练案16 8.1.3 向量数量积的坐标运算-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

练案［１６］ 第八章　 向量的数量积与三角恒等变换 ８． １　 ［８． １． ３　 向量数量积的坐标运算］ Ａ组　 基础巩固 一、选择题 １．设向量ａ ＝（２，０）、ｂ ＝（１，１），则下列结论中正 确的是 （Ｃ ） Ａ． ｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ Ｂ． ａ·ｂ ＝ １２ Ｃ．（ａ － ｂ）⊥ｂ Ｄ． ａ∥ｂ ２．已知ａ ＝（－ ３，２）、ｂ ＝（－ １，０），向量λａ ＋ ｂ与 ａ － ２ｂ垂直，则实数λ的值为 （Ａ ） Ａ． － １７ Ｂ． １ ７ Ｃ． － １ ６ Ｄ． １ ６ ３．若ａ ＝（２，－ ３），则与向量ａ垂直的单位向量 的坐标为 （Ｃ ） Ａ．（３，２） Ｂ． ３槡１３ １３ ， ２槡１３( )１３ Ｃ． ３槡１３ １３ ， ２槡１３( )１３ 或－ ３槡１３１３ ，－ ２槡１３( )１３ Ｄ．以上都不对 ４．已知向量ａ ＝（１，槡３）、ｂ ＝（３，ｍ），若向量ａ、ｂ 的夹角为π６，则实数ｍ ＝ （Ｂ ） Ａ． ２槡３ Ｂ．槡３ Ｃ． ０ Ｄ． －槡３ ５．已知△ＡＢＣ是腰长为２的等腰直角三角形，Ｄ 是斜边ＡＢ的中点，点Ｐ在ＣＤ上，且→ＣＰ ＝ ３ →ＰＤ，则→ＰＡ·→ＰＢ ＝ （　 　 ） Ａ． － １５４ Ｂ． － １５ １６ Ｃ． － １５ ８ Ｄ． ２ 二、填空题 ６．已知向量ａ ＝（１，２），ｂ ＝（ｘ，４），且ａ∥ｂ，则｜ ａ － ｂ ｜ ＝ 　 　 　 　 ． ７．已知向量ａ ＝（－２，－１），ｂ ＝（λ，１），若ａ与ｂ的 夹角为钝角，则实数λ的取值范围为　 　 　 　 ． ８．（２０２４·北京北大附中模拟）已知正方形ＡＢＣＤ 的边长为２，Ｅ是ＢＣ的中点，点Ｐ满足→ＡＰ ＝ ２ →ＡＥ － →ＡＤ，则｜ →ＰＤ ｜ ＝ 　 　 　 　 ；→ＰＥ·→ＰＤ ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．已知向量ａ ＝（１，０）、ｂ ＝（１，２）、ｃ ＝（０，１）． （１）求实数λ和μ，使ｃ ＝ λａ ＋ μｂ； （２）若→ＡＢ ＝ － ａ ＋ ３ｃ，→ＡＣ ＝ ４ａ － ２ｃ，求向量→ＡＢ与 →ＡＣ的夹角θ                                                                 ． —１２５— １０．在平面直角坐标系ｘＯｙ中，已知向量ａ ＝ １ ２，－ 槡３( )２ ，ｂ ＝（ｃｏｓｘ，ｓｉｎ ｘ），ｘ∈ π２，３π( )２ ． （１）若ａ⊥ｂ，求ｔａｎｘ的值； （２）若ａ∥ｂ，求ｘ的值． Ｂ组　 素养提升 一、选择题 １．（２０２３·北京高考真题）已知向量ａ，ｂ满足 ａ ＋ ｂ ＝（２，３），ａ － ｂ ＝（－ ２，１），则｜ ａ ｜ ２ － ｜ ｂ ｜ ２ ＝ （Ｂ ） Ａ． － ２ Ｂ． － １ Ｃ． ０ Ｄ． １ ２．（２０２３·全国高考真题）正方形ＡＢＣＤ的边长 是２，Ｅ是ＡＢ的中点，则→ＥＣ·→ＥＤ ＝ （Ｂ ） Ａ．槡５ Ｂ． ３ Ｃ． ２槡５ Ｄ． ５ ３．已知点Ａ（４，３），Ｂ（１，２），Ｏ为坐标原点，则 ｜ →ＯＡ ＋ ｔ →ＯＢ ｜（ｔ∈Ｒ）的最小值为 （　 　 ） Ａ． ５槡２ Ｂ． ５ Ｃ． ３ Ｄ．槡５ 二、填空题 ４．已知向量ａ ＝（３，３），ｂ ＝（－２，５），则ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝ 　 　 　 　 ，ａ在ｂ上的投影的数量为　 　 　 　 ． ５．若向量ａ ＝（１，２）与ｂ ＝ ｔ － １，３２( )ｔ 的夹角为锐 角，则ｔ的取值范围为　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．已知→ＯＰ ＝（２，１）、→ＯＡ ＝（１，７）、→ＯＢ ＝（５，１），设 Ｃ是直线ＯＰ上的一点（其中Ｏ为坐标原点）． （１）求使→ＣＡ·→ＣＢ取到最小值时的→ＯＣ； （２）对（１）中求出的点Ｃ，求ｃｏｓ∠ＡＣＢ． Ｃ组　 创新拓展 　 已知正方形ＡＢＣＤ的边长为２，动点Ｐ在以Ｄ 为圆心且与ＡＣ相切的圆上，则→ＢＰ·→ＡＣ的取值 (范围是提示：ａｓｉｎ α ＋ ｂｃｏｓ α ＝ ａ２ ＋ ｂ槡 ( ２ ａ ａ２ ＋ ｂ２ ｓｉｎ α ＋ ｂ ａ２ ＋ ｂ槡 ２ ｃｏｓ )α ，且ａ，ｂ不同时 为)０ （　 　 ） Ａ．