，则该三角形为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】B 【详解】在中，已知 由正弦定理得， 所以即 又，则，则， 所以所以该三角形为等腰三角形. 故选：B. 【例4.4.】 已知分别为三个内角的对边，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为，可得， 所以， 因为，可得，所以， 又因为，所以，所以为钝角三角形. 故选：D. 【例4.5.】 在中，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【详解】由，得， 化简得， 当时，即，则为直角三角形； 当时，得，则为等腰三角形； 综上：为等腰或直角三角形，故D正确. 故选：D. 【例4.6.】 已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】由，得， 整理得，则， 因为，所以， 又由及正弦定理，得，化简得， 所以为等边三角形， 故选：B 【例4.7.】 已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】由余弦定理，可得 ， 整理，得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或或，故三角形为等腰三角形. 故选：A 考点5：证明三角形的恒等式或不等式 方法提炼 证明三角恒等式的常用方法：①从左边往右边证；②从右边往左边证；③证明左边=式子，右边=式子，从而左右两边相等；④证明左边减去右边等于0；⑤若左、右两边的式子均恒不为0，则可证明；⑥要证明恒等式，可转化为证明，即内项之积等于外项之积。 在证明三角形中的恒等式（或不等式）时常用到和角、差角、倍角、半角及三角函数的和差化积公式： ； ； 。 【例5.1.】 在中，角的对边分别是，且，证明：． 【详解】证明：由题设， 所以， 则，即， 又，则，且， 所以，得证. 【例5.2.】 在中，. (1)求的大小； (2)若，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵，∴． 由余弦定理得①， ∵，∴②， 将②代入①，得， 整理得，∴． 【例5.3.】 在中，为的中点，，记，，证明：或； 【答案】证明见解析 【详解】∵， ∴， ∴，    在中，则； 在中，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴或，即或. 【例5.4.】 如图，在中，D是边上的一点，，． (1)证明：； (2)若D为靠近B的三等分点，，，，为钝角，求． 【答案】(1)证明见解析. (2). 【详解】（1）证明：在中，， 在中，, 由于,故， 所以. （2）因为，故，由为钝角，故为锐角， 又，且D为靠近B的三等分点，，， 故， 故, 故，则, 故. 【例5.5.】 在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，． (1)求证：． (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）如图．在中，由正弦定理，得． 在中，由正弦定理，得． 在中，由正弦定理，得． 所以， 所以． （2）因为， 所，所以． 由可知，均为锐角． 由（1）知，． 设，则，． 由，得． 在中，由正弦定理，得． 在中，由正弦定理，得． 所以． 【例5.6.】 如图，已知△ABC内有一点P，满足． (1)证明：． (2)若，，求PC． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明： 在△ABP中，由正弦定理得， 即， 要证明，只需证明， 在△ABP中，， 在△ABC中，， 所以， 所以， 所以． （2）由（1）知，又因为，， 所以， 由已知得△ABC为等腰直角三角形，所以， 则， 所以在△PBC中，， 由正弦定理得， 即， 即． 由余弦定理得， 由题意知， 故解得， 所以． 【例5.7.】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=2B. (1)若，求的值； (2)若，求证：.（参考数据：） 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由，，故， 又，可得，则，， 则. （2）由知：， 所以，即， 又，则，即， 所以，而，则， 综上，. 【例5.8.】 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)若BD是的角平分线. （i）证明：； （ii）若，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）因为中，， 故 ， 因为，故； （2）（i）证明：中，由正弦定理得①，    又②， 同理在中，③， ④， BD是的角平分线，则， 则， 又，故， 故①÷③得⑤，即， 由②④得， ， 则 ， 即； （ii）因为，故， 则由⑤得，则， 由以及（i）知， 即，则， 当且仅当，结合，即时等号成立， 故，即的最大值为. 知识点四：三角形的面积 (1) ① (2) 将代入①式可得 ② 即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半。 (3) 将代入②式可得 ③ (4) 将代入③式可得 （为外接圆的半径） (5) （分别为内切圆的半径及的周长）。 证明：如图， (6) 海伦公式：，其中。 证明：根据余弦定理，所以 令，可得。 (7) 将代入中可得 ，其中。 (8) ，其中。 考点6： 三角形面积公式的应用 【例6.1.】 △的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为 ． 【答案】. 【详解】［方法一］：【最优解】边化角 因为，由正弦定理得， 因为，所以．又因为， 由余弦定理，可得， 所以，即为锐角，且，从而求得， 所以的面积为. 故答案为：. ［方法二］：角化边 因为，由正弦定理得，即，又，所以，．又因为， 由余弦定理，可得， 所以，即为锐角，且，从而求得， 所以的面积为. 故答案为：. 【例6.2.】 已知△ABC中，分别为内角的对边，且. (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在△ABC中，由正弦定理及得：，.. 由余弦定理得， 又，所以 （2） 是的角平分线，， 由可得 因为，，即有，， 故 【例6.3.】 在中，内角所对的边分别为且． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理，即，由余弦定理，且，故. （2）由题意，解得. 由余弦定理，可得. 故的周长为 【例6.4.】 