练案3 7.2.1 三角函数的定义-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

练案［３］ 第七章　 三角函数 ７． ２　 ［７． ２． １　 三角函数的定义］ Ａ组　 基础巩固 一、选择题 １．“α为第一象限角”是“ｔａｎ α ＞ ０”的 （　 　 ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ２．若－ π２ ＜α ＜０，则点Ｑ（ｃｏｓ α，ｓｉｎ α）位于（Ｄ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 ３．已知角α的终边经过点Ｐ（ｍ，－ ３），且ｃｏｓ α ＝ － ４５，则ｍ ＝ （Ｃ ） Ａ． － １１４ Ｂ． １１ ４ Ｃ． － ４ Ｄ． ４ ４．在△ＡＢＣ中，若ｓｉｎＡ·ｃｏｓＢ·ｔａｎＣ ＜ ０，则 △ＡＢＣ是 （Ｃ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．锐角或钝角三角形 ５．（多选题）（２０２４·沈阳高一检测）已知Ａ ＝ ｜ ｃｏｓ ｘ ｜ ｃｏｓ ｘ ＋ ｔａｎ ｘ ｔａｎ ｘ ，则Ａ的值可以是 （　 　 ） Ａ． ０ Ｂ． １ Ｃ． ２ Ｄ． － ２ 二、填空题 ６．已知角α终边上一点Ｐ（５，１２），则ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝ 　 　 　 　 ． ７．使得ｌｇ（ｃｏｓ θ·ｔａｎ θ）有意义的角θ是第　 　 　 象限角． ８．当α为第二象限角时，｜ ｓｉｎ α ｜ｓｉｎ α － ｃｏｓ α ｜ ｃｏｓ α ｜ 的值 是　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．已知角θ的终边经过点Ａ（１，ｍ）（ｍ≠０），且 ｓｉｎ θ ＝ ｍ２ ． （１）求ｍ的值； （２）求ｓｉｎ θ，ｃｏｓ θ，ｔａｎ θ的值． １０．已知角α的终边在直线ｙ ＝ ｋｘ上（ｋ≠０），若 ｓｉｎ α ＝ ２ 槡５ ，ｃｏｓ α ＜ ０，求ｋ的值                                                                 ． —０９７— Ｂ组　 素养提升 一、选择题 １．已知点Ｐ（ｍ，１）是角α终边上的一点，且ｓｉｎ α ＝ １３，则ｍ的值为 （　 　 ） Ａ． ２ Ｂ． 槡－ ２ ２ Ｃ． 槡２ ２或２ Ｄ． 槡２ ２或 槡－ ２ ２ ２．（２０２３·山东威海高一月考）设α是第三象限 角，且ｃｏｓ α２ ＝ － ｃｏｓ α ２，则 α ２的终边所在的 象限是 （　 　 ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 ３．（多选题）若α是第四象限角，则下列数值一 定是负值的是 （　 　 ） Ａ． ｓｉｎ α２ Ｂ． － ｃｏｓ α ２ Ｃ． ｔａｎ α２ Ｄ． ｓｉｎ α ２ ｃｏｓ α ２ 二、填空题 ４．在平面直角坐标系中，以ｘ轴的非负半轴为角 的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于 点５１３， １２( )１３ 和－ ３５，( )４５ ，那么ｓｉｎ α·ｔａｎ β ＝ 　 　 　 　 ． ５．