练案8 7.3.1 正弦函数的性质与图像-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

练案［８］ 第七章　 三角函数 ７． ３　 ［７． ３． １　 正弦函数的性质与图像］ Ａ组　 基础巩固 一、选择题 １．函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈ － π２， ３π( )２ 的零点个数是 （　 　 ） Ａ． ０ Ｂ． １ Ｃ． ２ Ｄ． ３ ２．函数ｙ ＝ ２ － ｓｉｎ ｘ的最大值及取最大值时ｘ的 值为 （　 　 ） Ａ． ｙｍａｘ ＝ ３，ｘ ＝ π２ Ｂ． ｙｍａｘ ＝ １，ｘ ＝ π２ ＋ ２ｋπ（ｋ∈Ｚ） Ｃ． ｙｍａｘ ＝ ３，ｘ ＝ － π２ ＋ ２ｋπ（ｋ∈Ｚ） Ｄ． ｙｍａｘ ＝ ３，ｘ ＝ π２ ＋ ２ｋπ（ｋ∈Ｚ） ３．（２０２３·抚顺高一检测）函数ｙ ＝ ｜ ｓｉｎ ｘ ｜的最 小正周期为 （　 　 ） Ａ． π Ｂ． ２π Ｃ． ４π Ｄ．没有周期性 ４．下列关系式中正确的是 （　 　 ） Ａ． ｓｉｎ １１° ＜ ｓｉｎ １６８° ＜ ｃｏｓ １０° Ｂ． ｓｉｎ １６８° ＜ ｓｉｎ １１° ＜ ｃｏｓ １０° Ｃ． ｓｉｎ １１° ＜ ｃｏｓ １０° ＜ ｓｉｎ １６８° Ｄ． ｓｉｎ １６８° ＜ ｃｏｓ １０° ＜ ｓｉｎ １１° ５．在［０，２π］上，满足ｓｉｎ ｘ≥槡２２的ｘ的取值范围 是 （Ｂ ） Ａ． ０，π[ ]４ 　 　 Ｂ． π４，３π[ ]４ Ｃ． π４， π[ ]２ Ｄ． ３π４ ，[ ]π 二、填空题 ６．若ｓｉｎ ｘ ＝２ｍ ＋１，则ｍ的取值范围是　 　 　 　 　 　 　 ． ７．函数ｙ ＝ － ｓｉｎ ｘ ＋槡２的最小正周期是　 　 　 　 ； 单调递增区间是　 　 　 　 ． ８．函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ ＋ ｜ ｓｉｎ ｘ ｜的值域是　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．求函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ２ｘ － ４ｓｉｎ ｘ ＋ ５的值域． １０．用“五点法”作出函数ｙ ＝ １ － ２ｓｉｎ ｘ，ｘ∈ ［－ π，π］的简图，并回答下列问题： ①观察函数图像，写出满足下列条件的ｘ的 区间． （ⅰ）ｙ ＞ １；（ⅱ）ｙ ＜ １． ②若直线ｙ ＝ ａ与ｙ ＝ １ － ２ｓｉｎ ｘ有两个交点， 求ａ的取值范围； ③求函数ｙ ＝ １ － ２ｓｉｎ ｘ的最大值，最小值及 相应的自变量的值                                                                  ． —１０７— Ｂ组　 素养提升 一、选择题 １．设ｆ（ｘ）是定义域为Ｒ，最小正周期为３π２的函 数，若ｆ（ｘ）＝ １，－ π ２≤ｘ ＜ ０， ｓｉｎ ｘ，０≤ｘ ＜ π{ ，则ｆ － １５π( )４ ＝ （　 　 ） Ａ． １ Ｂ．