练案2 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

练案［２］ 第七章　 三角函数 ７． １　 ［７． １． ２　 弧度制及其与角度制的换算］ Ａ组　 基础巩固 一、选择题 １．下列转化结果错误的是 （　 　 ） Ａ． ６０°化成弧度是π３ Ｂ． － １５０°化成弧度是－ ７６ π Ｃ． － １０３ π化成度是－ ６００° Ｄ． π１２化成度是１５° ２．如果α ＝ －２，则α的终边所在的象限为（Ｃ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三角限 Ｄ．第四象限 ３．在半径为８ ｃｍ的圆中，５π３的圆心角所对的弧 长为 （Ａ ） Ａ． ４０３ π ｃｍ Ｂ． ２０ ３ π ｃｍ Ｃ． ２００３ π ｃｍ Ｄ． ４００ ３ π ｃｍ ４．在（０，２π）内，终边与－１ ０３５°相同的角是（Ｂ ） Ａ． π３ Ｂ． π ４ Ｃ． π ６ Ｄ． ２π ３ ５．如图，航海罗盘将圆周３２等分，设圆盘的半径 为４，则其中每一份的扇形面积为 （　 　 ） Ａ． ２π Ｂ． π Ｃ． π２ Ｄ． π ４ 二、填空题 ６．若角θ的终边与角８π５ 的终边相同，则在［０， ２π］内终边与角θ４的终边相同的角是　 　 　 　 　 　 　 ． ７．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变 为原来的３２倍，则该弧所对的圆心角是原来的 ３　 　 　 倍． ８．如图所示，点Ａ，Ｂ，Ｃ是圆Ｏ上的点，且ＡＢ ＝ ４， ∠ＡＣＢ ＝ π６，则劣弧ＡＢ的长为　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．已知扇形ＡＯＢ的圆心角α为２π３ ，半径Ｒ为 ６，求： （１）弧ＡＢ的长； （２）扇形所含弓形的面积． １０．设α１ ＝ － ５７０°、α２ ＝ ７５０°、β１ ＝ ３π５ 、β２ ＝ － π ３ ． （１）将α１、α２用弧度制表示出来，并指出它们 各自所在的象限； （２）将β１、β２用角度制表示出来，并指出它们 各自所在象限                                                                  ． —０９５— Ｂ组　 素养提升 一、选择题 １．若α３ ＝ ２ｋπ ＋ π ３（ｋ∈Ｚ），则 α ２的终边在（Ｄ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第四象限 Ｃ． ｘ轴上 Ｄ． ｙ轴上 ２．（多选题）下列说法正确的是 （　 　 ） Ａ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量 单位 Ｂ． １°的角是周角的１３６０，１ ｒａｄ的角是周角的 １ ２π Ｃ． １ ｒａｄ的角比１°的角要大 Ｄ．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径 有关 ３．（多选题）（２０２３·山东临沂 二中高一期末）如图，Ａ，Ｂ是 单位圆上的两个质点，点Ｂ的 坐标为（１，０），∠ＢＯＡ ＝ ６０°， 质点Ａ以１ ｒａｄ ／ ｓ的角速度按 逆时针方向在单位圆上运动，质点Ｂ以２ ｒａｄ ／ ｓ 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则 （　 　 ） Ａ． １ ｓ时，∠ＢＯＡ的弧度数为π３ ＋ ３ Ｂ． １１２ ｓ时，扇形ＡＯＢ的弧长为 ７π １２ Ｃ． π６ ｓ时，扇形ＡＯＢ的面积为 π ３ Ｄ． ５π９ ｓ时，Ａ，Ｂ在单位圆上第一次相遇 二、填空题 ４．