考案4 本册素养检测（B）-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

考案（四） 1.C设扇形所在圆半径为r, 于是时×25xr2解得=2. 2红 所以此扇形的圆心角《=)-写故选C 2.C因为2sin2a=1+cos2a,所以4 sin acos a=2cos2a, 因为a∈(-受，），所以cosa>0,所以2sina=csa,则ana=n& cos a 子故选C 3C由)=m2x+号）=0，得2+行=eZ解得x=经石e乙 由0<受-石<2，eZ,得3<k<4+元 1 因为k∈Z,所以k=1,2,3,4, 所以f(x)在区间(0,2π)内的零点个数为4.故选C. 4,A由题cos2a 1 cos'a-sin'a +osu 2 sin a cos'a -sin'a cos a+sin a 1 2’ 2(cos a-sin a) 2 所以加《+m《=朵故造人 5.D由msx≠0，解得x≠m+受，ke乙，所以函数y=们+的定义域为 {✉≠m+受keZ},所以-）1t1:=. cos(-x) COSx 所以y=+)为偶函数，函数的图像关于y轴对称，排除选项B; coS x 而0)-1+0)=0，排除选项C; cos 0 实二8T+321+≥24g2>0,排除选项A故选1 Cos 3 6C因为a=12m20=a40, 2lan20° )sin10°+cos10°=sim(10°+30)=sin4 c-gD-2070=如0， 因为sin20°<sin40°<tan40°，所以c<b<a.故选C. P229 7.A由图像可知=5-2=3，则T=2.因为w>0,所以w-牙-君， T-6 所以)=Asn(君+9） 由5)=Asn石+9=0，得g+0=km,keZ, 因为<受，所以g石，则(x)=Asn石+》， 故c02又因.=(-2，-)(5，)=-10+4=0. 解得A=2√10（因A>0,负根舍去）， 所以x)=20sim(石x+君》故选A 8.B如图，以A为坐标原点，AB,AD所在的直线分别为 x,y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(2,0),C(2, 2),D(0,2),则以AB为直径的半圆为(x-1)2+y2=1 (0≤y≤1)， 因为动点P在以AB为直径的半圆上，所以P(1+cos0, sin0)(0≤0≤π)， 所以P元=(1-cos0,2-sin0),P7=(-1-cos0,2-sin0), 所以P元.PD=(1-cos0)(-1-cos0)+(2-sin0)(2-sin0) =cos20-1+4-4sin0+sin20=4-4sin0, 因为0≤0≤T,所以sin0∈[0,1]， 所以4-4sin0∈[0,4]，即P元.Pi的取值范围为[0,4].故选B. 9BGD当a=(0,0)时，满足a/6,但是品二无意义，放A结误： 当a⊥b,则a·b=m+2n=0,故B正确； m 匿a=(m,0m0则cos(ab=a:hmx3 店停故c正确 若a=(2,1),则b·a=2x1+1×2=4,a=√22+下-5， 所以在“方向上的投影向龄的华标为：·。=音a=青（2，) (学故D正确放选BCD, 10C由题查得a=2,子=，得T=4m,又7=则u=分 所以)=2m分+4o 由0)=1，得sin4e=号，由图知(x)在(0，m)上单调递增， 所以4e=2T+石=Z,解得-经+员k=乙 又<号，只可能k=0,所以0=牙， 所以)=2.行+君），根据已知图像平移可得g()=2n2:-石》， 故A错误，B正确； 因为得)=2加（分×号+君）=2，所以)的图像关于直线x-对 称，故C正确； 令受+2m≤2x-石≤受+2m,keZ,解得号+km≤≤爱+km,6eZ,令 6 6 k=-2,得-西≤≤-7石故[-积，-]止g(x)不单调放D错误放 选BC. 11.BD 若a=28,可得ana=am28=二aB 2tan B 因为1an&=21anB,可得，21aB。=21anB,解得anB=0, 1-tan2β 又因为B∈(0，）时，amB>0,所以方程无解，所以A错误： 因为lana=2tanB,可得sinc_2sinE cos a cos B' 所以sin acos B=2 cos asin B, 又因为nB=号，所以co asin B=写，则sin(a-B)=血aoeB- in=行，所以B正确： 由sm(a+B)=inB+s asin B=子则os(2a+2g)=1-2sm(a+ B)=名所以C错误， 因为B∈(0，），可得anB>0,且tan&=2anB,则an(a-B)= tan a-tan B tan B 一≤12 1+1 tan atan1+2amBL。+2nB2万4 tan B 当且仅当 21amB时，即amB=号时，等号成立， tan B 所以am(a-B)的最大值为浮，所以D正确枚选BD 12.-7 4 以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐 标系，A(0,0),B(2,0),C2,1),D(0,1),2,） F(1,1), 所以花=(2)序=(-1,2）， 花2x(-0+分×分-2+ 4 4 P230 13.