练案11 7.3.3 余弦函数的性质与图像-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

练案［１１］ 第七章　 三角函数 ７． ３　 ［７． ３． ３　 余弦函数的性质与图像］ Ａ组　 基础巩固 一、选择题 １．下列函数中，周期为π，又是偶函数的是 （Ｃ ） Ａ． ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ Ｂ． ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ Ｃ． ｙ ＝ ｃｏｓ ２ｘ Ｄ． ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ２．函数ｙ ＝ ２ｃｏｓ ｘ ＋ １（ｘ∈［０，２π］）的单调递减区 间为 （　 　 ） Ａ．［０，２π］ Ｂ．［０，π］ Ｃ．［π，２π］ Ｄ． π２， ３π[ ]２ ３．若函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ３π２ ＋ ｘ ＋ φ( )３ （φ∈［０，２π］） 的图像关于ｙ轴对称，则φ ＝ （　 　 ） Ａ． ３π４ Ｂ． ３π ２ Ｃ． ２π ３ Ｄ． ４π ３ ４．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ２ｘ ＋ π( )１２ ，则下列说法错 误的是 （　 　 ） Ａ．函数ｆ（ｘ）的最小正周期为２π Ｂ．函数ｆ（ｘ）的图像关于直线ｘ ＝ １１π２４对称 Ｃ．函数ｆ（ｘ）的图像关于点－ ７π２４，( )０ 对称 Ｄ．函数ｆ（ｘ）在０，π( )４ 上单调递减 ５．函数ｙ ＝ ｃｏｓ ２ｘ － π( )６ 在区间－ π２，[ ]π 的简图 是 （Ｄ ） 二、填空题 ６．函数ｙ ＝ ｃｏｓ槡 ｘ１ ＋ ｓｉｎ ｘ的定义域为　 　 　 　 　 　 　 ． ７．若函数ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ在区间［－ π，ａ］上为增函数， 则ａ的取值范围是　 　 　 　 ． ８．函数ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ ＋ ３ｃｏｓ ｘ － １的定义域是　 　 　 　 　 　 ， 值域是　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．已知函数ｙ ＝ ａ － ｂｃｏｓ ｘ的最大值是３２，最小值 是－ １２，求函数ｙ ＝ － ４ｂｓｉｎ ａｘ的最大值、最小 值及最小正周期． １０．求下列函数的值域： （１）ｙ ＝ ３ － ２ｃｏｓ ２ｘ，ｘ∈Ｒ； （２）ｙ ＝ ｃｏｓ２ｘ ＋ ２ｓｉｎ ｘ － ２，ｘ∈Ｒ                                                                  ． —１１５— Ｂ组　 素养提升 一、选择题 １．函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ（ωｘ ＋ φ）的部分图像如图所 示，则ｆ（ｘ）的单调递减区间为 （Ｄ ） Ａ． ｋπ － １４，ｋπ ＋ ３( )４ ，ｋ∈Ｚ Ｂ． ２ｋπ － １４，２ｋπ ＋ ３( )４ ，ｋ∈Ｚ Ｃ． ｋ － １４，ｋ ＋ ３( )４ ，ｋ∈Ｚ Ｄ． ２ｋ － １４，２ｋ ＋ ３( )４ ，ｋ∈Ｚ ２．设ａ，ｂ∈Ｒ，定义运算ａｂ ＝ ｂ，ａ≥ｂ， ａ，ａ ＜ ｂ{ ，则函数 ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ的最大值是 （　 　 ） Ａ． １ Ｂ．槡２２ Ｃ． １ ２ Ｄ． ０ ３．（多选题）已知函数ｆ（ｘ）＝ ２ｃｏｓ（２ｘ ＋ φ (） ｜φ ｜ ＜ π )２ ，且ｆ π( )１２ ＝ ２，则下列结论正确的是 （　 　 ） Ａ．函数ｆ（ｘ）的一个对称中心为π３，( )０ Ｂ．函数ｆ（ｘ）的一条对称轴方程为ｘ ＝ π３ Ｃ．