练案10 7.3.2 第2课时 正弦型函数的性质与图像(二)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

（３）方法一：先平移再伸缩． ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图像 向右平移π４ → 个单位 ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ － π( )４ 的图像 横坐标变为原来的４ π →纵坐标不变 ｙ ＝ ｓｉｎ π ４ ｘ － π( )４ 的图像 纵坐标变为原来的２倍 →横坐标不变 ｙ ＝ ２ｓｉｎ π ４ ｘ － π( )４ 的图像． 方法二：先伸缩再平移． ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ 的图像 横坐标变为原来的４ π →纵坐标不变 ｙ ＝ ｓｉｎ π ４ ｘ 的图像 向右平移１ → 个单位 ｙ ＝ ｓｉｎ π４ （ｘ －１[ ]） ＝ ｓｉｎ π４ ｘ － π( )４ 的图像 纵坐标变为原来的２倍 →横坐标不变 ｙ ＝ ２ｓｉｎ π ４ ｘ － π( )４ 的图像． 练案［１０］ Ａ组　 基础巩固 １． Ａ　 函数ｙ ＝ １２ ｓｉｎ ｘ ３ ＋ π( )６ 的最大值为１２ ，周期为６π，故 选Ａ． ２． Ｂ　 将函数ｙ ＝２ｓｉｎ ２ｘ的图像向左平移π１２个单位长度，所得到的 图像对应函数的解析式为ｙ ＝２ｓｉｎ ２ ｘ ＋ π( )１２ ＝２ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )６ ，由 ２ｘ ＋ π６ ＝ π ２ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ，得ｘ ＝ π ６ ＋ １ ２ ｋπ，ｋ∈Ｚ． ３． Ａ　 由题图可得ｆ（ｘ）的最小正周期Ｔ ＝ ４ ７π１２ － π( )３ ＝ π， 所以ω ＝ ２πＴ ＝ ２， 由２·７π１２ ＋ φ ＝ ３π ２ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ， 解得φ ＝ π３ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ， 由｜φ ｜≤ π２得φ ＝ π ３ ， 所以ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ ， 所以ｆ（φ）＝ ｆ π( )３ ＝ Ａｓｉｎ π ＝ ０． ４． Ｄ　 因为ｆ（ｘ）的最小正周期为π，故可得２π｜ω ｜ ＝ π，又ω ＞ ０，解 得ω ＝ ２； 故ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ（２ｘ ＋ φ），将其图像向右平移π６个单位长度，可得 ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ φ － π( )３ ， 又因为其是奇函数， 故可得φ － π３ ＝ ｋπ，ｋ∈Ｚ， 又｜φ ｜ ＜ π２ ，故可得φ ＝ π ３ ． 