已知两角和为１弧度，且两角差为１°，则这两 个角的弧度数分别是　 　 　 　 ． ５．古代文人墨客与丹青手都 善于在纸扇上题字题画，题 字题画的部分多为扇环．已 知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为 ６０ ｃｍ，内弧线的长为２０ ｃｍ，连接外弧与内弧 的两端的线段均为１８ ｃｍ，则该扇形的中心角 的弧度数为　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．（１）把３１０°化成弧度； （２）把５π１２ ｒａｄ化成角度； （３）已知α ＝ １５°、β ＝ π１０、γ ＝ １、θ ＝ １０５°、φ ＝ ７π １２，试比较α、β、γ、θ、φ的大小． Ｃ组　 创新拓展 　 《九章算术》是我国古代数学 成就的杰出代表，其中“方田” 章给出计算弧田面积所用的经 验公式：弧田面积＝ １２ （弦×矢＋矢 ２），弧田 （如图），由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦” 指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到 弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧 田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心 角为２π３ ，弦长为９ ｍ的弧田，求弧田的实际 面积                                                                        ． —０９６— ［练案部分］ 练案［１］ Ａ组　 基础巩固 １． Ｄ　 － ２７０°角终边在ｙ轴正半轴上，而－ ２７０°角不是直角，故 Ａ不正确； ４６０°角是第二象限角，而４６０° ＞ １８０°，故Ｂ不正确， ３００°角是第四象限角，故Ｃ不正确． Ｄ正确． ２． Ｃ　 ∵ α是第一象限角，∴ － α为第四象限角，而３６０° － α与 － α的终边相同，故选Ｃ． ３． Ａ　 当ｋ为偶数时，α的终边落在第一象限，当ｋ为奇数时，α 的终边落在第三象限，故Ａ正确． ４． Ｃ　 ４８０° ＝ ３６０° ＋ １２０°，－ ９６０° ＝ － ３ × ３６０° ＋ １２０°，－ １ ６００° ＝ － ５ × ３６０° ＋ ２００°，故①②③是第二象限的角，④是第三象 限的角． ５． ＢＣＤ　 因为α的终边在第二象限，所以ｋ·３６０° ＋ ９０° ＜ α ＜ ｋ ·３６０° ＋ １８０°，ｋ∈Ｚ，所以ｋ·７２０° ＋ １８０° ＜ ２α ＜ ｋ·７２０° ＋ ３６０°，ｋ∈Ｚ．所以２α的终边可以在ｙ轴的非正半轴上、第三或 第四象限．故选ＢＣＤ． ６． α ＝ β ＋ ｋ·１８０°，ｋ∈Ｚ 由于α、β在一直线上， 因此α、β角终边相同或互为反向延长线， 它们相差１８０°的整数倍．所以α － β ＝ ｋ·１８０°，ｋ∈Ｚ，∴ α ＝ β ＋ ｋ·１８０°，ｋ∈Ｚ． ７．四　 ∵ － １ ４４５° ＝ － ５ × ３６０° ＋ ３５５°， ∴ －１ ４４５°是第四象限的角． ８．｛α ｜ ｋ·３６０° － ４５°≤α≤ｋ·３６０° ＋ １２０°，ｋ∈Ｚ｝ 如题图所示，终边落在阴影部分的角的取值是ｋ·３６０° － ４５° ≤α≤ｋ·３６０° ＋ １２０°，ｋ∈Ｚ． ９．与５３０°终边相同的角为ｋ·３６０° ＋ ５３０°，ｋ∈Ｚ． （１）由－ ３６０° ＜ ｋ·３６０° ＋ ５３０° ＜ ０°，且ｋ∈Ｚ可得ｋ ＝ － ２，故 所求的最大负角为－ １９０°． （２）由０° ＜ ｋ·３６０° ＋ ５３０° ＜ ３６０°，且ｋ∈Ｚ可得ｋ ＝ － １，故所 求的最小正角为１７０°． （３）由－ ７２０°≤ｋ·３６０° ＋ ５３０°≤ － ３６０°，且ｋ∈Ｚ得ｋ ＝ － ３， 故所求的角为－ ５５０°． １０．