［－ ２槡２，２槡２］ Ｂ．［０，２槡２］ Ｃ．［－ ４，４］ Ｄ．［０，４                                                                         ］ —１２６— =1a6=-分，所以向量a与b的夹角0=120.（a-b). -a2 分）易知P为E中点，所以P是) c=(a-b)(a+b)=a2-b=1-4=-3 52因为=(+d)=(2a+2h+2a-60)=2a-2b.所 以Ai2=4(a-b)y2=4(d-2a·b+B)=4×3-2×2×,3× D s石+4则1币=2 E 6(1:(3a+2b)1(a-b).ab=2x1×(-2）=-1, B ∴(3a+2h)·(ka-b)=0, 所以（=（ 3ha2+(2k-3)a·b-2b2=0, 12k-(2k-3)-2=0,解得k=0 当k=-0时，(3a+2b)1(a-b. 6.5由题意，向量a∥b,则4-2x=0,解得x=2,所以b=(2, 4),则a-b=(-1,-2),所以1a-b1=√(-1)+(-2)了 (2)(a+3b)·a=a+3a·b=4-3=1, =5. |a+3b|=√a+96+60·b=4+9-6=7, m04的a方2得 .(-分2U(2,+x):a与6的夹角为纯角， ! ,.a·b<0,且a与b不共线， C组创新拓展 J-2A-1<0. (1)证明：因为(a-b)·c=a·c-b·c=1×1×cs120°-1 1-A≠-2， ×1×c0s120°=0. A>-且A2 所以(a-b)⊥c, (2)解：ha+b+c1>1曰如+b+c12>1台a++c2+8.2510如图，以A为原点，A店为x轴 2ka·b+2ka·e+2b·e>1. 正方向建立平面直角坐标系，则A(0, 因为a,b,c的模均为1，且它们相互之间的夹角均为120°，所 0),B2.0),E(2,1),D(0,2). 以a=b=c2=l,a·b=bc=ac=-2 设P(x,y),所以A户=(x,y),AE=(2. 1),AD=(0,2) 从而有k2+1-2k>1,即-2k>0, 因为AP=2A正-A⑦ (A)0 所以k<0或k>2. 所以(x,y)=2(2,1)-(0,2) 故实数k的取值范围为(-x,0)U(2,+). 解得x=4,y=0,所以P(4,0) 所以P币=(-4,2).所以1P=25. 练案[16] 又P呢=(-2,1)，所以P呢·Pi=(-2)×(-4)+1×2=10. A组基础巩固 9.(1)e=Aa+ub=(A+u,2μ)， 1.C lal =2,1b1 =2,..lallbl; 1 a·b=2×1+0×1=2: 「A+4=0, 【λ=- a-b=(1,-1),(a-b)·b=1×1+(-1)×1=0. 24=1, 1 4=2 .(a-b)⊥b,故选C. (2)AB=(-1,3),A0=(4,-2), 2.A'a=(-3,2),b=(-1,0), ∴.Aa+b=(-3A-1,2入) ,.c0s0= A.A元。-4-6 a-2b=(-3,2)-2(-1.0)=(-1.2), B11Ad0×√2元 由(Aa+b)L(a-2b). 1 又：0≤0≤0=要 得4A+3A+1=0,A=-7 3.C设与a垂直的单位向量为(x,y), 0aa=(告-》b=(mn,且a1b, ,(x,y〉是单位向量 .a·b= x2+y7=1,即x2+y2=1. ① 2 sin x-0.tanx 2 3 而且(x,y)表示的向量垂直于a. 《2)ab心2n+经 1 ∴.2x-3y=0, ② 205x=0, (:3 =3./13 tan x=-3, 13 联立①2解得 13 213 或 又e(受 3 y=13 =-2B 13 :B组素养提升 4.B本题考查向量的坐标运算及数量积 1.B向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2.1),所以1aP- ! ab=3+5m=lal.lb1m君 1b12=(a+b)·(a-b)=2×(-2)+3×1三-1.