综上所述，ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ ， 又ｘ∈ － π２ ，[ ]０ ，则２ｘ ＋ π３ ∈ － ２３ π，π[ ]３ ， 故ｆ（ｘ）在区间－ π２ ，[ ]０ 上的最大值为ｓｉｎ π３ ＝槡３２ ． ５． Ｃ　 因为函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）的最小正周期为π，其图像关 于直线ｘ ＝ π６对称， 所以 ２π ω ＝ π， π ６ ω ＋ φ ＝ π ２ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ{ ， 解得 ω ＝ ２， φ ＝ π６ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ{ ， 因为｜φ ｜ ＜ π２ ，所以φ ＝ π ６ ， 因此ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )６ ． ①将ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )６ 的图像向右平移π６个单位长度后函 数解析式为ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ ，由２ｘ － π６ ＝ ｋπ，ｋ∈Ｚ，得ｘ ＝ π１２ ＋ ｋπ２ ，ｋ∈Ｚ，所以其对称中心为 π １２ ＋ ｋπ ２ ，( )０ ，ｋ∈Ｚ，故①错； ②由２ｘ ＋ π６ ＝ ｋπ，ｋ∈Ｚ，解得ｘ ＝ － π １２ ＋ ｋπ ２ ，ｋ∈Ｚ，即函数 ｆ（ｘ）的对称中心为－ π１２ ＋ ｋπ ２ ，( )０ ，ｋ∈Ｚ，令－ π１２ ＋ ｋπ２ ＝ ５π１２， 则ｋ ＝ １，故②正确；③由ｆ π( )４ ＝ ｓｉｎ π２ ＋ π( )６ ＝ ｃｏｓ π６ ＝槡３２ ， 故③错；④由－ π２ ＋ ２ｋπ≤２ｘ ＋ π ６ ≤ π ２ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ，得－ π ３ ＋ ｋπ≤ｘ≤ π６ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ，即函数ｆ（ｘ） [的增区间为 － π３ ＋ ｋπ，π６ ＋ ｋ ]π ，ｋ∈Ｚ，因此ｆ（ｘ）在区间０，π[ ]６ 上单调递增，故 ④正确． ６． ２π　 函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ２ 的最小正周期是函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ ２的最小 正周期的一半，而函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ２的最小正周期为 ２π １ ２ ＝ ４π，故 函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ２ 的最小正周期是２π． ７． ５π１２ 　 平移后解析式为ｙ ＝ ｓｉｎ（２ｘ － ２φ），图像关于ｘ ＝ π ６对称， ∴ ２ × π６ － ２φ ＝ ｋπ ＋ π ２ （ｋ∈Ｚ）， ∴ φ ＝ － ｋπ２ － π １２（ｋ∈Ｚ）．又∵ φ ＞ ０， ∴当ｋ ＝ － １时，φ的最小值为５π１２ ． ８． ２３ 　 由题图可知 Ｔ ２ ＝ １１π １２ － ７π １２ ＝ π ３ ，Ｔ ＝ ２π ３ ，则可补全函数图 像得ｆ π( )４ ＝ ０， 故点π４ ，( )０ 为函数的一个中心对称点， 所以得ｆ（０）＝ － ｆ π( )２ ＝ ２３ ． ９．（１）ｆ（ｘ） 槡＝ ３ｓｉｎ πｘ４ － π( )３ ． 故ｆ（ｘ）的最小正周期为Ｔ ＝ ２π π ４ ＝ ８                                                                      ． —１８３— （２）区间０，[ ]４３ 关于ｘ ＝ １的对称区间为２３ ，[ ]２ ，因为ｙ ＝ ｇ（ｘ）与ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图像关于直线ｘ ＝ １对称，故ｙ ＝ ｇ（ｘ）在 ０，[ ]４３ 上的最大值为ｙ ＝ ｆ（ｘ）在２３ ，[ ]２ 上的最大值． 