在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【详解】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 【例6.5.】 记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，解得：． （2）由正弦定理可得 ， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． 【例6.6.】 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； （2）由正弦定理得：，则，则，. 考点7： 解三角形中范围与最值问题 方法提炼 解三角形中的范围与最值问题，通常涉及边长、角度、周长、面积等，常用处理思路： ①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. · 与角度有关的范围与最值问题 【例7.1.】 在中，内角所对的边分别为，且. (1)证明：. (2)若是的中点，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）因为， 所以则， 整理得，即. 因为，所以，即. （2）由（1）及题设，有， 所以 ， 所以，当且仅当时，等号成立. 故的最大值为. 【例7.2.】 锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，即，化简得. 由正弦定理边角互化思想得， 即，所以，， ， ，，，，， 是锐角三角形，且，所以， 解得，则，所以，， 因此，的取值范围是，故选D. 【例7.3.】 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.问题：锐角的内角的对边分别为，且______. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）选① ，所以， 所以， 整理得. 因为，所以.因为，所以. 选② 因为，所以， 所以，整理得. 因为，所以，因为，所以. 选③ 因为， 所以， 所以， 整理得. 因为，所以. 因为，所以，. （2）因为， 所以. 因为，所以，所以， 所以，所以，故 · 与边长有关的范围与最值问题 【例7.4.】 已知分别为锐角三角形三个内角的对边，且. (1)求; (2)若，为的中点，求中线的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为是锐角三角形的三个内角，所以，， 根据正弦定理可得，即， 所以，则， 整理得，即， 又，所以，即. （2）因为为的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即，所以， 在中，由正弦定理得，所以， 所以， 因为为锐角三角形，所以且，解得， 所以，所以，所以， 所以中线的取值范围是. 【例7.5.】 在锐角中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得：， ， ，，，. （2）由正弦定理得：，，， ； 为锐角三角形，，即，， ，，， 即的取值范围为. 【例7.6.】 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求证：. (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在中， 由及正弦定理得： 又∵， ∴ 即 ， ∵，∴. ∵，∴， （2）得：得， ∴，∴， 由题意，及正弦定理得： ∵，∴，即 故的取值范围为 方法二：由正弦定理得： ∵，∴， 由（1）得：，故 由（1）得：得， ∴，∴， ∴，即， 故的取值范围为 · 与周长有关的范围与最值问题 【例7.7.】 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由正弦定理可得：， ， ，. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式 由余弦定理得：， 即. （当且仅当时取等号）， ， 解得：（当且仅当时取等号）， 周长，周长的最大值为. [方法二]：正弦化角（通性通法） 设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为． [方法三]：余弦与三角换元结合 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，， 所以周长的最大值为． 【例7.8.】 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则周长的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】，， 依题意， 即 ，， 所以为锐角，. 由正弦定理得， 所以， 所以三角形周长为 ， 由于， 所以当时，三角形的周长取得最大值为. 故选：B 【例7.9.】 在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的值； (2)若，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），由正弦定理得：， 即， 由余弦定理得：， 因为， 所以； （2）锐角中，，， 由正弦定理得：， 故， 则 ， 因为锐角中，， 则，， 解得：， 故，， 则， 故， 所以三角形周长的取值范围是. · 与面积有关的范围与最值问题 【例7.10.】 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，． (1)求角A的大小； (2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得 即 又 所以 即 又，， 即，即 又，，即 （2）由题意得：， 由正弦定理得：， 又 为锐角三角形，∴， 故，∴，∴， 从而. 所以面积的取值范围是 【例7.11.】 在等腰中，角所对的边分别为，其中为钝角，. (1)求; (2)如图，点与点在直线的两侧，且，设，求的面积的最大值和此时的值. 【答案】(1) (2)，的面积的最大值为 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 故，又由题意可知， 所以，故，又为钝角， 所以. （2）由（1）可得，则由正弦定理即得， 在中，设，则根据正弦定理和余弦定理得： 即，即， 故，， 所以 ， 因为，所以， 所以当即即时，的面积取得最大值为. 【例7.12.】 在中，角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若点是上的点，平分，且，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知中，， 故，即, 即, 所以，而， 故，即， 又，故； （2）由于点是上的点，平分，且， 则， 由，得， 即，则，当且仅当时取等号， 故，当且仅当时取等号， 所以， 即面积的最小值为. 