（１）终边落在ＯＡ位置上的角的集合为｛α ｜ α ＝ ９０° ＋ ４５° ＋ ｋ ·３６０°，ｋ∈Ｚ｝＝｛α ｜ α ＝ １３５° ＋ ｋ·３６０°，ｋ∈Ｚ｝，终边落在 ＯＢ位置上的角的集合为｛β ｜ β ＝ － ３０° ＋ ｋ·３６０°，ｋ∈Ｚ｝． （２）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为｛α ｜ － ３０° ＋ ｋ·３６０°≤α≤１３５° ＋ ｋ·３６０°，ｋ∈Ｚ｝． Ｂ组　 素养提升 １． Ｂ　 由于Ｍ {＝ ｘ ｘ ＝ ｋ２·１８０° ＋ ４５°，ｋ∈ }Ｚ ＝ ｛…，－ ４５°， ４５°，１３５°，２２５°，…｝，Ｎ {＝ ｘ ｘ ＝ ｋ４·１８０° ＋ ４５°，ｋ∈ }Ｚ ＝｛…， － ４５°，０°，４５°，９０°，１３５°，１８０°，２２５°，…｝，所以ＭＮ． ２． Ｄ　 ∵ α的终边与６０°角的终边相同，β的终边与１２０°角的终 边相同，∴角α与角β的终边的位置关系是关于ｙ轴对称，故 选Ｄ． ３． Ｃ　 当ｋ为偶数时，设ｋ ＝ ２ｎ（ｎ∈Ｚ），则有ｎ·３６０° ＋ ４５°≤α≤ ｎ·３６０° ＋ ９０°（ｎ∈Ｚ），角α的终边在４５° ～ ９０°角终边所在的 区域；当ｋ为奇数时，设ｋ ＝ ２ｎ ＋ １（ｎ∈Ｚ），则有ｎ·３６０° ＋ ２２５°≤α≤ｎ·３６０° ＋ ２７０°（ｎ∈Ｚ），角α的终边在２２５° ～ ２７０° 角终边所在的区域．故选Ｃ． ４． － ９００°　 ９００°　 顺时针旋转两圈半所得角的度数是－（２ × ３６０° ＋ １８０°）＝ － ９００°，逆时针旋转两圈半所得角的度数 为９００°． ５． ２０°，１４０°，２６０°　 由题意设θ ＝ ６０° ＋ ｋ·３６０°（ｋ∈Ｚ），则θ３ ＝ ２０° ＋ ｋ·１２０°（ｋ∈Ｚ）， 则当ｋ ＝ ０，１，２时，θ３ ＝ ２０°，１４０°，２６０°． ６．（１）选定ＯＡ，在－ １８０° ～ １８０°间，把图（１）中以ＯＡ为终边的 角看成－ ６０°，以ＯＢ为终边的角看成１５０°，则：｛α ｜ － ６０° ＋ ｋ·３６０° ＜ α ＜ １５０° ＋ ｋ·３６０°，ｋ∈Ｚ｝． （２）把图中ｘ轴下方的阴影部分看成是由ｘ轴上方的阴影部 分旋转１８０°得到的，则｛α ｜ １２０° ＋ ｋ·１８０° ＜ α ＜ １８０° ＋ ｋ· １８０°，ｋ∈Ｚ｝． Ｃ组　 创新拓展 　 （１）２２５°或－ １３５° 　 （２）１８°或５４° 　 （３）（２ｋ ＋ １）·１８０°（ｋ∈ Ｎ） （１）由题意得α ＝ ２２５° ＋ ｋ·３６０°（ｋ∈Ｚ）， 因为－ ３６０° ＜ α ＜ ３６０°，所以当ｋ ＝ ０时，α ＝ ２２５°； 当ｋ ＝ － １时，α ＝ － １３５°，所以α ＝ ２２５°或－ １３５°； （２）由题意得９α ＋ ｋ·３６０° ＝ １８０° － α（ｋ∈Ｚ），且０° ＜ α ＜ ９０°， 所以当ｋ ＝ ０时，α ＝ １８°；当ｋ ＝ － １时，α ＝ ５４°，所以α ＝ １８° 或５４°； （３）因为α与β的终边关于原点对称， 则α与β的终边在同一条直线上，又角α为正角，角β为 负角， 所以α － β ＝ １８０° ＋ ｋ·３６０° ＝（２ｋ ＋ １）·１８０°（ｋ∈Ｎ）． 练案［２］ Ａ组　 基础巩固 １． Ｂ 　 根据弧度定义，１° ＝ π１８０ ｒａｄ，π ｒａｄ ＝ １８０°，所以６０° ＝ π ３ ｒａｄ，－ １５０° ＝ － ５π ６ ｒａｄ，－ １０ ３ π ＝ － １０ ３ × １８０° ＝ － ６００°， π １２ ＝ １１２ × １８０° ＝ １５°． ２． Ｃ　 ∵ － π ＜ － ２ ＜ － π２ ，∴ α的终边在第三象限，故选Ｃ． ３． Ａ　 根据扇形的弧长公式得，ｌ ＝ ５π３ × ８ ＝ ４０π ３ （ｃｍ），故选Ａ． ４． Ｂ　 ∵ － １ ０３５° ＝ ４５° － ３ × ３６０°． ∴ ４５°角的终边与－ １ ０３５°角的终边相同． 