当ｘ∈ ０，π[ ]４ 时，函数ｆ（ｘ）的最小值为１ Ｄ．要得到函数ｆ（ｘ）的图像，只需将ｇ（ｘ）＝ ２ｃｏｓ ２ｘ的图像向右平移π６个单位长度 二、填空题 ４．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ωｘ ＋ π( )６ （ω ＞ ０）在［０， ２π］上有且仅有２个零点，则ω的取值范围为 　 　 　 　 ． ５．写出一个同时满足下列三个性质的函数：ｆ（ｘ） ＝ 　 　 　 　 ． ①ｆ（ｘ）为偶函数； ②ｆ（ｘ）的图像关于点（－ ２，０）中心对称； ③ｆ（ｘ）在Ｒ上的最大值为３． 三、解答题 ６．已知函数ｆ（ｘ）＝槡２ｃｏｓ ２ｘ － π( )４ ，ｘ∈Ｒ． （１）求函数ｆ（ｘ）的最小正周期和单调递减 区间； （２）已知方程ｆ（ｘ）＝ ｍ在区间－ π８， π[ ]２ 上有 解，求ｍ的范围，并求出ｍ取得最小值时ｘ 的值． Ｃ组　 创新拓展 　 （多选题）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ωｘ －２π( )３ （ω ＞ ０），ｘ１，ｘ２，ｘ３∈［０，π］，且ｘ∈［０，π］都有ｆ（ｘ１） ≤ｆ（ｘ）≤ｆ（ｘ２），满足ｆ（ｘ３）＝ ０的实数ｘ３ 有且 只有３个，则下列四个结论中，正确的是（　 　 ） Ａ．满足题目条件的实数ｘ１有且只有１个 Ｂ．满足题目条件的实数ｘ２有且只有１个 Ｃ． ｆ（ｘ）在０，π( )１０ 上单调递增 Ｄ． ω的取值范围是１３６ ， １９[ )                                                                         ６ —１１６— 所以要使得f(x)=-2m+3有两解,则必须/3<-2m+3<8.lxlx≠2kn,kZ(-,-1] 由cosx-1≠0可得cosx 2.即3- 1.所以xx2,h乙 所以函数的定义域为xlx≠2k,ke乙. (3-#)# C组 创新拓展 因为-1<cosx<1.所以-2<cosx-1<0. {2。 因为函数/f(x)=Asin(x+)(A>0.>0.0<<n)为 听以4{ +c0-1-1. 偶函数,所以-吾 所以函数的值域为(-x,-1]. 9.-1<cosx1.由题意知b0. 由x o.).得吾<+吾<-(>0).因为函数 当b0时,-b-beosxsb. f(x)在区间0.于)上单调递减,且在该区间内没有零点,所 '.a-b<a-bcosxSa+h. fa3 以吾<-.解得0<a,所以的取值范围为 2) 解得 -=- 2: b-1. (o.].故选D. .y--4bsin ar--4sin2. 练案[11] 最大值为4.最小值为-4,最小正周期为4n A组 基础巩固 当b<0时,b-bcosx-b. 1.C 'a+bSa-beosxsa-b. 函数y=cos2x的周期为n,又是偶函数,故选C [a~b- 2.B 由题可知函数y=2cosx41与y=cosx的单调递减区间 解得{- 相同。 ,. 因为函数y=cosx在xe[0.2n]内的单调递减区间为[0,n]. -1. 所以函数y=2cosx+1的单调递减区间为[0.n].故选B. 3.B 因为函数(ix) co(+)-sin(e[0.2rn) .y=-4bsin ax=4sin士x,最大值为4.最小值为-4.最小正周 期为4n. 的图像关于y轴对称,所以-吾+krke z,由题知=10.(1)-1<cos2r=1. . -2=-2cos 2xs2. .13-2cos2x55,即1y55. 4.A 因为f(x)-cos(2x+).所以函数f(x)的最小正周期T 3.函数y=3-2oos2x.x=R的值域为[1.5]. (2)y=cos{x+2sinx-2 2--.故错误v()-c(21)-co一 =-sinx+2sinx-I=-(sinx-1). -1<sinx1.函数y=cosx+2sinx-2,xeR的值域 为-4.0]. (-)-co2x(-)+]=co-(-号)-0.所以/(x)1.D由五点作图知. 的图像关于点(--0)对称,故C正确:若xe(0.