练案14 8.1.1 向量数量积的概念-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

５． １　 ∵ ａｒｃｓｉｎ ｘ、ａｒｃｃｏｓ ｘ中ｘ∈［－１，１］， 又５π４ ＞ １，ｌｏｇ３４ ＞ １，（槡２ － １） ２∈（０，１）， ｔａｎ π３ ＞ １，故只有ａｒｃｓｉｎ（槡２ － １） ２有意义． ６．函数值ｆ（ｘ）＝ ２，即槡 (３ｓｉｎ ２ｘ ＋ π )４ ＋ １ ＝ ２． 所以ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )４ ＝槡３３ ． 将２ｘ ＋ π４看作一个整体，由三角函数的图像及其性质，可得２ｘ ＋ π ４ ＝ ２ｋπ ＋ ａｒｃｓｉｎ 槡３ ３ ，或２ｘ ＋ π ４ ＝ ２ｋπ ＋ π － ａｒｃｓｉｎ 槡３ ３ ，ｋ∈Ｚ， 即ｘ ＝ ｋπ － π８ ＋ １ ２ ａｒｃｓｉｎ 槡３ ３或ｘ ＝ ｋπ ＋ ３π ８ － １ ２ ａｒｃｓｉｎ 槡３ ３ ，ｋ ∈Ｚ． 所以自变量ｘ {的取值集合为ｘ ｘ ＝ ｋπ － π８ ＋ １２ ａｒｃｓｉｎ槡３３或ｘ ＝ ｋπ ＋３π８ － １ ２ ａｒｃｓｉｎ 槡３ ３ ，ｋ∈ }Ｚ ． Ｃ组　 创新拓展 　 － １２ ，[ ]１ 　 ∵ － π２ ≤ａｒｃｓｉｎ ｘ≤ π２ ，ｘ∈Ｒ， ∴ － π３ ≤ π ６ ＋ ａｒｃｓｉｎ ｘ≤ ２ ３ π， ∴ － １２ ≤ｃｏｓ π ６ ＋ ａｒｃｓｉｎ( )ｘ ≤１． 即函数的值域为－ １２ ，[ ]１ ． 练案［１４］ Ａ组　 基础巩固 １． Ｃ　 ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ｜ ａ ｜ ２ ＋ ｜ ｂ ｜ ２ ＝ １ ＋ ４ ＝ ５． ２． Ｂ　 已知向量｜ ａ ｜ ＝ ３ ｜ ｂ ｜ ＝ ａ·ｂ ＝ ３，则｜ ｂ ｜ ＝ １，ａ·ｂ ＝ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝ ３ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝ ３，所以ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝ １，因为〈ａ，ｂ〉∈ ［０，π］，所以〈ａ，ｂ〉＝０，所以ａ ＝３ｂ，ａ∥ｂ，｜ａ ＋ ｂ ｜ ＝４，｜ａ － ｂ ｜ ＝ ２， 故选Ｂ． ３． Ａ　 方法一：设正六边形的边长为２，则ＡＣ 槡＝ ２ ３，→ＡＢ·→ＡＣ ＝ ｜→ＡＢ ｜ ｜→ＡＣ ｜ ｃｏｓ ３０° ＝ ６，→ＡＢ·→ＡＤ ＝ ｜→ＡＢ ｜ ｜→ＡＤ ｜ ｃｏｓ ６０° ＝ ４，→ＡＢ·→ＡＥ ＝ ｜→ＡＢ ｜ ｜→ＡＥ ｜ ｃｏｓ ９０° ＝ ０，→ＡＢ·→ＡＦ ＝ ｜→ＡＢ ｜ ｜→ＡＦ ｜ ｃｏｓ １２０° ＝ － ２． 