练案4 7.2.2 单位圆与三角函数线-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

练案［４］ 第七章　 三角函数 ７． ２　 ［７． ２． ２　 单位圆与三角函数线］ Ａ组　 基础巩固 一、选择题 １．已知角α的正弦的长度为单位长度，那么角α 的终边 （Ｂ ） Ａ．在ｘ轴上 Ｂ．在ｙ轴上 Ｃ．在直线ｙ ＝ ｘ上 Ｄ．在直线ｙ ＝ － ｘ上 ２．利用正弦线比较ｓｉｎ １，ｓｉｎ １． ２，ｓｉｎ １． ５的大小 关系是 （Ｃ ） Ａ． ｓｉｎ １ ＞ ｓｉｎ １． ２ ＞ ｓｉｎ １． ５ Ｂ． ｓｉｎ １ ＞ ｓｉｎ １． ５ ＞ ｓｉｎ １． ２ Ｃ． ｓｉｎ １． ５ ＞ ｓｉｎ １． ２ ＞ ｓｉｎ １ Ｄ． ｓｉｎ １． ２ ＞ ｓｉｎ １ ＞ ｓｉｎ １． ５ ３．在［０，２π］上满足ｓｉｎ ｘ≥ １２的ｘ的取值范围是 （Ｂ ） Ａ． ０，π[ ]６ Ｂ． π６，５π[ ]６ Ｃ． π６， ２π[ ]３ Ｄ． ５π６ ，[ ]π ４．设ａ ＝ ｓｉｎ（－ １），ｂ ＝ ｃｏｓ（－ １），ｃ ＝ ｔａｎ（－ １）， 则有 （Ｃ ） Ａ． ａ ＜ ｂ ＜ ｃ Ｂ． ｂ ＜ ａ ＜ ｃ Ｃ． ｃ ＜ ａ ＜ ｂ Ｄ． ａ ＜ ｃ ＜ ｂ ５．（多选题）下列说法正确的是 （　 　 ） Ａ．当角α的终边在ｘ轴上时角α的正切线是 一个点 Ｂ．当角α的终边在ｙ轴上时角α的正切线不 存在 Ｃ．正弦线的始点随角的终边位置的变化而 变化 Ｄ．余弦线和正切线的始点都是原点 二、填空题 ６．已知α（０ ＜ α ＜ ２π）的正弦线和余弦线长度相 等，且符号相同，那么α的值为　 　 　 　 　 ． ７．利用单位圆，可得满足ｓｉｎ α ＜槡２２ ，且α∈（０， π）的α的集合为　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． ８．若θ∈ ３π４ ， ３π( )２ ，则ｓｉｎ θ的取值范围是　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．利用三角函数线，求ｓｉｎ α ＜ １２的角α的范围． １０．利用三角函数线，写出满足｜ ｃｏｓ α ｜ ＞ ｜ ｓｉｎ α ｜ 的角α的集合                                                                  ． —０９９— Ｂ组　 素养提升 一、选择题 １．在（０，２π）内，使得｜ ｓｉｎ ｘ ｜ ＞ ｜ ｃｏｓ ｘ ｜成立的ｘ的 取值范围是 （　 　 ） Ａ． π４， π( )２ ∪ π，５π( )４ Ｂ． π４，( )π Ｃ． π４， ３π( )４ ∪ ５π４ ，７π( )４ Ｄ． π４， π( )２ ∪ ５π４ ，３π( )２ ２．（２０２４·抚顺高一检测）已知角Ａ是△ＡＢＣ的 一个内角，且ｔａｎ Ａ 槡－ ３≥０，则ｓｉｎ Ａ的取值范 围是 （　 　 ） Ａ． 槡３ ２ ，[ )１ Ｂ． １２，[ )１ Ｃ． 