练案12 7.3.4 正切函数的性质与图像-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

练案［１２］ 第七章　 三角函数 ７． ３　 ［７． ３． ４　 正切函数的性质与图像］ Ａ组　 基础巩固 一、选择题 １．下列函数中，最小正周期为π２的是 （Ｂ ） Ａ． ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )３ Ｂ． ｙ ＝ ｔａｎ ２ｘ － π( )３ Ｃ． ｙ ＝ ｃｏｓ ２ｘ ＋ π( )６ Ｄ． ｙ ＝ ｔａｎ ４ｘ ＋ π( )６ ２．与函数ｆ（ｘ）＝ ２ｔａｎ ２ｘ － π( )３ － １的图像不相交 的一条直线可以是 （　 　 ） Ａ． ｘ ＝ π２ Ｂ． ｘ ＝ π ３ Ｃ． ｘ ＝ π６ Ｄ． ｘ ＝ ５π １２ ３．函数ｙ ＝ ｔａｎ ｘ ＋ π( )６ 的一个对称中心为（Ｃ ） Ａ． － π３，( )０ Ｂ． π６，( )０ Ｃ． π３，( )０ Ｄ． ２π３ ，( )０ ４．直线ｙ ＝ ３与函数ｙ ＝ ｔａｎ ωｘ（ω ＞ ０）的图像相 交，则相邻两交点间的距离是 （Ｃ ） Ａ． π Ｂ． ２πω Ｃ． π ω Ｄ． π２ω ５．下列不等式中，正确的是 （Ｃ ） Ａ． ｔａｎ ４π７ ＞ ｔａｎ ３π ７ Ｂ． ｔａｎ ２π５ ＜ ｔａｎ ３π ５ Ｃ． ｔａｎ － １３π( )７ ＞ ｔａｎ － １５π( )８ Ｄ． ｔａｎ － １３π( )４ ＜ ｔａｎ － １２π( )５ 二、填空题 ６．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｔａｎ ｘ ＋ １ｔａｎ ｘ ＋ ３，且ｆ（α）＝ ５， 则ｆ（－ α）＝ 　 　 　 　 ． ７．（２０２４·济宁高一检测）不等式－ １≤ (ｔａｎ １２ ｘ ＋ π )６ ≤槡３的解集是　 　 　 　 ． ８．（２０２３·锦州高一检测）已知函数ｆ（ｘ）＝ ａ － 槡３ｔａｎ ２ｘ在闭区间－ π６，[ ]ｂ 上的最大值为７， 最小值为３，则ａｂ ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．求下列函数的定义域： （１）ｙ ＝ １ｌｇｔａｎ ｘ； （２）ｙ ＝ － ２ｓｉｎ ｘ槡 － １１ ＋ ｔａｎ ｘ                                                                  ． —１１７— １０．若函数ｆ（ｘ）＝ ｔａｎ２ｘ － ａｔａｎ ｘ ｜ ｘ ｜≤π( )４ 的最小 值为－ ６，求实数ａ的值． Ｂ组　 素养提升 一、选择题 １．函数ｆ（ｘ）＝ ｔａｎ ωｘ（ω ＞ ０）的图像的相邻两支 截直线ｙ ＝ π４所得线段长为２，则ｆ －( )４３ 的值 是 （Ｃ ） Ａ． － １ Ｂ． ０ Ｃ．槡３ Ｄ． －槡３３ ２．（多选题）（２０２４·大连高一检测）下列关于函 数ｙ ＝ ｔａｎ － ２ｘ ＋ π( )３ 的说法正确的是（　 　 ） Ａ．在区间－ π３，－ π( )１２ 上单调递增 Ｂ．最小正周期是π２ Ｃ．图像关于点５π１２，( )０ 成中心对称 Ｄ．图像关于直线ｘ ＝ － π１２成轴对称 ３．（多选题）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｔａｎ ｘ ＋ ｜ ｔａｎ ｘ ｜，则 下列结论中正确的有 （　 　 ） Ａ． ｆ（ｘ）的最小正周期为π２ Ｂ．点－ π２，( )０ 是ｆ（ｘ）图像的一个对称中心 Ｃ． ｆ（ｘ）的值域为［０，＋ ∞） Ｄ．不等式ｆ（ｘ）＞ ２的解集为π４ ＋ ｋπ， π ２ ＋ ｋ( )π （ｋ∈Ｚ） 二、填空题 ４．函数ｙ ＝ ｌｇ（ｔａｎ ｘ）的增区间是　 　 　 　 ． ５．已知函数ｆ（ｘ）＝ ２ｔａｎ（ωｘ），ω ＞ ０，若ｆ（ｘ）在区 间０，π[ ]３ 上的最大值是２槡３，则ω ＝ 　 　 　 ； 若ｆ（ｘ）在区间０，π[ ]３ 上单调递增，则ω的取值范 围是　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．