由（１）知ｆ（ｘ） 槡＝ ３ｓｉｎ πｘ４ － π( )３ ， 当２３ ≤ｘ≤２时，－ π ６ ≤ πｘ ４ － π ３ ≤ π ６ ． 所以ｓｉｎ π４ ｘ － π( )３ ≤ｓｉｎ π６ ， 因此ｙ ＝ ｇ（ｘ）在０，[ ]４３ 上的最大值为 ｇ（ｘ）ｍａｘ 槡＝ ３ｓｉｎ π６ ＝槡 ３ ２ ． １０．（１）由题图知１４ Ｔ ＝ π １２ － － π( )６ ＝ π４ ，∴ Ｔ ＝ π，最大值为１， 最小值为－ １． （２）由（１）知ω ＝ ２πＴ ＝ ２． 又２ × － π( )６ ＋ φ ＝ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ，解得φ ＝ ２ｋπ ＋ π３ ，ｋ∈Ｚ，又 － π２ ＜ φ ＜ π ２ ， ∴ φ ＝ π３ ，Ａ ＝ １，则ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ ，由２ｋπ － π２ ≤２ｘ ＋ π ３ ≤２ｋπ ＋ π ２ （ｋ∈Ｚ），得ｋπ － ５π １２≤ｘ≤ｋπ ＋ π １２（ｋ∈Ｚ），故 ｆ（ｘ）的单调递增区间是ｋπ － ５π１２，ｋπ ＋ π[ ]１２ （ｋ∈Ｚ）． Ｂ组　 素养提升 １． Ｄ　 因为ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）在区间π６ ， ２π( )３ 上单调递增，且 直线ｘ ＝ π６和ｘ ＝ ２ ３ π为ｙ ＝ ｆ（ｘ）的相邻两对称轴，所以 Ｔ ２ ＝ ２π ３ － π ６ ＝ π ２ ，且ω ＞ ０，则Ｔ ＝ π，ω ＝ ２π Ｔ ＝ ２，当ｘ ＝ π ６时，ｆ（ｘ） 取得最小值，则２ × π６ ＋ φ ＝ ２ｋπ － π ２ ，ｋ∈Ｚ，则φ ＝ ２ｋπ － ５π ６ ，ｋ ∈Ｚ，不妨取ｋ ＝ ０，则ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ －５π( )６ ，则ｆ － ５π( )１２ ＝ ｓｉｎ － ５π( )３ ＝槡３２ ，故选Ｄ． ２． Ｃ　 因为０≤ｘ≤π，所以π６ ≤ｘ ＋ π ６ ≤ ７π ６ ，由于关于ｘ的方程 ｓｉｎ ｘ ＋ π( )６ ＝ ２ｍ在［０，π］内有相异两实根，令ｕ ＝ ｘ ＋ π６ ，由 函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｕ与ｙ ＝２ｍ的图像（图略）可知，１２ ≤２ｍ ＜１，解得 １ ４ ≤ｍ ＜ １２ ，所以实数ｍ的取值范围为 １ ４ ，[ )１２ ． ３． ＡＢＤ　 因为将ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ的图像向右平移φ（φ ＞０）个单位长 度，得到函数ｇ（ｘ）＝ ｓｉｎ（２ｘ －２φ）的图像，当φ ＝ π４时，ｇ（ｘ）＝ ｓｉｎ（２ｘ －２φ）＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )２ ＝ － ｃｏｓ ２ｘ，为偶函数，故Ａ正确；当ｘ ＝ π１２时，求得ｆ ｘ ＋ π( )６ ＝ ｓｉｎ ２ × π１２ ＋ π( )３ ＝ １，为最大值，可得ｘ ＝ π１２是函数ｆ ｘ ＋ π( )６ 的一条对称轴，故Ｂ 正确；因为 ｇ ｘ ＋φ － π( )４ (＝ｓｉｎ ２ｘ ＋２φ － π２ － ２ )φ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )２ ，当ｘ∈ π ４ ， ２π[ ]３ 时，２ｘ ∈ π２ ，４π[ ]３ ，２ｘ － π２ ∈ ０，５π[ ]６ ，故 ｇ ｘ ＋ φ － π( )４ 