槡２ ２ ， 槡３[ ]２ Ｄ． １２，槡３[ ]２ ３．在（０，２π）上，利用单位圆，得到ｃｏｓ ｘ ＞ ｓｉｎ ｘ ＞ ｔａｎ ｘ成立的ｘ的取值范围是 （　 　 ） Ａ． π４， π( )３ Ｂ． ５π４ ，３π( )２ Ｃ． ３π２ ，２( )π Ｄ． ３π２ ，７π( )４ 二、填空题 ４．若０≤θ ＜ ２π，则使ｔａｎ θ≤１成立的角θ的取值 范围是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． ５．（２０２４·青岛高一检测）把ｓｉｎ ３π７ ， ３π ７ ，ｔａｎ ３π ７ 按从小到大的顺序排列为　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．求函数ｙ ＝ ｌｇ（１ －槡２ｃｏｓ ｘ）＋ １ ＋槡２ｃｏｓ槡 ｘ的 定义域． Ｃ组　 创新拓展 　 利用单位圆和三角函数线证明：若α为锐 角，则 （１）ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＞ １； （２）ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １                                                                         ． —１００— 当ｘ是第三象限角时，Ａ ＝ ｜ ｃｏｓ ｘ ｜ｃｏｓ ｘ ＋ ｔａｎ ｘ ｔａｎ ｘ ＝ － ｃｏｓ ｘ ｃｏｓ ｘ ＋ ｔａｎ ｘ ｔａｎ ｘ ＝ ０； 当ｘ是第四象限角时，Ａ ＝ ｜ ｃｏｓ ｘ ｜ｃｏｓ ｘ ＋ ｔａｎ ｘ ｔａｎ ｘ ＝ ｃｏｓ ｘ ｃｏｓ ｘ － ｔａｎ ｘ ｔａｎ ｘ ＝ ０． ６． １７１３ 　 ∵角α终边过点Ｐ（５，１２）， ∴ ｘ ＝ ５，ｙ ＝ １２，ｒ ＝ １３． ∴ ｓｉｎ α ＝ ｙｒ ＝ １２ １３，ｃｏｓ α ＝ ｘ ｒ ＝ ５ １３， ∴ ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝ １７１３ ． ７．一或二　 要使原式有意义，必须ｃｏｓ θ·ｔａｎ θ ＞ ０，即需ｃｏｓ θ、 ｔａｎ θ同号， ∴ θ是第一或第二象限角． ８． ２　 ∵ α为第二象限角，∴ ｓｉｎ α ＞ ０，ｃｏｓ α ＜ ０， ∴ ｜ ｓｉｎ α ｜ｓｉｎ α － ｃｏｓ α｜ ｃｏｓ α ｜ ＝ ｓｉｎ αｓｉｎ α － ｃｏｓ α－ ｃｏｓ α ＝ ２． ９．（１）因为角θ的终边经过点Ａ（１，ｍ）（ｍ≠０）， 所以该点到原点的距离为ｒ ＝ １ ＋ ｍ槡 ２， 又因为ｓｉｎ θ ＝ ｍ １ ＋ ｍ槡 ２ ＝ ｍ２ ，解得ｍ 槡＝ ± ３． （２）由（１）得，当ｍ 槡＝ ３时，Ａ（１，槡３）， 所以ｓｉｎ θ ＝槡３２ ，ｃｏｓ θ ＝ １ ２ ，ｔａｎ θ 槡＝ ３． 