7.3.1 正弦函数的性质与图像(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

WXYZ%[\] 对应学生用书学案Ｐ００３ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１． ｓｉｎ ９５° ＋ ｃｏｓ １７５°的值为 （Ｃ ） Ａ． ｓｉｎ ５° Ｂ． ｃｏｓ ５° Ｃ． ０ Ｄ． ２ｓｉｎ ５° ２．若ｓｉｎ π２ ＋( )θ ＜ ０，且ｃｏｓ π２ －( )θ ＞ ０，则θ是 （Ｂ ） Ａ．第一象限角 Ｂ．第二象限角 Ｃ．第三象限角 Ｄ．第四象限角 ３．已知ｃｏｓ π２ ＋( )α ＝ － ３５，且α是第二象限角， 则ｓｉｎ α － ３π( )２ 的结果是 （Ｂ ） Ａ． ４５ Ｂ． － ４ ５ Ｃ． ± ４５ Ｄ． ３ ５ ４．已知ｓｉｎ ３π２ ＋( )θ － ３ｃｏｓ θ － π( )２ ＝ ０，则ｔａｎ θ ＝ 　 　 　 　 ． ５．求证： ｓｉｎ（π － ｘ） １ ＋ ｓｉｎ ３π２ －( )ｘ ＝ １ ＋ ｃｏｓ（２π － ｘ） ｃｏｓ ３π２ ＋( )ｘ ． 请同学们认真完成练案［７                    ］ !"& 三角函数的性质与图像 ７． ３． １　 正弦函数的性质与图像 !"#$%&'( 对应学生用书学案Ｐ００１ 学习目标 核心素养 １．理解正弦函数的性质，会求正弦函数的定义域、值 域、最小正周期、奇偶性、单调区间及函数的零点． ２．能正确使用“五点法”作出正弦函数的图像． 培养数学抽象、数学运算、逻辑推理、直 观想象等数学核心素养． )*+,%-.+ 对应学生用书学案Ｐ００１ 知识点１　 正弦函数 　 　 对于任意一个角ｘ，都有唯一　 确定的正弦ｓｉｎ ｘ　 与之对应，因此ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ是一个函数，一般称为正弦函数． 知识点２　 周期函数 　 　 １．一般地，对于函数ｆ（ｘ），如果存在一个非零　 常数Ｔ，使得对定义域 内的每一个ｘ　 ，都满足ｆ（ｘ ＋ Ｔ）＝ ｆ（ｘ）　 ． 那么就称函数ｆ（ｘ）为周期函数，非零常数Ｔ　 称为这个函数的周期． ２．如果函数ｆ（ｘ）的所有周期中存在一个最小的正数　 ，那么这个最 小的正数称为ｆ（ｘ）的最小正周期． ［思考１］ 　 　 提醒：求函数的最小正周期的常用方法 （１） ]9Õ ： ëìoÑð ， 1]9.ñ× ； ÷\~*d45%ó¯ ™òyoo ｆ（ｘ ＋ Ｔ）＝ ｆ（ｘ） t†% Ｔ． （２） uóÕ ： So ｙ ＝ ｆ（ｘ） %uó ， ëìuó·ño Ｔ， ‰ ｙ ＝ ｜ ｓｉｎ ｘ ｜ ． 思考１：对非零常数Ｔ， 若存在ｘ０，使ｆ（ｘ０ ＋ Ｔ） ＝ ｆ（ｘ），那么Ｔ是函数 的周期吗？为什么？ 提示： ~( ， FGš]9 .2%›mŸt† ． $&# 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●/012 １．函数ｆ（ｘ）＝ ３ ＋ ｓｉｎ ｘ的最小正周期是 （Ｄ ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． π２ Ｂ． π Ｃ． ３π ２ Ｄ． ２π 知识点３　 正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的性质 　 解析式 性质　 　 ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ 定义域 Ｒ　 　 　 　 值域 ［－ １，１］　 最值 当且仅当　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 时，ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ取最大值ｙｍａｘ ＝ １　 　 　 ；当且仅当　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 时，ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ取最小值ｙｍｉｎ ＝ －１　 　 奇偶性 奇函数　 周期性 最小正周期：２π 单调性 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 上单调递增； 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 上单调递减 零点 ｋπ，ｋ∈Ｚ　 　 　 提醒：对正弦函数性质与图像的几点说明 （１） !