【例7.13.】 已知的内角所对的边分别为且与垂直. (1)求大小； (2)若边上的中线长为，求的面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为，垂直， 所以. 由正弦定理，得，因为， 所以，， 所以. （2）设边上的中线为， 在中，由余弦定理得：， 即①. 在和中，， 所以， 即，，， 化简得， 代入①式得，， 由基本不等式， ∴，当且仅当取到“”； 所以的面积最大值为. 【例7.14.】 已知中内角，，所对边分别为，，，． (1)求； (2)若边上一点，满足且，求的面积最大值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由题意，， 由正弦定理得， 因为三角形内角，， 则，即， ，，， 故，， （2）， 已知，，由（1）知，， 由题意得由，（如图） 已知，且由（1）知， 两边平方得， 则 ， 解得，.故. 当且仅当，即时，等号成立. 所以，的最大值为．    【例7.15.】 如图，四边形中，，若，且，则面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】线段上取点E使得，又， 则，故， 所以，则， 设，则. 由上易知，且，而， 所以，则， 结合及，且， 由三角形内角性质，所以， 综上，. 故选：C    考点8：几何图形中的计算 方法提炼 (1) 角平分线定理 在中，的角平分线交于点（如图），则有。 证明（1）：（妙用两次正弦定理） 因为，所以，在中使用正弦定理有，在中使用正弦定理有，又，所以。 证明（2）：（等面积法） 如图，过点做边上的高为，过点分别做边上的高为，因为为的角平分线，所以。 ，， 所以。 常见推论： ①角平分线长： 证明：（等面积法） 由可得，， 所以。 ②库斯顿定理： 证明：（构造辅助线作出相似三角形） 因为，所以 所以。 又因为，所以，即 所以，即 (2) 张角定理 在中，角，，所对的边分别为，，，若为上一点（如图），且，，则有． 证明：（等面积法） 因为，所以，于是等式两边同除以得． (3) 平行四边形定理 若四边形为平行四边形（如图），则． 证明：（两次使用余弦定理建立等量关系） 因为四边形是平行四边形，所以，， 且，在中使用余弦定理有， 在中使用余弦定理有， 所以． (4) 中线长定理 在中为的中线，则中线长定理: 证明（1）：根据平行四边形定理有，所以，即，所以 证明（2）：（两次使用余弦定理建立等量关系） 在中，， 在中，， 联立两个方程可得： 证明（3）：（平面向量法） ，两边平方得 化简得， 又 ，所以。 (5) 五边两角模型 在中，是线段上一点，连接（如图），则有． 证明：（两次使用余弦定理建立等量关系） 因为，所以．在中使用余弦定理有，在中使用余弦定理有，所以，所以． (6) 托勒密定理 在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 如图，设四边形ABCD内接于圆O，则有AB·CD＋AD·BC＝AC·BD． 证明：（构造辅助线作出相似三角形） 不妨在AC上取一点E，使∠ADE＝∠BDC，由∠DAE＝∠DBC，得△AED∽△BCD，所以，即AE·BD＝AD·BC① 又由∠ADB＝∠EDC，∠ADB＝∠ECD，△ABD∽△ECD，所以，即EC·BD＝AB·CD②，两式相加得AC·BD＝AB·CD＋AD·BC． 广义托勒密定理：在四边形ABCD中，有AB·CD＋AD·BC≥AC·BD，当且仅当四边形ABCD四点共圆时，等号成立． 证明：在四边形ABCD内取一点E使∠ABE＝∠ACD，∠BAE＝∠CAD，则△ABE∽△ACD所以，又因为，且∠BAC＝∠EAD，所以△ABC∽△AED，所以；由①＋②得AB·CD＋AD·BC＝AC·（BE＋ED），所以AB·CD＋AD·BC≥AC·BD，等号当且仅当点E在BD上，即A，B，C，D四点共圆时成立． 【例8.1.】 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理， 得， 因为，所以，即． 又因为，所以． （2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理 因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，． 所以． [方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知，则， 即， 而，即， 故有，从而． 由，即，即，即， 故，即， 又，所以， 则． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合 由（1）知，再由得． 在中，由正弦定理得． 又，所以，化简得． 在中，由正弦定理知，又由，所以． 在中，由余弦定理，得． 故． [方法四]：构造辅助线利用相似的性质 如图，作，交于点E，则． 由，得． 在中，． 在中． 因为， 所以， 整理得． 又因为，所以， 即或． 下同解法1． [方法五]：平面向量基本定理 因为，所以． 以向量为基底，有． 所以， 即， 又因为，所以．③ 由余弦定理得， 所以④ 联立③④，得． 所以或． 下同解法1． [方法六]：建系求解 以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴， 长为单位长度建立直角坐标系， 如图所示，则． 由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动． 设，则．⑤ 由知，， 即．⑥ 联立⑤⑥解得或（舍去），， 代入⑥式得， 由余弦定理得． 【例8.2.】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的值； （2）在边BC上取一点D，使得，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法 由余弦定理得，所以. 由正弦定理得. [方法二]【最优解】：几何法 过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以． 在中，，因此． （2）[方法一]：两角和的正弦公式法 由于，，所以. 由于，所以，所以. 所以 . 由于，所以. 所以. [方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法   在（1）的方法二的图中，由，可得，从而． 又由（1）可得，所以． [方法三]：几何法+正弦定理法   在（1）的方法二中可得． 在中，， 所以． 在中，由正弦定理可得， 由此可得． [方法四]：构造直角三角形法   如图，作，垂足为E，作，垂足为点G． 在（1）的方法二中可得． 由，可得． 在中，． 