吾).则2x +吾(.7).又y-cosx在[0.-]上单调减,所以)(x) (x)=cos(nx+-).令2kn<mx+-<2kn+nke乙,解得 2--x<2+寻bez.故单调减区间为(2-.2+3). 在(0.吾)上单调递减,故D正确.故选A. 5.D当x-时. keZ.故选D. 2.B 当sinx>cos x时,2kr+<x<2kn+5kez.当sin x y=co2x(--)-]-0(---号) cos x时,2^--3-x<2-+ez. -()-c0--#排除AC: 因为a,beR.定义运算a⑧b-{6.a=b la.而/(x)=sin⑧ 当x--吾时:y-cos[2x(--)-]-co(-号)-0.排除 cosx. [sin :2kr-3-x2krrez. B.故选D. 6.(-2+2^-,+2^](kez) 因此/(x)= 由已知得, [cosx.2kn+x52k-r+5ke乙. [1+sinx70sinx学-1. 当2-3x<2k+吾,s乙时,-1<sin:当2kn 1cosx>0. 结合正、余弦函数图像可知 -426n<x+2^n(kez). +<x52h,ez时,-1sc是 所以函数(x)的们成为[-1.],.最大们值为 7.(-”,0]y=cosx在[-π,0]上为增函数 又在[-n,a]上递增。 .[-na]C[-n.o].aco. 过3. AC因为/(x)=2cos(2x+)(1e1号),且/()-2,所 又a)-n-na0 -185- 以2cos吾+=2.得eo(-+)=1,所以+=2kr,ke 当x#(0.语)时:-(--)知 有一个或两个最大值点,A正确,B错误; 7.得=2k-^e乙,因为lel<,所--,所(x) #70在-)上单调道 =$ os$2)#因为()=2o(2×-)=2co = 增,则函数y=f(x)在(0.1)上单调递增,C正确.故选ACD. 0.所以函数f(x)的一个对称中心为(-,0),所以A正确,B 练案[12] 错误;当xeo.]时(2-)[-,,所以(x)- 20=1.所以C正确;因为(x)=2o(2)1.B函数y=tan()的最小正周期7-,故选B. A组 基础巩固 -2cos 2x的图像向右平移吾个单位长度,所以D错误. (x)=2tan(2x--1的定义域为5+^e2} 4[2) 由$<x<2得<x<2+要使函 数(1)-co(a)(>)在[0.2=])上有且仅有2个零3.C令x+-(ke z), 点,则雪200,得# (e) 即。的取值范用是[) 当k-1时x=,故选C. 轴对称,又f(x)的图像关于点(-2.0)中心对称,且在R上的 正周期T-吾,故选C. 最大值为3. 所以可以取三角函数f(x)=3cos-(答案不唯一). 过5.C3(0.)4(,“). #.ta4uo.v:4 6.(1)由已知函数f(x)-v2cos2x-)的最小正周期7=2= 同理tan2u:an)-nB-an2-n-) kr,ke乙.即函数(tx)的单调减区间为[+5+ha] -tan ( -)-un1-a(-)_-an是. keZ: :<吾.tntn. (2)当-<x=时--二2--3 . an(-3)pa(-15),故选C. 所以-<-(2x-)<1.即(x) [-1.v2],又方程(x) -m在区间[-,]上有解。 一()31 x-.即当x-时,m取得最小值 7. -52k-n+2^n]ez 因为y=tanx在(-+kr, C组 创新拓展 AcD 0.当xe[0,时,ar2--2--2=] H k*).ez上单调递增,则由-1<tan(+)<3得 +△,<吾+kr,e. 解得-5 21=20-,6 #7## +2hn].kez 由于函数y=f(x)在[0.n]上满足ffx)=0的实数x有且只 有3个,即函数y:cos7在 1-1上有只共有3个8.-取<2<,解得,所以y=tan 2在 (-吾吾)上单调增,即(x)-a-Atn2x在(--·) 正确; 上单调递减, 由图像知,y=co1在[-2--2-]上只有一个最小值点, 因为/(x)在闭区问[-吾,上有最大值为7,最小值为3. -186-