当ｍ 槡＝ － ３时，Ａ（１，槡－ ３）， 所以ｓｉｎ θ ＝ －槡３２ ，ｃｏｓ θ ＝ １ ２ ，ｔａｎ θ 槡＝ － ３． １０． ∵ ｓｉｎ α ＝ ２ 槡５ ＞ ０，ｃｏｓ α ＜ ０，∴ α为第二象限角， 在直线ｙ ＝ ｋｘ（ｘ ＜０）上任取一点Ｐ（－１，－ ｋ）， 则ｒ ＝ ｜ＯＰ ｜ ＝ １ ＋ ｋ槡 ２， 由ｓｉｎ α ＝ ２ 槡５ 得， － ｋ １ ＋ ｋ槡 ２ ＝ ２ 槡５ ， ∴ ｋ ＝ ± ２，∵角α的终边在第二象限， ∴ － ｋ ＞ ０，即ｋ ＜ ０，∴ ｋ ＝ － ２． Ｂ组　 素养提升 １． Ｄ　 因为点Ｐ（ｍ，１）是角α终边上的一点，且ｓｉｎ α ＝ １３ ，所以 ｓｉｎ α ＝ １ ｍ２槡＋ １ ＝ １３ ，解得ｍ 槡＝ ２ ２或ｍ 槡＝ － ２ ２． ２． Ｂ　 因为α是第三象限角，所以π ＋ ２ｋπ ＜ α ＜ ３π２ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ， 所以π２ ＋ ｋπ ＜ α ２ ＜ ３π ４ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ， 则α２是第二象限角或第四象限角． 又ｃｏｓ α２ ＝ － ｃｏｓ α ２ ，即ｃｏｓ α ２ ＜ ０， 所以α２是第二象限角．故选Ｂ． ３． ＣＤ　 ∵ α是第四象限角，∴ α２是第二象限角或第四象限角， ∴ ｓｉｎ α２与ｃｏｓ α ２的符号不确定，ｔａｎ α ２一定是负值， 又ｓｉｎ α２和ｃｏｓ α ２一定异号，∴ ｓｉｎ α ２ ｃｏｓ α ２ ＜ ０． ４． － １６１３ 　 由任意角的正弦、正切函数的定义知，ｓｉｎ α ＝ １２ １３，ｔａｎ β ＝ ４ ５ － ３５ ＝ － ４３ ， 所以ｓｉｎ α·ｔａｎ β ＝ １２１３ × －( )４３ ＝ － １６１３ ． ５． － ８　 － ２　 因为ｓｉｎ θ ＝ ｙ ４２ ＋ ｙ槡 ２ ＝ － 槡２ ５５ ， 所以ｙ ＜ ０，且ｙ２ ＝ ６４，所以ｙ ＝ － ８． 则ｔａｎ θ ＝ ｙｘ ＝ － ２． ６．点Ｐ（ 槡－ ３，ｍ）到坐标原点Ｏ的距离ｒ ＝ ｘ２ ＋ ｙ槡 ２ ＝ ３ ＋ ｍ槡 ２， 由三角函数的定义，得ｓｉｎ θ ＝ ｙｒ ＝ ｍ ３ ＋ ｍ槡 ２ ＝槡２４ ｍ，解得ｍ ＝ 槡± ５． 当ｍ 槡＝ ５时，ｃｏｓ θ ＝ ｘｒ ＝ 槡 － ３ 槡２ ２ ＝ －槡６４ ，ｔａｎ θ ＝ ｙ ｘ ＝ 槡５ 槡－ ３ ＝ －槡１５３ ． 当ｍ 槡＝ － ５时，ｃｏｓ θ ＝ ｘｒ ＝ 槡 － ３ 槡２ ２ ＝ －槡６４ ，ｔａｎ θ ＝ ｙ ｘ ＝ 槡－ ５ 槡－ ３ ＝槡１５３ ． Ｃ组　 创新拓展 　 （１）由 １｜ ｓｉｎ α ｜ ＝ － １ ｓｉｎ α 可知ｓｉｎ α ＜ ０， ∴ α是第三或第四象限角或终边在ｙ轴的负半轴上的角． 由ｌｇｃｏｓ α有意义可知ｃｏｓ α ＞ ０， ∴ α是第一或第四象限角或终边在ｘ轴的正半轴上的角． 综上可知角α是第四象限的角． （２）∵ ｜ＯＭ ｜ ＝ １，∴ ( )３５ ２ ＋ ｍ２ ＝ １，解得ｍ ＝ ± ４５ ． 又α是第四象限角，故ｍ ＜０，从而ｍ ＝ － ４５ ． 由正弦函数的定义可知ｓｉｎ α ＝ ｙｒ ＝ ｍ ｜ＯＭ ｜ ＝ － ４５ １ ＝ － ４ ５ ． 