8.2.2 第1课时 两角和与差的正弦(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

WXYZ%[\] 对应学生用书学案Ｐ００３ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１． ｃｏｓ ８０°ｃｏｓ ３５° ＋ ｓｉｎ ８０°ｃｏｓ ５５° ＝ （Ａ ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ．槡２２ Ｂ． －槡 ２ ２ Ｃ． １ ２ Ｄ． － １ ２ ２． ｃｏｓ π３ －( )α 等于 （　 　 ） Ａ． １２ － ｃｏｓ α Ｂ． １ ２ ｃｏｓ α Ｃ． １２ ｃｏｓ α ＋ 槡３ ２ ｓｉｎ α Ｄ． １ ２ ｃｏｓ α － 槡３ ２ ｓｉｎ α ３．设角θ的终边经过点（－ ３，４），则ｃｏｓ θ － π( )４ 的值为 （Ｂ ） Ａ． －槡２１０ Ｂ．槡 ２ １０ Ｃ． ７槡２１０ Ｄ． － ７槡２ １０ ４． ｓｉｎ（α － β）ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ（α － β）ｃｏｓ α ＝ 　 　 　 　 ． ５．已知ｓｉｎ α ＝ ４５，α∈ π ２，( )π ，求ｓｉｎ π４ ＋( )α 的值． 请同学们认真完成练案［１７                         ］ ８． ２． ２　 两角和与差的正弦、正切 !"#$%&'( 对应学生用书学案Ｐ００１ 学习目标 核心素养 １．能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角 和与差的正弦公式与正切公式． ２．能利用公式解决简单的化简求值问题． 培养逻辑推理、数学运算等核心素养． 第１课时　 两角和与差的正弦 )*+,%-.+ 对应学生用书学案Ｐ００１ 知识点１　 两角和与差的正弦 　 　 Ｓα ＋ β：ｓｉｎ（α ＋ β）＝ ｓｉｎ αｃｏｓ β ＋ ｃｏｓ αｓｉｎ β　 ． Ｓα － β：ｓｉｎ（α － β）＝ ｓｉｎ αｃｏｓ β － ｃｏｓ αｓｉｎ β　 ． 其中α，β是任意角． ［思考］ 　 　 提醒：两角和与差的正弦公式的理解 （１） q"/…½%!‰Qê%,zŽq"/…½%!‰ ， -zŽ α，β %ÖÀ”"~*P%/…½ ， ·Å5(ŽF!ŠŠ! ，̂ _6£G ， ¥<¡ nƒ{%qiÿýŽq"%!‰jŠ‰ ， Š‰j!‰ ； {<(¡nƒ{% qi…´%µ¶^_…nƒ¥q"…´%µ¶^_6£ ； （２）α，β·Å(:"，÷Å(q"%/…½，=¸1QêAÊX q"%/ǽRŽmž¡ ． ●/012 １． ｓｉｎ ４５°ｃｏｓ １５° － ｃｏｓ １３５°·ｓｉｎ １６５° ＝ （Ｄ ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ． － １２ Ｂ． － 槡３ ２ Ｃ． １ ２ Ｄ． 槡３ ２ 思考：和（差）角公式中 α，β都是任意角，如果 α为特殊角，你能从和 （差）公式推导出诱导 公式吗？ 提示： ÛmÜÄy™ ｓｉｎ π２ ＋( )α ＝ ｃｏｓ α． ｓｉｎ π２ ＋( )α ＝ｓｉｎ π２ ｃｏｓ α ＋ｃｏｓ π２ ｓｉｎ α ＝１·ｃｏｓ α ＋ ０·ｓｉｎ α ＝ ｃｏｓ α． $!' ２．已知θ为锐角，且ｓｉｎ θ ＝ ３５，则ｓｉｎ（θ － ４５°）＝ （Ｄ ） Ａ． ７槡２１０ 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． － ７槡２ １０ 　 　 　 　 　 　 　 Ｃ． 槡２ １０　 　 　 　 　 　 　 Ｄ． － 槡２ １０ 知识点２　 辅助角公式 　 　 ａｓｉｎ ｘ ＋ ｂｃｏｓ ｘ ＝ ａ２ ＋ ｂ槡 ２ ａａ２ ＋ ｂ槡 ２ ｓｉｎ ｘ ＋ ｂ ａ２ ＋ ｂ槡 ２ ｃｏｓ( )ｘ ＝ ａ２ ＋ ｂ槡 ２ ｓｉｎ（ｘ ＋ φ）． 其中ｃｏｓ φ ＝ 　 　 　 　 ，ｓｉｎ φ ＝ 　 　 　 　 ． ●/012 ３．