8.2.2 第2课时 两角和与差的正切(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

所以函数几x)的值域为[-5,3. 5油a=号>0， （2m(2+）=m002= .tn23°+an379=5(1-an23an37）, “α为第一、二象限角， ∴.原式=√5(1-tan23an37)+5an23°，an37=√5. sB=-4<0心B为第二，三象限角. 例2：(DD2)D(1)由cwa=-号，且ae(受得 a为第一象限角，B为第二象限角或《为第二象限角，B为 第三象限角。 血a=子所以ma=出=一子 0s在 ①当a为第一象限角，B为第二象限角时，sa= 3,sin B 4一anaI--41故 tan T 所以am(于-a= B 71+amama1-子 4 选D. .'sin(a+B)sin acos B+cos asin B (2)tan 2a=tan[(a+B)+(a-B)] 4 12 a28把0g sim(a-B)=-53-2 2 1 12 5+4 13 ②当a为第二象限角，B为第三象限角时， 1-2x118 5×4 3,mB- cos a=5 41 对点训练2：由m9=是9e(,)知m0=--司 .'sin(a +B)sin aeos B+cos asin B 5 号(（到(2 tan 0=sin0 5 im(a-B)=-55-2 c0s0-12 12 故am(0-) an-tan 综上可知，sin(a+g)=53-2 in(a-B)=-5,3-2 42-1 7 12 12 I+tan6an =-17 1+12 第2课时 两角和与差的正切 例3：(1)由三角函数的定义可知csa- 10,06B=25 必备知识探新知 知识点：1-an atan B tan a tan B tan a-tan B 所以sina= 1 tan atan B tan o +tan B 对应练习 所以una=7,anB=2,于是n(a+B）=1-an otan B 1 1.B tan(a-B)=tan a-tanB= 2-2 =-3 1 +tan otan B 3 1+2×2 4 (2(a+9=uma+B+02a把8 2.Dtan255e=tan(180°+759)=1n750=tan(30°+45°) -3+2 =-1, tan30°+tan45° 3 1-(-3)×2 =1-an301an450 1-53- =2+√3 33 aB均为悦角0<a<受0<B<受0<2g<m, 关键能力攻重难 0<a+28<a+2g= 例1：0原式-65=m(45-759)=-号 对点训练3：(1)因为anB=7: (2)因为(1+tan1)(1+tan44o）=1+an1°+an44+ an10×an44o=2,同理(1+tan2)(1+tat43）=2,…, 所以tn2邛= 2tan B 2￥1 2 77 所以原式=22. 1-tan'B =24 tan25°+tan35e -( 49 (3:m60°=m(25°+35）=-an259n30=y3, .tan 25 +tan 35=3(1-tan 25tan 35) 所以m(2g-） m2g-im号 1+n29-m子 241 -24 -tan25°+tan35+3tan25tan35°-5. 1+24 31 24 3 对点训练1：(1)'二3m75°.号-m75 3+tan759 1* 3 lan 750 (2)因为aBe(0,受）所以a+Be(0,, tan30°-tan75° =1+am30°1m750=n(30°-75） 因为m(a+B)25>0,所以a+Be(0,号）所以2a+B =tan(-45°）=-1an45°=-1. ∈(0，r). -165 所以ma+-9ma+g) sin(a+B)1 c0s(a+B)=2, =m(4x360+60）=m60=分 n2(a+B)]= 2tan(a+B) 2 (3)原式=n(2×150°)=tn300°=n(360°-60°) 4 =-an60°=-3. 1-n(a+B) tan(2a+8)=tan[2(a+B)-B] (4)原式=-os.10°-3in10 2w10-m10 sin10°cs10 sin10°cos10 41 25 tan[2(a+B)1-tan B 3-7 2 -4(sin30cos10°-cos30°sin10)_4sin20 1+m2(a+B)]·mB1+4xL =1 2sin10°cos10° 25 n20°=4 3×72引 (5)原式=2in20°·cs20·es40°·cos800 2sin20° 因为2a+Be(0,m),所以2a+B=平 _2sin40°·ws40°·eos802_2sin80°·*in80° 课堂检测固双基 4sin 20 8sin 20 sin160°_1 1.A由于角0的终边过点(2,3)，所以m0= 