槡２２ Ｃ． ０ Ｄ． －槡 ２ ２ ２．已知ｆ（ｘ）是定义在［－ ５，５］上的偶函数，当 － ５≤ｘ≤０时，ｆ（ｘ）的图像如图所示，则不等式 ｆ（ｘ） ｓｉｎ ｘ ＜ ０的解集为 （　 　 ） Ａ．（－ π，－ ２）∪（０，２）∪（π，５］ Ｂ．（－ π，－ ２）∪（π，５］ Ｃ．［－ ５，－ ２）∪（０，π）∪（π，５］ Ｄ．［－ ５，－ ２）∪（π，５］ ３．关于ｘ的方程ｃｏｓ２ｘ － ｓｉｎ ｘ ＋ ａ ＝ ０，若当０ ＜ ｘ ≤π２时方程有根，则实数ａ的取值范围是 （　 　 ） Ａ．［－ １，１］ Ｂ．（－ １，１］ Ｃ．［－ １，０］ Ｄ． － ∞，－( )５４ 二、填空题 ４．函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ ＋ ｓｉｎ ｘ ＋ １（ｘ∈Ｒ），若ｆ（ａ）＝ ２， 则ｆ（－ ａ）的值为　 　 　 　 ． ５．若函数ｆ（ｘ）是以π２为周期的偶函数，且ｆ π( )３ ＝１， 则ｆ －１７π( )６ ＝ 　 　 　 　 ，ｆ ３１π( )６ ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．若函数ｙ ＝ ａ － ｂｓｉｎ ｘ的最大值为３２，最小值为 － １２ ． （１）求ａ，ｂ的值； （２）求函数ｙ ＝ － ａｓｉｎ ｘ取得最大值时的ｘ 的值； （３）请写出函数ｙ ＝ － ａｓｉｎ ｘ图像的对称轴的 方程． Ｃ组　 创新拓展 　 （２０２４·黑龙江绥化高一月考）设函数ｆ（ｘ） ＝ １ｓｉｎ ｘ． （１）请指出函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的定义域、周期性和 奇偶性；（不必证明） （２）请以正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的性质为依据，并 运用函数的单调性定义证明：ｙ ＝ ｆ（ｘ）在区间 ０，π( )２ 上单调递减                                                                         ． —１０８— Ｂ组　 素养提升 １． Ｂ　 ∵ ｃｏｓ π２ ＋( )θ ＋ ｓｉｎ（π ＋ θ） ＝ － ｓｉｎ θ － ｓｉｎ θ ＝ － ｍ， ∴ ｓｉｎ θ ＝ ｍ２ ． ∴ ｃｏｓ ３π２ －( )θ ＋ ２ｓｉｎ（６π － θ） ＝ ｃｏｓ π ＋ π２ －( )[ ]θ ＋ ２ｓｉｎ（－ θ） ＝ － ｃｏｓ π２ －( )θ － ２ｓｉｎ θ ＝ － ｓｉｎ θ － ２ｓｉｎ θ ＝ － ３ｓｉｎ θ ＝ － ３ｍ２ ． ２． Ｃ　 因为ｓｉｎ ５π６ ＋( )θ (＝ ｓｉｎ π３ ＋ θ ＋ π )２ ＝ ｃｏｓ π３ ＋( )θ ，因为 － π２ ＜ θ ＜ π ６ ，所以－ π ６ ＜ π ３ ＋θ ＜ π ２ ，且ｓｉｎ π ３ ＋( )θ ＝ １４ ＞０， 所以 (ｃｏｓ π３ ＋ )θ ＝ １ － ( )１４槡 ２ ＝槡１５４ ． ３． Ｃ　 ∵ ｓｉｎ２１° ＋ ｓｉｎ２８９° ＝ｓｉｎ２１° ＋ｃｏｓ２１° ＝１， ｓｉｎ２２° ＋ ｓｉｎ２８８° ＝ ｓｉｎ２２° ＋ ｃｏｓ２２° ＝ １， … ∴ ｓｉｎ２１° ＋ ｓｉｎ２２° ＋ ｓｉｎ２３° ＋…＋ ｓｉｎ２８９° ＝ ｓｉｎ２１° ＋ ｓｉｎ２２° ＋ ｓｉｎ２３° ＋…＋ ｓｉｎ２４４° ＋ ｓｉｎ２４５° ＋ ｓｉｎ２４６° ＋ …＋ ｓｉｎ２８７° ＋ ｓｉｎ２８８° ＋ ｓｉｎ２８９° ＝ ４４ ＋ １２ ＝ ８９ ２ ． ４．在△ＡＢＣ中，Ａ ＋ Ｂ ＋ Ｃ ＝ π， 因此ｃｏｓ（Ａ ＋ Ｂ）＝ ｃｏｓ（π － Ｃ）＝ － ｃｏｓ Ｃ， ｃｏｓ Ｂ ＋ Ｃ２ ＝ ｃｏｓ π － Ａ ２ ＝ ｓｉｎ Ａ ２ ， ｓｉｎ（２Ａ ＋ Ｂ ＋ Ｃ）＝ ｓｉｎ（π ＋ Ａ）＝ － ｓｉｎ Ａ． 因而正确关系的序号为（２）（３）． ５． ｘ（或ｙ）　 ２５或－( )２５ 　 已知角α的终边经过点Ｐ（－ １，２）， 则ｓｉｎ α ＝ ２ 槡５ ＝ 槡２ ５５ ，ｃｏｓ α ＝ － １ 槡５ ＝ －槡５５ ． 若角β的终边与角α的终边关于ｘ轴对称，则ｓｉｎ β ＝ － ｓｉｎ α ＝ － 槡２ ５５ ，ｃｏｓ β ＝ ｃｏｓ α ＝ －槡 ５ ５ ， 则ｃｏｓ（α － π）ｃｏｓ π２ ＋( )β ＝ （－ ｃｏｓ α）× （－ ｓｉｎ β）＝槡５５ × 槡２ ５ ５ ＝ ２ ５ ； 若角β的终边与角α的终边关于ｙ轴对称， 则ｓｉｎ β ＝ ｓｉｎ α ＝ 槡２ ５５ ，ｃｏｓ β ＝ － ｃｏｓ α ＝槡 ５ ５ ， 则ｃｏｓ（α － π）ｃｏｓ π２ ＋( )β ＝ （－ ｃｏｓ α）× （－ ｓｉｎ β）＝槡５５ × － 槡２ ５( )５ ＝ － ２５ ． ６．方程５ｘ２ － ７ｘ － ６ ＝ ０的两根为ｘ１ ＝ ２或ｘ２ ＝ － ３５ ． 又∵ －１≤ｓｉｎ α≤１，∴ ｓｉｎ α ＝ － ３５ ． 又∵ α为第三象限角， ∴ ｃｏｓ α ＝ － １ － ｓｉｎ２槡 α ＝ － ４５ ，ｔａｎ α ＝ ３ ４ ， ∴ 原式＝ （－ ｃｏｓ α）·（－ ｃｏｓ α）·ｔａｎ ２α·（－ ｔａｎ α） ｓｉｎ α·（－ ｓｉｎ α） ＝ ｔａｎ α ＝ ３４ ． Ｃ组　 创新拓展 　 （１）ｆ（α）＝ － ｃｏｓ αｓｉｎ α（－ ｔａｎ α）ｔａｎ α（－ ｓｉｎ α） ＝ － ｃｏｓ α． （２）ｆ α ＋ π( )２ ＝ － ｃｏｓ α ＋ π( )２ ＝ ｓｉｎ α， 因为ｆ（α）·ｆ α ＋ π( )２ ＝ － １８ ， 所以ｃｏｓ α·ｓｉｎ α ＝ １８ ， 可得ｆ（α）＋ ｆ α ＋ π( )[ ]２ ２ ＝（ｓｉｎ α － ｃｏｓ α）２ ＝ ３４ ， 由５π４ ≤α≤ ３π ２ ，得ｃｏｓ α ＞ ｓｉｎ α， 所以ｆ（α）＋ ｆ α ＋ π( )２ ＝ ｓｉｎ α － ｃｏｓ α ＝ －槡３２ ． （３）由ｆ α ＋ π( )２ ＝ ２ｆ（α）得ｓｉｎ α ＝ － ２ｃｏｓ α， 联立ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １，解得ｃｏｓ２α ＝ １５ ， 所以ｆ（α）·ｆ α ＋ π( )２ ＝ － ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ ２ｃｏｓ２α ＝ ２５ ． 