在此区间上不单调，故Ｃ错误；若函数ｙ ＝ ｇ（ｘ） ＋ １ ＝ ｓｉｎ（２ｘ － ２φ）＋ １的一个对称中心为π３ ，( )１ ，则２ × π３ － ２φ ＝ ｋπ，ｋ∈Ｚ，即φ ＝ － ｋ２ π ＋ π ３ ，令ｋ ＝ － １，可得φ ＝ ５π ６ ，故 Ｄ正确． ４． ２ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ 　 ０，π[ ]１２ 和７π１２，[ ]π 由题图可得Ａ ＝ ２，Ｔ４ ＝ π ３ － π １２ ＝ π ４ ＝ ２π ４ω ，解得ω ＝ ２． 所以ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ ． 令－ π２ ＋ ２ｋπ≤２ｘ ＋ π ３ ≤ π ２ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ，得－ ５π １２ ＋ ｋπ≤ｘ≤ π １２ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ ． 又因为ｘ∈［０，π］，所以函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在［０，π］上的单调增区 间为０，π[ ]１２ 和７π１２，[ ]π ． ５． ｓｉｎ ２ｘ － π( )３ 　 －槡３２ 　 函数ｆ（ｘ）的图像向左平移π６个单位得 ｇ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ φ ＋ π( )３ 的图像． 因为ｇ（ｘ）是奇函数， 所以φ ＋ π３ ＝ ｋπ，ｋ∈Ｚ． 又因为｜φ ｜ ＜ π２ ，所以φ ＝ － π ３ ， 所以ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )３ ． 又ｘ∈ ０，π[ ]２ ，所以２ｘ － π３ ∈ － π３ ，２π[ ]３ ， 所以当ｘ ＝ ０时，ｆ（ｘ）取得最小值－槡３２ ． ６．（１）由于ｆ（ｘ）的两条相邻对称轴的距离是π２ ，所以Ｔ ＝２ × π ２ ＝ π，２ω ＝２πＴ ＝２，ω ＝１， 因为ｇ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ２ ｘ － π( )６ ＋[ ]φ (＝ ２ｓｉｎ ２ｘ ＋ φ － π )３ 是奇函 数，所以φ － π３ ＝ ｋπ（ｋ∈Ｚ），即φ ＝ π ３ ＋ ｋπ（ｋ∈Ｚ），又因为 ｜φ ｜ ＜ π２ ，所以φ ＝ π ３ ，ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ ， 令２ｋπ － π２ ≤２ｘ ＋ π ３ ≤２ｋπ ＋ π ２ （ｋ∈Ｚ），解得ｋπ － ５π １２≤ｘ≤ ｋπ ＋ π１２，ｋ∈Ｚ，所以ｆ（ｘ）的递增区间是ｋπ － ５π １２，ｋπ ＋ π[ ]１２ （ｋ ∈Ｚ）； （２）由（１）知，ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ ，当ｘ∈ ０，π[ ]２ 时，π３ ≤２ｘ ＋ π３ ≤ ４π ３ ， 所以ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ ∈［ 槡－ ３，２］， 当２ｘ ＋ π３ ＝ π ２即ｘ ＝ π １２时，ｆ（ｘ）取得最大值２，当２ｘ ＋ π ３ ＝ ４π ３即ｘ ＝ π ２时，ｆ（ｘ）取得最小值槡－ ３，作出ｆ（ｘ）的大致图像 如图：                                                                       —１８４— 所以要使得ｆ（ｘ）＝ － ２ｍ ＋ ３有两解，则必须槡３≤ － ２ｍ ＋ ３ ＜ ２，即１２ ＜ ｍ≤ 槡 ３ － ３ ２ ； 综上，ｍ∈ １ ２ ， 槡 ３ － ３( ]２ ． Ｃ组　 创新拓展 　 Ｄ　 因为函数ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）（Ａ ＞ ０，ω ＞ ０，０ ＜ φ ＜ π）为 偶函数，所以φ ＝ π２ ． 