‰TUÒ(aAšÁuv ， ô(#šÁuv ． ~* ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ  Ｒ %šÁ#( ｘ ＝]２ ＋ ｋ]，ｋＺ，šÁaA(（ｋ]，０），ｋＺ． （２） K~*%]9.~( Ｒ， ¿m]K=—]-´2Zˆ:õ™ñø Ÿ.…4Ÿ ． （３） !‰TU%šÁ#m]z/%4`nÇ4Én ， ݦA%!‰Ÿ Ž4QŸÇ4RŸ ． ●/012 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　２．函数ｙ ＝ １ － ２ｓｉｎ ｘ的最小值、最大值分别是 （Ａ ） Ａ． － １，３ Ｂ． － １，１ Ｃ． ０，３ Ｄ． ０，１ ３．函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ（－ ｘ）的奇偶性是　 　 　 　 ． 知识点４　 五点法作正弦曲线 　 　 “五点法”作正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈［０，２π］图像的步骤 （１）列表 ｘ ０ π２ π ３π ２ ２π ｓｉｎ ｘ ０ １ ０ － １ ０ 　 　 （２）描点：画正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈［０，２π］的图像，五个关键点是 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． （３）用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈［０， ２π］的简图． ［思考２］ 思考２：画正弦曲线时 应注意哪些问题？ 提示： S!‰TUAÄ （１） Žqo¦‡<…~ *Ÿ>Žf*Ä"%Q RK19@[.@< ． （２） q'#hd® %:XB@Ö6£Äj ¿dSTU%vöX5 ÷½ ． $&% 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●/012 ４．用五点法画ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈［０，２π］的图像时，下列哪个点不是关键点 （Ａ ） Ａ． π６， １( )２ Ｂ． π２，( )１ Ｃ．（π，０） Ｄ．（２π，０） ５．用五点法作函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ ２ｘ的图像时，首先应描出的五点横坐标可以是 （Ｂ ） Ａ． ０、π２、π、 ３π ２ 、２π Ｂ． ０、 π ４、 π ２、 ３π ４ 、π Ｃ． ０、π、２π、３π、４π Ｄ． ０、π６、 π ３、 π ２、 ２π ３ ６．在“五点法”中，正弦曲线最低点的横坐标与最高点的横坐标的差等于 （Ｂ ） Ａ． π２ Ｂ． π Ｃ． ３π ２ Ｄ． ２π 3456%789 对应学生用书学案Ｐ００１ ●:;<%™šop@&qTj rT １．（１）求函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ ｘ槡 ＋ １的定义域； （２）求函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ２ｘ ＋ ２ｓｉｎ ｘ － １的值域． ［归纳提升］ 〉 /KL1 １．求函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ ｘ槡 ＋ ２的值域． 归纳提升： ñv‰ ｙ ＝ ａｓｉｎ２ｘ ＋ ｂｓｉｎ ｘ ＋ ｃ，ａ ø ０ Ä ｘ  Ｒ %~*%Ÿ. Ç4ŸAÄ·Åtz² ùÄú ｔ ＝ ｓｉｎ ｘ ÄX, ~*;éŽÍ ｔ %H x~*Ää1ûNÕñ Ÿ.