练案［８］ Ａ组　 基础巩固 １． Ｃ　 ｓｉｎ ０ ＝ ｓｉｎ π ＝ ０，故有２个零点． ２． Ｃ　 当ｓｉｎ ｘ ＝ － １时，ｙｍａｘ ＝ ３，此时ｘ ＝ ２ｋπ － π２ （ｋ∈Ｚ）． ３． Ａ　 ｙ ＝ ｜ ｓｉｎ ｘ ｜的图像如图： ｙ ＝ ｜ ｓｉｎ ｘ ｜是由ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ位于ｘ轴上方部分不变，下方部分沿 着ｘ轴翻折后得到的，故ｙ ＝ ｜ ｓｉｎ ｘ ｜的最小正周期为π． ４． Ａ　 因为ｓｉｎ １６８° ＝ ｓｉｎ（１８０° － １６８°）＝ ｓｉｎ １２°，ｃｏｓ １０° ＝ ｓｉｎ（９０° － １０°）＝ ｓｉｎ ８０°， 又因为ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ在０，π[ ]２ 上单调递增，１１° ＜ １２° ＜ ８０°， 所以ｓｉｎ １１° ＜ ｓｉｎ １２° ＜ ｓｉｎ ８０°，即ｓｉｎ １１° ＜ ｓｉｎ １６８° ＜ ｃｏｓ １０°． ５． Ｂ　 由图像得： ｘ的取值范围是π４ ， ３π[ ]４ ． ６．｛ｍ ｜ － １≤ｍ≤０｝　 由－ １≤２ｍ ＋ １≤１，解得－ １≤ｍ≤０． ７． ２π　 π２ ＋ ２ｋπ， ３π ２ ＋ ２ｋ[ ]π （ｋ∈Ｚ） ８．［０，２］　 ｆ（ｘ）＝ ０，ｓｉｎ ｘ ＜ ０，２ｓｉｎ ｘ，ｓｉｎ ｘ≥{ ０的图 像如图所示： ∴ ｆ（ｘ）∈［０，２］． ９．设ｔ ＝ ｓｉｎ ｘ，则｜ ｔ ｜≤１， ｆ（ｘ）＝ ｇ（ｔ）＝ ｔ２ － ４ｔ ＋ ５（－ １≤ｔ≤１）， ｇ（ｔ）＝ ｔ２ － ４ｔ ＋ ５的对称轴为ｔ ＝ ２． 因为ｇ（ｔ）的图像开口向上， 对称轴ｔ ＝ ２在区间［－ １，１］右侧， 所以ｇ（ｔ）在［－ １，１］上是单调递减的， 所以ｇ（ｔ）ｍａｘ ＝ ｇ（－ １）＝（－ １）２ － ４ ×（－ １）＋ ５ ＝ １０， ｇ（ｔ）ｍｉｎ ＝ ｇ（１）＝ １２ － ４ × １ ＋ ５ ＝ ２                                                                      ， —１８０— 即ｇ（ｔ）∈［２，１０］． 所以函数ｆ（ｘ）的值域为［２，１０］． １０．