练案［４］ Ａ组　 基础巩固 １． Ｂ　 根据正弦线的定义可知，｜ ｓｉｎ α ｜ ＝ １，∴ ｓｉｎ α ＝ ± １，∴角α 的终边在ｙ轴上． ２． Ｃ　 ∵ １，１． ２，１． ５均在０，π( )２ 内，正弦线在０，π( )２ 内随角的 增大而逐渐增大， ∴ ｓｉｎ １． ５ ＞ ｓｉｎ １． ２ ＞ ｓｉｎ １． ３． Ｂ 　 如图，分别作出π６ ， ５π ６ 的正弦线→ＭＰ， →Ｍ′Ｐ′， ∵ ｜ →ＭＰ ｜ ＝ ｜ →Ｍ′Ｐ′ ｜ ＝ １２ ， 结合正弦线得出ｓｉｎ ｘ≥ １２的取值范围 为π６ ， ５π[ ]６ ． ４． Ｃ 　 作α ＝ － １的正弦线、余弦线、正切线 可知： ｂ ＝ ｜ →ＯＭ ｜，ａ ＝ － ｜ →ＭＰ ｜， ｃ ＝ － ｜→ＡＴ ｜，且－ ｜→ＭＰ ｜ ＞ － ｜→ＡＴ ｜ ． ∴ ｂ ＞ ａ ＞ ｃ，即ｃ ＜ ａ ＜ ｂ． ５． ＡＢＣ　 根据三角函数线的概念，Ａ，Ｂ，Ｃ是正 确的，只有Ｄ不正确．因为余弦线的始点是原点而正切线的始 点是单位圆与ｘ轴正半轴的交点． ６． π４或 ５π ４ 　 作出角 π ４与 ５π ４的正弦线、余弦线如图所示                                                                      ． —１７５— 由图可知，角π４与 ５π ４的正弦线、余弦线长度相等，且符号相同． ７． α ０ ＜ α ＜ π４或 ３π ４ ＜ α ＜{ }π 　 如图所示， 终边落在阴影内的角α满足ｓｉｎ α ＜槡２２ ． ８． － １，槡２( )２ 　 由图可知 ｓｉｎ ３π４ ＝ 槡２ ２ ，ｓｉｎ ３π ２ ＝ －１， 所以－ １ ＜ ｓｉｎ θ ＜槡２２ ， 即ｓｉｎ θ∈ － １，槡２( )２ ． ９．如图所示，首先在ｙ轴上找到１２ ，过 此点作平行于ｘ轴的直线，交单位圆 于Ｐ１与Ｐ２两点． 若ｓｉｎ α ＝ １２ ，则α ＝ ２ｋπ ＋ π ６或α ＝ ２ｋπ ＋ ５６ π（ｋ∈Ｚ），角α所对应的正 弦线分别为Ｍ１Ｐ→ １、Ｍ２Ｐ→ ２，当角２ｋπ ＋ π ６的终边按逆时针方向旋转至２ｋπ ＋ ５π６时，显然ｓｉｎ α ＞ １ ２ ，故应舍去，所以α应取线ＯＰ１ 和线 ＯＰ２以下的角，如图的阴影部分所示．故α的取值集合 是α ２ｋπ ＋ ５π６ ＜ α ＜ ２ｋπ ＋ １３π ６ ，ｋ∈{ }Ｚ ． １０．如图，作出单位圆及直线ｙ ＝ ｘ与ｙ ＝ － ｘ，则当角α的终边在直线ｙ ＝ ｘ与ｙ ＝ － ｘ上时，｜ ｃｏｓ α ｜ ＝ ｜ ｓｉｎ α ｜ ． 观察图形可知，当角α的终边靠近ｘ轴 时，｜ ｃｏｓ α ｜ ＞ ｜ ｓｉｎ α ｜， 所以角α {的集合为α ｋπ － π４ ＜ α ＜ ｋπ ＋ π４ ，ｋ∈ }Ｚ ． Ｂ组　 素养提升 １． Ｃ　 ｜ ｓｉｎ ｘ ｜ ＞ ｜ ｃｏｓ ｘ ｜可转化为ｘ的正弦 线的长度大于余弦线的长度，观察图 形可知： 在（０，２π）内，使得｜ ｓｉｎ ｘ ｜ ＞ ｜ ｃｏｓ ｘ ｜成立 的ｘ (的取值范围是 π４ ，３π )４ ∪ ５π４ ， ７π( )４ ． ２． Ａ　 由ｔａｎ Ａ 槡－ ３≥０，得ｔａｎ Ａ≥槡３， 又０ ＜ Ａ ＜ π，由ｔａｎ Ａ 槡＝ ３，得Ａ ＝ π３ ． 