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为ｘ轴的正 半轴，若Ｐ（４，ｙ）是角θ终边上一点，且ｓｉｎ θ ＝ － 槡２ ５５ ，则ｙ ＝ 　 　 　 　 ；ｔａｎ θ ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．已知角θ终边上有一点Ｐ（－槡３，ｍ），且ｓｉｎ θ ＝槡２４ ｍ（ｍ≠０），试求ｃｏｓ θ与ｔａｎ θ的值． Ｃ组　 创新拓展 　 已知 １｜ ｓｉｎ α ｜ ＝ － １ ｓｉｎ α ，且ｌｇｃｏｓ α有意义． （１）试判断角α所在的象限； （２）若角α的终边上一点是Ｍ ３５，( )ｍ ，且｜ＯＭ ｜ ＝ １（Ｏ为坐标原点），求ｍ的值及ｓｉｎ α的值                                                                         ． —０９８— ９．（１）ｌ ＝ α·Ｒ ＝ ２３ π × ６ ＝ ４π，所以弧ＡＢ的长为４π． （２）Ｓ扇形ＯＡＢ ＝ １２ ｌＲ ＝ １ ２ × ４π × ６ ＝ １２π． 如图所示，过点Ｏ作ＯＤ⊥ＡＢ，交ＡＢ 于点Ｄ，２３ π ＝ １２０°，所以∠ＡＯＤ ＝ ６０°，∠ＤＡＯ ＝ ３０°， 于是有Ｓ△ＯＡＢ ＝ １２ × ＡＢ × ＯＤ ＝ １ ２ × ２ 槡× ６ｃｏｓ ３０° × ３ ＝ ９ ３． 所以弓形的面积为Ｓ扇形ＯＡＢ － Ｓ△ＯＡＢ ＝ １２π 槡－ ９ ３． １０．（１）∵ １８０° ＝ π ｒａｄ， ∴ －５７０° ＝ － ５７０π１８０ ＝ － １９π ６ ， ∴ α１ ＝ － １９π ６ ＝ － ２ × ２π ＋ ５π ６ ， ∴ α２ ＝ ７５０° ＝ ７５０π １８０ ＝ ２５π ６ ， 又２５π６ ＝ ２ × ２π ＋ π ６ ． ∴ α１在第二象限，α２在第一象限． （２）β１ ＝ ３π５ ＝ ３ ５ ×１８０° ＝１０８°， β２ ＝ － π ３ ＝ － ６０°，∴ β１在第二象限，β２在第四象限． Ｂ组　 素养提升 １． Ｄ　 ∵ α３ ＝ ２ｋπ ＋ π ３ （ｋ∈Ｚ）， ∴ α ＝６ｋπ ＋π（ｋ∈Ｚ），∴ α２ ＝３ｋπ ＋ π ２ （ｋ∈Ｚ）． 当ｋ为奇数时，α２的终边在ｙ轴的非正半轴上；当ｋ为偶数 时，α２的终边在ｙ轴的非负半轴上．综上， α ２终边在ｙ轴上，故 选Ｄ． ２． ＡＢＣ　 由题意，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单 位，Ａ正确；周角为３６０°，所以１°的角是周角的１３６０，周角为２π ｒａｄ，所以１ ｒａｄ的角是周角的１２π，Ｂ正确；根据弧度制与角度制 的互化，可得１ ｒａｄ ＝ １８０( )π ° ＞ １°，Ｃ正确；用弧度制度量角时， 角的大小与圆的半径无关，Ｄ错误．