练案20 8.2.3 倍角公式-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

83 5 5x ! 5 (2)由题意知cey=3且y为锐角。 10 1*8 x+24 2+24 24 x+ 24 46 ✉36 1 24 所以any=血Y。 当且仪当x-24,即x=2时等号成立 2× 2tan Y 3 由于0<0<号，所以当am0最大时，0最大，此时x=2,6 所以an2y= 1-tan'y 1-( 2.D(tan atan B+2)+2tan a +3tan B=0, 3 .'tan atan B+3(tan a +tan B)=tan a -23 ① tan a tan 2y 74 7a80把8-9 所以an(a+2y）=-tan otan2y1- 13=1, 7×4 ..3(tan a+tan B)=(1-tan atan B), e 因为a,y为锐角， 将2代人①得5=tan《-2,5,tana=5+25=35. -3 所以0<2y<m且an2y=4>0, 3CD∠C=120°，.∠A+∠B=60°， 2M+=6m+)=巴把会=AB错误： 所以0<2y<受，则0<a+2y<, tnA+mB=E(1-tamA·tmB)-2 故a+2y= 3tmA·tamB 4 C组创新拓展 =0, 由题意得m0, 14=(2m-3)2-4m(m-2)≥0， 又m4+u8:2, 解得m≤ 且m0 9 由①2联立解得anA=anB= 3· 且amna+anB=-2n-3 ,tan ortan B=m-2 所以eosB=3sinA,故C,D正确，故选CD. 2m-3 4.2-万原式=im(15-89)+e0s15°n80 an(a+B)=ama+tan且 =-m 3 cos(150-8）-sin15in80 1-an a“1m-2之-m _sin15cos8°-c0s15sin80+cos15°sim8 m cos 15 cos 80 +sin 15 sin 8-sin 15sin 80 又m≤号且m0, =tan 150 =tan(45°-30°) ma+B)的最小值为号-号=-子 3 温器=2-反 练案[20] 5.sin Acos B=3sin Bcos A,.'.tan A =3tan B, 6 A组基础巩固 叉B=4-君 1.CD2m15cms15°=m30=子A不符合题盒： tamB=ta(4-） tan A tan 6 2im15°-1三-(1-2215°)=-cs30=-号，B不符 1+amA4an君 题意： 3tanB-tanπ 2cas2150-1=c0s30°= 乞，C符合题意： 即tanB= 6 3tan 15 1+3 Btan Btan-π 6 m=子m30°=D符合题意 ÷3mB-25amB+1=0nB= 2.A 1-tan'15 1 3 2an15 2tan 15= n30°-v -tan'150 又B为三角形的内角B=文 6 3.B cos'5-sin'50 cos10°-2c0s10° 4in40°c0s40° 1 c0s10°=2. 6(1)由题意知am(a+牙）=m[a+8)-(B-晋)门 2sm80 tm(a+B)-u( 9.1 4.D由3c0s2a-10e0sa=1得3(2osa-1)-10c0sa=1, 3+3 即302a-5oma-2=0.解得omsa=-号或eosa=2(舍 91 去) 所以ma=tam[(a+）牙] 又ae(0,m),所以ma-2 3 (a+ 4 所以sin2a-2 sin acos a=- 42 91 1+am(a+） 5.D因为sa=1-2sim号=+5而a为锐角， 2 4 一196 5-卫5-1 16 4 故选D. cos a sin a cos a 6由m(受+=0=子 (2)证明：左边=1+cs(2A+2B)-1-c0s(24-2B 2 得20-20-1-2×-1 =c0s(2A+2B)+e0s(2A-2B】 m是-l 7.