作出π３的正切线 →ＡＴ，如图所示． 由图可得，当π３ ≤Ａ ＜ π ２时，ｔａｎ Ａ≥槡３，此时 槡３ ２ ≤ｓｉｎ Ａ ＜ １， 故ｓｉｎ Ａ的取值范围是槡３ ２ ，[ )１ ． ３． Ｃ　 如图所示，在单位圆中，设∠ＡＯＭ ＝ ｘ，则ＭＡ ＝ ｓｉｎ ｘ，ＯＭ ＝ ｃｏｓ ｘ，ＮＴ ＝ ｔａｎ ｘ， 由图形可得在第一象限ｓｉｎ ｘ，ｃｏｓ ｘ， ｔａｎ ｘ均大于０，ＮＴ ＞ ＭＡ在第一象限恒 成立， 即ｔａｎ ｘ ＞ ｓｉｎ ｘ在第一象限恒成立，所以 在第一象限不成立； 由图形可得在第二象限ｓｉｎ ｘ大于０，ｃｏｓ ｘ，ｔａｎ ｘ均小于０，所 以在ｃｏｓ ｘ ＞ ｓｉｎ ｘ ＞ ｔａｎ ｘ第二象限不成立； 由图形可得在第三象限ｓｉｎ ｘ，ｃｏｓ ｘ小于０，ｔａｎ ｘ大于０，所以 在ｃｏｓ ｘ ＞ ｓｉｎ ｘ ＞ ｔａｎ ｘ第三象限不成立； 由图形可得在第四象限ｃｏｓ ｘ大于０，ｓｉｎ ｘ， ｔａｎ ｘ小于０，｜ ＮＴ ｜ ＞ ｜ＭＡ ｜，所以ｓｉｎ ｘ ＞ ｔａｎ ｘ在３π２ ＜ ｘ ＜ ２π恒成立，所以ｃｏｓ ｘ ＞ ｓｉｎ ｘ ＞ ｔａｎ ｘ在第四象限恒成立， 综上，ｃｏｓ ｘ ＞ ｓｉｎ ｘ ＞ ｔａｎ ｘ在（０，２π）上成 立的ｘ的取值范围为３π２ ＜ ｘ ＜ ２π，即ｘ ∈ ３π２ ，２( )π ． ４． ０，π[ ]４ ∪ π２ ，５π( ]４ ∪ ３π２ ，２( )π 如图所示，ｔａｎ θ≤１，包括ｔａｎ θ ＜ ０，即二、四象限，ｔａｎ θ ＝ ０，即ｘ 轴上， ０ ＜ ｔａｎ θ≤１，即第一、三象限中，直线ｙ ＝ ｘ与ｘ轴所夹的部分． ５． ｓｉｎ ３７ π ＜ ３ ７ π ＜ ｔａｎ ３ ７ π　 因为ｓｉｎ ３ ７ π ＜ １， 所以ｓｉｎ ３７ π ＜ ３ ７ π， 如图单位圆， 因为ｔａｎ ３７ π ＝ ＡＴ ＯＡ ＝ ＡＴ                                                                      ， —１７６— 所以Ｓ△ ＯＡＴ ＝ １２ ＯＡ·ＡＴ ＝ １ ２ ＡＴ， 又因为３７ π所对的弧长为 ３ ７ π·１ ＝ ３ ７ π，所以扇形ＯＡＢ的面 积Ｓ ＝ １２· ３ ７ π·１ ＝ ３ １４π， 而Ｓ△ ＯＡＴ ＞ Ｓ，所以ＡＴ ＞ ３７ π， 即ｔａｎ ３７ π ＞ ３ ７ π． ６．因为 槡１ － ２ｃｏｓ ｘ ＞ ０， 槡１ ＋ ２ｃｏｓ ｘ≥０{ ， 所以－槡２２ ≤ｃｏｓ ｘ ＜槡 ２ ２ ，在单位圆中作出满 足该不等式的角的集合，如图所示，可得ｘ (∈ ２ｋπ ＋ π４ ，２ｋπ ＋ ３π ]４ [∪ ２ｋπ ＋ ５π４ ， ２ｋπ ＋ ７π )４ （ｋ∈Ｚ）． Ｃ组　 创新拓展 　 如图，记角α的两边与单位圆的交点分别 为点Ａ，Ｐ，点Ａ在ｘ轴正半轴上，过点Ｐ作 ＰＭ⊥ ｘ轴于点Ｍ，则ｓｉｎ α ＝ ＭＰ，ｃｏｓ α ＝ ＯＭ． （１）在Ｒｔ△ＯＭＰ中，ＭＰ ＋ ＯＭ ＞ ＯＰ， 所以ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＞ １． （２）在Ｒｔ△ＯＭＰ中，ＭＰ２ ＋ ＯＭ２ ＝ ＯＰ２， 所以ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １． 