故选ＡＢＣ． ３． ＡＤ　 １ ｓ时，∠ＡＯＢ ＝ π３ ＋ １ × １ ＋ １ × ２ ＝ ３ ＋ π ３ ，Ａ正确； １ １２ ｓ 时，∠ＡＯＢ ＝ π３ ＋ １ １２ × １ ＋ １ １２ × ２ ＝ １ ４ ＋ π ３ ，∴ ) ＡＢ的长为１ × １ ４ ＋ π( )３ ＝ １４ ＋ π３ ，Ｂ错误；π６ ｓ时，∠ＡＯＢ ＝ π３ ＋ π６ × １ ＋ π ６ × ２ ＝ ５π ６ ，扇形ＡＯＢ的面积为 １ ２ × １ ２ × ５π６ ＝ ５π １２，Ｃ错误； ５π ９ ｓ时，Ａ点运动的路程为５π９ × １ ＝ ５π ９ ，Ｂ点运动的路程为 ５π ９ × ２ ＝ １０π９ ， ５π ９ ＋ １０π ９ ＋ π ３ ＝ ２π，Ｄ正确．故选ＡＤ． ４． １２ ＋ π ３６０， １ ２ － π ３６０　 设两个角的弧度分别为ｘ，ｙ， 因为１° ＝ π１８０ ｒａｄ， 所以有 ｘ ＋ ｙ ＝ １， ｘ － ｙ ＝ π１８０{ ，解得 ｘ ＝ １２ ＋ π ３６０， ｙ ＝ １２ － π ３６０ { ． 即所求两角的弧度数分别为１２ ＋ π ３６０， １ ２ － π ３６０． ５． ２０９ 　 如图， 依题意可得)ＡＢ的长为６０ ｃｍ， )ＣＤ的长 为２０ ｃｍ，设扇形的中心角的弧度数 为α， 则ｌ )ＡＢ ＝ α·ＯＡ，ｌ )ＣＤ ＝ α·ＯＣ， 则ＯＡＯＣ ＝ ６０ ２０ ＝ ３，即ＯＡ ＝ ３ＯＣ． 因为ＡＣ ＝ １８ ｃｍ，所以ＯＣ ＝ ９ ｃｍ，所以该扇形的中心角的弧度 数α ＝ ｌ )ＣＤＯＣ ＝ ２０ ９ ． ６．（１）３１０° ＝ π１８０ ｒａｄ × ３１０ ＝ ３１π １８ ｒａｄ． （２）５π１２ ｒａｄ ＝ １８０ π × ５π( )１２ ° ＝ ７５°． （３）方法一（化为弧度）： α ＝ １５° ＝ １５ × π１８０ ＝ π １２ ． θ ＝ １０５° ＝ １０５ × π１８０ ＝ ７π １２ ． 显然π１２ ＜ π １０ ＜ １ ＜ ７π １２ ． 故α ＜ β ＜ γ ＜ θ ＝ φ． 方法二（化为角度）： β ＝ π１０ ＝ π １０ × １８０( )π ° ＝ １８°，γ ＝ １≈５７． ３０°， φ ＝ ７π１２ × １８０( )π ° ＝ １０５°． 显然，１５° ＜ １８° ＜ ５７． ３０° ＜ １０５°． 故α ＜ β ＜ γ ＜ θ ＝ φ． Ｃ组　 创新拓展 　 设所在扇形圆心角为α，半径为ｒ ｍ，故ｒ 槡＝ ３ ３． 扇形面积等于１２ αｒ ２ ＝ １２ × ２π ３ ×（槡３ ３） ２ ＝ ９π（ｍ２）． 弧田面积＝ １２ αｒ ２ － １２ ｒ ２ ｓｉｎ ２π３ ＝ ９π － 槡２７ ３ ４ ． 故弧田的实际面积为９π － 槡２７ ３( )４ ｍ２ ． 练案［３］ Ａ组　 基础巩固 １． Ａ　 若α为第一象限角，则必有ｔａｎ α ＞ ０；反之，若ｔａｎ α ＞ ０，则 α为第一或第三象限角． ２． Ｄ　 因为－ π２ ＜ α ＜ ０，所以ｃｏｓ α ＞ ０，ｓｉｎ α ＜ ０，则点Ｑ（ｃｏｓ α， ｓｉｎ α）位于第四象限． ３． Ｃ　 由题意可知，ｃｏｓ α ＝ ｍ ｍ２槡＋ ９ ＝ － ４５ ，易知ｍ ＜ ０，解得ｍ ＝ － ４，故选Ｃ． ４． Ｃ　 ∵ Ａ、Ｂ、Ｃ是△ＡＢＣ的内角， ∴ ｓｉｎ Ａ ＞ ０． ∵ ｓｉｎ Ａ·ｃｏｓ Ｂ·ｔａｎ Ｃ ＜０，∴ ｃｏｓ Ｂ·ｔａｎ Ｃ ＜０． ∴ ｃｏｓ Ｂ和ｔａｎ Ｃ中必有一个小于０． 