方法二：显然，向量→ＡＣ在→ＡＢ上投影的数量最大，所以→ＡＢ·→ＡＣ 最大． ４． Ｃ　 在等腰直角三角形ＡＢＣ中，Ｃ ＝ ９０°，面积为１，则１２ ＡＣ ２ ＝ １，得ＡＣ 槡＝ ２，得ＡＢ ＝ ２，所以→ＡＣ·→ＢＣ ＝ ０，选项Ａ正确→． ＡＢ·→ＡＣ ＝ ｜→ＡＢ ｜ ｜→ＡＣ ｜ ｃｏｓ ４５° ＝ ２，选项Ｂ正确→． ＡＢ·→ＢＣ ＝ ｜→ＡＢ ｜ ｜→ＢＣ ｜ ｃｏｓ １３５° ＝ － ２，选项Ｃ不正确．向量→ＢＡ在→ＢＣ上投影的数量为 ｜→ＢＣ ｜，即｜→ＡＢ ｜ ｃｏｓ Ｂ ＝ ｜→ＢＣ ｜，选项Ｄ正确，故选Ｃ． ５． ＡＢＣ　 因为四边形ＡＢＣＤ为菱形， 所以ＡＢ∥ＣＤ，所以→ＡＢ∥→ＣＤ，Ａ正确； 因为对角线ＡＣ与ＢＤ互相垂直，且→ＡＢ ＋→ＢＣ ＝→ＡＣ，→ＢＣ ＋ →ＣＤ ＝→ＢＤ，所以→ＡＣ⊥→ＢＤ，即（→ＡＢ ＋→ＢＣ）⊥（→ＢＣ ＋→ＣＤ），Ｂ正确； 因为→ＡＢ －→ＡＤ ＝ →ＤＢ，→ＢＡ －→ＢＣ ＝→ＣＡ，又因为→ＤＢ⊥→ＣＡ，即→ＤＢ·→ＣＡ ＝ ０，所以（→ＡＢ －→ＡＤ）·（→ＢＡ －→ＢＣ）＝ ０，Ｃ正确； 易知〈→ＡＢ，→ＡＤ〉＝ １８０° －〈→ＢＣ，→ＣＤ〉， 且｜→ＡＢ ｜ ＝ ｜→ＡＤ ｜ ＝ ｜→ＢＣ ｜ ＝ ｜→ＣＤ ｜， 所以→ＡＢ·→ＡＤ ＝ －→ＢＣ·→ＣＤ，Ｄ错误． ６． － ２５　 ∵ ｜→ＣＡ ｜ ２ ＝ ｜→ＡＢ ｜ ２ ＋ ｜→ＢＣ ｜ ２， ∴ ∠Ｂ ＝ ９０°，∴ →ＡＢ·→ＢＣ ＝ ０． ∵ ｃｏｓ Ｃ ＝ ４５ ，ｃｏｓ Ａ ＝ ３ ５ ， ∴ →ＢＣ·→ＣＡ ＝ ｜→ＢＣ ｜·｜→ＣＡ ｜ ｃｏｓ（１８０° － Ｃ） ＝ ４ × ５ × －( )４５ ＝ － １６．→ＣＡ·→ＡＢ ＝ ｜→ＣＡ ｜·｜→ＡＢ ｜ ｃｏｓ（１８０° － Ａ） ＝ ５ × ３ × －( )３５ ＝ － ９． ∴ →ＡＢ·→ＢＣ ＋→ＢＣ·→ＣＡ ＋→ＣＡ·→ＡＢ ＝ － ２５． ７． ３　 设向量ａ与ｂ的夹角为θ，则 ｃｏｓ θ ＝ ａ·ｂ｜ ａ ｜·｜ ｂ ｜ ＝ ４ ５ ，∴ ｓｉｎ θ ＝ ３ ５ ． ∴ ａｂ ＝ ｜ ａ ｜·｜ ｂ ｜·ｓｉｎ θ ＝ １ × ５ × ３５ ＝ ３． ８． 槡０　 － ２　 方法一：因为正方形ＡＢＣＤ的边长为２，→ＡＢ⊥→ＡＤ，则 向量→ＡＢ在→ＡＤ上的投影的数量为｜→ＡＢ ｜ ｃｏｓ ９０° ＝ ０，→ＡＢ在→ＣＡ上的 投影的数量为｜→ＡＢ ｜ ｃｏｓ １３５° ＝ ２ × －槡２( )２ 槡＝ － ２． 方法二：如图，正方形ＡＢＣＤ的边长为２，→ＡＢ ⊥→ＡＤ，则向量→ＡＢ在→ＡＤ上的投影的数量为 ０，→ＡＢ在→ＡＣ上的投影的数量为槡２，所以→ＡＢ在→ＣＡ上的投影的数量为槡－ ２． ９．