设函数ｙ ＝ ｔａｎ（ωｘ ＋ φ）ω ＞ ０，０ ＜ φ ＜ π( )２ ，若 函数图像与ｘ轴的两个相邻的交点间的距离 为π２，且图像关于点Ｍ － π ８，( )０ 对称． （１）求函数的解析式； （２）求函数的单调区间； （３）求不等式－ １ ＜ ｆ（ｘ）＜槡３的解集． Ｃ组　 创新拓展 　 函数ｆ（ｘ）＝ ｔａｎ（ωｘ ＋ φ）ω ＞ ０，｜φ ｜ ＜ π( )２ 的部 分图像如图所示，图中阴影部分的面积为３π， 则φ ＝ （　 　 ） Ａ． － ５π１２ Ｂ． － π ６ Ｃ． π３ Ｄ． π                                                                         １２ —１１８— 以2cos吾+=2.得eo(-+)=1,所以+=2kr,ke 当x#(0.语)时:-(--)知 有一个或两个最大值点,A正确,B错误; 7.得=2k-^e乙,因为lel<,所--,所(x) #70在-)上单调道 =$ os$2)#因为()=2o(2×-)=2co = 增,则函数y=f(x)在(0.1)上单调递增,C正确.故选ACD. 0.所以函数f(x)的一个对称中心为(-,0),所以A正确,B 练案[12] 错误;当xeo.]时(2-)[-,,所以(x)- 20=1.所以C正确;因为(x)=2o(2)1.B函数y=tan()的最小正周期7-,故选B. A组 基础巩固 -2cos 2x的图像向右平移吾个单位长度,所以D错误. (x)=2tan(2x--1的定义域为5+^e2} 4[2) 由$<x<2得<x<2+要使函 数(1)-co(a)(>)在[0.2=])上有且仅有2个零3.C令x+-(ke z), 点,则雪200,得# (e) 即。的取值范用是[) 当k-1时x=,故选C. 轴对称,又f(x)的图像关于点(-2.0)中心对称,且在R上的 正周期T-吾,故选C. 最大值为3. 所以可以取三角函数f(x)=3cos-(答案不唯一). 过5.C3(0.)4(,“). #.ta4uo.v:4 6.(1)由已知函数f(x)-v2cos2x-)的最小正周期7=2= 同理tan2u:an)-nB-an2-n-) kr,ke乙.即函数(tx)的单调减区间为[+5+ha] -tan ( -)-un1-a(-)_-an是. keZ: :<吾.tntn. (2)当-<x=时--二2--3 . an(-3)pa(-15),故选C. 所以-<-(2x-)<1.即(x) [-1.v2],又方程(x) -m在区间[-,]上有解。 一()31 x-.即当x-时,m取得最小值 7. -52k-n+2^n]ez 因为y=tanx在(-+kr, C组 创新拓展 AcD 0.当xe[0,时,ar2--2--2=] H k*).ez上单调递增,则由-1<tan(+)<3得 +△,<吾+kr,e. 解得-5 21=20-,6 #7## +2hn].kez 由于函数y=f(x)在[0.n]上满足ffx)=0的实数x有且只 有3个,即函数y:cos7在 1-1上有只共有3个8.-取<2<,解得,所以y=tan 2在 (-吾吾)上单调增,即(x)-a-Atn2x在(--·) 正确; 上单调递减, 由图像知,y=co1在[-2--2-]上只有一个最小值点, 因为/(x)在闭区问[-吾,上有最大值为7,最小值为3. -186- 所以-吾<<,且(b)=3(-)-7. 当x→时有2x-=,所以y=tan(-2x+)关于点 [a-3tan 2b=3 一{ (-)-7 (5.0)成中心对称,C正确. 念/ 由正切函数的性质知,正切函数无对称轴,D错误 [2an xe 吾n)ke 3. CD f(x)=tan x+ ltanxl= l0.xe(-+ria)ez 因为-吾<6,所以b-吾,故a-吾 作出/(x)的图像如图,观察图像可知, 9.(1)要使函数有意义, ### 用10 [<x<吾+hn(kez), ,*吾+n(kez). .kn<x<-+kn,且x→+hn,ke乙 函数的定义域为{ r<x<+kr,且x*+kr,kez f(x)的最小正周期为n,A错误; fx)的图像没有对称中心,B错误 fx)的值域为[0.+).C正确; Itanx-1. 不等式f(x)>2.