练案［５］ Ａ组　 基础巩固 １． Ｂ　 ∵ α是第四象限角，ｃｏｓ α ＝ １２１３， ∴ ｓｉｎ α ＝ － １ － ｃｏｓ２槡 α ＝ － １ － １２( )１３槡 ２ ＝ － ５１３ ． ２． Ｃ　 原式＝ ｃｏｓ２ ３π槡５ ＝ ｃｏｓ ３π５ ＝ － ｃｏｓ ３π５ ． ３． Ｃ　 原式＝ １ ＋ ｓｉｎ ２α ｃｏｓ２( )α ·ｃｏｓ２α ＝ ｃｏｓ２α ＋ ｓｉｎ２α ＝ １． ４． Ｂ　 由ｓｉｎ α － ３ｃｏｓ α ＝ ０，∴ ｔａｎ α ＝ ３， 又ｓｉｎ２α ＋ ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ ｓｉｎ ２α ＋ ｓｉｎ αｃｏｓ α ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ ｔａｎ ２α ＋ ｔａｎ α １ ＋ ｔａｎ２α ＝ １２１０ ＝ ６ ５ ． ５． Ｂ　 ∵ π２ ＜ ３ ＜ π，ｓｉｎ ３ ＝ ｔ， ∴ ｃｏｓ ３ ＝ － １ － ｓｉｎ２槡 ３ ＝ － １ － ｔ槡 ２，故选Ｂ． ６． １２ 　 依题意有ｒ ＝ ３ ＋ ｙ槡 ２，ｓｉｎ β ＝ ｙ ｒ ＝ ｙ ３ ＋ ｙ槡 ２ ＝槡１３１３ ，解得 ｙ ＝ １２ ． ７． － ４５ 　 由Ｐ（－４，３）为角α终边上一点，有ｔａｎ α ＝ － ３ ４ ． 所以ｃｏｓ２α ＋ ３ｓｉｎ α·ｃｏｓ α ＝ ｃｏｓ ２α ＋ ３ｓｉｎ αｃｏｓ α ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １ ＋ ３ｔａｎ α ｔａｎ２α ＋ １ ＝ １ ＋ ３ × －( )３４ －( )３４ ２ ＋ １ ＝ － ４５ ． ８． ｓｉｎ α　 原式＝ １ ｓｉｎ α ＋ １ｓｉｎ α ｃｏｓ( )α （１ － ｃｏｓ α） ＝（１ ＋ ｃｏｓ α）（１ － ｃｏｓ α）ｓｉｎ α ＝ １ － ｃｏｓ ２α ｓｉｎ α ＝ ｓｉｎ α． ９．（１）∵ ｃｏｓ α ＝ ８１７ ＞ ０，∴ α是第一或第四象限角． 当α是第一象限角时，ｓｉｎ α ＝ １ － ｃｏｓ２槡 α ＝ １ － ８( )１７槡 ２ ＝ １５ １７，∴ ｔａｎ α ＝ ｓｉｎ α ｃｏｓ α ＝ １５ １７ ８ ７ ＝ １５８ ． 当α是第四象限角时，ｓｉｎ α ＝ － １ － ｃｏｓ２槡 α ＝ － １ － ８( )１７槡 ２ ＝ － １５１７， ∴ ｔａｎ α ＝ ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ － １５１７ ８ １７ ＝ － １５８ ． （２）∵ ｔａｎ α ＝ － １５８ ＜ ０，∴ α是第二或第四象限角． 