Ç4ŸÄñ¹z{ aK[8!‰~*%5 1™ ． $&& ●:;C%™šop@›œ`žŸ ２．（１）判断函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ３π２ ＋ ２( )ｘ ＋ ｘ２ ｓｉｎ ｘ的奇偶性； （２）如果ｓｉｎ π４ ＋ π( )２ ＝ ｓｉｎ π４，那么π２是否为函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的一个周 期？ ［归纳提升］ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　〉 /KL1 ２．（１）函数ｙ ＝ ｜ ｓｉｎ ｘ ｜，ｘ∈Ｒ的最小正周期为　 　 　 　 ． （２）若函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ（ｘ ＋ θ）为奇函数，则θ ＝ 　 　 　 　 　 ． ●:;M%™šop@ ¡ ３．（１）当ｘ∈［－ π，π］时，函数ｙ ＝ ３ｃｏｓ π２ －( )ｘ 的增区间为（　 　 ） Ａ．［－ π，０］ Ｂ．［０，π］ Ｃ． － π２， π[ ]２ Ｄ． － π，－ π[ ]２ 和π２，[ ]π （２）ｓｉｎ ３π８ ，ｃｏｓ ３π ８ ， ３π ８的大小关系是 （　 　 ） Ａ． ｓｉｎ ３π８ ＜ ３π ８ ＜ ｃｏｓ ３π ８ Ｂ． ｓｉｎ ３π ８ ＜ ｃｏｓ ３π ８ ＜ ３π ８ Ｃ． ｃｏｓ ３π８ ＜ ３π ８ ＜ ｓｉｎ ３π ８ Ｄ． ｃｏｓ ３π ８ ＜ ｓｉｎ ３π ８ ＜ ３π ８ ［归纳提升］ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　〉 /KL1 ３．函数ｙ ＝ ４ｓｉｎ ｘ ＋ ３在［－ π，π］上的单调递增区间为 （　 　 ） Ａ． － π，－ π[ ]２ Ｂ． － π２，π[ ]２ Ｃ． － π，π[ ]２ Ｄ． π２，[ ]π ４．（２０２４·大连高一检测）已知ａ ＝ ｓｉｎ ３π７ ，ｂ ＝ ｓｉｎ ３π ５ ，ｃ ＝ ｓｉｎ １８π ５ ，则 （　 　 ） Ａ． ａ ＜ ｂ ＜ ｃ Ｂ． ｂ ＜ ｃ ＜ ａ Ｃ． ｃ ＜ ｂ ＜ ａ Ｄ． ｃ ＜ ａ ＜ ｂ 归纳提升：１． ]9Õñ ~*%ÑðVüýÑð ~*%]9 ． Ý*š] 9.2%8 ｘ >ª  ｆ（ｘ ＋ Ｔ）＝ ｆ（ｘ） %$ƒ Ê* Ｔ ĎNÕþKò 1ÿÂ~* ． ２． ]9Õ>?~*%ä å™VÝ) ｆ（－ ｘ） % ¹âêa!"o ｆ（ｘ） % ¹ â êÄ  ú c ｆ（－ｘ）＝ － ｆ（ｘ） Ç ｆ（－ｘ） ＝ ｆ（ｘ） .>? ． 归纳提升：用单调性对 三角函数值大小比较的 策略 ,ï”"~*Ÿ%QR A ， ÖKè"鎣m :õ-´h%£À”" ~* ， M{1”"~* %:õ™Ý· ， ‰Š" ~=£m:õ-´h ， m¢1ЙQê`a; é ， M{,ï ． $&' ●:;R%ŽK¢™šop@£¤ ４．在［０，２π］内，作出函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ ｘ的图像． ［归纳提升］ 〉 /KL1 ５．在［０，２π］内，作出函数ｙ ＝ ３ － ｓｉｎ ｘ的图像． ●:;Ž%de™š¥€…†‡ˆ ５．画出正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ（ｘ∈Ｒ）的简图，并根据图像写出ｙ≥ １２时ｘ 的集合． 【分析】　 （１）作出ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，与ｙ ＝ １２的图像．（２）确定ｓｉｎ ｘ ＝ １ ２的ｘ 值．（３）确定ｓｉｎ ｘ≥ １２的解集． ［归纳提升］ 〉 /KL1 ６．解不等式ｓｉｎ ｘ≥槡２２ ． 归纳提升： ¹à!‰~ *sãÊÊK«¬uó ñ¹Ä-#uþKB1 F$nSuÕGÄK% ($ÍÎnÄ&'S o ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ =mÑð 2%uó ． 