即xe knr+hn)(kez)时2tanx>2,得 解得 1x-+tr(kez). tanx>1.解得吾+kn<x<吾+k(ke乙),所以/(x)>2的 *+kar(kez), 解集为(+hn,+n)(kez)D正确.故选CD. 4. {knk+)(kez)函数y=lg(tanx)为复合函数,要求 +rx,吾+{rkez. 其增区间,则需满足tanx>0且函数y=tanx的函数值是随; 的值递增的,所以r<x<hr+(kez),所以原函数的增区 10.设1=tanx,lxl<..1=[-1.1].则原函数化为y=- 间为(a+)(ez). “-(4)##对为 5.1(0.)因为xe[0.于].且在此区间上的最大值是 2、.所以0<< -6..a”=24(舍). 因为/(x).=2tan--2/5. 若<-1.即a<-2时,二次函数在[-1.1]上单调递增, 所以tan-.--即o=1. y.=1+a=-6..a=-7. 若→1,即a>2时,二次函数在[-1.1]上单调递减,y= 由-<+-ez,得,s 二2 1-a=-6.a=7. 一2 综上所述,a=-7或7. B组 素养提升 调递增. 又因为(x)在区间[o.于]上单调增. /(x)=tan号. #即甲} (-4)-tan(-2-)--tn2-. 所以的取值范围是(o.). 2. BC y=tan-2x+)=-tan(2x-). 6.(1)由已知得函数的最小正周期为-,因而T---吾,则a ##452-+-,得-+{} =2. 由$x(-)+(乙)得-(kz)o 所以--1时,-×<- <<,则=-.从而函数解析式为y=tan(2x+) (2)令4n 2^吾+r(^se2),得-<x 所以y=tan(-2x+)在(-,-)上单调减,A错误. 由上知,最小正周期为T-吾,B正确. #(e乙). -187- 从而函数的单调通增区问为(--吾)(kez),无 单调递减区间. (3)若-1<f(x)<,则-+k<2+<吾+kn(ke 2)解得-(ke2) (2):- 因而不等式的解集为-+<<+ke2} C组 创新拓展 A 如图所示,区域①和区域③面积相等,区域④和区域面 (3)-x0..0-x 积相等。 故阴影部分的面积即为矩形ABCD的面积,易得AB=3. 又cos(-x)=cosx= 设函数/f(x)的最小正周期为T,则AD=7. 3 由题意可得37=3n,解得7=π. -7 10.(1)令:=2x,根据正弦曲线,sinz>- 1的解集为 -2-2#8 故吾--,可得a=1,即/(x)=tan(x+)。 又/(x)的图像过点(吾,-1). 所以sin2x-的解集为 即a(吾+)--1. (-号)则(-2) x-号<x<+0:e 解得--5 (2)令:=2x+,根据余弦曲线,co:的解集 是2^+<:2^,} 练案[13] A组 基础巩固 由2k*+<2x+<2k-+5,ke2,解得b<x<kn+ 1. C 若tun-y,则k+aretany.v.x=2krn+2aretany.^ 2ke乙所以 co(2x+)<寸的解集为(xtkn<x<k+ -7. 2.A a是三角形内角,.0<a<180”,又y=cosx在(0. 2.ez =30. 1.B 因为 t25 o(-) a5--. 3.A 选项B.C、D使得tanx无意义,故选A. 4.B 要使y=aresin(1-x)有意义,应满足-1<l-x1.:0< (()# x2,故选B. 又反正切函数y=arctanx的值域为(--.). 所以 arctan(v3)- 故B错误,C正确;由于吾>1.aresin"无意义,故D错误.故 ###)一# 选C 2. ABC aresinxe [-,]. reos xe [0.a] aretanxe (-,).故 areeos 1=0. (1): areoseo.n]: ro -)- 3. BCD 对于A,由于x=aresiny中-1<ysl,而->1.故A式无 (2): aretanxe(-.-): netan(-1)- 意义;对于B,在[-,]上只有sin(-)--所以 .-rsnx:-吾]. “{). aroin(-)--吾,故B正确;对于C、D.由反正弦的定义知是 正确的. &:5. 因为aresin2x-. 以2-以 . tam(“)=tan吾-v5, -188-