故选B. 2.B方法一：以1AB,币为基底向量，可知A=1A=2,A应 3 =2×V9+m×号解得，m=5 ·而=0，则武=+配=店+励=+市= 5.C如图，以C为坐标原点建立平而直角坐标系，则A(0,2), B(2.0),D(1,1),记CD中点为E,则由中点坐标公式得 -+, -191 所以成，市：(2+动·(-+动=访+所以m(a+)-√-(a+哥号、 A亦=-1+4=3. 方法二：如图，以A为坐标原点 所以(a+号）=[(a+)+4 建立平面直角坐标系， 则E(1,0),C(2,2),D(0,2),可 得EC=(1,2),ED=(-1,2), 所以EC·ED=-1+4=3.故 选B. 3.D由题意可得0i=(4,3),0成 2A原式=m[(450-a)+(a+15)】=me60=2 =(1,2),期101+10B1=1(4,3) +t(1,2)1=1(4+t,3+21)1= aA因为a和B都是领角，且血a=停血B=巴，所以 √(4+)+(3+2) = 5+20+25=√5(1+2)+5. 0sa=25 ,6sB=30 10,cos(a+B)=cos acos B-sin asin B 结合二次函数的性质可得，当1=-2时，0i+0=5. 故选D. -号x-琴又因为a+8e0.所以 5 4.3090sa.b.3x-2+3x5 58 29 a+B=寻 √32+3√(-2)2+5 9 3 358 4D由0<a<7,0<B<7,得0<a+B<m,又es(a+B)= 32·292·2958' a在b上的投影数量： 片<0，放号<a+B<,所以m(a+B)= ama6=632关5-”g V(-2)+52929 (a+得而a=片，则油a=V小-a 5(于4u(4,+2)若a与b夹角为锐角，则a·b>0且a -4,5,所以csB=es[(a+B)-a]=os(a+B)ma+ 7 与b不同向，即1-1+31>0，即1>4，由a,6共线得21-2= n(a+p)血a=-品+贸=子又0<B<号则日=号故 ,得=4故1（付4u(4,+)。 选D, 5.B由cosA>0,cosB>0知A,B都是锐角， 6.()因为点C是直线0P上一点，所以向量O心与0币共线，设 00=10P,则0C=(21,1. d=0-0元=(1-21.7-t).Ci=0i-0元=(5-21.1-). C·C2=(1-2)(5-2)+(7-4)(1-1)=52-201+12= 血=√（哥 5(1-2)2-8 当：=2时.C·C取得最小值，此时0记=(4,2). .'cos C=cos(A+B)=-cos Acos B-sin Asin B) (2)当0C=(4,2)时，C=(-3,5),CB=(1,-1) 所以1Ci1=3每，1c=2,C.Ci=-8. 6. mom高9 2c0e18°·c0s42°-eos72sin420 =c0s18°·e0s42°-sin18°sin429 C组创新拓展 =c0s(18°+42)=c0e60°=7 C以D为原点，DC.DA所在直 线分别为x,y轴，建立如图所示 的平而直角坐标系，则D(0,0) 2c(a-号）=sas号+snan号= 3 2e0s&+ A(0.2),B(2,2),C(2.0).圆D的 ! 半径为2 2 sin a=cos a. 所以设P(2cos0,√2sin0),8∈ R,所以B=(2us8-2,2sing 2sin a=2 cos a..sin a 0sa3· -2),AC=(2,-2),所以B脉·Ad 即ma=号 =2(,2as0-2)-2(,2in0-2)=4m(0+4}当cms(0+ 8.要由题意在△ABC中m=(csA,nA),n=(oeB,-血B), )=-1时，亦，花取最小值-4，当(0+）-1时， 因为m·n= 立，即cos Acos B-sin Asin B=2,cos(A+B）= B萨·AC取最大值4.故选C 练案[17] 之4+B=号，所以C= 9.a·b=6 cos acos B+6 sin asin B=6coe(a-β)， A组基础巩固 且1a1=2,1b1=3, 1.c因为ae(0,号)所以a+晋e(5》 又，a与b的夹角为60° 又m+) co 6=aGcos(aB)=cos(a-B), 1al1b1=2x3 m(e-g)=子 -192