由（1）知，所以在中，，从而． 在中，． 所以． 【例8.3.】 如图，四边形中，，． (1)求； (2)若，求． 【解析】（1）中，设，则，解得 ，； （2）设，则 设，， 中， 中， ，，可得，化简得，即 又，，即 ，解得 【例8.4.】 如图，在梯形中，，，，． (1)若，求梯形的面积； (2)若，求． 【答案】(1)；(2)． 【详解】(1)设，在中，由余弦定理得： ，即，而x>0，解得， 所以，则的面积， 梯形中，，与等高，且， 所以的面积， 则梯形的面积； (2)在梯形中，设，而， 则，，，， 在中，由正弦定理得：， 在中，由正弦定理得：， 两式相除得：， 整理得， 即 解得或， 因为，则，即． 【例8.5.】 如图，在平面四边形ABCD中，，，． (1)若，求的面积； (2)若，求BC． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得，又故，故 （2）设，则，，在中，由正弦定理可得，即，交叉相乘化简得，即，利用降幂公式有，利用辅助角公式有，故，利用诱导公式可得，故，又，解得，又由正弦定理有，故 【例8.6.】 如图，在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线． (1)求及线段的长； (2)求的面积． 【答案】(1)，BC＝6 (2) 【详解】（1）由题意在中，，∴， ∴，而，，∴， 由余弦定理得（舍去），即. （2）在中，，，， ∴， ∵AE平分∠BAC，， 由正弦定理得：， 其中， ∴，则,, ∵AD为BC边的中线，∴， ∴. 【例8.7.】 在中，，的面积为，为的中点，于点于点.    (1)求的面积； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在四边形中，，， 故， 故， 作于点，于点，    又为的中点， 则， ， 故. （2）设的三条边，，分别为，，， 由，知， 延长到点，使，连接， 则，， 则在中，，， 故由与可得，，则， ，则， 由正弦定理得， 则. 考点9：解三角形与三角函数的综合应用 【例9.1.】 已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 令，则 所以，单调减区间是. （2）由得： ，即， 由于，所以. 在中，， ， 于是，则，， ，所以. 【例9.2.】 已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）由题意可知：， 因为函数的最小正周期为，且，所以. （2）由（1）可知：， 因为，则， 可知当，即时，取到最大值3，即. 若条件①：因为， 由正弦定理可得， 又因为， 可得，且，则， 可得，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为； 若条件②；因为， 由正弦定理可得：， 则， 因为，则， 可得， 即，且，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为； 若选③：因为，则， 整理得，且，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为. 【例9.3.】 已知函数. (1)求函数的定义域和值域； (2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值. 【答案】(1)； (2)2 【详解】（1）， 所以要使有意义， 只需，即， 所以，解得 所以函数的定义域为， 由于，所以， 所以函数的值域为； （2）由于，所以， 因为，所以，所以即， 由锐角可得，所以， 由正弦定理可得， 因为，所以所以， 所以的最大值为2. 知识点五：解三角形的实际问题 1. 建模思想 2. 解三角形应用题的基本思路 3. 有关名称、术语 (1) 铅锤平面:与地面垂直的平面 (2) 坡角和坡比 坡角：坡面与水平面的夹角。 坡比（坡度）：坡面的垂直高度与水平宽度的比。 (3) 视角：观察物体时，从物体两端引出的光线在人眼光心处形成的夹角 (4) 仰角和俯角 仰角：在同一铅锤平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角。 俯角：在同一铅锤平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角。 (5) 方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角 (6) 方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的最小正角 考点10：距离、高度、角度测量问题 · 距离测量问题 方法提炼 当长度不可直接测量时，求间的距离有以下三种类型： ① ② ③ ; 【例10.1.】 如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道．为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度，在BC同一水平面上选一点A，测得M点的仰角为，N点的人仰角为，以及，  则M，N间的距离为（    ）    A． B．120m C． D．200m 【答案】A 【详解】由题意，可得， 且， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在中，由余弦定理得， 所以. 故选：A.    【例10.2.】 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】A 【详解】由题设可得如下示意图，且，即， 由图知：，则，又， 所以，则海里. 故选：A 【例10.3.】 如图，甲乙两人做游戏，甲在处发现乙在北偏东方向，相距6百米的处，乙正以每分钟5百米的速度沿南偏东方向前进，甲立即以每分钟7百米的速度，沿北偏东方向追赶乙，则甲追赶上乙最少需要 分钟． 【答案】2 【详解】如图所示： 设他们在点处相遇，甲追赶上乙最少需要分钟， 由题意（距离单位是百米），且， 由余弦定理有：，即， 也就是，解得或（舍去）， 所以甲追赶上乙最少需要2分钟. 故答案为：2. 【例10.4.】 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得m，，，，则两点的距离为 m． 【答案】 【详解】解：易知在中，， 为等腰三角形，则， 在中，，， 所以由正弦定理得，即，得， 在中，由余弦定理得 ， 所以，即，两点的距离为， 故答案为：． 【例10.5.】 如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度（单位：km）：，，，，且四点共圆，则的长为 . 