按五个关键点列表： ｘ － π － π２ ０ π ２ π ｓｉｎ ｘ ０ － １ ０ １ ０ ｙ ＝ １ － ２ｓｉｎ ｘ １ ３ １ － １ １ 描点连线得： ①由图像可知，图像在ｙ ＝ １上方部分ｙ ＞ １，在ｙ ＝ １下方部 分ｙ ＜ １，所以当ｘ∈（－ π，０）时，ｙ ＞ １；当ｘ∈（０，π）时，ｙ ＜ １． ②如图，当直线ｙ ＝ ａ与ｙ ＝１ －２ｓｉｎ ｘ有两个交点时，１ ＜ ａ ＜３或 －１ ＜ ａ ＜１，所以ａ的取值范围是｛ａ ｜１ ＜ ａ ＜３或－１ ＜ ａ ＜１｝． ③由图像可知，ｙ最大值为３，此时ｘ ＝ － π２ ；ｙ最小值为－ １， 此时ｘ ＝ π２ ． Ｂ组　 素养提升 １． Ｂ　 ｆ － １５π( )４ ＝ ｆ － １５π４ ＋ ３π２( )× ３ ＝ ｆ ３π( )４ ＝ ｓｉｎ ３π４ ＝槡２２ ． ２． Ａ　 因为ｆ（ｘ）是定义在［－ ５，５］上的偶函数，所以其图像关于 ｙ轴对称， 结合图像可知：当ｘ∈［－ ５，－ ２）∪（２，５］时，ｆ（ｘ）＞ ０；当ｘ∈ （－ ２，２）时，ｆ（ｘ）＜ ０； 由ｆ（ｘ）ｓｉｎ ｘ ＜ ０得： ｆ（ｘ）＞ ０ ｓｉｎ ｘ{ ＜ ０或ｆ（ｘ）＜ ０，ｓｉｎ ｘ ＞ ０{ ， 所以－ π ＜ ｘ ＜ － ２或０ ＜ ｘ ＜ ２或π ＜ ｘ≤５， 所以ｆ（ｘ）ｓｉｎ ｘ ＜ ０的解集为（－ π，－ ２）∪（０，２）∪（π，５］． ３． Ｂ　 ∵ ｃｏｓ２ｘ － ｓｉｎ ｘ ＋ ａ ＝ ０， ∴ ａ ＝ ｓｉｎ ｘ － ｃｏｓ２ｘ ＝ ｓｉｎ ｘ －（１ － ｓｉｎ２ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ ＋( )１２ ２ － ５４ ． ∵ ０ ＜ ｘ≤ π２ ，∴ ０ ＜ ｓｉｎ ｘ≤１， ∴ １２ ＜ ｓｉｎ ｘ ＋ １ ２ ≤ ３ ２ ， ∴ １４ ＜ ｓｉｎ ｘ ＋( )１２ ２ ≤ ９４ ， ∴ －１ ＜ ｓｉｎ ｘ ＋( )１２ ２ － ５４ ≤１，即－ １ ＜ ａ≤１． ∴实数ａ的取值范围是（－ １，１］． ４． ０　 ｆ（ａ）＝ ａ３ ＋ ｓｉｎ ａ ＋ １ ＝ ２， ∴ ａ３ ＋ ｓｉｎ ａ ＝ １， ∴ ｆ（－ ａ）＝ － ａ３ － ｓｉｎ ａ ＋ １ ＝ － １ ＋ １ ＝ ０． ５． １ 　 １ 　 ｆ － １７π( )６ ＝ ｆ － １７π６ ＋ ３( )π ＝ ｆ π( )６ ＝ ｆ π６ － π( )２ ＝ ｆ － π( )３ ＝ ｆ π( )３ ＝ １． ｆ ３１π( )６ ＝ ｆ ５π ＋ π( )６ ＝ ｆ π( )６ ＝ ｆ π６ － π( )２ ＝ ｆ － π( )３ ＝ ｆ π( )３ ＝１． ６．（１）由题可知ｂ≠０． 因为－１≤ｓｉｎ ｘ≤１， 所以当ｂ ＞０时，有 ａ ＋ ｂ ＝ ３２ ， ａ － ｂ ＝ － １２ { ，解得ａ ＝ １２ ，ｂ ＝１{ ． 当ｂ ＜０时，有 ａ － ｂ ＝ ３２ ， ａ ＋ ｂ ＝ － １２ { ，解得ａ ＝ １２ ，ｂ ＝ －１{ ． （２）由（１）知ａ ＝ １２ ，所以函数ｙ ＝ － ａｓｉｎ ｘ ＝ － １ ２ ｓｉｎ ｘ，所以当ｘ ＝２ｋπ － π２ （ｋ∈Ｚ）时，函数ｙ ＝ － ａｓｉｎ ｘ取得最大值． （３）函数ｙ ＝ － ａｓｉｎ ｘ ＝ － １２ ｓｉｎ ｘ，所以其图像的对称轴方程为ｘ ＝ π２ ＋ ｋπ（ｋ∈Ｚ）． Ｃ组　 创新拓展 　 （１）∵函数ｆ（ｘ）＝ １ｓｉｎ ｘ， ∴ ｓｉｎ ｘ≠０，∴ ｘ≠ｋπ，ｋ∈Ｚ， 故函数的定义域为｛ｘ ｜ ｘ≠ｋπ，ｋ∈Ｚ｝．