由ｔａｎ α ＝ ｓｉｎ α ｃｏｓ α ＝ － １５８ ， ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １{ ， 得ｓｉｎ２α ＝ ２２５２８９ ＝ １５( )１７ ２ ． 当α是第二象限角时，ｓｉｎ α ＝ １５１７； 当α是第四象限角时，ｓｉｎ α ＝ － １５１７ ． １０．（１）原式＝ ４ｔａｎ α － １３ｔａｎ α ＋ ５ ＝ ４ × ３ － １ ３ × ３ ＋ ５ ＝ １１ １４ ． （２）原式＝ ｔａｎ ２α － ２ｔａｎ α － １ ４ － ３ｔａｎ２α ＝ ９ － ２ × ３ － １ ４ － ３ × ３２ ＝ － ２２３ ． （３）原式＝ ３ ４ ｓｉｎ ２α ＋ １２ ｃｏｓ ２α ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ ３ ４ ｔａｎ ２α ＋ １２ ｔａｎ２α ＋ １ ＝ ３ ４ × ９ ＋ １ ２ ９ ＋ １ ＝ ２９４０ ． Ｂ组　 素养提升 １． Ｂ　 当ｓｉｎ２α ＋ ｓｉｎ２β ＝１时，例如α ＝ π２ ，β ＝０但ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ β≠０， 即ｓｉｎ２α ＋ ｓｉｎ２β ＝ １推不出ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ β ＝ ０； 当ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ β ＝ ０时，ｓｉｎ２α ＋ ｓｉｎ２β ＝（－ ｃｏｓ β）２ ＋ ｓｉｎ２β ＝ １， 即ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ β ＝ ０能推出ｓｉｎ２α ＋ ｓｉｎ２β ＝ １． 综上可知，甲是乙的必要不充分条件． 故选Ｂ． ２． Ｃ　 因为３π２ ＜ α ＜ ２π， 所以ｓｉｎ α ＜ ０，０ ＜ ｃｏｓ α ＜ １， 所以 １ ＋ ｃｏｓ α１ － ｃｏｓ槡α ＋ １ － ｃｏｓ α１ ＋ ｃｏｓ槡α ＝ （１ ＋ｃｏｓ α）２（１ －ｃｏｓ α）（１ ＋ｃｏｓ α槡 ）＋ （１ －ｃｏｓ α）２ （１ ＋ｃｏｓ α）（１ －ｃｏｓ α槡 ）＝ （１ ＋ ｃｏｓ α）２ｓｉｎ２槡α ＋ （１ － ｃｏｓ α）２ｓｉｎ２槡α ＝ １ ＋ ｃｏｓ α－ ｓｉｎ α ＋ １ － ｃｏｓ α－ ｓｉｎ α ＝ － ２ｓｉｎ α ． ３． ＡＣＤ　 由ｔａｎ α ＝３，得ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝３，所以ｓｉｎ α ＝ ３ｃｏｓ α，故Ａ正确， Ｂ错误                                                                       ； —１７７—