-25原式= =(cos 2Acos 2B-sin 2Asin 2B+con 2Acos 2B+sin 2Asin 2B) am是 =cos2Acos2B=右边， 所以等式成立， =-2=-2 B组素养提升 6 l.B因为a∈(0，），所以sa>ima>0. sin0 cos0 =sin cos')2-2sin'0cos'0 1 /2-2an2a-/1+cos2@ -2 sin'20. =2.V√sima-2 sin ace0sa+cosa-√/1+2cosa-1 =2·√/(sina-cosa)-2cmsa& 3 又cos20=-子，sin20=1-cw220=716 =(cos a-sin a)-cos a =-2sin a. 原式=1-方m201-之×6-员 1725 “2+m2A=1-m8+0+2mA-1.1+es4 2.A sinBC 2 2 9.(1)原式= 4(1-2sin2a】 ! +2aA-1=-号故选A in+a) [受-（年-a川 3.C 由三角函数的定义ama=1+in0°_1+oms40 co(a) 00s509 sin40° 2c0m220° 4cos2a 2in20°cs20°= 需器急形加0 所以《=70 m得+d .cos(a) 由am(-a可求得ama= _1-tan&-1 1 4.2 3, co(+a 1 ∴.tan2+ 2tan a +sin'a+cos'a= 2tan a+ 4cos 2a cos 2o I-tan'a'cos'a sin'a I-tan'a 2 sim开+aco(开+a ma+_2ana+a㎡a+1.方+9+ -=2 a8cs2a=8cm20=8. 1-tan'a 1-tan'a 1 sm号+2a c042a 1-g (2)原式=5tam30°(1-tan215)+tan2159 5.号因为n(a-B)=nms月-B=子，周c asin B =5x9(1-m15)+m15°=1 =右，因此血acmB=分 (3)方法一：sin10°sin30°sin50°sin70 则n(a+B）=inB+siB=子 c0s20Po 40co 所以cos(2a+2B)=c0%2(a+B)=1-2im(a+B)=1-2× =2sin20°cs20cos40°cs80 4sin20° =sin40°cos40°eos80c 4sin20° 6I)由题意得f代)=2s(分血+s）-万 =sin80°cos80 1sin160°1 8n20°=6·m20=16 2+72,所以到=m2x+月.1±g2-后 2 2 方法二：令x=in10°in50°sim70°，y=ow10°c0s50°c0s70°，则i 1-cos 2t y=sin10°cos10°sin50°cos50°sin70°cos70 21 20 2sim100°. 2sin 140 所以f)=n2+ms2x=2an2x+号） =gin20血0n40 所以函数的最小正周期为云 令2km-受≤2x+于≤2m+受，keZ, =80s100509c0s70=8 所以-立m+k如≤≤位+如，keZ, :y0,心x=8 所以函数的单调递增区间为[-音+k如，立+：]， 、从而有sm10°im30in50°n70°=石 k后Z 2 sin (2)由题得sn(2x+）=1。 10.(1)原式= 2 2sin'a sin a 2sin acos a 2 2 所以2x+号=2km+受keZ.所以x=m+是keZ, 197 因为x∈[0.2023]. 13 ,∴.tana=- /-cos2a。- 当=0时，=晋k=1时，=2m,…,k=64时，=644m 1 cos 20 3 +号-202，k=645时.>2023. 