显然，ｆ（ｘ）的周期，即ｙ ＝ １ ｓｉｎ ｘ的周期为２π． 由于ｆ（－ ｘ）＝ １ｓｉｎ（－ ｘ）＝ － １ ｓｉｎ ｘ ＝ － ｆ（ｘ），故ｆ（ｘ）在｛ｘ ｜ ｘ≠ｋπ， ｋ∈Ｚ｝上为奇函数． （２）证明：正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ在区间０，π( )２ 上单调递增，设０ ＜ ｘ１ ＜ ｘ２ ＜ π ２ ，则０ ＜ ｓｉｎ ｘ１ ＜ ｓｉｎ ｘ２ ＜１， ∴ ｆ（ｘ１）＝ １ｓｉｎ ｘ１ ＞ １ ｓｉｎ ｘ２ ＝ ｆ（ｘ２），即ｆ（ｘ１）＞ ｆ（ｘ２），故ｙ ＝ ｆ（ｘ）在区 间０，π( )２ 上单调递减． 练案［９］ Ａ组　 基础巩固 １． Ｂ　 函数ｙ ＝２ｓｉｎ ｘ３ ＋ π( )５ 的周期为Ｔ ＝ ２π１ ３ ＝６π，振幅为２． ２． Ｂ　 ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ的图像向左平移π４个单位，得ｙ [＝ ｓｉｎ ２ ｘ ＋ π( ) ]４ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )２ ＝ ｃｏｓ ２ｘ的图像，再向上平移１个单位，得ｙ ＝ ｃｏｓ ２ｘ ＋ １的图像，故选Ｂ． ３． Ｄ　 向右平移π８个单位，所得图像对应的函数的解析式为ｙ ＝ ｓｉｎ ２ ｘ － π( )８ － π[ ]４ ＝ｓｉｎ ２ｘ － π( )２ ＝ －ｓｉｎ π２ －２( )ｘ ＝ －ｃｏｓ ２ｘ， 而ｆ（－ ｘ）＝ － ｃｏｓ（－ ２ｘ）＝ － ｃｏｓ ２ｘ ＝ ｆ（ｘ），所以为偶函数，故 Ｄ正确． ４． Ｄ　 ｙ ＝ ｓｉｎ（－ ２ｘ），ｘ∈［０，２π］，可得函数的最小正周期为π， 函数ｙ的图像为两个周期，故Ａ、Ｂ均错；由ｘ∈ ０，π( )４ 可得 ２ｘ∈ ０，π( )２ ，ｙ ＝ ｓｉｎ（－ ２ｘ）＜ ０，故选Ｄ． ５． Ａ　 ①向左平移π４个单位长度，再将横坐标变为原来的 １ ２ （纵 坐标不变），则正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图像变为ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )４ 的图像；②横坐标变为原来的１２ （纵坐标不变），再向左平移 π ８个单位长度，正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图像变为ｙ ＝ ｓｉｎ ２ ｘ ＋ π( )８ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )４ 的图像；③横坐标变为原来的１２ （纵坐标不 变），再向左平移π４个单位长度，正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ                                                                       的图像变 —１８１—