3 ,m(0-开） 8sin 20=8 3 tan0-1_2 -1 对点调练1：1)m受-血受 1+an01+ 3=5 =(m受-m受(w受+m受) 1 cos a. tan a -tan B 2.C tan(a-B)=I+tan otan B 23 (2)原式=mm晋晋m 1+2×3 1+ 6 3.B由已知得an《=4,anB=3, n6=8 tan a tan B 3+4 7 tan(a +B)=Ian atan B=1-3x4=-IT 1-2m2晋.2m28- (3)原式= 2 一一2 4 4D2m0-m(0+号）=7， (4)原式-24am150°+1-3am150.1-tam15】 六2am0-m0+=7,tam2g-4an0+4=0am0=2. 24n1509 2an150°-m(2x1S0 1-tan 0 5B原武=细o把=m5=1 n300=am(360°-600)m60、 3 例2：(1)A (2)名(1)由题意知：(-2a) 8.2.3倍角公式 必备知识探新知 m2(号-j-1-2sm(号-a-g 知识点1：2 sin acos a cos2a-sin2a2ens2a-11- 2aa品a 故m(号+2a）小-[-（学-2a=-(停-2a 对应练习 1.D sin 2a=2sin acos a=5 24 (2)方法一：由m(于-@)-手，得号(na+sa)= 2cm2a=2ma-1=号-1e- 寺两边同时平方，得宁(s加a+ma)2=总故1+ 4 Ctan-sin4=2,所以n2a=,2=-3 、7 1-tan'a sin2a=2若所以in2a=25 知识点2l.in2am2a2(1)2ms2a2ana (2)1+s2a1-cs2a 方法三由二倍角公式.得。m(任-1号-刘 2 2 对应练习 ±2a-尝所以m2a=云 4D原式=m是前吕=m君 方法三：因为（号-a-专所以加2a=m(受-2a 5.f(x)=2sin'x =1-cos 2x, )的最小正周期T受=元 m2年-a-2m(号-a-1-2×号-13 对点训练2：(1)：a是第三象限角ma=一子 关键能力攻重难 ，刚1：0原式卫26- a--a=- 2 (2)原式=c0s(2×750°)=c0s1500° 如2a=2nma=2x-）×(-）-3 -166WXYZ%[\] 对应学生用书学案Ｐ００３ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．计算ｓｉｎ ４３°ｃｏｓ １３° － ｃｏｓ ４３°ｓｉｎ １３°的结果等 于 （Ａ ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ． １２ Ｂ． 槡３ ３ Ｃ． 槡２ ２ Ｄ． 槡３ ２ ２．若ｃｏｓ α ＝ － ４５，α∈ π， ３π( )２ ，则ｓｉｎ α ＋ π( )４ 等 于 （　 　 ） Ａ． － ７槡２１０ Ｂ． ７槡２ １０ Ｃ． － 槡２ １０ Ｄ． 槡２ １０ ３．化简：ｃｏｓ π３ ＋( )α ＋ ｓｉｎ π６ ＋( )α ＝ 　 　 　 　 ． ４．函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ ｘ －ｃｏｓ ｘ ＋ π( )６ 的值域为　 　 　 　 ． ５．已知ｓｉｎ α ＝ ２３，ｃｏｓ β ＝ － １ ４，α，β是相邻象限 的角．求ｓｉｎ（α ＋ β），ｓｉｎ（α － β）的值． 请同学们认真完成练案［１８                    ］ 第２课时　 两角和与差的正切 )*+,%-.+ 对应学生用书学案Ｐ００１ 知识点　 两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正切 Ｔα ＋ β ｔａｎ（α ＋ β）＝ ｔａｎ α ＋ ｔａｎ β　 １ － ｔａｎ αｔａｎ β　 α，β，α ＋ β≠ｋπ ＋ π２ （ｋ∈Ｚ）且 ｔａｎ α·ｔａｎ β≠１ 两角差 的正切 Ｔα － β ｔａｎ（α － β）＝ ｔａｎ α － ｔａｎ β　 １ ＋ ｔａｎ αｔａｎ β　 α，β，α － β≠ｋπ ＋ π２ （ｋ∈Ｚ）且 ｔａｎ α·ｔａｎ β≠ － １ ［思考］ 　 　 提醒： Qê%Zû—oÕ^_—o‰\ ： JQê Ｔα ± β%-€Žÿêvê，øaÿDŽ ｔａｎ α… ｔａｎ β%/ǽ， ÿ¤Ž １ … ｔａｎ αｔａｎ β%½Ç/． P ^_‡éèé·5(ŽFÿD£ ， ÿ¤7G ． ●/012 １．若ｔａｎ α ＝ ２，ｔａｎ β ＝ １２，则ｔａｎ（α － β）＝ （Ｂ ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． － ３４ Ｂ． ３ ４ Ｃ． ３ Ｄ． １ ３ ２． ｔａｎ ２５５° ＝ （Ｄ ） Ａ． ２ －槡２ Ｂ． ２ －槡３ Ｃ． ２ ＋槡２ Ｄ． ２ ＋槡３ 思考１：你能举出几个 两角和与差的正切公式 的变形式吗？ 