由ｘ∈ ０，π[ )３ ，得π２ ≤ωｘ ＋ π２ ＜ π３ ω ＋ π２ （ω ＞ ０）．因为函数 ｆ（ｘ）在区间０，π[ )３ 上单调递减，且在该区间内没有零点，所 以π３ ω ＋ π ２ ≤π，解得０ ＜ ω≤ ３ ２ ，所以ω的取值范围为 ０，( ]３２ ，故选Ｄ． 练案［１１］ Ａ组　 基础巩固 １． Ｃ　 函数ｙ ＝ ｃｏｓ ２ｘ的周期为π，又是偶函数，故选Ｃ． ２． Ｂ　 由题可知函数ｙ ＝ ２ｃｏｓ ｘ ＋ １与ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ的单调递减区间 相同， 因为函数ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ在ｘ∈［０，２π］内的单调递减区间为［０，π］， 所以函数ｙ ＝ ２ｃｏｓ ｘ ＋ １的单调递减区间为［０，π］．故选Ｂ． ３． Ｂ　 因为函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ３π２ ＋ ｘ ＋φ( )３ ＝ ｓｉｎ ｘ ＋ φ３ （φ∈［０，２π］） 的图像关于ｙ轴对称，所以φ３ ＝ π ２ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ，由题知φ ＝ ３π ２ ，即φ ＝ ３π ２ ． ４． Ａ　 因为ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ２ｘ ＋ π( )１２ ，所以函数ｆ（ｘ）的最小正周期Ｔ ＝ ２π２ ＝ π，故Ａ错误；ｆ １１π( )２４ ＝ ｃｏｓ ２ × １１π２４ ＋ π( )１２ ＝ ｃｏｓ π ＝ － １，所以函数ｆ（ｘ）的图像关于直线ｘ ＝ １１π２４对称，故Ｂ正确； ｆ － ７π( )２４ ＝ ｃｏｓ ２ × － ７π( )２４ ＋ π[ ]１２ ＝ ｃｏｓ － π( )２ ＝ ０，所以ｆ（ｘ） 的图像关于点－ ７π２４，( )０ 对称，故Ｃ正确；若ｘ∈ ０，π( )４ ，则２ｘ ＋ π１２∈ π １２， ７π( )１２ ，又ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ在［０，π］上单调递减，所以ｆ（ｘ） 在０，π( )４ 上单调递减，故Ｄ正确．故选Ａ． ５． Ｄ　 当ｘ ＝ － π２时， ｙ ＝ ｃｏｓ ２ × － π( )２ － π[ ]６ ＝ ｃｏｓ － π － π( )６ ＝ ｃｏｓ π ＋ π( )６ ＝ － ｃｏｓ π６ ＝ －槡３２ ，排除Ａ、Ｃ； 当ｘ ＝ － π６时，ｙ ＝ ｃｏｓ ２ × － π( )６ － π[ ]６ ＝ ｃｏｓ － π( )２ ＝０，排除 Ｂ，故选Ｄ． ６． － π２ ＋ ２ｋπ， π ２ ＋ ２ｋ( ]π （ｋ∈Ｚ）　 由已知得， １ ＋ ｓｉｎ ｘ≠０ｓｉｎ ｘ≠ － １， ｃｏｓ ｘ≥０{ ， 结合正、余弦函数图像可知， － π２ ＋ ２ｋπ ＜ ｘ≤ π ２ ＋ ２ｋπ（ｋ∈Ｚ）． ７．（－ π，０］　 ∵ ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ在［－π，０］上为增函数， 又在［－ π，ａ］上递增， ∴ ［－ π，ａ］［－ π，０］，∴ ａ≤０． 又∵ ａ ＞ － π，∴ － π ＜ ａ≤０． ８．