【答案】7 【详解】∵四点共圆，圆内接四边形的对角和为 ﹒ ∴ ， ∴由余弦定理可得 ， ， ∵，即 ， ∴ ,解得, 故答案为：7 · 高度测量问题 方法提炼 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： ①AB=a·tan C ②， ③ ， 【例10.6.】 如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在，，，， 又 ， 由正弦定理得：， ， 树的高度为(m). 故选：A． 【例10.7.】 如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】在中，，，， 则， 由正弦定理得， 所以. 在中，， 所以米. 故选：A 【例10.8.】 如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚处测得山顶处的仰角为，又利用无人机在离地面高的处（即），观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，则山高 m．    【答案】 【详解】依题意，则，,， 故，， 在中，由正弦定理得，即， 解得，则.    故答案为： 【例10.9.】 滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点，，处测得阁顶端点的仰角分别为，，.且米，则滕王阁高度 米. 【答案】 【详解】设，因为，，， 所以，，，. 在中，， 即①.， 在中，， 即②， 因为， 所以①②两式相加可得：，解得：， 则， 故答案为：. 【例10.10.】 如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，则山高（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，， 由正弦定理得，可得， 过点作，可得 所以. 故选：D.    【例10.11.】 魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（    ） A．表高 B．表高 C．表距 D．表距 【答案】A 【详解】如图所示： 由平面相似可知，，而 ，所以 ，而 ， 即＝ ． 故选：A. · 角度测量问题 方法提炼 有关角度的测量问题，主要涉及光线(入射角、折射角)，空中、海上的俯角、方位角等。若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念。而其中较难的一类问题是营救与拦截问题，其一般的处理方法是设变量（通常是设时间或速度为变量），根据题意画出草图，将三角形的各边用已知量和变量表示，然后化归为方程问题求解并检验作答。 【例10.12.】 如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，则从建筑物的顶端A看建筑物的张角= ． 【答案】 【解析】如图，过点A作于点， 由题可知，，，， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 因为， 所以． 【例10.13.】 如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于 A． B． C．－1 D．－1 【答案】C 【详解】在ABC中，由正弦定理得， ∴AC＝100． 在ADC中，， ∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝. 故选：C 【例10.14.】 如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为θ，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2θ，再由D向塔前进米后到点E，测得塔顶的仰角为4θ，则θ＝ ，塔高为 米． 【答案】 / 15 【详解】解析由题意，得 又 在中，由余弦定理的推论得， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：；15. 【例10.15.】 游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin∠BAC等于 ． 【答案】 【详解】依题意，设乙的速度为x m/s， 则甲的速度为x m/s， 因为AB＝1 040 m，BC＝500 m， 所以＝，解得AC＝1 260 m． 在△ABC中，由余弦定理得， cos∠BAC＝＝＝， 所以sin∠BAC＝＝＝． 故答案为：. 【例10.16.】 在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（）海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问：    (1)刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？ (2)缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 【答案】(1)缉私船距离走私船海里，在走私船的正东方向 (2)缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船 【详解】（1）由题意，可得， 则 ， 在中，由正弦定理，即， 解得，因为，所以，所以为水平线， 所以刚发现走私船时，缉私船距离走私船海里，在走私船的正东方向． （2）设经过时间小时后，缉私船追上走私船， 在中，可得， 由正弦定理得， 因为为锐角，所以， 所以缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 解三角形 目录 知识点一：余弦定理 2 知识点二：正弦定理 2 知识点三：解三角形 3 考点1：余弦定理的简单应用 3 考点2： 正弦定理的简单应用 4 考点3： 三角形解的个数 4 考点4： 判断三角形形状 6 考点5：证明三角形的恒等式或不等式 7 知识点四：三角形的面积 8 考点6： 三角形面积公式的应用 9 考点7： 解三角形中范围与最值问题 10  与角度有关的范围与最值问题 11  与边长有关的范围与最值问题 11  与周长有关的范围与最值问题 12  与面积有关的范围与最值问题 12 考点8：几何图形中的计算 13 考点9：解三角形与三角函数的综合应用 19 知识点五：解三角形的实际问题 19 考点10：距离、高度、角度测量问题 21  距离测量问题 21  高度测量问题 23  角度测量问题 26 知识点一：余弦定理 1. 定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 ； ； ． 2. 推论： 知识点二：正弦定理 1. 定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等。 2. 变形公式 (1) 。 (2) 。 (3) 。 (4) 。 