函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ － ｃｏｓ ｘ的最小正周期是 （Ｃ ） Ａ． π２ Ｂ． π Ｃ． ２π Ｄ． ４π 3456%789 对应学生用书学案Ｐ００１ ●:;<%“?ur １．化简下列各式： （１）ｓｉｎ １４°ｃｏｓ １６° ＋ ｓｉｎ ７６°ｃｏｓ ７４°； （２）ｓｉｎ π１２． ［归纳提升］ 〉 /KL1 １．求下列各式的值： （１）ｓｉｎ ３４７°ｃｏｓ １４８° ＋ ｓｉｎ ７７°ｃｏｓ ５８°； （２）槡３ｓｉｎ π１２ ＋ ｃｏｓ π １２． ●:;C%“rur ２．（１）已知α为锐角，ｓｉｎ α ＝ ３５，β是第四象限角，ｃｏｓ β ＝ ４ ５，则ｓｉｎ（α ＋ β）＝ 　 　 　 　 ； （２）已知π２ ＜ β ＜ α ＜ ３π ４ ，ｃｏｓ（α － β）＝ １２ １３，ｓｉｎ（α ＋ β）＝ － ３ ５，求ｓｉｎ ２α 的值． 【分析】　 （１）先求出ｃｏｓ α，ｓｉｎ β的值，再代入公式Ｓα ＋ β． （２）由α、β的范围，确定α － β，α ＋ β的范围，求出ｓｉｎ（α － β）、ｃｏｓ（α ＋ β）的值，再由２α ＝（α － β）＋（α ＋ β）变形求值． ［归纳提升］ 归纳提升：公式的巧妙 运用 （１） ±1V‰§ãa% （２）． （２）̄ 1V‰§ãa% （１）． （３） ‡1V‡1tÕq NOÄm(Qê§ §%‡1ĉ ｃｏｓ（α ＋ β） ＋ｓｉｎ αｓｉｎ β ＝ｃｏｓ α ｃｏｓ β， m("%‡1ÄÃÁ Ž"%{ÿ‡²Ä‰ α ＝（α ＋ β）－ β，２α ＝ （α ＋ β）＋（α － β）»Ä )óÔ89h.eÄ( mԞ¡ÚÛ%¡ØÄ ‰ ｃｏｓ（α ＋ β）ｃｏｓ β ＋ ｓｉｎ（α ＋ β）ｓｉｎ β ＝ ｃｏｓ［（α ＋ β）－ β］ ＝ ｃｏｓ α．<¯ÖK=ÐA %¹ãa›©Zěv wěSA ． 归纳提升： í １ ðºFö ÷"G5qAÄFd ñ"Gm¢23Žq Fö÷"G%/ǽ% vê ． í ２ ðºFö÷"G5 mAĦABvw Fdñ"G… Fö÷ "G%/ǽ%Í€Ä M{B1ЙQêè Fdñ"G‡tFö÷ "G ． $!( 〉 /KL1 ２．（１）已知０ ＜α ＜ π２ ＜ β ＜π，ｓｉｎ α ＝ ３ ５，ｓｉｎ（α ＋ β）＝ ３ ５，则ｓｉｎ β ＝ 　 　 　 　 ． （２）已知ｓｉｎ α ＝ １５１７，α∈ π ２，( )π ，求ｓｉｎ π３ －( )α 的值． ●:;M%“ru? ３．已知α是锐角，β是钝角，且ｓｉｎ α ＝槡５５ ，ｓｉｎ β ＝ ３槡１０ １０ ，求α ＋ β 的值． ［归纳提升］ 〉 /KL1 ３．已知ｃｏｓ α ＝ １７，ｃｏｓ（α ＋ β）＝ － １１ １４，且α，β∈ ０， π( )２ ，求β的值． ●:;R%ÔÕ?–ˆ@0e ４．（１）３槡１５ｓｉｎ ｘ ＋ ３槡５ｃｏｓ ｘ； （２）槡２４ ｓｉｎ π ４ －( )ｘ ＋槡６４ ｃｏｓ π４ －( )ｘ ． 【分析】　 应用辅助角公式求解． ［归纳提升］ 〉 /KL1 ４．已知函数ｆ（ｘ）＝槡３ｃｏｓ ２ｘ － ｓｉｎ ２ｘ，ｘ∈Ｒ． （１）求ｆ（ｘ）的最小正周期与值域； （２）求ｆ（ｘ）的单调递增区间． 归纳提升： §ãQ§òh |»£—ŸñŸs ãÄÏÖKbcd—r ôÄ}µóÔòº%” "~*Äñodñ"% ”"~*Ÿ ． =}µ~* AB}<íîmŸ›" %‘’ÄdÅK"%| }( ０，π( )２ (， π，３π )２ ， ¿}!‰~*#Š‰~ *~·ÉK"%|}( － π２， π( )２ ，¿4Z}! ‰~*ÉK"%|}( （０，π），¿4Z}Š‰ ~* ． 归纳提升：（１） Qêv êVQê ａｓｉｎ α ＋ ｂｃｏｓ α ＝ ａ２ ＋ ｂ槡 ２ ｓｉｎ（α ＋ φ） （ Ç ａｓｉｎ α ＋ ｂｃｏｓ α ＝ ａ２ ＋ ｂ槡 ２ ｃｏｓ（α － φ））X v‰ ａｓｉｎ α ＋ ｂｃｏｓ α（ａ， ｂ ~£AŽƒ ） %”" ~*ê1Ž£m" %mԔ"~*ê ． （２） vê}µVéŽ! ‰Æ(Š‰ÄKª4¡ rô-]Äm¢Kñ‡ v{" α%€*Ž!Ä <ُ5ävw~* %™ò ． $!) WXYZ%[\] 对应学生用书学案Ｐ００３ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．计算ｓｉｎ ４３°ｃｏｓ １３° － ｃｏｓ ４３°ｓｉｎ １３°的结果等 于 （Ａ ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ． １２ Ｂ． 槡３ ３ Ｃ． 槡２ ２ Ｄ． 槡３ ２ ２．若ｃｏｓ α ＝ － ４５，α∈ π， ３π( )２ ，则ｓｉｎ α ＋ π( )４ 等 于 （　 　 ） Ａ． － ７槡２１０ Ｂ． ７槡２ １０ Ｃ． － 槡２ １０ Ｄ． 槡２ １０ ３．化简：ｃｏｓ π３ ＋( )α ＋ ｓｉｎ π６ ＋( )α ＝ 　 　 　 　 ． ４．函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ ｘ －ｃｏｓ ｘ ＋ π( )６ 的值域为　 　 　 　 ． ５．已知ｓｉｎ α ＝ ２３，ｃｏｓ β ＝ － １ ４，α，β是相邻象限 的角．求ｓｉｎ（α ＋ β），ｓｉｎ（α － β）的值． 请同学们认真完成练案［１８                    ］ 第２课时　 两角和与差的正切 )*+,%-.+ 对应学生用书学案Ｐ００１ 知识点　 两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正切 Ｔα ＋ β ｔａｎ（α ＋ β）＝ ｔａｎ α ＋ ｔａｎ β　 １ － ｔａｎ αｔａｎ β　 α，β，α ＋ β≠ｋπ ＋ π２ （ｋ∈Ｚ）且 ｔａｎ α·ｔａｎ β≠１ 两角差 的正切 Ｔα － β ｔａｎ（α － β）＝ ｔａｎ α － ｔａｎ β　 １ ＋ ｔａｎ αｔａｎ β　 α，β，α － β≠ｋπ ＋ π２ （ｋ∈Ｚ）且 ｔａｎ α·ｔａｎ β≠ － １ ［思考］ 　 　 提醒： Qê%Zû—oÕ^_—o‰\ ： JQê Ｔα ± β%-€Žÿêvê，øaÿDŽ ｔａｎ α… ｔａｎ β%/ǽ， ÿ¤Ž １ … ｔａｎ αｔａｎ β%½Ç/． P ^_‡éèé·5(ŽFÿD£ ， ÿ¤7G ． ●/012 １．若ｔａｎ α ＝ ２，ｔａｎ β ＝ １２，则ｔａｎ（α － β）＝ （Ｂ ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． － ３４ Ｂ． ３ ４ Ｃ． ３ Ｄ． １ ３ ２． ｔａｎ ２５５° ＝ （Ｄ ） Ａ． ２ －槡２ Ｂ． ２ －槡３ Ｃ． ２ ＋槡２ Ｄ． ２ ＋槡３ 思考１：你能举出几个 两角和与差的正切公式 的变形式吗？ 提示：（１）ｔａｎ α ＋ ｔａｎ β ＝ ｔａｎ （α ＋ β）（１ － ｔａｎ αｔａｎ β）． （２）１ － ｔａｎ αｔａｎ β ＝ ｔａｎ α ＋ ｔａｎ βｔａｎ（α ＋ β）． （３）ｔａｎ α ＋ ｔａｎ β ＋ ｔａｎ αｔａｎ βｔａｎ（α ＋ β）＝ ｔａｎ（α ＋ β）． （４）ｔａｎ αｔａｎ β ＝ １ － ｔａｎ α ＋ ｔａｎ βｔａｎ（α ＋ β）． $!! B是第三象限角，mB=一言 课堂检测固双基 :1.Ae0s80°c0835°+sin80°c0s559 血B=-V-=B=是 =eos80°cos35°+sin80°sin35° 'cos(a+B)=cos acos B-sin asin B ()()x()器 (0-35)=m45号 2.C m(-d=mma+于na=ma+ 例3受<u<m…晋<受<受 又0<B<受 3.B因为角6的终边经过点(-3,4)，所以im0=行，m0= -<-<0,-<-号<0 晋<a-是<，-<号-<受 号所以一0-}s0:m是+血n子=-3治 10 -(a-)√新， 4.cosB原式=c0s[(a-B)-a]=c0s(-B)=cosB. m(受-)-√-（受-）-√舌= 由血a=专ae(侵 