[-2,2】由题得方程=simx+厅cosx有解，所以方程k=2nx+写） 有解， 因为函数y=2sn(x+写)的值域为[-2,2]. 所以实数k的取值范围是[-2,2]. 142由题容.6在a方向上的授影数量为1，放-1，则a~b=1, 设向量夹角为8，ab=a:b1om0=1,则61=0≥1(a020),由 (a+b)2=a2+2a·b+b2=1b12+3≥4，故a+b|的最小值为2. 150)因为sma-忌mB=-子其中ae0,)e=(侵小 所以cos&=72 1 10,ana=7, 13 所以am(Q-B+m ctan B,上3 7×4 因为-T<a-B<0,所以a-B=-平 (2)由amB=-子Be(受可知，sB=-号mB=子 所以m28=2sin8ms8=2×号×-)=2若m28=2mg-1=2× 16 7 -1=25 期m9-哥引-28+分m8-号×名+3×-对-724 50 16(1)因为x=, 所以a=1,),b=(分2》， 所以ah=+2=l. 1.1 2M)=a·b=-2sxax+）+号 =5snos-2x+分 21+g2+分=n2-} 3 2 因为x∈[0，引，所以2x-石∈[-石，]， 所以≤n2x-君)≤L 2314 当2x-石-石，即x=0时，x)取得最小值-2 6 当2x一石=受即x=号时)取得最大值L 因为)-，)1≤A恒成立，且)-)1≤1-(-)=子 所以A≥2故A的最小值为2 17.(1)因为a=(cos0,sin0),b=(2,-1),a1b, 所以a·b=2cos0-sin0=0, 即2cos0=sin0,tan0=2, 所以in0+cosg sin0+cos0 sin 0-cos 0 sin 0-cos 0)(sin0 cos20) sin0+cos0 sin0+sin 0cos20-cos Osin20-cos'0 tan'0+1 tan0+tan 0-tan20-1 8+1 8+2-4-了放inA+cos0_9 议sin6-cos9=3 (2)因为a=(cos0,sin6),b=(2,-1),所以a-b=(cos0-2,sin0+1), 因为a-b|=2,所以(cos0-2)2+(sin0+1)2=4,化简得cos20-4cos0 +4+sin20+2sin0+1=4,即sin0=2cos0-1, 因为cos20+sin0=l,8e(0,7）, 所以联立厂os0+sin0=1, Isin 0=2cos 0-1, 解得c0s0= 3 5,sin9=5, 所以0+)=u子+ewa子-7语 2sin27+2sn气s32os5+2sm分ow2 18.(1)因为fx)= 2s+2sw2n+2sinw号 sin 2 cos 22 x sinx' sin 2 所以最小正周期T=2π. (2)因为f(a)=8,所以sina=4, 1 所以c0s2a=1-2sin'a=8 7 (3)设=n,因为函数y=子在(-0,0).(0，+)上为减函数，所以 要求x)的单调递增区间，即求u=si血x(x≠m,且x≠-受+2km,ke 乙)的单调递减区间，所以(x)的单调递增区间为(2km-π，2km-受）(k eZ)和(2km+罗2km+m)(keZ). 9.(1)函数f(x)的“源向量”为0i=(1,3),所以f(x)=sinx+5cosx= 2nx+）xe[0,m],则号≤+号≤，当x+胃=时到=2，当 +号-行时)=-5，所以函数)的值城为-5,2]： (2)证明：因为|0|=5，则10A1=10B1=10C1=23,则AB=6, 又g(x)=5sin(x+ax)=5 cos asin+5 sin acos x,所以M(√5cosa, 3sina),且C(0,25),A(-3,-5),B(3,-5),从而MA=(-3-5cosa, -5-√3sina), MB=(3-3cos a,-3-3sin a),MC=(-3cos a,2 3-3sin a), 则M+M+M心=(3+5cosa)'+(5+3sina)’+(3-5cosa)+ (3+3sin a)2+(cos a)+(2 3-3sin a)=9cosa +9sina +36 =45; 因此可得M+MB2+MC=45为定值， (3)如图所示： 函数h(x)的“源向量”为0M=(0,1), 则A()=s则A以)=msA=房a=8, 则AB+A元-AB.AC =√A2+AC+2A丽.A元-A花.A元 e-e 则又a=+6-2cmsA=+-gc=6d, 即6++gc=64+号， 所以店+-.=√64+号-c=26+e-, 5 因为64=B+-号c≥号c,即c≤80，当且仅当6=c时取等号. 51 又因为当顶点A无限接近顶点C,边b无限接近0，即bc无限接近0， 综上所述0<bc≤80， 令t=√16+亏c,则gbc=2-16, 3 从而引4店+A元-A.AC=2t-(2-16)=-2+21+16,其中4<t≤8，所 以A店+AC-A店.AC=-2+21+16∈[-32,8)， 即AB+AC1-AB·AC的取值范围为[-32,8). P232新数学必修·第三需B 8.(2024·江苏徐州高一期中)如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB 材习、究、练、测四位一体 考案（四） 为直径的半圆上（正方形ABCD内部，含边界），则PC·P心的取值范围为 A.