归纳提升：１．用三角函 数的图像解ｓｉｎ ｘ ＞ ａ的 方法 í １ ðSoÏU ｙ ＝ ａ Ä So ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ %uó ． í ２ ðM] ｓｉｎ ｘ ＝ ａ % ｘ Ÿ ． í ３ ðM] ｓｉｎ ｘ ＞ ａ % ¹8 ． ２．利用三角函数线解 ｓｉｎ ｘ ＞ ａ的方法 í １ ð*oo ｓｉｎ ｘ ＝ ａ %q ｘ Ÿ%†„d= %XY ． í ２ ðbc‡é()Ä M]~»ê%¹8 ． $&( ●:;¦%de™š¥€PQ'‘@…@§p ６．方程ｓｉｎ ｘ ＝ ｌｇ ｘ的解有多少个？ ［归纳提升］ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　〉 /KL1 ７．（１）方程２ｘ ＝ ｓｉｎ ｘ的解的个数为 （　 　 ） Ａ． １　 　 　 　 　 　 Ｂ． ２　 　 　 　 　 　 Ｃ． ３　 　 　 　 　 　 Ｄ．无穷多 （２）方程ｘｓｉｎ ｘ ＝ １在区间［０，２π］上的根的个数为 （　 　 ） Ａ． ０ Ｂ． １ Ｃ． ２ Ｄ． ３ 归纳提升： ”"~*% uó(vw”"~*% ‡K*4 ， tzuó· ï5þ¹rsã ， ¡ Øq*vZˆ%è| ¹à ． WXYZ%[\] 对应学生用书学案Ｐ００３ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ（ｘ∈Ｒ）的图像的一条对称 轴可以是 （Ｃ ） Ａ． ｙ轴 Ｂ． ｘ轴 Ｃ．直线ｘ ＝ ３π２ Ｄ．直线ｘ ＝ π ２．函数ｙ ＝ －２ｓｉｎ ｘ ＋５，ｘ∈ ０，π[ ]２ 的值域是（Ｄ ） Ａ．［３，７］ Ｂ．［５，７］ Ｃ．［－ ７，５］ Ｄ．［３，５］ ３．函数ｙ ＝ － ｓｉｎ ｘ － ７的单调递减区间是（Ｄ ） Ａ．［２ｋπ，２ｋπ ＋ π］（ｋ∈Ｚ） Ｂ．［２ｋπ － π，２ｋπ］（ｋ∈Ｚ） Ｃ． ２ｋπ ＋ π２，２ｋπ ＋ ３π[ ]２ （ｋ∈Ｚ） Ｄ． ２ｋπ － π２，２ｋπ ＋ π[ ]２ （ｋ∈Ｚ） ４．求函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ ｘ槡 － １的定义域为　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． ５．用“五点法”画出函数ｙ ＝ １２ ＋ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈［０，２π］ 的简图． 请同学们认真完成练案［８                              ］ $&) 对点训练３：【证明】　 左边＝ － ｓｉｎ（５π － θ）ｓｉｎ θｃｏｓ θｃｏｓ（π － θ）ｓｉｎ θ［－ ｓｉｎ（４π ＋ θ）］ ＝ － ｓｉｎ（π － θ）ｓｉｎ θｃｏｓ θ－ ｃｏｓ θｓｉｎ θ（－ ｓｉｎ θ）＝ － ｓｉｎ θ ｓｉｎ θ ＝ －１ ＝右边． 例４：（１）由ｆ（α）＝ ｓｉｎ α·（－ ｃｏｓ α） ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ － ｓｉｎ α·ｃｏｓ α， 所以ｆ π( )６ ＝ － ｓｉｎ π６ ｃｏｓ π６ ＝ －槡３４ ． （２）ｆ（α）＝ － ｓｉｎ α·ｃｏｓ α ＝ － ｓｉｎ α·ｃｏｓ α ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ － ｔａｎ α ｔａｎ２α ＋１ ＝ － ３１０ ． （３）由ｆ（α）＝ １２２５得，ｓｉｎ α·ｃｏｓ α ＝ － １２ ２５ ＜０， 又α∈（０，π），所以α∈ π２ ，( )π ，ｓｉｎ α － ｃｏｓ α ＞０， 又（ｓｉｎ α － ｃｏｓ α）２ ＝１ －２ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝１ ＋２ × １２２５ ＝ ４９ ２５， 所以ｓｉｎ α － ｃｏｓ α ＝ ７５ ． 