即Ｂ、Ｃ中必有一个钝角，选Ｃ． ５． ＡＣＤ　 显然ｘ的终边不在坐标轴上， 当ｘ是第一象限角时，Ａ ＝ ｜ ｃｏｓ ｘ ｜ｃｏｓ ｘ ＋ ｔａｎ ｘ ｔａｎ ｘ ＝ ｃｏｓ ｘ ｃｏｓ ｘ ＋ ｔａｎ ｘ ｔａｎ ｘ ＝ ２； 当ｘ是第二象限角时，Ａ ＝ ｜ ｃｏｓ ｘ ｜ｃｏｓ ｘ ＋ ｔａｎ ｘ ｔａｎ ｘ ＝ － ｃｏｓ ｘ ｃｏｓ ｘ － ｔａｎ ｘ ｔａｎ ｘ ＝ － ２                                                                      ； —１７４— 当ｘ是第三象限角时，Ａ ＝ ｜ ｃｏｓ ｘ ｜ｃｏｓ ｘ ＋ ｔａｎ ｘ ｔａｎ ｘ ＝ － ｃｏｓ ｘ ｃｏｓ ｘ ＋ ｔａｎ ｘ ｔａｎ ｘ ＝ ０； 当ｘ是第四象限角时，Ａ ＝ ｜ ｃｏｓ ｘ ｜ｃｏｓ ｘ ＋ ｔａｎ ｘ ｔａｎ ｘ ＝ ｃｏｓ ｘ ｃｏｓ ｘ － ｔａｎ ｘ ｔａｎ ｘ ＝ ０． ６． １７１３ 　 ∵角α终边过点Ｐ（５，１２）， ∴ ｘ ＝ ５，ｙ ＝ １２，ｒ ＝ １３． ∴ ｓｉｎ α ＝ ｙｒ ＝ １２ １３，ｃｏｓ α ＝ ｘ ｒ ＝ ５ １３， ∴ ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝ １７１３ ． ７．一或二　 要使原式有意义，必须ｃｏｓ θ·ｔａｎ θ ＞ ０，即需ｃｏｓ θ、 ｔａｎ θ同号， ∴ θ是第一或第二象限角． ８． ２　 ∵ α为第二象限角，∴ ｓｉｎ α ＞ ０，ｃｏｓ α ＜ ０， ∴ ｜ ｓｉｎ α ｜ｓｉｎ α － ｃｏｓ α｜ ｃｏｓ α ｜ ＝ ｓｉｎ αｓｉｎ α － ｃｏｓ α－ ｃｏｓ α ＝ ２． ９．（１）因为角θ的终边经过点Ａ（１，ｍ）（ｍ≠０）， 所以该点到原点的距离为ｒ ＝ １ ＋ ｍ槡 ２， 又因为ｓｉｎ θ ＝ ｍ １ ＋ ｍ槡 ２ ＝ ｍ２ ，解得ｍ 槡＝ ± ３． （２）由（１）得，当ｍ 槡＝ ３时，Ａ（１，槡３）， 所以ｓｉｎ θ ＝槡３２ ，ｃｏｓ θ ＝ １ ２ ，ｔａｎ θ 槡＝ ３． 当ｍ 槡＝ － ３时，Ａ（１，槡－ ３）， 所以ｓｉｎ θ ＝ －槡３２ ，ｃｏｓ θ ＝ １ ２ ，ｔａｎ θ 槡＝ － ３． １０． ∵ ｓｉｎ α ＝ ２ 槡５ ＞ ０，ｃｏｓ α ＜ ０，∴ α为第二象限角， 在直线ｙ ＝ ｋｘ（ｘ ＜０）上任取一点Ｐ（－１，－ ｋ）， 则ｒ ＝ ｜ＯＰ ｜ ＝ １ ＋ ｋ槡 ２， 由ｓｉｎ α ＝ ２ 槡５ 得， － ｋ １ ＋ ｋ槡 ２ ＝ ２ 槡５ ， ∴ ｋ ＝ ± ２，∵角α的终边在第二象限， ∴ － ｋ ＞ ０，即ｋ ＜ ０，∴ ｋ ＝ － ２． Ｂ组　 素养提升 １． Ｄ　 因为点Ｐ（ｍ，１）是角α终边上的一点，且ｓｉｎ α ＝ １３ ，所以 ｓｉｎ α ＝ １ ｍ２槡＋ １ ＝ １３ ，解得ｍ 槡＝ ２ ２或ｍ 槡＝ － ２ ２． ２． Ｂ　 因为α是第三象限角，所以π ＋ ２ｋπ ＜ α ＜ ３π２ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ， 所以π２ ＋ ｋπ ＜ α ２ ＜ ３π ４ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ， 则α２是第二象限角或第四象限角． 又ｃｏｓ α２ ＝ － ｃｏｓ α ２ ，即ｃｏｓ α ２ ＜ ０， 所以α２是第二象限角．