（１）因为→ＡＤ∥→ＢＣ，且方向相同，所以→ＡＤ与→ＢＣ的夹角是０°． 所以→ＡＤ·→ＢＣ ＝ ｜→ＡＤ ｜ ｜→ＢＣ ｜ ｃｏｓ ０° ＝ ３ × ３ × １ ＝ ９． （２）因为→ＡＢ∥→ＣＤ，且方向相反，所以→ＡＢ与→ＣＤ的夹角是１８０°． 所以→ＡＢ·→ＣＤ ＝ ｜→ＡＢ ｜ ｜→ＣＤ ｜ ｃｏｓ １８０° ＝ ４ × ４ ×（－ １）＝ － １６． （３）因为→ＡＢ与→ＡＤ的夹角为６０°，所以→ＡＢ与→ＤＡ的夹角为１２０°． 所以→ＡＢ·→ＤＡ ＝ ｜→ＡＢ ｜ ｜→ＤＡ ｜ ｃｏｓ １２０° ＝ ４ × ３ × －( )１２ ＝ － ６． １０． ∵ ｜→ＡＢ ｜ ＝ ５，｜→ＢＣ ｜ ＝ ４，｜→ＡＣ ｜ ＝ ３． ∴ △ＡＢＣ为直角三角形，且Ｃ ＝ ９０°． ∴ ｃｏｓ Ａ ＝ ＡＣＡＢ ＝ ３ ５ ，ｃｏｓ Ｂ ＝ ＢＣ ＡＢ ＝ ４ ５ ． （１）→ＡＢ·→ ＢＣ ＝ －→ＢＡ·→ ＢＣ ＝ －５ ×４ × ４５ ＝ －１６． （２）｜→ＡＣ ｜·ｃｏｓ〈→ＡＣ，→ＡＢ〉＝ →ＡＣ·→ＡＢ ｜→ＡＢ ｜ ＝ ５ × ３ × ３５ ５ ＝ ９ ５ ． （３）｜→ＡＢ ｜·ｃｏｓ〈→ＡＢ，→ＢＣ〉＝ →ＢＣ·→ＡＢ ｜→ＢＣ ｜ ＝ －→ＢＡ·→ＢＣ ｜→ＢＣ ｜ ＝ － ５ × ４ × ４５ ４ ＝ － ４． Ｂ组　 素养提升 １． Ｄ　 因为｜ ａ ｜ ＝ ３，｜ ｂ ｜ ＝ ３，向量ａ与向量ｂ的夹角为１５０°，所以 向量ａ在向量ｂ方向上的投影向量为｜ ａ ｜ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉ｂ｜ ｂ ｜ ＝ ３ × －槡３( )２ × ｂ３ ＝ －槡３２ ｂ．故选Ｄ． ２． Ｄ　 由 →ＡＢ ｜→ＡＢ ｜ ＋ →ＡＣ ｜→ＡＣ( )｜ ·→ＢＣ ＝ ０，可得∠ＢＡＣ的平分线垂直于 ＢＣ，所以ＡＢ ＝ ＡＣ． 又因为 →ＡＢ·→ＡＣ ｜→ＡＢ ｜ ｜→ＡＣ ｜ ＝ ｃｏｓ〈 →ＡＢ，→ＡＣ〉＝ １２ ，且〈 →ＡＢ，→ＡＣ〉∈（０，π）， 所以∠ＢＡＣ ＝ π３ ，所以△ＡＢＣ为等边三角形，故选Ｄ． ３． ＡＢＤ　 题图２中的正八边形ＡＢＣＤＥＦＧＨ，其中｜ ＯＡ ｜ ＝ １，对于 Ａ，→ＯＡ·→ＯＤ ＝ １ × １ × ｃｏｓ ３π４ ＝ －槡 ２ ２ ，故Ａ正确； 对于Ｂ，→ＯＢ ＋ →ＯＨ 槡＝ ２→ＯＡ 槡＝ － ２→ＯＥ，故Ｂ正确； 对于Ｃ，因为｜→ＡＨ ｜ ＝ ｜→ＢＣ ｜，｜ →ＨＯ ｜ ＝ ｜ →ＢＯ ｜，〈→ＡＨ，→ＨＯ〉＝ ５π８ ， 〈→ＢＣ，→ＢＯ〉＝ ３π８ ，则 →ＡＨ·→ＨＯ ＝ ｜→ＡＨ ｜·｜→ＨＯ ｜ ｃｏｓ〈→ＡＨ，→ＨＯ〉＝ ｜→ＡＨ                                                                       ｜ —１８９— ·｜→ＨＯ ｜ ｃｏｓ ５π８ ， →ＢＣ·→ＢＯ ＝ ｜→ＢＣ ｜·｜→ＢＯ ｜ ｃｏｓ〈→ＢＣ，→ＢＯ〉＝ ｜→ＢＣ ｜·｜→ＢＯ ｜ ｃｏｓ ３π８ ，所 以→ＡＨ·→ＨＯ≠→ＢＣ·→ＢＯ，故Ｃ错误； 对于Ｄ，因为→ＤＥ ＝→ＡＨ，所以向量→ＤＥ在向量→ＡＢ上的投影向量即 为→ＡＨ在→ＡＢ向量上的投影向量｜→ＡＨ ｜ ｃｏｓ ３π４· →ＡＢ ｜→ＡＢ ｜ ＝ － 槡２ ２ →ＡＢ， 故Ｄ正确． ４． ４５ 　 ａ在ｂ上的投影的数量等于｜ ａ ｜ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉，ｂ在ａ上的投影 的数量等于｜ｂ ｜ｃｏｓ〈ｂ，ａ〉， ∴ λ ＝ ｜ ａ ｜ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉｜ ｂ ｜ ｃｏｓ〈ｂ，ａ〉＝ ４ ５ ． ５． 槡２ ５　 － ４　 因为→ＡＰ ＝ １２ （ →ＡＢ ＋→ＡＣ），所 以点Ｐ为ＢＣ的中点， 所以｜ →ＰＤ ｜ ＝ ＰＣ２ ＋ ＣＤ槡 ２ 槡＝ ４ ＋ １６ ＝ 槡２ ５； 根据数量积的几何意义可得，→ＰＢ·→ＰＤ ＝ －→ＰＤ·→ＰＣ ＝ － ４． ６． ∵方程ｘ２ ＋ ｜ ａ ｜ ｘ ＋ ａ·ｂ ＝ ０有实根，∴ Δ ＝ ｜ ａ ｜ ２ － ４ａ·ｂ≥０， ∴ ａ·ｂ≤ １４ ｜ ａ ｜ ２ ． ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝ ａ·ｂ｜ ａ ｜·｜ ｂ ｜ ＝ ａ·ｂ ｜ ａ ｜·｜ ａ ｜２ ＝ ａ·ｂ１ ２ ｜ ａ ｜ ２ ≤ １ ４ ｜ ａ ｜ ２ １ ２ ｜ ａ ｜ ２ ＝ １２ ， 又∵ ０≤〈ａ，ｂ〉≤π，∴ π３ ≤〈ａ，ｂ〉≤π． 即ａ与ｂ的夹角的取值范围为π３ ，[ ]π ． Ｃ组　 创新拓展 　 Ｄ　 →ＡＢ·→ＯＰ ＝ ｜→ＡＢ ｜ ｜→ＯＰ ｜ ｃｏｓ〈→ＡＢ，→ＯＰ〉，即｜→ＡＢ ｜与→ＯＰ在向量→ＡＢ 方向上的投影的数量的积． 由题图２知，Ｏ点在直线ＡＢ上的射影是ＡＢ的中点，由于ＡＢ ＝ ２，圆弧直径是２，半径为１，所以→ＯＰ在向量→ＡＢ方向上的投影 的数量的最大值是２，最小值是－ ２，因此→ＡＢ·→ＯＰ的最大值是 ２ × ２ ＝ ４，最小值是２ ×（－ ２）＝ － ４，因此其取值范围为［－ ４， ４］． 