3. 推广与推论 (1) 推广：（为的外接圆半径） (2) 常见推论 1　 边化角公式：。 2　 角化边公式：。 3　 。 4　 。 知识点三：解三角形 1. 解三角形 三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形。 2. 利用正弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： 1　 已知两角与任一边，求其他两边和一角。 2　 已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。 3. 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： 1　 已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。 2　 已知三边，求三角形的三个角。 4. 解三角形时，注意的隐含条件： 1　 在中，； ;。 2　 在中， （射影定理）; ; ; 3　 若为锐角三角形，则 ； 。 考点1：余弦定理的简单应用 【例1.1.】 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例1.2.】 在中，，则（   ） A． B． C． D．1 【例1.3.】 在中，内角的对边分别为.若，，且则（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 在中，，，，则最长边（    ） A． B． C．或 D． 考点2： 正弦定理的简单应用 【例2.1.】 若的三个内角，，所对的边分别为，，，，，则（    ） A． B． C． D．6 【例2.2.】 在中，，，则角A的大小为（    ） A． B．或 C． D．或 【例2.3.】 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C= A． B． C． D． 考点3： 三角形解的个数 方法提炼 (1) 在中，已知两边及其中一边的对角，或已知两边及其夹角，或已知三边，则该三角形是唯一确定的。 (2) 在中，已知两边及其中一边的对角时，解的情况如下：（以为例） 为锐角 为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 【例3.1.】 （多选）的内角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的有（    ） A．若，，，则符合条件的只有一解 B．若，，，则符合条件的只有一解 C．若，，，则符合条件的无解 D．若，且符合条件的有二解，则的取值范围为 【例3.2.】 在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的值可以是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【例3.3.】 在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则此三角形的解的情况是（      ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 【例3.4.】 在中，已知，，，若存在两个这样的三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.5.】 （多选）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是（   ） A．，，； B．，，； C．，，； D．，，. 考点4： 判断三角形形状 方法提炼 （1） 用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号） 1　 在中，； 2　 在中，； 3　 在中，； （2） 利用正弦定理或余弦定理进行边角转化，得出边与边或角与角的关系，从而作出判断。 【例4.1.】 的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【例4.2.】 在中，已知，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【例4.3.】 在中，内角的对边分别为若满足，则该三角形为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【例4.4.】 已知分别为三个内角的对边，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【例4.5.】 在中，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【例4.6.】 已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【例4.7.】 已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 考点5：证明三角形的恒等式或不等式 方法提炼 证明三角恒等式的常用方法：①从左边往右边证；②从右边往左边证；③证明左边=式子，右边=式子，从而左右两边相等；④证明左边减去右边等于0；⑤若左、右两边的式子均恒不为0，则可证明；⑥要证明恒等式，可转化为证明，即内项之积等于外项之积。 在证明三角形中的恒等式（或不等式）时常用到和角、差角、倍角、半角及三角函数的和差化积公式： ； ； 。 【例5.1.】 在中，角的对边分别是，且，证明：． 【例5.2.】 在中，. (1)求的大小； (2)若，证明：. 【例5.3.】 在中，为的中点，，记，，证明：或； 【例5.4.】 如图，在中，D是边上的一点，，． (1)证明：； (2)若D为靠近B的三等分点，，，，为钝角，求． 【例5.5.】 在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，． (1)求证：． (2)若，求证：． 【例5.6.】 如图，已知△ABC内有一点P，满足． (1)证明：． (2)若，，求PC． 【例5.7.】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=2B. (1)若，求的值； (2)若，求证：.（参考数据：） 【例5.8.】 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)若BD是的角平分线. （i）证明：； （ii）若，求的最大值. 知识点四：三角形的面积 (1) ① (2) 将代入①式可得 ② 即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半。 (3) 将代入②式可得 ③ (4) 将代入③式可得 （为外接圆的半径） (5) （分别为内切圆的半径及的周长）。 