又４５° ＝ π４ ，故在（０，２π）内与－ １ ０３５°角终边相同的角是 π ４ ． ５． Ｃ　 圆盘的半径为４，则圆的面积为π × ４２ ＝ １６π，故其中每一 份的扇形面积为１６π３２ ＝ π ２ ． ６． ２π５ ， ９π １０， ７π ５ ， １９π １０ 　 ∵ θ ＝ ８π ５ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ，∴ θ ４ ＝ ２π ５ ＋ ｋπ ２ ，ｋ∈ Ｚ．当ｋ ＝ ０，１，２，３时，θ４ ＝ ２π ５ ， ９π １０， ７π ５ ， １９π １０且 θ ４ ∈［０，２π］． ７． ３　 设圆的半径为ｒ，弧长为ｌ，其圆心角弧度数为ｌｒ ．将半径变 为原来的一半，弧长变为原来的３２倍，则弧度数变为 ３ ２ ｌ １ ２ ｒ ＝ ３ ·ｌｒ ，即其圆心角弧度数变为原来的３倍． ８． ４π３ 　 连接ＯＡ，ＯＢ（图略）． ∵ ∠ＡＣＢ ＝ π６ ， ∴ ∠ＡＯＢ ＝ π３ ，△ＡＯＢ是等边三角形， ∴ ｒ ＝ ４，ｌ ＝ α·ｒ ＝ π３ × ４ ＝ ４π ３                                                                   ． —１７３— ９．（１）ｌ ＝ α·Ｒ ＝ ２３ π × ６ ＝ ４π，所以弧ＡＢ的长为４π． （２）Ｓ扇形ＯＡＢ ＝ １２ ｌＲ ＝ １ ２ × ４π × ６ ＝ １２π． 如图所示，过点Ｏ作ＯＤ⊥ＡＢ，交ＡＢ 于点Ｄ，２３ π ＝ １２０°，所以∠ＡＯＤ ＝ ６０°，∠ＤＡＯ ＝ ３０°， 于是有Ｓ△ＯＡＢ ＝ １２ × ＡＢ × ＯＤ ＝ １ ２ × ２ 槡× ６ｃｏｓ ３０° × ３ ＝ ９ ３． 所以弓形的面积为Ｓ扇形ＯＡＢ － Ｓ△ＯＡＢ ＝ １２π 槡－ ９ ３． １０．（１）∵ １８０° ＝ π ｒａｄ， ∴ －５７０° ＝ － ５７０π１８０ ＝ － １９π ６ ， ∴ α１ ＝ － １９π ６ ＝ － ２ × ２π ＋ ５π ６ ， ∴ α２ ＝ ７５０° ＝ ７５０π １８０ ＝ ２５π ６ ， 又２５π６ ＝ ２ × ２π ＋ π ６ ． ∴ α１在第二象限，α２在第一象限． （２）β１ ＝ ３π５ ＝ ３ ５ ×１８０° ＝１０８°， β２ ＝ － π ３ ＝ － ６０°，∴ β１在第二象限，β２在第四象限． Ｂ组　 素养提升 １． Ｄ　 ∵ α３ ＝ ２ｋπ ＋ π ３ （ｋ∈Ｚ）， ∴ α ＝６ｋπ ＋π（ｋ∈Ｚ），∴ α２ ＝３ｋπ ＋ π ２ （ｋ∈Ｚ）． 当ｋ为奇数时，α２的终边在ｙ轴的非正半轴上；当ｋ为偶数 时，α２的终边在ｙ轴的非负半轴上．综上， α ２终边在ｙ轴上，故 选Ｄ． ２． ＡＢＣ　 由题意，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单 位，Ａ正确；周角为３６０°，所以１°的角是周角的１３６０，周角为２π ｒａｄ，所以１ ｒａｄ的角是周角的１２π，Ｂ正确；根据弧度制与角度制 的互化，可得１ ｒａｄ ＝ １８０( )π ° ＞ １°，Ｃ正确；用弧度制度量角时， 角的大小与圆的半径无关，Ｄ错误．