练案［１５］ Ａ组　 基础巩固 １． Ｂ　 由｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ ＝ ｜ ｃ ｜且ａ ＋ ｂ ＝ ｃ，得｜ ａ ＋ ｂ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜，平方得｜ ａ ｜ ２ ＋ ｜ ｂ ｜ ２ ＋ ２ａ·ｂ ＝ ｜ ｂ ｜ ２２ａ·ｂ ＝ － ｜ ａ ｜ ２２ ｜ ａ ｜·｜ ｂ ｜·ｃｏｓ θ ＝ － ｜ ａ ｜ ２ｃｏｓ θ ＝ － １２ θ ＝ １２０°． ２． Ｄ　 在菱形ＡＢＣＤ中，→ＢＡ ＝→ＣＤ，→ＢＤ ＝→ＢＡ ＋→ ＢＣ，所以→ＢＤ·→ＣＤ ＝（→ＢＡ ＋→  ＢＣ）·→ＣＤ ＝→ＢＡ·→ＣＤ ＋→ ＢＣ·→ＣＤ ＝ ａ２ ＋ ａ × ａ × ｃｏｓ ６０° ＝ ａ２ ＋ １ ２ ａ ２ ＝ ３２ ａ ２ ． ３． Ｂ　 设向量ａ与ｂ的夹角为θ， ∵ ａ·（ａ － ｂ）＝ ａ２ － ａ·ｂ ＝ １２ ， ∴ １ － １ × １ × ｃｏｓ θ ＝ １２ ，∴ ｃｏｓ θ ＝ １ ２ ， ∵ ０≤θ≤π，∴ θ ＝ π３ ． ４． Ｂ　 由题意可知：→ＢＣ ＝→ＡＣ －→ＡＢ，则→ＢＣ２ ＝（→ＡＣ －→ＡＢ）２ ＝→ＡＣ２ － ２→ＡＢ·→ＡＣ ＋→ＡＢ２ ＝ ４９， 所以｜→ＢＣ ｜ ＝ ７．故选Ｂ． ５． Ｃ　 由题意可知，→ＢＱ ＝→ＡＱ －→ＡＢ ＝（１ － λ）→ＡＣ －→ＡＢ，→ＣＰ ＝→ＡＰ －→ＡＣ ＝ λ→ＡＢ －→ＡＣ． 又因为△ＡＢＣ为等边三角形，ＡＢ ＝ ２，所以→ＡＢ·→ＡＣ ＝２ ×２ × １２ ＝２，所以→ＢＱ·→ ＣＰ ＝［（１ － λ）→ＡＣ －→ＡＢ］·（λ→ＡＢ －→ＡＣ）＝ λ（１ － λ）× ２ － ４（１ － λ）－ ４λ ＋ ２ ＝ － ３２ ，解得λ ＝ １ ２ ，故选Ｃ． ６．槡２１　 ∵ ｜ ａ ｜ ＝ ３，｜ ｂ 槡｜ ＝ ３，ａ与ｂ的夹角为π６ ，∴ ｜ ａ ＋ ｂ ｜ ２ ＝ ａ２ ＋ ２ａ·ｂ ＋ ｂ２ 槡＝ ９ ＋ ２ × ３ × ３ × ｃｏｓ π６ 槡＋ ３ ＝ ９ ＋ ２ × ３ × ３ ×槡 ３ ２ ＋ ３ ＝ ２１， ∴ ｜ ａ ＋ ｂ 槡｜ ＝ ２１． ７． 槡２ ３　 由ａ ＋ ｔｂ ＋ ｃ ＝ ０，得ｃ ＝ － ａ － ｔｂ，而｜ ａ ｜ ＝ ４，ａ与ｂ的夹 角为２π３ ， 则｜ ｃ ｜ ＝ ｜ ａ ｜ ２ ＋ ｔ２ ｜ ｂ ｜ ２ ＋ ２ｔａ·槡 ｂ ＝ １６ ＋ ｔ２ ｜ ｂ ｜ ２ ＋ ２ｔ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ｃｏｓ ２π槡 ３ ＝ １６ ＋ ｔ２ ｜ ｂ ｜ ２ － ４ｔ ｜ ｂ槡 ｜ ＝ １２ ＋（ｔ ｜ ｂ ｜ － ２）槡 ２≥ 槡２ ３，当且仅当 ｔ ｜ ｂ ｜ ＝ ２时取等号， 所以｜ ｃ ｜的最小值为槡２ ３． ８． １４１５ 　 ∵ （ｋａ － ｂ）⊥（ａ ＋ ２ｂ），∴ （ｋａ － ｂ）·（ａ ＋ ２ｂ）＝ ０，即ｋａ ２ ＋（２ｋ － １）ａ·ｂ － ２ｂ２ ＝ ０，∴ ｋ × ５２ ＋（２ｋ － １）× ５ × ４ × ｃｏｓ ６０° － ２ × ４２ ＝ ０． ∴ ｋ ＝ １４１５ ． ∴当ｋ ＝ １４ １５时，向量ｋａ － ｂ与向量ａ ＋ ２ｂ垂直． ９． ∵ ｃ∥ｄ，∴存在唯一实数λ使得ｃ ＝ λｄ，即ａ ＋ ２ｂ ＝ λ（ｍａ － ６ｂ）， ∴ λｍ ＝ １－ ６λ{ ＝ ２，解得λ ＝ － １ ３ ｍ{ ＝ － ３ ． ∴ ｄ ＝ － ３ａ － ６ｂ，∴ ｃ ＋ ｄ ＝ － ２ａ － ４ｂ， ∴ ｜ ｃ ＋ ｄ ｜ ２ ＝ ｜ － ２ａ － ４ｂ ｜ ２ ＝ ｜ ２ａ ＋ ４ｂ ｜ ２ ＝ ４ａ２ ＋ １６ａ·ｂ ＋ １６ｂ２ ＝ ４ × ９ ＋ １６ × ３ × ２ × ｃｏｓ ６０° ＋ １６ × ４ ＝ １４８，∴ ｜ ｃ ＋ ｄ 槡｜ ＝ ２ ３７． １０． ａ·ｂ ＝ ２ × １ × ｃｏｓ ６０° ＝ １，｜ｍ ｜ ２ ＝ ｜ ２ａ ＋ ｂ ｜ ２ ＝ ４ ｜ ａ ｜ ２ ＋ ４ａ·ｂ ＋ ｜ ｂ ｜ ２ ＝ ４ × ２２ ＋ ４ × １ ＋１２ ＝２１，｜ｎ ｜ ２ ＝ ｜ａ －４ｂ ｜ ２ ＝ ｜ａ ｜ ２ －８ａ·ｂ ＋１６ ｜ｂ ｜ ２ ＝ ２２ － ８ × １ ＋ １６ × １２ ＝ １２，∴ ｜ｍ 槡｜ ＝ ２１，｜ｎ 槡｜ ＝ ２ ３， ｍ·ｎ ＝（２ａ ＋ ｂ）·（ａ － ４ｂ）＝ ２ ｜ ａ ｜ ２ － ７ａ·ｂ － ４ ｜ ｂ ｜ ２ ＝ ２ × ２２ － ７ × １ － ４ × １２ ＝ － ３． 设ｍ，ｎ的夹角为θ，∵ ｍ·ｎ ＝ ｜ｍ ｜ ｜ｎ ｜ ｃｏｓ θ， 槡 槡∴ －３ ＝ ２１ × ２ ３ × ｃｏｓ θ，即ｃｏｓ θ ＝ －槡７１４ ． Ｂ组　 素养提升 １． Ｂ　 本题考查了平面向量的数量积的运算，由已知（２ａ ＋ ｂ）·ｂ ＝ ０，即２ａ·ｂ ＋ ｂ·ｂ ＝０，（ａ ＋ ｂ）·ａ ＝０，所以｜ａ ｜ ２ ＋ ａ·ｂ ＝ ０，２ａ· ｂ ＋ ｜ｂ ｜ ２ ＝ ０，又｜ａ ｜ ＝ １所以｜ｂ 槡｜ ＝ ２． ２． Ｃ　 由题可设ｂ ＝ λｃ（λ ＞ ０），由〈ａ，ｂ〉＝ π４可知〈ａ，ｂ ＋ ｃ〉＝ π ４ ，所以ａ·（ｂ ＋ ｃ）＝ ａ·（λｃ ＋ ｃ） 槡＝ ２ ｜ λｃ ＋ ｃ ｜·槡 ２ ２ ＝ ２，所 以｜ ｃ ｜ ＝ ２ λ ＋ １ ．因为λ ＞ ０，所以λ ＋ １ ＞ １，所以０ ＜ ２λ ＋ １ ＜ ２，即 ｜ ｃ ｜∈（０，２）．故选Ｃ． ３． Ｂ　 由｜→ＰＢ －→ＰＣ ｜ ＝ ｜→ＰＢ ＋→ＰＣ － ２→ＰＡ ｜，可得｜→ＣＢ ｜ ＝ ｜→ＰＢ ＋→ＰＣ － ２→ＰＡ ｜，即｜→ＣＢ ｜ ＝ ｜→ＡＢ ＋→ＡＣ ｜，则｜→ＡＢ －→ＡＣ ｜ ＝ ｜→ＡＣ ＋→ＡＢ ｜，等式两 边平方化简得→ＡＢ·→ＡＣ ＝ ０，所以→ＡＢ⊥→ＡＣ，因此，△ＡＢＣ是直角 三角形．