证明：如图， (6) 海伦公式：，其中。 证明：根据余弦定理，所以 令，可得。 (7) 将代入中可得 ，其中。 (8) ，其中。 考点6： 三角形面积公式的应用 【例6.1.】 △的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为 ． 【例6.2.】 已知△ABC中，分别为内角的对边，且. (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积. 【例6.3.】 在中，内角所对的边分别为且． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 【例6.4.】 在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【例6.5.】 记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 【例6.6.】 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 考点7： 解三角形中范围与最值问题 方法提炼 解三角形中的范围与最值问题，通常涉及边长、角度、周长、面积等，常用处理思路： ①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. · 与角度有关的范围与最值问题 【例7.1.】 在中，内角所对的边分别为，且. (1)证明：. (2)若是的中点，求的最大值. 【例7.2.】 锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例7.3.】 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.问题：锐角的内角的对边分别为，且______. (1)求； (2)求的取值范围. · 与边长有关的范围与最值问题 【例7.4.】 已知分别为锐角三角形三个内角的对边，且. (1)求; (2)若，为的中点，求中线的取值范围. 【例7.5.】 在锐角中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围． 【例7.6.】 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求证：. (2)求的取值范围. · 与周长有关的范围与最值问题 【例7.7.】 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 【例7.8.】 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则周长的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【例7.9.】 在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的值； (2)若，求的周长的取值范围． · 与面积有关的范围与最值问题 【例7.10.】 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，． (1)求角A的大小； (2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围． 【例7.11.】 在等腰中，角所对的边分别为，其中为钝角，. (1)求; (2)如图，点与点在直线的两侧，且，设，求的面积的最大值和此时的值. 【例7.12.】 在中，角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若点是上的点，平分，且，求面积的最小值． 【例7.13.】 已知的内角所对的边分别为且与垂直. (1)求大小； (2)若边上的中线长为，求的面积的最大值. 【例7.14.】 已知中内角，，所对边分别为，，，． (1)求； (2)若边上一点，满足且，求的面积最大值． 【例7.15.】 如图，四边形中，，若，且，则面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 考点8：几何图形中的计算 方法提炼 (1) 角平分线定理 在中，的角平分线交于点（如图），则有。 证明（1）：（妙用两次正弦定理） 因为，所以，在中使用正弦定理有，在中使用正弦定理有，又，所以。 证明（2）：（等面积法） 如图，过点做边上的高为，过点分别做边上的高为，因为为的角平分线，所以。 ，， 所以。 常见推论： ①角平分线长： 证明：（等面积法） 由可得，， 所以。 ②库斯顿定理： 证明：（构造辅助线作出相似三角形） 因为，所以 所以。 又因为，所以，即 所以，即 (2) 张角定理 在中，角，，所对的边分别为，，，若为上一点（如图），且，，则有． 证明：（等面积法） 因为，所以，于是等式两边同除以得． (3) 平行四边形定理 若四边形为平行四边形（如图），则． 证明：（两次使用余弦定理建立等量关系） 因为四边形是平行四边形，所以，， 且，在中使用余弦定理有， 在中使用余弦定理有， 所以． (4) 中线长定理 在中为的中线，则中线长定理: 证明（1）：根据平行四边形定理有，所以，即，所以 证明（2）：（两次使用余弦定理建立等量关系） 在中，， 在中，， 联立两个方程可得： 证明（3）：（平面向量法） ，两边平方得 化简得， 又 ，所以。 (5) 五边两角模型 在中，是线段上一点，连接（如图），则有． 证明：（两次使用余弦定理建立等量关系） 因为，所以．在中使用余弦定理有，在中使用余弦定理有，所以，所以． (6) 托勒密定理 在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 如图，设四边形ABCD内接于圆O，则有AB·CD＋AD·BC＝AC·BD． 证明：（构造辅助线作出相似三角形） 不妨在AC上取一点E，使∠ADE＝∠BDC，由∠DAE＝∠DBC，得△AED∽△BCD，所以，即AE·BD＝AD·BC① 又由∠ADB＝∠EDC，∠ADB＝∠ECD，△ABD∽△ECD，所以，即EC·BD＝AB·CD②，两式相加得AC·BD＝AB·CD＋AD·BC． 广义托勒密定理：在四边形ABCD中，有AB·CD＋AD·BC≥AC·BD，当且仅当四边形ABCD四点共圆时，等号成立． 证明：在四边形ABCD内取一点E使∠ABE＝∠ACD，∠BAE＝∠CAD，则△ABE∽△ACD所以，又因为，且∠BAC＝∠EAD，所以△ABC∽△AED，所以；由①＋②得AB·CD＋AD·BC＝AC·（BE＋ED），所以AB·CD＋AD·BC≥AC·BD，等号当且仅当点E在BD上，即A，B，C，D四点共圆时成立． 【例8.1.】 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【例8.2.】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的值； （2）在边BC上取一点D，使得，求的值． 