故选ＡＢＣ． ３． ＡＤ　 １ ｓ时，∠ＡＯＢ ＝ π３ ＋ １ × １ ＋ １ × ２ ＝ ３ ＋ π ３ ，Ａ正确； １ １２ ｓ 时，∠ＡＯＢ ＝ π３ ＋ １ １２ × １ ＋ １ １２ × ２ ＝ １ ４ ＋ π ３ ，∴ ) ＡＢ的长为１ × １ ４ ＋ π( )３ ＝ １４ ＋ π３ ，Ｂ错误；π６ ｓ时，∠ＡＯＢ ＝ π３ ＋ π６ × １ ＋ π ６ × ２ ＝ ５π ６ ，扇形ＡＯＢ的面积为 １ ２ × １ ２ × ５π６ ＝ ５π １２，Ｃ错误； ５π ９ ｓ时，Ａ点运动的路程为５π９ × １ ＝ ５π ９ ，Ｂ点运动的路程为 ５π ９ × ２ ＝ １０π９ ， ５π ９ ＋ １０π ９ ＋ π ３ ＝ ２π，Ｄ正确．故选ＡＤ． ４． １２ ＋ π ３６０， １ ２ － π ３６０　 设两个角的弧度分别为ｘ，ｙ， 因为１° ＝ π１８０ ｒａｄ， 所以有 ｘ ＋ ｙ ＝ １， ｘ － ｙ ＝ π１８０{ ，解得 ｘ ＝ １２ ＋ π ３６０， ｙ ＝ １２ － π ３６０ { ． 即所求两角的弧度数分别为１２ ＋ π ３６０， １ ２ － π ３６０． ５． ２０９ 　 如图， 依题意可得)ＡＢ的长为６０ ｃｍ， )ＣＤ的长 为２０ ｃｍ，设扇形的中心角的弧度数 为α， 则ｌ )ＡＢ ＝ α·ＯＡ，ｌ )ＣＤ ＝ α·ＯＣ， 则ＯＡＯＣ ＝ ６０ ２０ ＝ ３，即ＯＡ ＝ ３ＯＣ． 因为ＡＣ ＝ １８ ｃｍ，所以ＯＣ ＝ ９ ｃｍ，所以该扇形的中心角的弧度 数α ＝ ｌ )ＣＤＯＣ ＝ ２０ ９ ． ６．（１）３１０° ＝ π１８０ ｒａｄ × ３１０ ＝ ３１π １８ ｒａｄ． （２）５π１２ ｒａｄ ＝ １８０ π × ５π( )１２ ° ＝ ７５°． （３）方法一（化为弧度）： α ＝ １５° ＝ １５ × π１８０ ＝ π １２ ． θ ＝ １０５° ＝ １０５ × π１８０ ＝ ７π １２ ． 显然π１２ ＜ π １０ ＜ １ ＜ ７π １２ ． 故α ＜ β ＜ γ ＜ θ ＝ φ． 方法二（化为角度）： β ＝ π１０ ＝ π １０ × １８０( )π ° ＝ １８°，γ ＝ １≈５７． ３０°， φ ＝ ７π１２ × １８０( )π ° ＝ １０５°． 显然，１５° ＜ １８° ＜ ５７． ３０° ＜ １０５°． 故α ＜ β ＜ γ ＜ θ ＝ φ． Ｃ组　 创新拓展 　 设所在扇形圆心角为α，半径为ｒ ｍ，故ｒ 槡＝ ３ ３． 扇形面积等于１２ αｒ ２ ＝ １２ × ２π ３ ×（槡３ ３） ２ ＝ ９π（ｍ２）． 弧田面积＝ １２ αｒ ２ － １２ ｒ ２ ｓｉｎ ２π３ ＝ ９π － 槡２７ ３ ４ ． 故弧田的实际面积为９π － 槡２７ ３( )４ ｍ２ ． 练案［３］ Ａ组　 基础巩固 １． Ａ　 若α为第一象限角，则必有ｔａｎ α ＞ ０；反之，若ｔａｎ α ＞ ０，则 α为第一或第三象限角． ２． Ｄ　 因为－ π２ ＜ α ＜ ０，所以ｃｏｓ α ＞ ０，ｓｉｎ α ＜ ０，则点Ｑ（ｃｏｓ α， ｓｉｎ α）位于第四象限． ３． Ｃ　 由题意可知，ｃｏｓ α ＝ ｍ ｍ２槡＋ ９ ＝ － ４５ ，易知ｍ ＜ ０，解得ｍ ＝ － ４，故选Ｃ． ４． Ｃ　 ∵ Ａ、Ｂ、Ｃ是△ＡＢＣ的内角， ∴ ｓｉｎ Ａ ＞ ０． ∵ ｓｉｎ Ａ·ｃｏｓ Ｂ·ｔａｎ Ｃ ＜０，∴ ｃｏｓ Ｂ·ｔａｎ Ｃ ＜０． ∴ ｃｏｓ Ｂ和ｔａｎ Ｃ中必有一个小于０． 即Ｂ、Ｃ中必有一个钝角，选Ｃ． ５． ＡＣＤ　 显然ｘ的终边不在坐标轴上， 当ｘ是第一象限角时，Ａ ＝ ｜ ｃｏｓ ｘ ｜ｃｏｓ ｘ ＋ ｔａｎ ｘ ｔａｎ ｘ ＝ ｃｏｓ ｘ ｃｏｓ ｘ ＋ ｔａｎ ｘ ｔａｎ ｘ ＝ ２； 当ｘ是第二象限角时，Ａ ＝ ｜ ｃｏｓ ｘ ｜ｃｏｓ ｘ ＋ ｔａｎ ｘ ｔａｎ ｘ ＝ － ｃｏｓ ｘ ｃｏｓ ｘ － ｔａｎ ｘ ｔａｎ ｘ ＝ － ２                                                                      ； —１７４—