对点训练４：（１）ｆ（α）＝ ｓｉｎ（π －α）ｃｏｓ（２π －α）ｓｉｎ －α ＋３π( )２ ｃｏｓ （－α －π）ｃｏｓ －α ＋７π( )２ ＝ ｓｉｎ α·ｃｏｓ α·（－ ｃｏｓ α）（－ ｃｏｓ α）·（－ ｓｉｎ α） ＝ － ｃｏｓ α． 即ｆ（α）＝ － ｃｏｓ α． （２）因为ｃｏｓ α －３π( )２ ＝ １５ ，所以－ ｓｉｎ α ＝ １５ ，即ｓｉｎ α ＝ － １５ ， 又因为α是第三象限角，所以ｃｏｓ α ＝ － １ － ｓｉｎ２槡 α ＝ － 槡２ ６５ ， 所以ｆ（α）＝ － ｃｏｓ α ＝ 槡２ ６５ ． （３）由ｆ（Ａ）＝ ３５ ，得－ ｃｏｓ Ａ ＝ ３ ５ ，所以ｃｏｓ Ａ ＝ － ３ ５ ，所以角Ａ是 钝角， ｓｉｎ Ａ ＝ １ － ｃｏｓ２槡 Ａ ＝ ４５ ，ｔａｎ Ａ ＝ ｓｉｎ Ａ ｃｏｓ Ａ ＝ － ４ ３ ， 所以ｔａｎ Ａ － ｓｉｎ Ａ ＝ － ４３ － ４ ５ ＝ － ３２ １５ ． 课堂检测　 固双基 １． Ｃ　 ｓｉｎ ９５° ＋ ｃｏｓ １７５° ＝ ｃｏｓ ５° － ｃｏｓ ５° ＝０，故选Ｃ． ２． Ｂ　 因为ｃｏｓ θ ＜０，ｓｉｎ θ ＞０，∴ θ是第二象限角． ３． Ｂ　 ∵ ｃｏｓ π２ ＋( )α ＝ － ３５ ， ∴ － ｓｉｎ α ＝ － ３５ ，∴ ｓｉｎ α ＝ ３ ５ ， 又α是第二象限角，∴ ｃｏｓ α ＝ － ４５ ， ∴ ｓｉｎ α －３π( )２ ＝ ｃｏｓ α ＝ － ４５ ． ４． － １３ 　 ∵ ｓｉｎ ３π ２ ＋( )θ －３ｃｏｓ θ － π( )２ ＝０， ∴ － ｃｏｓ θ －３ｃｏｓ π２ －( )θ ＝０， ∴ － ｃｏｓ θ －３ｓｉｎ θ ＝０， ∴ ｔａｎ θ ＝ － １３ ． ５．【证明】　 要证明ｓｉｎ（π － ｘ） １ ＋ ｓｉｎ ３π２ －( )ｘ ＝１ ＋ ｃｏｓ（２π － ｘ） ｃｏｓ ３π２ ＋( )ｘ ， 即证明ｓｉｎ ｘ１ － ｃｏｓ ｘ ＝ １ ＋ ｃｏｓ ｘ ｓｉｎ ｘ ， 即证明ｓｉｎ２ｘ ＝（１ － ｃｏｓ ｘ）（１ ＋ ｃｏｓ ｘ）（其中ｓｉｎ ｘ≠０，且ｃｏｓ ｘ≠１）， 即ｓｉｎ２ｘ ＝１ － ｃｏｓ２ｘ（其中ｓｉｎ ｘ≠０，且ｃｏｓ ｘ≠１），显然成立，因此要 证明的等式成立． ７．３　 三角函数的性质与图像 ７．３．１　 正弦函数的性质与图像 必备知识　 探新知 　 　 知识点１：唯一　 正弦ｓｉｎ ｘ 　 　 知识点２：１．非零　 每一个ｘ　 ｆ（ｘ ＋ Ｔ）＝ ｆ（ｘ）　 非零常数Ｔ　 ２．最小的正数 对应练习 １． Ｄ　 函数ｆ（ｘ）＝３ ＋ ｓｉｎ ｘ的最小正周期就是函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的最小 正周期２π． 　 　 知识点３：Ｒ　 ［－１，１］　 ｘ ＝ π２ ＋２ｋπ，ｋ∈Ｚ　 １　 ｘ ＝ ３π ２ ＋２ｋπ， ｋ∈Ｚ　 － １　 奇函数　 － π２ ＋２ｋπ， π ２ ＋２ｋ[ ]π （ｋ∈Ｚ） [　 π２ ＋ ２ｋπ，３π２ ＋２ｋ ]π （ｋ∈Ｚ）　 ｋπ，ｋ∈Ｚ 对应练习 ２． Ａ　 ∵ ｘ∈Ｒ，∴ ｓｉｎ ｘ∈［－ １，１］，∴当ｓｉｎ ｘ ＝ １时，ｙｍｉｎ ＝ － １；当 ｓｉｎ ｘ ＝ －１时，ｙｍａｘ ＝３．故选Ａ． ３．奇函数　 ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ（－ ｘ）＝ － ｓｉｎｘ，∴ ｆ（－ ｘ）＝ － ｓｉｎ（－ ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ ＝ － ｆ（ｘ），∴ ｆ（ｘ）为奇函数． 　 　 知识点４：（２）（０，０）， π２ ，( )１ ，（π，０），３π２ ，( )－１ ，（２π，０） 对应练习 ４． Ａ　 由五点法画函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈［０，２π］的图像可知，点 π ６ ，( )１２ 不是关键点． ５． Ｂ　 令２ｘ ＝０、π２ 、π、 ３π ２ 、２π，解得ｘ ＝０、 π ４ 、 π ２ 、 ３π ４ 、π． ６． Ｂ　 由正弦函数的图像可知，选项Ｂ正确． 