｛ｘ ｜ ｘ≠２ｋπ，ｋ∈Ｚ｝　 （－ ∞，－ １］　 由ｃｏｓ ｘ － １≠０可得ｃｏｓ ｘ ≠１，所以ｘ≠２ｋπ，ｋ∈Ｚ， 所以函数的定义域为｛ｘ ｜ ｘ≠２ｋπ，ｋ∈Ｚ｝， 又ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ ＋３ｃｏｓ ｘ －１ ＝ ｃｏｓ ｘ －１ ＋４ ｃｏｓ ｘ －１ ＝１ ＋ ４ ｃｏｓ ｘ －１， 因为－ １≤ｃｏｓ ｘ ＜ １，所以－ ２≤ｃｏｓ ｘ － １ ＜ ０， 所以 ４ｃｏｓ ｘ －１≤ －２，所以１ ＋ ４ ｃｏｓ ｘ －１≤ －１， 所以函数的值域为（－ ∞，－ １］． ９． － １≤ｃｏｓ ｘ≤１，由题意知ｂ≠０． 当ｂ ＞ ０时，－ ｂ≤ － ｂｃｏｓ ｘ≤ｂ， ∴ ａ － ｂ≤ａ － ｂｃｏｓ ｘ≤ａ ＋ ｂ． ∴ ａ ＋ ｂ ＝ ３２ ， ａ － ｂ ＝ － １２ { ，解得ａ ＝ １２ ，ｂ ＝ １{ ． ∴ ｙ ＝ － ４ｂｓｉｎ ａｘ ＝ － ４ｓｉｎ １２ ｘ， 最大值为４，最小值为－４，最小正周期为４π． 当ｂ ＜ ０时，ｂ≤ － ｂｃｏｓ ｘ≤ － ｂ， ∴ ａ ＋ ｂ≤ａ － ｂｃｏｓ ｘ≤ａ － ｂ． ∴ ａ － ｂ ＝ ３２ ， ａ ＋ ｂ ＝ － １２ { ，解得ａ ＝ １２ ，ｂ ＝ － １{ ． ∴ ｙ ＝ －４ｂｓｉｎ ａｘ ＝４ｓｉｎ １２ ｘ，最大值为４，最小值为－４，最小正周 期为４π． １０．（１）∵ －１≤ｃｏｓ ２ｘ≤１， ∴ －２≤ － ２ｃｏｓ ２ｘ≤２． ∴ １≤３ － ２ｃｏｓ ２ｘ≤５，即１≤ｙ≤５． ∴函数ｙ ＝３ －２ｃｏｓ ２ｘ，ｘ∈Ｒ的值域为［１，５］． （２）ｙ ＝ ｃｏｓ２ｘ ＋ ２ｓｉｎ ｘ － ２ ＝ － ｓｉｎ２ｘ ＋ ２ｓｉｎ ｘ － １ ＝ －（ｓｉｎ ｘ － １）２ ． ∵ －１≤ｓｉｎ ｘ≤１，∴函数ｙ ＝ ｃｏｓ２ｘ ＋ ２ｓｉｎ ｘ － ２，ｘ∈Ｒ的值域 为［－ ４，０］． Ｂ组　 素养提升 １． Ｄ　 由五点作图知， １ ４ ω ＋ φ ＝ π ２ ， ５ ４ ω ＋ φ ＝ ３π ２ { ，解得ω ＝ π，φ ＝ π４ ，所以 ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ πｘ ＋ π( )４ ，令２ｋπ ＜ πｘ ＋ π４ ＜ ２ｋπ ＋ π，ｋ∈Ｚ，解得 ２ｋ － １４ ＜ｘ ＜２ｋ ＋ ３ ４ ，ｋ∈Ｚ， (故单调减区间为２ｋ － １４ ，２ｋ ＋ )３４ ， ｋ∈Ｚ，故选Ｄ． ２． Ｂ　 当ｓｉｎ ｘ≥ｃｏｓ ｘ时，２ｋπ ＋ π４ ≤ｘ≤２ｋπ ＋ ５π ４ ，ｋ∈Ｚ，当ｓｉｎ ｘ ＜ ｃｏｓ ｘ时，２ｋπ － ３π４ ＜ ｘ ＜ ２ｋπ ＋ π ４ ，ｋ∈Ｚ， 因为ａ，ｂ∈Ｒ，定义运算ａ ｂ ＝ ｂ，ａ≥ｂａ，ａ ＜{ ｂ，而ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ ｃｏｓ ｘ， 因此ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ，２ｋπ － ３π４ ＜ ｘ ＜ ２ｋπ ＋ π ４ ，ｋ∈Ｚ， ｃｏｓ ｘ，２ｋπ ＋ π４ ≤ｘ≤２ｋπ ＋ ５π ４ ，ｋ∈Ｚ{ ． 当２ｋπ － ３π４ ＜ ｘ ＜ ２ｋπ ＋ π ４ ，ｋ∈Ｚ时，－ １≤ｓｉｎ ｘ ＜槡 ２ ２ ；当２ｋπ ＋ π４ ≤ｘ≤２ｋπ ＋ ５π ４ ，ｋ∈Ｚ时，－ １≤ｃｏｓ ｘ≤槡 ２ ２ ． 