(0.4) B.[0.4] C.(0,2) D.[0,2] 本册素养检测(B) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 时间：120分钟满分：150分 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 整 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题9.(2024·重庆西南大学附属中学高一期中)若向量a=(m,n)(m,neR),b=(1,2),则以下说法正确 目要求的 的是 1(224·北京景山学较高一期中)一个扇形的弧长为号，面积为号则此扇形的圆心角为 Aa∥h=⊥=2 m n A君 B号 D2知 B.a⊥b→m+2n=0 5 2(24,福建泉州高三质量监测)已知2.in2a=1+cs2a,ae(-受引，则ama= C若m0n=0.则m(a,)=±号 A.-2 R司 c D.2 D.若a=(2.1),则b在a方向上的投影向量的坐标为号) 3.(2024·江苏徐州高-期中)函数)=n2:+兮引在区间(0,2m)内的零点个数为 ）10.(2024·云南昭通市直中学高一月考)已知函数x)=asin(ar+4p)(a>0,w> A.2 B.3 C.4 D.5 0,1p<于)，若x)的图像过A(0,1),B(m,2),C(m+m,0)三点，其中点B为 4(2024·江苏扬州第一中学高一期中)若020三7，则c0sa+sina cos+a) 函数爪x)图像的最高点（如图所示），将八x)图像上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 号 男 4倍，再向右平移无个单位长度，得到函数g(x)的图像，则 () 5.(2024·云南昭通市直中学高一月考)函数y=+2的图像可能为 A)-2+ Bgx)=2sm2x-别 C05 Cx)的图像关于直线=要对称 几g)在-要，-小上单测递减 11.(2024·江苏徐州高-期中)已知tana=2tanB,则 ( A3aBe0,引，使得a=28 B若如aosB=子则血(a-B)=号 6.(2024·江苏徐州铜山高一期中)设a= 2tan20° ,b= 5in10°+7cos10°，c= 1+c0s140 .则有 C若in=子则m(2a+29)= 、> 1-tan220 2 A.b<c<a B.a<b<c C.c<b<a D.a<c<b D若a,Be0,引，则am(a-B)的最大值为经 7.(2024·广东佛山顺德高一期中)已知函数f(x)=Asin(r+p)(A>0,a>0,1pl 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 <)的部分图像如图所示，D(5.0),B(2,A),B配.C⑦=0，则 ( 12.(2024·北京景山学校高一期中)矩形ABCD中，AB=2,BC=L,且E,F分别为BC,CD的中点，则A正.EF= Ax)=2而in怎+ B)=2而im骨+引 13.关于x的方程sinx+√3cosx-k=0有解，则实数k的取值范围是 Cx)=而im-别 D)=2V而.im石+引 14.(2024·云南昭通市直中学高一月考)已知向量a,b满足1a1=1,b在a方向上的投影向量为a,则 a+b的最小值为 2134 214 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18.(本小题满分17分)已知函数)=+部+兰十出共 1 sin x-cosx 15.(本小题满分13分)(2024·江苏徐州铜山高-期中)已知na=瓷，anB=一子，其中ae0,引， (1)化简代x),并求f代x)的最小正周期： Be(受 (2)若f(a)=8,求cos2a: (3)求f(x)的单调递增区间. (1)求c-B的值： (2)co(28-)的值， 16.(本小题满分15分)(2024·广东佛山顺德高一期中)已知向量a=(20sx,1),b=(-cx+）。 )xe0引 (1)若x=号，求ab: 19.(本小题满分17分)(2024·江苏徐州高一期中)定义函数八x)=m%ix+nc0sx (2)记x)=a·b,若对于任意x∈0，引，x)-)川≤A恒成立，求A的最小值 的“源向量”为Oi=(m,n),非零向量0i=(m,n)的伴随函数”为f(x)=msinx +ncos x,其中O为坐标原点 (1)若向量Oi=(1,3)的“伴随函数”为/x),求f八x)在xe[0,r]的值域： (2)若函数g(x)=5i(x+x)的“源向量"为0i,且以0为圆心，10i1为半径 的圆内切于正△ABC(顶点C恰好在y轴的正半轴上)，求证：M+M序+MC为定值： (3)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b.c,若函数h(x)的“源向量”为Oi=(0,1),且已知a= 8,h()=子，求店+C-店，AC的取值范围 17.(本小题满分15分)(2024·湖南衡阳第一中学高一期末)已知向量a=(c0s0,sin0),b=(2,-1) 者a16求品8一8的值： (2)若a-b=20e0,引求n0+)的值 215 2164