精品解析：江苏省无锡市湖滨中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

2024级高一年级下学期开学考试数学试题 一､单选题 1. 已知集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝(　　) A. [1，＋∞) B. [2，＋∞) C. (－∞，0]∪[2，＋∞) D. [0，＋∞) 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域与值域，分别求得集合，再根据集合的交集运算，即可求解. 【详解】由于集合A＝{x|y＝}表示的是函数y＝的定义域， 所以由x2－2x≥0可知集合A＝{x|x≤0或x≥2}． 集合B＝{y|y＝x2＋1}表示的是函数y＝x2＋1的值域，因此B＝{y|y≥1}． ∴A∩B＝[2，＋∞)．故选B. 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确利用函数的定义域和值域求得集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在性定理对选项逐一验证判断可得结论. 【详解】易知函数在上单调递增， 且,, ,， 即，根据零点存在性定理可得其零点所在的区间为. 故选：C 3. 若，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据不等式的性质可得，进而将不等式转化为，求解即可得出结果. 【详解】因为，，所以，所以. 原不等式可化为，解得. 所以，不等式的解集为. 故选：A. 4. 用表示不大于实数的最大整数，例如，，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据取整函数的定义，对两个条件进行正反推理，即可求解. 【详解】当时，如不能得到， 由，又，所以一定能得到. 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知函数，满足对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件可得函数在R上单调递增，再结合分段函数及对数函数的单调性列式求解. 【详解】由对任意的，恒成立，得函数在R上单调递增， 则，解得，所以实数的取值范围为. 故选：C 6. 已知函数.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知为偶函数，且在内单调递增，进而根据函数性质分析判断. 【详解】因为的定义域为，且， 可知为偶函数，则， 又因为当时，在内单调递增， 且，， 可知，所以. 故选：D. 7. 若函数在区间上为减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数知道底数，故内层函数为减函数，由复合函数的单调性和对数函数的定义域列出不等式，求得的取值范围. 【详解】∵对数函数中， ∴中，即函数在区间上为减函数，， 令，则在区间上为增函数，即， 解得. 故选：C. 8. 已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用双对称函数来证明函数的周期性，再利用单调性可以比较大小. 【详解】因为关于中心对称， 所以对称中心是，即是奇函数，故， 因为是偶函数，所以的对称轴是，即， 所以中，将替换为，得到， 故，将替换为，得到， 所以，因此的周期为8. 所以，，， 因为在上递增且是奇函数，所以在上递增， 所以，即. 故选：D. 二､多选题 9. 已知事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若与相互独立，则 D. 若发生时一定发生，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据互斥事件概率加法公式求解判断A，根据独立事件乘法公式和概率的性质求解判断B，结合对立事件概率公式，利用独立事件乘法公式求解判断C，根据事件关系求解概率判断D. 【详解】选项A：与互斥，则，正确； 选项B：与相互独立，所以， 从而，正确； 选项C：，正确； 选项D：发生时一定发生，则，，不正确. 故选：ABC. 10. 设正实数满足，则（ ） A. 有最小值 B. 有最小值 C. 有最小值 D. 有最大值 【答案】BCD 【解析】 【分析】直接使用基本不等式可判断A；变形，利用常数代换可判断B；消元，根据二次函数性质求解可判断C；将平方，利用基本不等式可判断D. 【详解】对A，因为，所以， 当且仅当时等号成立，有最大值，A错误； 对B，因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，B正确； 对C，因为，，所以， 所以， 当时取得最小值，C正确； 对D，， 因为，所以 所以，当且仅当时等号成立，D正确. 故选：BCD 11. 已知函数对任意恒有，且当时，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 是定义在上的奇函数 C. 在上单调递增 D. 若对所有的恒成立，则实数 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：根据赋值法求解即可； 选项B：赋值解得然后结合定义判断函数的奇偶性； 选项C：根据定义作差判断函数的单调性； 选项D：根据不等式恒成立，然后结合以及一次函数的性质求解不等式即可； 【详解】选项A：令，又，选项正确； 选项B：令 令则有是定义在上的奇函数，选项正确； 选项C：设则又当时，，则有 即即 在上单调递减，选项错误； 选项D：因为在上单调递减，且是定义在上的奇函数， 所以， 又对所有的恒成立， 所以即在恒成立， 将函数看成关于的一次函数， 则需，解得：或，选项正确； 故选：ABD. 三､填空题 12. ______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据根式、指数对数的运算法则求解即可. 【详解】原式 . 故答案为：8 13. 已知，，则的取值范围是____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设，由相等关系列方程组求出，再利用不等式的性质求解即可. 【详解】设， 则， 所以，解得， 于是. 又，， 所以，即. 故答案为：. 14. (改编题)若函数 是定义域在上的奇函数，则实数a的值为_______；当为定义域在上的奇函数时，若不等式在有解，则实数m取值范围为____________. 【答案】 ①. -1 ②. m<-1 【解析】 【分析】利用函数求出的值检验即可；求出函数的值域，分析可知，分离，利用求出的范围. 【详解】解：因为函数 是定义域在上的奇函数，所以有，解得：.检验：当时，，为奇函数，所以. 因为，在上有解，则时，，有，即，所以. 故答案为：；. 四､解答题 15. 已知非空集合，，全集． （1）当时，求； （2）若是成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）方法一，根据条件，直接利用补集、并集的运算法则，即可求出结果；方法二，利用，利用交集运算，求出，即可求出结果. （2）根据条件得出是的真子集，再根据集合间的包含关系即可求出结果. 【小问1详解】 方法一：当时，， 所以或． 因为， 所以或， 所以或． 方法二：当时，， 故， 所以或． 【小问2详解】 因为是成立的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，或 解得或， 综上，实数a的取值范围是． 16. 藏文中学举行了趣味数学知识竞赛，现将高二参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求参赛学生成绩的众数、中位数； （2）按分层抽样的方法从，，中抽取6名学生，再从这6人中，抽取2人，则求这两人都是在的概率. 