关键能力　 攻重难 例１：（１）要使ｙ ＝ ２ｓｉｎ ｘ槡 ＋１有意义，需满足２ｓｉｎ ｘ ＋１≥０， 即ｓｉｎ ｘ≥ － １２ ， 可知定义域为ｘ ２ｋπ － π６ ≤ｘ≤２ｋπ ＋ ７π ６ ，ｋ∈{ }Ｚ ． （２）将函数配方得ｙ ＝２ ｓｉｎ ｘ ＋( )１２ ２ － ３２ ． ∵ －１≤ｓｉｎ ｘ≤１，当ｓｉｎ ｘ ＝ － １２时，ｙｍｉｎ ＝ － ３ ２ ； 当ｓｉｎ ｘ ＝１时，ｙｍａｘ ＝３． ∴函数的值域为－ ３２ ，[ ]３ ． 对点训练１：∵ －１≤ｓｉｎ ｘ≤１，∴ －２≤２ｓｉｎ ｘ≤２． ∴ ０≤２ｓｉｎ ｘ ＋２≤４，∴ ０≤ ２ｓｉｎ ｘ槡 ＋２≤２， ∴函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ ｘ槡 ＋２的值域为［０，２］． 例２：（１）ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ ｘ２ｓｉｎ ｘ． ∵ ｘ∈Ｒ，ｆ（－ ｘ）＝ ｓｉｎ（－ ２ｘ）＋（－ ｘ）２ｓｉｎ（－ ｘ）＝ － ｓｉｎ ２ｘ － ｘ２ｓｉｎ ｘ ＝ － ｆ（ｘ），∴ ｆ（ｘ）是奇函数． （２）在函数周期性的定义中，要求对定义域中的每一个ｘ值都 有ｆ（ｘ ＋Ｔ）＝ ｆ（ｘ）成立，对于个别的ｘ０，虽说满足ｆ（ｘ０ ＋ Ｔ）＝ ｆ（ｘ０），但不能说Ｔ是函数ｆ（ｘ）的周期．如ｓｉｎ ０ ＋ π( )２ ＝ ｓｉｎ π２ ＝ １，而ｓｉｎ ０ ＝ ０，故ｓｉｎ ０ ＋ π( )２ ≠ｓｉｎ ０                                                                      ， —１４９— 所以π２不是函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的一个周期． 对点训练２：（１）π　 （２）ｋπ，ｋ∈Ｚ　 （１）设ｆ（ｘ）＝ ｜ ｓｉｎ ｘ ｜， ∵ ｆ（ｘ ＋ π）＝ ｜ ｓｉｎ（ｘ ＋ π）｜ ＝ ｜ ｓｉｎ ｘ ｜ ＝ ｆ（ｘ）， ∴ ｙ ＝ ｜ ｓｉｎ ｘ ｜的最小正周期为π． （２）因为ｙ ＝ ２ｓｉｎ（ｘ ＋ θ）为奇函数，则由ｆ（－ ｘ）＋ ｆ（ｘ）＝ ０，可 得θ ＝ ｋπ，ｋ∈Ｚ． 例３：（１）Ｃ　 （２）Ｄ　 （１）因为ｙ ＝ ３ｃｏｓ π２ －( )ｘ ＝ ３ｓｉｎ ｘ，当ｘ∈ ［－ π，π］时，函数ｙ ＝ ３ｓｉｎ ｘ的增区间为－ π２ ， π[ ]２ ，所以 Ａ、Ｂ、Ｄ错误． （２）由诱导公式得ｃｏｓ ３π８ ＝ ｓｉｎ π ２ － ３π( )８ ＝ ｓｉｎ π８ ，且ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ在０，π[ ]２ 上单调递增，因为π２ ＞ ３π８ ＞ π８ ，所以１ ＞ ｓｉｎ ３π８ ＞ ｓｉｎ π ８ ＝ ｃｏｓ ３π ８ ． 因为３π８ ＞ １，所以ｃｏｓ ３π ８ ＜ ｓｉｎ ３π ８ ＜ ３π ８ ． 对点训练３：Ｂ　 ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的单调递增区间就是ｙ ＝ ４ｓｉｎ ｘ ＋ ３的单 调递增区间，由三角函数图像可得ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ在－ π，－ π[ ]２ 上 单调递减，在－ π２ ， π[ ]２ 上单调递增，在π２ ，[ ]π 上单调递减． 对点训练４：Ｃ 　 ｂ ＝ ｓｉｎ ３π５ ＝ ｓｉｎ π － ２π( )５ ＝ ｓｉｎ ２π５ ，ｃ ＝ ｓｉｎ ４π －２π( )５ ＝ － ｓｉｎ ２π５ ，而０ ＜ ２π５ ＜ ３π７ ＜ π２ ，则－ ｓｉｎ ２π５ ＜ ０ ＜ ｓｉｎ ２π５ ＜ ｓｉｎ ３π ７ ＜ １，所以ｃ ＜ ｂ ＜ ａ． 例４：按五个关键点列表： ｘ ０ π２ π ３π ２ ２π ２ｓｉｎ ｘ ０ ２ ０ － ２ ０ 描点连线，如图所示． 对点训练５：按五个关键点列表： ｘ ０ π２ π ３π ２ ２π ｓｉｎ ｘ ０ １ ０ － １ ０ ３ － ｓｉｎ ｘ ３ ２ ３ ４ ３ 描点连线，如图所示． 例５：用“五点法”作出ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的简图． 过０，( )１２ 点作ｘ轴的平行线，从图像可看出它在［０，２π］区间与 正弦曲线交于π６ ，( )１２ ，５π６ ，( )１２ 点，在［０，２π］区间内，ｙ≥ １２ 时ｘ的集合为ｘ π６ ≤ｘ≤ ５π{ }６ ， 当ｘ∈Ｒ时，若ｙ≥ １２ ，则ｘ {的集合为ｘ π６ ＋２ｋπ≤ｘ≤５π６ ＋ ２ｋπ，ｋ∈ }Ｚ ． 对点训练６：结合函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈［０，２π］的图像知，在区间［０， ２π］内，满足ｓｉｎ ｘ≥槡２２的ｘ的范围是 π ４ ， ３π[ ]４ ， ∵正弦函数的周期为２π， ∴ ｓｉｎ ｘ≥槡２２的解集为 π ４ ＋ ２ｋπ， ３π ４ ＋ ２ｋ[ ]π ，ｋ∈Ｚ． 例６：建立坐标系ｘＯｙ，先用五点法画出函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈ ［０，２π］的图像，再依次向左、右连续平移２π个单位，得到 ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图像． 描出点１１０，( )－ １ ，（１，０），（１０，１）并用光滑曲线连接得到ｙ ＝ ｌｇ ｘ的图像，如图所示．由图像可知方程ｓｉｎ ｘ ＝ ｌｇ ｘ的解 有３个． 对点训练７：（１）Ｄ　 （２）Ｃ　 （１）如图所示． 可知交点有无数个． （２）把方程ｘｓｉｎ ｘ ＝ １变为１ｘ ＝ ｓｉｎ ｘ，则方程ｘｓｉｎ ｘ ＝ １ 在区间 ［０，２π］上的根的个数可由函数ｙ ＝ １ｘ与函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图像的交 点个数确定．在平面直角坐标系内作出函数ｙ ＝ １ｘ与函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ在［０，２π］上的图像，如图所示． 由图像可知有２个交点． 课堂检测　 固双基 １． Ｃ　 正弦函数在对称轴处取得最值，故选Ｃ． ２． Ｄ　 当０≤ｘ≤ π２时，０≤ｓｉｎ ｘ≤１，∴ ３≤ －２ｓｉｎ ｘ ＋５≤５．故选Ｄ． ３． Ｄ　 函数ｙ ＝ － ｓｉｎ ｘ － ７的单调递减区间就是函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的 单调递增区间，故选Ｄ． ４． ｘ ２ｋπ ＋ π６ ≤ｘ≤２ｋπ ＋ ５π ６ ，ｋ∈{ }Ｚ 　 要使ｙ ＝ ２ｓｉｎ ｘ槡 － １有 意义，则必须满足２ｓｉｎ ｘ － １≥０，即ｓｉｎ ｘ≥ １２                                                                       ． —１５０— 结合正弦曲线，如图所示： 知函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ ｘ槡 － １的定义域为 ｘ ２ｋπ ＋ π６ ≤ｘ≤２ｋπ ＋ ５π ６ ，ｋ∈{ }Ｚ ． ５．取值列表如下： ｘ ０ π２ π ３ ２ π ２π ｓｉｎ ｘ ０ １ ０ － １ ０ １ ２ ＋ ｓｉｎ ｘ １ ２ ３ ２ １ ２ － １ ２ １ ２ 描点、连线，如图所示． ７． ３． ２　 正弦型函数的性质与图像 第１课时　 正弦型函数的性质与图像（一） 必备知识　 探新知 　 　 知识点１：（１）ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）　 （２）２πω 　 ω ２π 　 φ ［－ ｜Ａ ｜，｜Ａ ｜］　 ｜Ａ ｜ 　 　 知识点２：（１）伸长　 缩短　 Ｒ　 ［－ ｜Ａ ｜，｜Ａ ｜］　 ２π （２）左　 右　 ｜φ ｜ 　 Ｒ　 ［－ １，１］　 ２π　 （３）缩短　 伸长　 １ω 对应练习 １． Ｂ　 由于各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的１４ ，所以应当 对ｓｉｎ ｘ的系数进化变化，即ｙ ＝ １４ ｓｉｎ ｘ． ２． Ｃ　 分清对横坐标还是纵坐标所作的变换，左、右平移是对ｘ变 化，并且是对单个的ｘ进行变化，把ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )４ 