提示：（１）ｔａｎ α ＋ ｔａｎ β ＝ ｔａｎ （α ＋ β）（１ － ｔａｎ αｔａｎ β）． （２）１ － ｔａｎ αｔａｎ β ＝ ｔａｎ α ＋ ｔａｎ βｔａｎ（α ＋ β）． （３）ｔａｎ α ＋ ｔａｎ β ＋ ｔａｎ αｔａｎ βｔａｎ（α ＋ β）＝ ｔａｎ（α ＋ β）． （４）ｔａｎ αｔａｎ β ＝ １ － ｔａｎ α ＋ ｔａｎ βｔａｎ（α ＋ β）． $!! 3456%789 对应学生用书学案Ｐ００１ ●:;<%“?ur １．求下列各式的值： （１）１ － ｔａｎ ７５°１ ＋ ｔａｎ ７５°； （２）（１ ＋ ｔａｎ １°）（１ ＋ ｔａｎ ２°）…（１ ＋ ｔａｎ ４４°）； （３）ｔａｎ ２５° ＋ ｔａｎ ３５° ＋槡３ｔａｎ ２５°ｔａｎ ３５°． 【分析】　 尝试使用两角和与差的正切公式及其变形式对原式进行变 形求值． ［归纳提升］ 〉 /KL1 １．求下列各式的值： （１）１ －槡３ｔａｎ ７５° 槡３ ＋ ｔａｎ ７５° ； （２）ｔａｎ ２３° ＋ ｔａｎ ３７° ＋槡３ｔａｎ ２３°ｔａｎ ３７°． ●:;C%“rur ２．（１）已知ｃｏｓ α ＝ － ４５，且α∈ π ２，( )π ，则ｔａｎ π４ －( )α ＝ （Ｄ ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． － １７ Ｂ． － ７ Ｃ． １ ７ Ｄ． ７ （２）ｔａｎ（α ＋ β）＝ ２５，ｔａｎ（α － β）＝ １ ４，则ｔａｎ ２α ＝ （Ｄ ） Ａ． １６ Ｂ． ２２ １３ Ｃ． ３ ２２ Ｄ． １３ １８ ［归纳提升］ 〉 /KL1 ２．已知ｃｏｓ θ ＝ － １２１３，θ∈ π， ３π( )２ ，求ｔａｎ θ － π( )４ 的值． 归纳提升：１． F １ G%y ²V= Ｔα ± βa‰ŠÿD aoØF １ GÊä1 １ ＝ ｔａｎ ４５° .y²Äų +é5ñŸ%­% ． ２． K α ＋ β ＝ π４ ＋ ｋπ，ｋ ∈Ｚ，¿5（１ ＋ ｔａｎ α）（１ ＋ ｔａｎ β）＝２． ３． Ké5%êDÂoØ q “ｔａｎ α ± ｔａｎ β”Õ “ｔａｎ αｔａｎ β”q  ž ¡Äʁ‚ ｔａｎ（α ± β） %‡vQê ． 归纳提升： =ƒ„rô AK[8ëìąp Øl©Zrô…QêZ û…´%׀Ähêt zÐN{·†‡”"” §Qê…/½Qê ． $!* ●:;M%“ru? ３．如图，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，以Ｏｘ轴为始边作两个锐角α、β，它们的 终边分别与单位圆交于Ａ、Ｂ两点．已知Ａ、Ｂ的横坐标分别为槡２１０、 ２槡５ ５ ． （１）求ｔａｎ（α ＋ β）的值； （２）求α ＋ ２β的值． 【分析】　 由题目可获取以下主要信息： ①由任意角三角函数的定义可求ｃｏｓ α、ｃｏｓ β； ②α ＋ ２β ＝（α ＋ β）＋ β． 解答本题可先由任意角三角函数定义求ｃｏｓ α、ｃｏｓ β，再求ｓｉｎ α、ｓｉｎ β，从而求出ｔａｎ α、ｔａｎ β，然 后利用公式Ｔα ＋ β，求ｔａｎ（α ＋ β），最后利用α ＋ ２β ＝（α ＋ β）＋ β，求ｔａｎ（α ＋ ２β）得到α ＋ ２β的值． 〉 /KL1 ３．已知ｃｏｓ（α ＋ β）＝ ２槡５５ ，ｔａｎ β ＝ １ ７，且α，β∈ ０， π( )２ ． （１）求ｔａｎ ２β － π( )４ 的值： （２）求２α ＋ β的值． WXYZ%[\] 对应学生用书学案Ｐ００３ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．设角θ的终边过点（２，３），则ｔａｎ θ － π( )４ ＝ （Ａ ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． １５ Ｂ． － １ ５ Ｃ． ５ Ｄ． － ５ ２．若α，β∈ ０，π( )２ ，且ｔａｎ α ＝ １２，ｔａｎ β ＝ １３，则 ｔａｎ（α － β）＝ （　 　 ） Ａ． － １７ Ｂ． １ Ｃ． １７ Ｄ． １ ５ ３．已知ｔａｎ α ＝ ４，ｔａｎ（π － β）＝ － ３，则ｔａｎ（α ＋ β） ＝ （Ｂ ） Ａ． ７１１ Ｂ． － ７ １１ Ｃ． ７ １３ Ｄ． － ７ １３ ４．已知２ｔａｎ θ － ｔａｎ θ ＋ π( )４ ＝７，则ｔａｎ θ ＝ （Ｄ ） Ａ． － ２ Ｂ． － １ Ｃ． １ Ｄ． ２ ５．槡３ － ｔａｎ １５° １ ＋槡３ｔａｎ １５° 的值为 （Ｂ ） Ａ． ０ Ｂ． １ Ｃ． １２ Ｄ． ２ 请同学们认真完成练案［１９                      ］ $!+