【答案】（1）众数为65，中位数为65 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图确定众数与中位数即可； （2）根据古典概型求解基本事件总数与所求事件总数即可得答案. 【小问1详解】 由题图可知众数为65， 因为的频率为；的频率为； 的频率为；的频率为； 的频率为； 所以设中位数为，则，解得，所以中位数为； 【小问2详解】 按分层抽样的方法从，，中抽取6名学生，则分别抽取了3人，2人，1人. 设这6人分别为，，，，，. 再从其中抽取2人，这一共有，，，，，，，，，，，，，，，总共15种情况. 两人都在有，，三种情况， 则求这两人都是在的概率为. 17. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若关于的不等式在有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 由单调递增可知在上为减函数，证明如下： 对于任意实数，，不妨设， 递增，且，，，， 故在上为减函数． （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，利用进行求解． （2）根据函数单调性的定义进行证明即可． （3）结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化，利用参变分离的思想结合函数有解的条件进行转化． 【小问1详解】 由为定义在上奇函数，可知，解得．则， ，故． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由为奇函数得：，等价于． 又由在上为减函数得：，即； 因为，所以．原问题转化为在上有解， ，当且仅当，即时，等号成立， 当时，取得最大值．，解得， 的取值范围是． 18. 设函数是定义域为的奇函数. （1）求的值. （2）若，试求不等式的解集； （3）若在上的最小值为，求m的值. 【答案】（1）1；（2）或；（3）. 【解析】 【分析】（1）由函数f（x）是定义域为R的奇函数，可得f（﹣x）+f（x）＝0对于任意实数都成立．即可得出k;（2）由（1）可知：f（x）＝ax﹣a﹣x，利用f（1）＞0，解得a．可得f（x）,利用定义法证明即可；（3）由于a＝2，可得g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2f（x）＝（2x﹣2﹣x）2﹣2（2x﹣2﹣x）+2，利用换元法令t＝2x﹣2﹣x，得到关于 t的二次函数，利用（2）的结论和二次函数的单调性即可得出． 【详解】（1）因为是定义域为R上的奇函数， 所以，所以，所以，经检验符合题意． （2）因为，所以，又由，所以， 易知是R上的单调递增函数， 原不等式化为，即，即， 所以或，所以不等式解集为或． (2)因为，所以，即，所以或（舍去）， 所以， 令 因为，所以，， 当时，当时，， 当时，当时，， 解得（舍去），综上可知． 【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查解不等式，考查二次函数最值的研究，解题的关键是确定函数的单调性，确定参数的范围． 19. 已知函数在区间上有最大值2和最小值1. （1）求的值； （2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若且方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质，分类讨论函数的单调性，结合已知列出方程组，即可得出； （2）由已知可转化为在上恒成立.根据基本不等式即可求出实数的取值范围； （3）由已知可推得有三个不同的实数解.令，作出的函数图象，可得.结合函数图象，该方程一个根大于0小于1，一个根大于等于1.令，根据二次函数的性质与图象，即可得出不等关系，进而求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由已知可得. 当时，在上为增函数，所以，解得； 当时，在上为减函数，所以，解得. 由于，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以在上恒成立，即， 因为，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 又，当且仅当时取等号. 所以，即. 所以求实数的范围为. 【小问3详解】 方程化为， 化为，且. 令，则方程化为. 作出的函数图象 因为方程有三个不同的实数解， 所以有两个根， 且一个根大于0小于1，一个根大于等于1. 设， 记， 根据二次函数的图象与性质可得 ，或， 解得. 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：根据构成复合函数的函数特性，即可得出零点的分布情况. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一年级下学期开学考试数学试题 一､单选题 1. 已知集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝(　　) A. [1，＋∞) B. [2，＋∞) C. (－∞，0]∪[2，＋∞) D. [0，＋∞) 2. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 4. 用表示不大于实数的最大整数，例如，，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要 5. 已知函数，满足对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上为减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 已知事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若与相互独立，则 D. 若发生时一定发生，则 10. 设正实数满足，则（ ） A. 有最小值 B. 有最小值 C. 有最小值 D. 有最大值 11. 已知函数对任意恒有，且当时，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 是定义在上的奇函数 C. 在上单调递增 D. 若对所有的恒成立，则实数 三､填空题 12. ______． 13. 已知，，则的取值范围是____. 14. (改编题)若函数 是定义域在上的奇函数，则实数a的值为_______；当为定义域在上的奇函数时，若不等式在有解，则实数m取值范围为____________. 四､解答题 15. 已知非空集合，，全集． （1）当时，求； （2）若是成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 16. 藏文中学举行了趣味数学知识竞赛，现将高二参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求参赛学生成绩的众数、中位数； （2）按分层抽样的方法从，，中抽取6名学生，再从这6人中，抽取2人，则求这两人都是在的概率. 17. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若关于的不等式在有解，求实数的取值范围． 18. 设函数是定义域为的奇函数. （1）求的值. （2）若，试求不等式的解集； （3）若在上的最小值为，求m的值. 19. 已知函数在区间上有最大值2和最小值1. （1）求的值； （2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若且方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $