考案1 第7章 三角函数-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

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２．在如图所示的单位圆Ｏ中，当∠ＢＯＣ的取值范围为（０，π）时，∠ＢＯＣ的“古典正弦”为弦 ＢＣ的长．根据以上信息，当∠ＢＯＣ所对的)ＢＣ的长为π２时，∠ＢＯＣ的“古典正弦”为（　 　 ） Ａ． ２ Ｂ．槡２ Ｃ． ２ｓｉｎ １ π Ｄ． ｓｉｎ ２ ３．已知角α的终边经过点Ｐ（－ ５，１２），则３ｓｉｎ α ＋ ｔａｎ（π ＋ α）的值为 （Ｃ ） Ａ． ５１３ Ｂ． － ５ １３ Ｃ． ２４ ６５ Ｄ． ６４ ６５ ４．将函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ 的图像向右平移π６个单位长度，得到函数ｇ（ｘ）的图像，则下列说法不正确 的是 （Ｃ ） Ａ． ｇ（ｘ）的最小正周期为π Ｂ． ｇ π( )６ ＝槡３２ Ｃ． ｘ ＝ π６是ｇ（ｘ）图像的一条对称轴 Ｄ． ｇ（ｘ）为奇函数 ５．如果ｓｉｎ α － ２ｃｏｓ α３ｓｉｎ α ＋ ５ｃｏｓ α ＝ － ５，那么ｔａｎ α的值为 （Ｄ ） Ａ． － ２ 　 Ｂ． ２ Ｃ． ２３１６ Ｄ． － ２３ １６ ６．（２０２３·天津高考真题）已知函数ｆ（ｘ）的一条对称轴为直线ｘ ＝ ２，一个周期为４，则ｆ（ｘ）的解析式可 能为 （Ｂ ） Ａ． ｓｉｎ π２( )ｘ Ｂ． ｃｏｓ π２( )ｘ Ｃ． ｓｉｎ π４( )ｘ Ｄ． ｃｏｓ π４( )ｘ ７．水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，其工作示意图如图所示，设水车的半 径为４ ｍ，其中心Ｏ到水面的距离为２ ｍ，水车逆时针匀速旋转，旋转一周的时间为 ６０ ｓ，当水车上的一个水筒Ａ从水中（Ａ０处）浮现时开始计时，经过ｔ（单位：ｓ）后水筒 Ａ距离水面的高度为ｆ（ｔ）（在水面下高度为负数），则ｆ（１３０）＝ （　 　 ） Ａ． ３ ｍ Ｂ． ４ ｍ Ｃ． ５ ｍ Ｄ． ６ ｍ ８．（２０２３·全国高考真题）函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图像由函数ｙ ＝ ｃｏｓ ２ｘ ＋ π( )６ 的图像向左平移π６个单位长度得 到，则ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图像与直线ｙ ＝ １２ ｘ － １ ２的交点个数为 （Ｃ ） Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ４ 二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分． ９．（２０２４·新高考Ⅱ卷）对于函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ和ｇ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )４ ，下列说法中正确的是 （　 　 ） Ａ． ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）有相同的零点 Ｂ． ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）有相同的最大值 Ｃ． ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）有相同的最小正周期 Ｄ． ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）的图像有相同的对称轴 １０．将函数ｙ ＝ ｓｉｎ（ｘ ＋ φ）的图像Ｆ向左平移π６个单位长度后得到图像Ｆ′，若Ｆ′的一个对称中心为 π ４，( )０ ，则φ的取值可能是 （Ｂ ） Ａ． π１２ Ｂ． － ５π １２ Ｃ． ５π ６ Ｄ． ７π １２ １１．已知函数ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ (） Ａ ＞ ０，ω ＞ ０，｜φ ｜ ＜ π )２ 的图像向左平移 π ６个单位后到函数ｙ ＝ ｇ( )ｘ 的 图像（如图所示），则 （　 　 ） Ａ． φ ＝ π１２ Ｂ． ｆ( )ｘ 在１１π１２ ， ７π[ ]６ 上为增函数 Ｃ． ｘ ＝ ５π２４是函数ｙ ＝ ｇ( )ｘ 的图像的一条对称轴 Ｄ．当５４ ＜ λ≤ ９ ４时，函数ｇ λ( )ｘ 在０， π( )２ 上恰有两个不同的最值点 三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分． １２．已知命题ｐ：若α，β为第一象限角，且α ＞ β，则ｔａｎ α ＞ ｔａｎ β．能说明ｐ为假命题的一组α，β的值为 α ＝ 　 　 　 　 ，β ＝ 　 　 　 　 ． １３．已知ｓｉｎ － π２ －( )α ｃｏｓ －７π２ ＋( )α ＝１２２５，且０ ＜ α ＜ π４，则ｓｉｎ α ＝ 　 　 　 　 ，ｃｏｓ α ＝ 　 　 　 　 ． １４．将函数ｆ（ｘ）＝ ２ｃｏｓ ２ｘ的图像向右平移π６个单位后得到函数ｇ（ｘ）的图像，若函数ｇ（ｘ）在区间 ０，ａ[ ]３ 和２ａ，７π[ ]６ 上均单调递增，则实数ａ的取值范围是　 　 　 　 ． 四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １５．（本小题满分１３分）（１）求ｙ ＝ ｔａｎ２ｘ ＋ ４ｔａｎ ｘ － １的值域； （２）若ｘ∈ π６， π[ ]３ ，ｙ ＝ ｋ ＋ ｔａｎ π３ － ２( )ｘ 的值总不大于零，求实数ｋ的取值范围                                                                      ． ▲ ２０３ ▲ ▲ ２０４ ▲ １６．（本小题满分１５分）用“五点法”画出函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ２ｘ － π( )３ 在同一周期上的图像．（要求列表描点 作图）． （１）先完成下列表格，然后在给定坐标系中作出函数ｆ（ｘ）在［０，π］上的图像； ２ｘ － π３ － π ３ ０ π ２ π ３π ２ ｘ ０ π６ ２π ３ １１π １２ π ｆ（ｘ） １２ － １ 　 　 （２）求函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ２ｘ － π( )３ ，ｘ∈Ｒ的单调增区间． １７．（本小题满分１５分）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ（２ｘ ＋ φ）（０ ＜ φ ＜ π）是奇函数． （１）求φ的值； （２）若将函数ｆ（ｘ）的图像向右平移π６个单位，再将所得图像上所有点的横坐标扩大到原来的４倍， 得到函数ｇ（ｘ）的图像，求ｇ（ｘ）． １８．（本小题满分１７分）已知函数ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）（Ａ ＞ ０，ω ＞ ０，０ ＜ φ ＜ π）的部 分图像如图所示． （１）求ｆ（ｘ）的解析式； （２）若ｆ（ｘ）在ωφ４ ，λφ － π( ]２ 上的值域为（ 槡－ ３，２］，求λ的取值范围． １９．（本小题满分１７分）（２０２３·全国高考真题）已知函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ － ｓｉｎ ｘ ｃｏｓ２ｘ ，ｘ∈ ０，π( )２ ． （１）当ａ ＝ １时，讨论ｆ（ｘ）的单调性； （２）若ｆ（ｘ）＋ ｓｉｎ ｘ ＜ ０，求ａ的取值范围                                                                      ．