【例8.3.】 如图，四边形中，，． (1)求； (2)若，求． 【例8.4.】 如图，在梯形中，，，，． (1)若，求梯形的面积； (2)若，求． 【例8.5.】 如图，在平面四边形ABCD中，，，． (1)若，求的面积； (2)若，求BC． 【例8.6.】 如图，在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线． (1)求及线段的长； (2)求的面积． 【例8.7.】 在中，，的面积为，为的中点，于点于点.    (1)求的面积； (2)若，求的值. 考点9：解三角形与三角函数的综合应用 【例9.1.】 已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围. 【例9.2.】 已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 【例9.3.】 已知函数. (1)求函数的定义域和值域； (2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值. 知识点五：解三角形的实际问题 1. 建模思想 2. 解三角形应用题的基本思路 3. 有关名称、术语 (1) 铅锤平面:与地面垂直的平面 (2) 坡角和坡比 坡角：坡面与水平面的夹角。 坡比（坡度）：坡面的垂直高度与水平宽度的比。 (3) 视角：观察物体时，从物体两端引出的光线在人眼光心处形成的夹角 (4) 仰角和俯角 仰角：在同一铅锤平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角。 俯角：在同一铅锤平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角。 (5) 方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角 (6) 方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的最小正角 考点10：距离、高度、角度测量问题 · 距离测量问题 方法提炼 当长度不可直接测量时，求间的距离有以下三种类型： ① ② ③ ; 【例10.1.】 如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道．为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度，在BC同一水平面上选一点A，测得M点的仰角为，N点的人仰角为，以及，  则M，N间的距离为（    ）    A． B．120m C． D．200m 【例10.2.】 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【例10.3.】 如图，甲乙两人做游戏，甲在处发现乙在北偏东方向，相距6百米的处，乙正以每分钟5百米的速度沿南偏东方向前进，甲立即以每分钟7百米的速度，沿北偏东方向追赶乙，则甲追赶上乙最少需要 分钟． 【例10.4.】 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得m，，，，则两点的距离为 m． 【例10.5.】 如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度（单位：km）：，，，，且四点共圆，则的长为 . · 高度测量问题 方法提炼 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： ①AB=a·tan C ②， ③ ， 【例10.6.】 如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 【例10.7.】 如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【例10.8.】 如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚处测得山顶处的仰角为，又利用无人机在离地面高的处（即），观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，则山高 m．    【例10.9.】 滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点，，处测得阁顶端点的仰角分别为，，.且米，则滕王阁高度 米. 【例10.10.】 如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，则山高（    ） A． B． C． D．   【例10.11.】 魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（    ） A．表高 B．表高 C．表距 D．表距 · 角度测量问题 方法提炼 有关角度的测量问题，主要涉及光线(入射角、折射角)，空中、海上的俯角、方位角等。若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念。而其中较难的一类问题是营救与拦截问题，其一般的处理方法是设变量（通常是设时间或速度为变量），根据题意画出草图，将三角形的各边用已知量和变量表示，然后化归为方程问题求解并检验作答。 【例10.12.】 如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，则从建筑物的顶端A看建筑物的张角= ． 【例10.13.】 如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于 A． B． C．－1 D．－1 【例10.14.】 如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为θ，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2θ，再由D向塔前进米后到点E，测得塔顶的仰角为4θ，则θ＝ ，塔高为 米． 【例10.15.】 游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin∠BAC等于 ． 【例10.16.】 在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（）海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问：    (1)刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？ (2)缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$