故选Ｂ． ４． １２０°　 － ３　 由ｃ⊥ａ得，ａ·ｃ ＝ ０，所以ａ·ｃ ＝ ａ·（ａ ＋ ｂ）＝ ０， 即ａ２ ＋ ａ·ｂ ＝ ０．设向量ａ与ｂ的夹角为θ，则ｃｏｓ θ ＝ ａ·ｂ｜ ａ ｜ ｜ ｂ                                                                      ｜ —１９０— 练案［１４］ 第八章　 向量的数量积与三角恒等变换 ８． １　 ［８． １． １　 向量数量积的概念］ Ａ组　 基础巩固 一、选择题 １．已知平面向量｜ ａ ｜ ＝ １，｜ ｂ ｜ ＝ ２，则ａ２ ＋ ｂ２ ＝ （Ｃ ） Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ． ５ Ｄ． － ５ ２．已知向量｜ａ ｜ ＝３ ｜ｂ ｜ ＝ ａ·ｂ ＝３，则下列结论正确 的是 （Ｂ ） Ａ． ａ⊥ｂ Ｂ． ａ∥ｂ Ｃ． ｜ ａ ＋ ｂ ｜ ＝ ３ Ｄ． ｜ ａ － ｂ ｜ ＝ ３ ３．如图，已知正六边形ＡＢＣＤＥＦ，下列向量的数 量积最大的是 （Ａ ） Ａ． →ＡＢ·→ＡＣ Ｂ． →ＡＢ·→ＡＤ Ｃ． →ＡＢ·→ＡＥ Ｄ． →ＡＢ·→ＡＦ ４．已知等腰直角三角形ＡＢＣ中，Ｃ ＝ ９０°，且Ｓ△ＡＢＣ ＝ １，则下列结论错误的是 （Ｃ ） Ａ． →ＡＣ·→ＢＣ ＝ ０ Ｂ． →ＡＢ·→ＡＣ ＝ ２ Ｃ． →ＡＢ·→ＢＣ ＝ ２ Ｄ． ｜ →ＡＢ ｜ ｃｏｓ Ｂ ＝ ｜ →ＢＣ ｜ ５．（多选题）关于菱形ＡＢＣＤ的说法中，正确的是 （　 　 ） Ａ． →ＡＢ∥ →ＣＤ Ｂ．（→ＡＢ ＋ →ＢＣ）⊥（→ＢＣ ＋ →ＣＤ） Ｃ．（→ＡＢ － →ＡＤ）·（→ＢＡ － →ＢＣ）＝ ０ Ｄ． →ＡＢ·→ＡＤ ＝ →ＢＣ·→ＣＤ 二、填空题 ６．已知点Ａ，Ｂ，Ｃ满足｜ →ＡＢ ｜ ＝３，｜ →ＢＣ ｜ ＝ ４，｜ →ＣＡ ｜ ＝ ５， 则→ＡＢ·→ＢＣ ＋ →ＢＣ·→ＣＡ ＋ →ＣＡ·→ＡＢ的值是　 　 　 　 ． ７．对于任意向量ａ、ｂ，定义新运算“”：ａｂ ＝ ｜ ａ ｜·｜ ｂ ｜·ｓｉｎ θ（其中θ为ａ与ｂ的夹角）．利 用这个新知识解决：若｜ ａ ｜ ＝ １，｜ ｂ ｜ ＝ ５，且ａ· ｂ ＝ ４，则ａｂ ＝ 　 　 　 　 ． ８．已知正方形ＡＢＣＤ的边长为２，则向量→ＡＢ在→ＡＤ 上的投影的数量为　 　 　 　 ，→ＡＢ在→ＣＡ上的投 影的数量为　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．（２０２４·潍坊高一检测）如图，在ＡＢＣＤ中， ｜ →ＡＢ ｜ ＝ ４，｜ →ＡＤ ｜ ＝ ３，∠ＤＡＢ ＝ ６０°．求： （１）→ＡＤ·→ＢＣ； （２）→ＡＢ·→ＣＤ； （３）→ＡＢ·→ＤＡ． １０．