8.1 4 原式=2（m90°-sim50)+2(c0s40°-0s60)=7 所以方程代x)=2在x∈[0.2023]上解的个数为645. -7sim50°+号cos40°-1=1 44 C组创新拓展 C a=sin 7 sin8=sin 7cosin tan 8 9【证明】方法一：左边=na+B)om&-子m(a+B)+a 1 +tan'8 sin8cos8°1 w%28+sin280 n16,c= -in Bi =sin(a+B)oasin(a+B)os a c(a 12 12 2sim15, 所以a<c<b. g)如a]+之nB=宁a(a+B)ema-cm(a+B)nad 由）-<0 1一x +分nB=名n[(a+B)-a]+宁mB=s血B=右边 尺x)f八x) 所以与<0. 方法二：左边=m(a+B)ema-子(2m2at0 2 一 在(0,1)上单调递减，b2<口a,故选c sin2a-B=sin(a+B)con a-cos(a+B)sin a 2 b a =sin[(+B)-a]=sinB=右边. 练案[21] 2aina+E.cos-里 左边=im+sinB 2 2 A组基础巩固 10.【证明】 sin a-sin B 2cos a.sin -B 1.A /1+c0s20 2 2 2 1+2cos 13-1=/co 3=looe 13 2 tan +B =-cos130°=sin40°，放选A. 2 tan 4-B =右边，故原等式成立 2B血-m15=2m5”15m725”5-2×号 2 2 B组素养提升 之-会放选B AcA特合原式=宁×25=宁m5=分B不 1 3C方法-：因为ma= 560s4-25 5 符合.原武=m15cm15°=7如30=：C符合，原式= 所以tamg ina=5-2. 1×2am301 号.cs五=工：D不符合，原其21-'”20= 3 6 方法二：丙为ma=号>0，a2 5 5 >0,所以角a的终边 夏故腿 落在第一象限，角受的终边落在第一象限或第三象限，即2.D?aBe(0,)心ma+mB>0.csB-msa>0, .'cos B>cos a. 25 又在(0.r)上y=cosx是减函数 an号>0，所以tm受 1-cos a 1 5 B<a,,0<a-B<r,由原式可知： /1+cos a 1*26 =5-2 5 2n里.“2-号(-2ng2.m） 2 2 3 2 4.B原式=(c0s20°+cms140°)+cos60°+cos100°=2cm80° cms60°+7-ms80°=c0s80°+2 -ms80°= am“2-6 2 5Af)=2smim号-2) 2 3.CC=m-(A+B), -[(+号-）-（受号+〗 sin C=sin(A+B)=sin A +sin B cos A cos B' a-m号+o(-号） 2n生4 2m1生42 2 =m(-）子 2 2 2m4 ..2co cos(A+B)=0. 2 650e(m,2)…号e(受 A+B=受C=受故此三角形为直角三角形，故选C -c0s0-4 5 4.-2m号因为0<a<,所以0<受<受 2 √- 2=√21 所以tan 1 -cos a v1-cos'a sin a 2 =1+cos& 1 +cos a 1+cos a 所以(1+amsa)hm受=sia 又因为m(停-a-ina,且1-w《=-2i受 198练案［２０］ 第八章　 向量的数量积与三角恒等变换 ８． ２　 ［８． ２． ３　 倍角公式］ Ａ组　 基础巩固 一、选择题 １．（多选题）（２０２４·福州高一检测）下列各式 中，值为槡３２的是 （　 　 ） Ａ． ２ｓｉｎ １５°ｃｏｓ １５° Ｂ． ２ｓｉｎ２１５° － １ Ｃ． ２ｃｏｓ２１５° － １ Ｄ． ３ｔａｎ １５° １ － ｔａｎ２１５° ２． １ － ｔａｎ ２１５° ２ｔａｎ １５° 的值为 （Ａ ） Ａ．槡３ Ｂ．槡３３ Ｃ． １ Ｄ． － １ ３．化简ｃｏｓ ２５° － ｓｉｎ２５° ｓｉｎ ４０°ｃｏｓ ４０° ＝ （Ｂ ） Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． １２ Ｄ． － １ ４．