1.2反比例函数的图象和性质(教学设计）-2024-2025学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

1.2反比例函数的图象和性质 一、教学内容 鲁教版九年级上册第一章《反比例函数》 二、教学目标 (1)经历列表一描点—连线的过程画反比例函数的图象,描述图象特征。 (2)能够结合图象总结反比例函数的性质,感受分类讨论.类比等数学思想。 (3)经历从特殊到一般的数学活动,掌握反比例函数性质的形成过程,从“数”“形”两个角度=分析图象性质,从直观感知到定性分析,提升学生的数学素养。 三、教学重难点 重点: 探索反比例函数的性质，体会数形结合的思想.。 难点: 研究函数图象的方法，根据图象得出函数性质的能力 四、教学过程 教学环节 教学活动设计 设计意图 新 课 （一）整体建构 ，引入新知 问题 1：上节课中,我们从实际问题出发得到了反比例函数的概念,接 下来我们要学习反比例函数的什么内容?你打算怎么研究? （二）明确方向，探索新知 问题 2：怎样画反比例函数)y=的图像？ 生：列表描点连线的方法画反比例函数的图象。 追问 1：观察式子，对于0k ，我们应该如何研究呢？ 追问 2：思考反比例函数y=的图象大致是什么样子？ 过程：大致——精致——一致 大致环节： 师：结合，思考反比例函数的图象大致是什么样子？ 生：①由于反比例函数的自变量 x≠0，所以函数图象与 y 轴没有交点。 ②反比例函数的比例系数 k≠0，所以 y 的值不可能为 0，所以图象和 x 轴也没有交点。 ③反比例函数的比例系数 k＞0，xy=k 因此 x，y 同号，所以函数的图 象经过第一三象限。 ④结合①②③三点，函数图象和坐标轴没有交点，而且经过一三想 象，可以得到函数的图象有两支。 师：当 x 的值增大时，y 的值是如何变化的？当 x 无限大的时候，y 的值又是怎么样的？在图象上有是怎样的？ 生： ① x 的值越大，y 的值越小，所以图象是下降的。 ② x 的值无限大时，y 的值无限接近于 0，图象是无限接近 x 轴的。 精致环节： 活动一：动手操作,在网格纸上画反比例函数 y = 得图象。 （1） 列表 （2）描点 （3）连线 师：为什么要用光滑的曲线连接，而不是直线。 生：两个点用直线连接得到的是一次函数的图象 一致环节： 师：根据你画的图象，看一看与你大致分析的一样吗？你能说一说反比例函数的性质吗？ 生：反比例函数y（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线。当 k﹥0 时，函数图象的两个分支分别在第一，三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。 师：因为反比例函数的图像是双曲线，不是连续的图像，所以在描述增减性时一定要区别对待，注意加上条件：每个象限内或 x＞0，x＜0 这样的条件，如果没有前提条件，只说“当 k＞0 时，y 随 x 的增大而减小”这种说法是错误的。反比例函数图象中每一象限的每一条曲线会无限接近 X 轴 Y 轴但不会与坐标轴相交。 （三）同化顺应，建构新知 问题 3:k<0 时，反比例函数y的图象和性质又是怎样的?该如何研究? 问题 4:请同学们注意观察,数值 k 变化时函数图象有什么特征?生：k 越大，图象距离坐标轴越远. 归纳:反比例函数y（k 为常数，k≠0）的图象由两条曲线组成，叫作双曲线。 y=（k为常数，k≠0） k的符号 k>0 k<0 图象 位置 一三象限 二四象限 增减性 在每一象限内，y随x值的增大而减小在每一象限内，y随x值的增大而增大 对称性 关于直线y=-x，y=x成轴对称 图象的两个分支关于原点成中心对称 渐近性 无限接近坐标轴，却不与坐标轴相交 问题 5:函数关系式揭示变量间关系,请根据) y=（k为常数，k≠0）说明: (1)k>0 时，图象经过哪些象限? k<0 时,图象经过哪些象限?并说明原因。 (2)图象会与坐标轴相交吗? (3)从关系式中如何说明图象关于原点对称? 1.大致环节是让学生根据𝑦 =关系式，大致分析得出函数图象具有的基本性质，学生在大致环节能够得出函数的位置，图象有两支。反比例函数的渐进性和增减性需要老师引导。 2．精致环节意在通过学生实际动手操作画出反比例函 数的图象，分析、归纳、概括出反比例函数的主要性 质．在问题的设置上，引导学生从对图象的直观观察开 始，逐步上升到理性的分析，顺应学生思维的发展，在有效的问题引领下，培养学生的逻辑思维能力和数形 结合能力。 3. 一致环节意在通过比较大致取得 的图象和精致画出的图象，分析一 致和导致不一致的原因是什么，从 而更加严谨，培养学生数形结合的思想。 （四）拓展思维，再探性质 在一个反比例函数图象上任取两点 P,Q。过点 P 分别作 x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 S1 ；过点 Q 分别作 x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 S2 ；S1 与 S2 有什么关系？为什么？ 结论：S矩形== 面积不变性 （五）整体建构，提升素养 回顾本节课，你有哪些收获？ （六）学以致用，应用新知 典型例题：已知反比例函数的图象经过点 A（2,6）． （1）这个函数的图象位于哪些象限?y 随 x 的增大如何变化? （2）点 B（3,4） ,C（2,5）是否在这个函数的图象上? 解：（1）∵点 A（2,6）在第一象限, ∴这个函数的图象位于第一、第三象限,在每一个象限内,y 随 x 的增大而减小； （2）设这个反比例函数的解析式为 . ∵点 A（2,6）在其图象上, ∴6=  解得：k＝12. ∴这个反比例函数的解析式为y= 当 x＝3 时,y＝4,所以点 B 在这个函数的图象上； 当 x＝2 时,y＝6≠5,所以点 C 不在这个函数的图象上 总结 本节课你有什么收获？ 学科网（北京）股份有限公司 $$