的图像向右 平移π８个单位长度，用ｘ － π( )８ 代换原解析式中的ｘ，即得函数 式ｙ ＝ ｓｉｎ ２ ｘ － π( )８ ＋ π[ ]４ ，即ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ，再把ｙ ＝ｓｉｎ ２ｘ的图像上 的各点的横坐标缩短到原来的１２ ，就得到解析式ｙ ＝ｓｉｎ ２（２ｘ），即ｙ ＝ ｓｉｎ ４ｘ的图像． ３． ３　 π７ 　 函数ｙ ＝ ３ｓｉｎ １ ５ ｘ ＋ π( )７ 的振幅为３，初相为π７ ． 关键能力　 攻重难 例１：列表： ２ｘ － π３ ０ π ２ π ３π ２ ２π ｘ π６ ５π １２ ２π ３ １１π １２ ７π ６ ｙ ＝ ２ｓｉｎ ２ｘ － π( )３ ０ ２ ０ － ２ ０ 描点，连线得函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ ２ｘ － π( )３ 在一个周期内的图像． 再将这部分图像向左或向右延伸ｋπ（ｋ∈Ｚ）个单位长度， 就可得函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ ２ｘ － π( )３ （ｘ∈Ｒ）的图像． 对点训练１：列表如下． ｘ － π１２ π ６ ５π １２ ２π ３ １１π １２ ２ｘ ＋ π６ ０ π ２ π ３π ２ ２π ｆ（ｘ） ０ ２ ０ － ２ ０ 　 　 描点、连线得到图像如图所示． 例２：（１）Ｄ　 （２）Ａ　 （１）函数ｙ ＝２ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )６ 的周期为Ｔ ＝ ２π２ ＝π，向右平移１４个周期，即向右平移 π ４后，得到图像对应的 函数为ｙ ＝２ｓｉｎ ２ ｘ － π( )４ ＋ π[ ]６ ＝２ｓｉｎ ２ｘ － π( )３ ，故选Ｄ． （２）ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＝ ｃｏｓ π２ － ２( )ｘ ＝ ｃｏｓ ２ｘ － π( )２ ＝ ｃｏｓ ２ ｘ － π( )[ ]４ ＝ ｃｏｓ ２ ｘ － π( )８ － π[ ]４ ． 若设ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ ＝ ｃｏｓ ２ ｘ － π( )８ － π[ ]４ ， 则ｆ ｘ ＋ π( )８ ＝ ｃｏｓ ２ｘ － π( )４ ，∴向左平移π８个单位． 对点训练２：ｙ 槡＝ － ２ｓｉｎ ２ｘ　 将函数ｙ 槡＝ ２ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ 的图像向 左平移π３ 个单位长度，所得图像对应的函数为ｙ ＝ 槡２ｓｉｎ ２ ｘ ＋ π( )３ ＋ π[ ]３ 槡＝ ２ｓｉｎ（２ｘ ＋π） 槡＝ － ２ｓｉｎ ２ｘ． 例３：方法一：先ω变换，后φ变换． 函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ 的图像上所有点的横坐标不变，将 纵坐标缩短为原来的１２ ，得到函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ 的图 像；再将所得图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到 原来的２倍，得到函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ ＋ π( )３ 的图像；最后将所得 图像上所有的点向右平移π３个单位，得到函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的 图像． 方法二：先φ变换，后ω变换． 函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ 的图像上所有点的横坐标不变，                                                                      将 —１５１—