故选Ｂ． ３． ＣＤ　 ∵ α是第四象限角，∴ α２是第二象限角或第四象限角， ∴ ｓｉｎ α２与ｃｏｓ α ２的符号不确定，ｔａｎ α ２一定是负值， 又ｓｉｎ α２和ｃｏｓ α ２一定异号，∴ ｓｉｎ α ２ ｃｏｓ α ２ ＜ ０． ４． － １６１３ 　 由任意角的正弦、正切函数的定义知，ｓｉｎ α ＝ １２ １３，ｔａｎ β ＝ ４ ５ － ３５ ＝ － ４３ ， 所以ｓｉｎ α·ｔａｎ β ＝ １２１３ × －( )４３ ＝ － １６１３ ． ５． － ８　 － ２　 因为ｓｉｎ θ ＝ ｙ ４２ ＋ ｙ槡 ２ ＝ － 槡２ ５５ ， 所以ｙ ＜ ０，且ｙ２ ＝ ６４，所以ｙ ＝ － ８． 则ｔａｎ θ ＝ ｙｘ ＝ － ２． ６．点Ｐ（ 槡－ ３，ｍ）到坐标原点Ｏ的距离ｒ ＝ ｘ２ ＋ ｙ槡 ２ ＝ ３ ＋ ｍ槡 ２， 由三角函数的定义，得ｓｉｎ θ ＝ ｙｒ ＝ ｍ ３ ＋ ｍ槡 ２ ＝槡２４ ｍ，解得ｍ ＝ 槡± ５． 当ｍ 槡＝ ５时，ｃｏｓ θ ＝ ｘｒ ＝ 槡 － ３ 槡２ ２ ＝ －槡６４ ，ｔａｎ θ ＝ ｙ ｘ ＝ 槡５ 槡－ ３ ＝ －槡１５３ ． 当ｍ 槡＝ － ５时，ｃｏｓ θ ＝ ｘｒ ＝ 槡 － ３ 槡２ ２ ＝ －槡６４ ，ｔａｎ θ ＝ ｙ ｘ ＝ 槡－ ５ 槡－ ３ ＝槡１５３ ． Ｃ组　 创新拓展 　 （１）由 １｜ ｓｉｎ α ｜ ＝ － １ ｓｉｎ α 可知ｓｉｎ α ＜ ０， ∴ α是第三或第四象限角或终边在ｙ轴的负半轴上的角． 由ｌｇｃｏｓ α有意义可知ｃｏｓ α ＞ ０， ∴ α是第一或第四象限角或终边在ｘ轴的正半轴上的角． 综上可知角α是第四象限的角． （２）∵ ｜ＯＭ ｜ ＝ １，∴ ( )３５ ２ ＋ ｍ２ ＝ １，解得ｍ ＝ ± ４５ ． 又α是第四象限角，故ｍ ＜０，从而ｍ ＝ － ４５ ． 由正弦函数的定义可知ｓｉｎ α ＝ ｙｒ ＝ ｍ ｜ＯＭ ｜ ＝ － ４５ １ ＝ － ４ ５ ． 练案［４］ Ａ组　 基础巩固 １． Ｂ　 根据正弦线的定义可知，｜ ｓｉｎ α ｜ ＝ １，∴ ｓｉｎ α ＝ ± １，∴角α 的终边在ｙ轴上． ２． Ｃ　 ∵ １，１． ２，１． ５均在０，π( )２ 内，正弦线在０，π( )２ 内随角的 增大而逐渐增大， ∴ ｓｉｎ １． ５ ＞ ｓｉｎ １． ２ ＞ ｓｉｎ １． ３． Ｂ 　 如图，分别作出π６ ， ５π ６ 的正弦线→ＭＰ， →Ｍ′Ｐ′， ∵ ｜ →ＭＰ ｜ ＝ ｜ →Ｍ′Ｐ′ ｜ ＝ １２ ， 结合正弦线得出ｓｉｎ ｘ≥ １２的取值范围 为π６ ， ５π[ ]６ ． ４． Ｃ 　 作α ＝ － １的正弦线、余弦线、正切线 可知： ｂ ＝ ｜ →ＯＭ ｜，ａ ＝ － ｜ →ＭＰ ｜， ｃ ＝ － ｜→ＡＴ ｜，且－ ｜→ＭＰ ｜ ＞ － ｜→ＡＴ ｜ ． ∴ ｂ ＞ ａ ＞ ｃ，即ｃ ＜ ａ ＜ ｂ． ５． ＡＢＣ　 根据三角函数线的概念，Ａ，Ｂ，Ｃ是正 确的，只有Ｄ不正确．因为余弦线的始点是原点而正切线的始 点是单位圆与ｘ轴正半轴的交点． ６． π４或 ５π ４ 　 作出角 π ４与 ５π ４的正弦线、余弦线如图所示                                                                      ． —１７５—