所以函数ｆ（ｘ）的值域为－１，槡２[ ]２ ，最大值为槡２２ ． ３． ＡＣ　 因为ｆ（ｘ）＝ ２ｃｏｓ（２ｘ ＋ φ (） ｜ φ ｜ ＜ π )２ ，且ｆ π( )１２ ＝ ２，                                                                       所 —１８５— 练案［１０］ 第七章　 三角函数 ７． ３　 ［７． ３． ２　 第２课时　 正弦型函数的性质与图像（二）］ Ａ组　 基础巩固 一、选择题 １．下列表示最大值是１２，周期是６π的三角函数 的表达式是 （Ａ ） Ａ． ｙ ＝ １２ ｓｉｎ ｘ ３ ＋ π( )６ 　 Ｂ． ｙ ＝ １２ ｓｉｎ ３ｘ ＋ π( )６ Ｃ． ｙ ＝ ２ｓｉｎ ｘ３ － π( )６ 　 Ｄ． ｙ ＝ １２ ｓｉｎ ｘ ＋ π( )６ ２．若将函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ ２ｘ的图像向左平移π１２个单 位长度，则平移后图像的对称轴为 （Ｂ ） Ａ． ｘ ＝ ｋπ２ － π ６（ｋ∈Ｚ） Ｂ． ｘ ＝ ｋπ ２ ＋ π ６（ｋ∈Ｚ） Ｃ． ｘ ＝ ｋπ２ － π １２（ｋ∈Ｚ） Ｄ． ｘ ＝ ｋπ ２ ＋ π １２（ｋ∈Ｚ） ３．已知函数ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ (） Ａ ＞ ０，ω ＞ ０，｜φ ｜≤ π )２ 的图像如图所示．则ｆ（φ）＝ （　 　 ） Ａ． ０ Ｂ． Ａ Ｃ． Ａ２ Ｄ． － Ａ ２ ４．函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ（ωｘ ＋ φ） ω ＞ ０，｜φ ｜ ＜ π( )２ 的最 小正周期为π，其图像向右平移π６个单位长度 后关于原点对称，则函数ｆ（ｘ）在－ π２，[ ]０ 上的 最大值为 （　 　 ） Ａ． － １２ Ｂ． － 槡３ ２ Ｃ． １２ Ｄ． 槡３ ２ ５．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ（ωｘ ＋ φ (） ω ＞０，｜φ ｜ ＜ π )２ 的最小正周期为π，其图像关于直线ｘ ＝ π６对 称．给出下面四个结论： ①将ｆ（ｘ）的图像向右平移π６个单位长度后得 到的函数图像关于原点对称； ②点５π１２，( )０ 为ｆ（ｘ）图像的一个对称中心； ③ｆ π( )４ ＝ １２； ④ｆ（ｘ）在区间０，π[ ]６ 上单调递增． 其中正确的为 （　 　 ） Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．②④ Ｄ．①④ 二、填空题 ６．函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ２ 的最小正周期为　 　 　 　 ． ７．函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ的图像向右平移φ（φ ＞ ０）个单 位，得到的图像关于直线ｘ ＝ π６对称，则φ的最 小值为　 　 　 　 ． ８．已知函数ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）的图像如图所 示，ｆ π( )２ ＝ － ２３，则ｆ（０）＝ 　 　 　 　 ．                                                                —１１２— 三、解答题 ９．设函数ｆ（ｘ） 槡＝ ３ｓｉｎ πｘ４ － π( )３ ． （１）求ｆ（ｘ）的最小正周期； （２）若函数ｙ ＝ ｇ（ｘ）与ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图像关于直 线ｘ ＝ １对称，求当ｘ∈ ０，[ ]４３ 时，ｙ ＝ ｇ（ｘ）的最 大值． １０．