（２０２４·烟台高一检测）已知α∈（０，π），且 ３ｃｏｓ ２α － １０ｃｏｓ α ＝ １，则ｓｉｎ ２α ＝ （　 　 ） Ａ． ４槡５９ Ｂ． － ４槡５ ９ Ｃ． ４槡２ ９ Ｄ． － ４槡２ ９ ５．（２０２３·全国高考真题）已知α为锐角，ｃｏｓ α ＝ １ ＋槡５４ ，则ｓｉｎ α ２ ＝ （Ｄ ） Ａ． ３ －槡５８ Ｂ． － １ ＋槡５ ８ Ｃ． ３ －槡５４ Ｄ． － １ ＋槡５ ４ 二、填空题 ６．若ｓｉｎ π２ ＋( )θ ＝ ３５，则ｃｏｓ ２θ ＝ 　 　 　 　 ． ７．计算：ｔａｎ π１２ － １ ｔａｎ π１２ ＝ 　 　 　 　 ． ８．若ｃｏｓ ２θ ＝ － ３４，则ｓｉｎ ４θ ＋ ｃｏｓ４θ ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．求下列各式的值： （１） ４ － ８ｓｉｎ ２α ｔａｎ π４ ＋( )α ·ｓｉｎ２ π４ －( )α ； （２）２槡３ｔａｎ １５° ＋ ｔａｎ２１５°； （３）ｓｉｎ １０°ｓｉｎ ３０°ｓｉｎ ５０°ｓｉｎ ７０°                                                                 ． —１３３— １０．（１）化简(： １ ｔａｎ α２ － ｔａｎ α )２ · １ － ｃｏｓ ２α ｓｉｎ ２α ． （２）求证：ｃｏｓ２ （Ａ ＋ Ｂ）－ ｓｉｎ２ （Ａ － Ｂ）＝ ｃｏｓ ２Ａ ｃｏｓ ２Ｂ． Ｂ组　 素养提升 一、选择题 １．（２０２４·青岛高一检测）已知α∈ ０，π( )４ ，化简 ２ － ２ｓｉｎ ２槡 α － １ ＋ ｃｏｓ ２槡 α的结果是（　 　 ） Ａ．槡２ｓｉｎ α Ｂ． 槡－ ２ｓｉｎ α Ｃ．槡２ｃｏｓ α Ｄ． 槡－ ２ｃｏｓ α ２．在△ＡＢＣ中，若ｃｏｓ Ａ ＝ １３，则ｓｉｎ ２ Ｂ ＋ Ｃ ２ ＋ ｃｏｓ ２Ａ ＝ （　 　 ） Ａ． － １９ Ｂ． １ ９ Ｃ． － １ ３ Ｄ． １ ３ ３．已知锐角α的终边经过点Ｐ（ｃｏｓ ５０°，１ ＋ ｓｉｎ ５０°），则锐角α等于 （Ｃ ） Ａ． １０° Ｂ． ２０° Ｃ． ７０° Ｄ． ８０° 二、填空题 ４．若ｔａｎ π４ －( )α ＝ １２，则ｔａｎ ２α ＋ １ｃｏｓ ２α ＝ 　 　 　 　 ． ５．已知ｓｉｎ（α － β）＝ １３，ｃｏｓ αｓｉｎ β ＝ １ ６，则ｃｏｓ（２α ＋ ２β）＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．已知函数ｆ（ｘ）＝ ２ｃｏｓ ｘｓｉｎ ｘ ＋ π( )３ －槡３ｓｉｎ２ｘ ＋ ｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ（π≈３． １４）． （１）求函数ｆ（ｘ）的最小正周期及单调递增 区间； （２）求方程ｆ（ｘ）＝ ２在ｘ∈［０，２ ０２３］上解的 个数． Ｃ组　 创新拓展 　 ｆ（ｘ）满足：ｘ１，ｘ２∈（０，１）都有ｘ２ｆ（ｘ１）－ ｘ１ｆ（ｘ２）ｘ１ － ｘ２ ＜ ０． ａ ＝ ｓｉｎ ７°ｓｉｎ ８３°，ｂ ＝ ｔａｎ ８° １ ＋ ｔａｎ２８° ，ｃ ＝ ｃｏｓ２ ５π２４ － １２，则 ｆ（ａ） ａ ， ｆ（ｂ） ｂ ， ｆ（ｃ） ｃ 的大小顺序为 （　 　 ） Ａ． ｆ（ａ）ａ ＜ ｆ（ｂ） ｂ ＜ ｆ（ｃ） ｃ Ｂ． ｆ（ａ）ａ ＜ ｆ（ｃ） ｃ ＜ ｆ（ｂ） ｂ Ｃ． ｆ（ｂ）ｂ ＜ ｆ（ｃ） ｃ ＜ ｆ（ａ） ａ Ｄ． ｆ（ｃ）ｃ ＜ ｆ（ａ） ａ ＜ ｆ（ｂ）                                                                         ｂ —１３４—