在△ＡＢＣ中，已知｜ →ＡＢ ｜ ＝ ５，｜ →ＢＣ ｜ ＝ ４，｜ →ＡＣ ｜ ＝ ３，求： （１）→ＡＢ·→ＢＣ； （２）→ＡＣ在→ＡＢ方向上的投影的数量； （３）→ＡＢ在→ＢＣ方向上的投影的数量                                                                 ． —１２１— Ｂ组　 素养提升 一、选择题 １．（２０２４·广东东莞两校高一月考）若｜ ａ ｜ ＝ ３， ｜ ｂ ｜ ＝ ３，向量ａ与向量ｂ的夹角为１５０°，则向 量ａ在向量ｂ方向上的投影向量为（　 　 ） Ａ． ３２ ｂ Ｂ． － ３ ２ ｂ Ｃ． 槡３ ２ ｂ Ｄ． － 槡３ ２ ｂ ２．已知非零向量→ＡＢ与→ＡＣ满足 →ＡＢ ｜ →ＡＢ ｜ ＋ →ＡＣ ｜ →ＡＣ( )｜ ·→ＢＣ ＝０且 →ＡＢ ｜ →ＡＢ ｜ · →ＡＣ ｜ →ＡＣ ｜ ＝ １２，则△ＡＢＣ为（　 　 ） Ａ．三边均不相等的三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．等腰非等边三角形 Ｄ．等边三角形 ３．（多选题）八卦是中国文化的基本哲学概念， 如图１是八卦模型图，其平面图形记为图２中 的正八边形ＡＢＣＤＥＦＧＨ，其中ＯＡ ＝ １，则下列 结论正确的有 （　 　 ） Ａ →． ＯＡ·→ＯＤ ＝ －槡２２ Ｂ →． ＯＢ ＋ →ＯＨ 槡＝ － ２ →ＯＥ Ｃ →． ＡＨ·→ＨＯ ＝ →ＢＣ·→ＢＯ Ｄ．向量→ＤＥ在向量→ＡＢ上的投影向量为－槡２２ →ＡＢ 二、填空题 ４．已知｜ａ ｜ ＝４，｜ｂ ｜ ＝５，则ａ在ｂ上的投影的数量与 ｂ在ａ上的投影的数量的比值λ ＝ 　 　 　 　 ． ５．已知正方形ＡＢＣＤ边长为４，点Ｐ满足→ＡＰ ＝ １ ２（ →ＡＢ ＋ →ＡＣ），则｜ →ＰＤ ｜ ＝ 　 　 　 　 ；→ＰＢ·→ＰＤ ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．已知｜ ａ ｜ ＝ ２ ｜ ｂ ｜≠０，且关于ｘ的方程ｘ２ ＋ ｜ ａ ｜ ｘ ＋ ａ·ｂ ＝ ０有实根，求ａ与ｂ的夹角的取值 范围． Ｃ组　 创新拓展 　 窗花是贴在窗纸 或窗户玻璃上的 剪纸，它是中国 古老的传统民间 艺术之一．人们设计了一种由外围四个大小相 等的半圆和中间正方形构成的剪纸窗花（如图 １）．已知正方形ＡＢＣＤ的边长为２，中心为Ｏ， 四个半圆的圆心均在正方形ＡＢＣＤ各边的中 点（如图２），若点Ｐ在四个半圆的圆弧上运 动，则→ＡＢ·→ＯＰ的取值范围是 （　 　 ） Ａ．［－ ２，２］ Ｂ．［－ ２槡２，２槡２］ Ｃ．［－ ３槡２，３槡２］ Ｄ．［－ ４，４                                                                         ］ —１２２—