已知函数ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ (） Ａ ＞ ０，ω ＞ ０， － π２ ＜ φ ＜ π )２ 一个周期的图像如图所示． （１）求函数ｆ（ｘ）的最小正周期Ｔ及最大值、 最小值； （２）求函数ｆ（ｘ）的解析式及单调递增区间                                                                         ． —１１３— Ｂ组　 素养提升 一、选择题 １． （２０２３·全国高考真题）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）在区间π６， ２π( )３ 单调递增，直线 ｘ ＝ π６和ｘ ＝ ２π ３为函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图像的两条 相邻对称轴，则ｆ － ５π( )１２ ＝ （Ｄ ） Ａ． －槡３２ Ｂ． － １ ２ Ｃ． １ ２ Ｄ． 槡３ ２ ２．关于ｘ的方程ｓｉｎ ｘ ＋ π( )６ ＝ ２ｍ在［０，π］内有 相异两实根，则实数ｍ的取值范围为（　 　 ） Ａ． 槡３ ４ ， １[ ]２ Ｂ． 槡３４ ，１[ )２ Ｃ． １４， １[ )２ Ｄ． １４，１[ ]２ ３．（多选题）将ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ的图像向右平移 φ（φ ＞ ０）个单位长度得到函数ｇ（ｘ）的图像， 则 （　 　 ） Ａ．当φ ＝ π４时，ｇ（ｘ）为偶函数 Ｂ． ｘ ＝ π１２是函数ｆ ｘ ＋ π( )６ 的一条对称轴 Ｃ．函数ｇ ｘ ＋ φ － π( )４ 在π４，２π[ ]３ 上单调递增 Ｄ．若函数ｙ ＝ ｇ（ｘ）＋ １的一个对称中心为 π ３，( )１ ，则φ的一个可能值为５π６ 二、填空题 ４．已知函数ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ ωｘ ＋ π( )３ （Ａ ＞ ０，ω ＞ ０） 部分图像如图所示，则ｆ（ｘ）＝ 　 　 　 　 ．当ｘ∈ ０，[ ]π 时，ｆ（ｘ）的单调递增区间为　 　 　 　 ． ５．函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ（２ｘ ＋ φ） ｜φ ｜ ＜ π( )２ 的图像向左 平移π６个单位后所得图像对应的函数是奇函 数，则函数ｆ（ｘ）＝ 　 　 　 　 ，在０，π[ ]２ 上的最 小值为　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．（２０２４·泰安高一检测）已知函数ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎ（２ωｘ ＋ φ）ω ＞ ０，｜φ ｜ ＜ π( )２ 的图像向右平移π６个单 位长度得到ｇ（ｘ）的图像，ｇ（ｘ）图像关于原点 对称，ｆ（ｘ）的相邻两条对称轴的距离是π２ ． （１）求ｆ（ｘ）的递增区间； （２）若ｆ（ｘ）＋ ２ｍ － ３ ＝ ０在ｘ∈ ０，π[ ]２ 上有两 解，求实数ｍ的取值范围． Ｃ组　 创新拓展 　 已知函数ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）（Ａ ＞ ０，ω ＞ ０， ０ ＜ φ ＜ π）为偶函数，在区间０，π[ )３ 上单调递 减，且在该区间内没有零点，则ω的取值范围 为 （　 　 ） Ａ． ０，３( )２ Ｂ． １，３[ ]２ Ｃ． ３２， ５[ ]２ Ｄ． ０，３( ]                                                                         ２ —１１４—