m“m[(a-）(受-] 得msa=--a=-号 sm(a-号（受-+m(a-号m(受-月 m(得a-[受-（得+a 对点训练3：因为(a+B)-(B-平）=+于 竖×（子）渴 所以em(a+）=om[(a+)-(B-年】 8.2.2两角和与差的正弦、正切 =os(a+B)·o(B-4）+in(a+B)·im(B-牙） 第1课时两角和与差的正弦 因为a,Be(0,号）所以0<a+B<,-年<B-年<年， 必备知识探新知 所以n(a+)=号om(B-）-是 知识点1：sin acos B+cos asin B sin acos B-cos asinB 对应练习 1.D8in45°c0815°-c0s135°✉in1659 例4a8均为锐角，a25=B= =sin45cos15°-cos(90°+45)sin(180°-15°) 10 sin 45cos 15 +sin 45sin 15 3,sin B=310 sin a=5 =in45cm15°+m45in15=n60°= 10 ma-)=am=a+血anB=25x,号x 2D0为悦角，且m0=号m0=V个-0=号 30-号 m(0-45)-号(m0-m0=号x(号-）-得 又sima<inB0<a<B<7 知识点2： -号<a-B<0a-B=-寻 对应练习 对点训练4：由血a+血B=号两边平方得a+sB+ cy血-m=可竖m-竖小an-）】 函数的最小正周期为T=2m 2sin asin B=25 ①，关键能力攻重难 例1：(1)sin14°cos16°+sin76°cos749 由es+0mB=号两边平方得osa+osB+2 B= =sin14°c0s16°+c0s14°sin160 ②. =m（140+16)=血30°=号 ①+2得2+2cs(a-B)=1. (2)血是=叫（号-引 e0s(a-B)=-2 0<a<B<m,-T<a-B<0, a-8=号 4 -163 对点训练1：(1)原式=sin(360°-13)c0s(180°-32)+ x3而2 sin(90°-13°)c0s(90°-32°) 10 =2 sin 13%cos 32 cos 13sin 32 a+g-要 in(13+32)=m45°-号 对点训练3：ra,Be(0,）0<a+B<m。 2)原式=2（停晋+-2(m si血石晋)=2ain(+）=2i=2 :'sin B=sin[(a+B)-a]=sin(a+B)cos a-cos(a+B)sin a 例2：(1)0(2)见解析 【解析】(1)：a为锐角，in= 方ma=5 ~B为第四象限角，mB=子nB=一子 4 B=号 sin(a+B)=inao0sB+cos csin B=了×方 3 4 4 *5 + 倒4：3m+35m=65n+分e (-)=0 =65(ms石inx+s血石os=6,5ain(+石） (2)因为号<B<a< (2(-+(牙- 41 3 所以0ca-B<年m<a+B< m年-+任-川 12 又o(-B)=1B,im(a+B)=- 3 5 =引（得-小号+（得小m引 所以a-=ma--(哥-音， 受（侣- m(a+B)=--m(a+=-√-(- 对点训练4：(1)fx）=-in2x+3cos2x =-252-m24 所以sin2a=sin[(-B)+(+B)] =-2sin2w号-os2asin号）-2sim(2x-号）reR. =sin(a-B)cos(a+B)+cos(a-B)sin(a+B) 六最小正周期T==,函数的值城为[-2,21， ()（引 对点训练2：尝 (2)见解析 (2)由2m+受≤2-晋≤2m+受keZ.得m+晋≤x≤ 【解折】(D由0<a<受<B<m,得受<a+B<受 a+贵keZ 又sina= 3 六西数的单调造蜡区同为：+语红+是（化e2, 方，in(a+B)=亏， 课堂检测固双基 4 4 :cos a=5.cos(a+B)=5 1.Asin43°cos13°-c0s43°sin13°=sin(43°-13）= .sin B=sin[(a+B)-a]=sin(a+B)cos a-cos(a+B). m30=宁选入 sin a ×3-24 2A由题意ma=一子 (2y因为ma号ae(侵 na+）=sina+asin 所以wa=小a√一（哥- 所以in(号-a小=n子ow-s号ina -sin o 34 +sin石csa+ms石na 6 例3：a是锐角，sin= 25 5 cos a= 1 5 2sin a=cos a. 又B是钝角，mB=3而 10mB=-0 10 4[-5=mx-(+) 又0<a<受<B<<a+B< =sin t 1 -分s=5in(-）月 -164 所以函数几x)的值域为[-5,3. 5油a=号>0， （2m(2+）=m002= .tn23°+an379=5(1-an23an37）, “α为第一、二象限角， ∴.原式=√5(1-tan23an37)+5an23°，an37=√5. sB=-4<0心B为第二，三象限角. 例2：(DD2)D(1)由cwa=-号，且ae(受得 a为第一象限角，B为第二象限角或《为第二象限角，B为 第三象限角。 血a=子所以ma=出=一子 0s在 ①当a为第一象限角，B为第二象限角时，sa= 3,sin B 4一anaI--41故 tan T 所以am(于-a= B 71+amama1-子 4 选D. .'sin(a+B)sin acos B+cos asin B (2)tan 2a=tan[(a+B)+(a-B)] 4 12 a28把0g sim(a-B)=-53-2 2 1 12 5+4 13 ②当a为第二象限角，B为第三象限角时， 1-2x118 5×4 3,mB- cos a=5 41 对点训练2：由m9=是9e(,)知m0=--司 .'sin(a +B)sin aeos B+cos asin B 5 号(（到(2 tan 0=sin0 5 im(a-B)=-55-2 c0s0-12 12 故am(0-) an-tan 综上可知，sin(a+g)=53-2 in(a-B)=-5,3-2 42-1 7 12 12 I+tan6an =-17 1+12 第2课时 两角和与差的正切 例3：(1)由三角函数的定义可知csa- 10,06B=25 必备知识探新知 知识点：1-an atan B tan a tan B tan a-tan B 所以sina= 1 tan atan B tan o +tan B 对应练习 所以una=7,anB=2,于是n(a+B）=1-an otan B 1 1.B tan(a-B)=tan a-tanB= 2-2 =-3 1 +tan otan B 3 1+2×2 4 (2(a+9=uma+B+02a把8 2.Dtan255e=tan(180°+759)=1n750=tan(30°+45°) -3+2 =-1, tan30°+tan45° 3 1-(-3)×2 =1-an301an450 1-53- =2+√3 33 aB均为悦角0<a<受0<B<受0<2g<m, 关键能力攻重难 0<a+28<a+2g= 例1：0原式-65=m(45-759)=-号 对点训练3：(1)因为anB=7: (2)因为(1+tan1)(1+tan44o）=1+an1°+an44+ an10×an44o=2,同理(1+tan2)(1+tat43）=2,…, 所以tn2邛= 2tan B 2￥1 2 77 所以原式=22. 1-tan'B =24 tan25°+tan35e -( 49 (3:m60°=m(25°+35）=-an259n30=y3, .tan 25 +tan 35=3(1-tan 25tan 35) 所以m(2g-） m2g-im号 1+n29-m子 241 -24 -tan25°+tan35+3tan25tan35°-5. 1+24 31 24 3 对点训练1：(1)'二3m75°.号-m75 3+tan759 1* 3 lan 750 (2)因为aBe(0,受）所以a+Be(0,, tan30°-tan75° =1+am30°1m750=n(30°-75） 因为m(a+B)25>0,所以a+Be(0,号）所以2a+B =tan(-45°）=-1an45°=-1. ∈(0，r). -165