7.1.1 角的推广(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

书 第七章 　 三角函数 !"# 任意角的概念与弧度制 ７． １． １　 角的推广 !"#$%&'( 对应学生用书学案Ｐ００１ 学习目标 核心素养 １．了解角的推广，能正确区分正角、负角和零角． ２．理解象限角的概念． ３．掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角的终边 所在的位置． 体会数学抽象的过程，培养直观想象、数 学运算的素养． )*+,%-.+ 对应学生用书学案Ｐ００１ 知识点１　 角的相关概念 １．角的概念 一条射线绕其端点旋转　 　 到另一条射线所形成的图形　 　 称为角，这两条射线分别称为角 的始边　 和终边　 ． ２．角的分类 名称 定义 图示 正角 按照逆时针　 方向旋转而成的角 负角 按照顺时针　 方向旋转而成的角 零角 一条射线没有　 旋转而成的角 　 　 由于角是旋转生成的，所以也常称为转角　 ． 　 　 提醒：对角的概念的理解 （１） !"#$"%&'()!*#$*+,-.% ， /0(1.23456789%:;<% ． （２） =>?"@A ， BACDEF:;GHI ： JKLM:;NO ； PKLM:;"%QR ； SKLMTU%VWXY ； ZK[8\:;NO.M]"%^_ ． （３）̀ abcde%"fgh(iadjklF\mnop%qrTUst%uvwx"G %yz ． "%klyz{ ， "@%|}~€ ０ ‚ ～ ３６０ ‚ ． （４） ƒ"%W„…†„‡ˆ ． ‰Š ‹(ƒ" ， Œ ‹ ＝ ０ ‚ ． $$# ●/012 １．辨析（正确的打“√”，错误的打“×”） （１）经过１小时，时针转过３０°． （ × ） （２）终边与始边重合的角是零角． （ × ） 知识点２　 角的加法与减法（β ＞０°） １． α ＋ β：把角α的终边逆时针　 方向旋转角β． ２． α － β：把角α的终边顺时针　 方向旋转角β． ●/012 ２．将３５°角的终边按顺时针方向旋转６０°所得的角的度数为　 　 　 　 ，将 ３５°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角的度数为　 　 　 　 ． 知识点３　 象限角 在平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点　 重合，角的始边落在ｘ轴 的正半轴上，这时，角的终边　 在第几象限，就把这个角称为第几象限角　 ， 如果角的终边在坐标轴上　 ，就认为这个角不属于任何象限． ［思考１］ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●/012 ３．设Ｍ ＝｛小于９０°的角｝，Ｎ ＝｛第一象限的角｝，则Ｍ∩Ｎ ＝ （Ｄ ） Ａ．｛锐角｝ Ｂ．｛小于９０°的角｝ Ｃ．｛第一象限的角｝ Ｄ．以上都不对 ４． ２ ０２０°是 （Ｃ ） Ａ．第一象限角Ｂ．第二象限角 Ｃ．第三象限角 Ｄ．第四象限角 知识点４　 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可组成一个集合Ｓ ＝ ｛β ｜ β ＝ α ＋ ｋ·３６０°，ｋ∈Ｚ｝　 ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示为角α 与整数个周角的和． ［思考２］ 　 　 提醒：对终边相同角的几点说明 （１） " ᎏ8"，FｋＺG~‘’“． ｋ 5”•–9 ： J—˜™ ： š ｋ ›œmž*Ÿ 5m4¡šB% " ． Pm¢™ ： 23d5…" α †„6£%"（¤¥ α ¦§）．S)¨©8 9hª ，ｋ 23"%†„«m]%NO;¬%­* ． ｋ ®!ž*A ，̄ A° ;¬ ；ｋ ®$ž*A ， ±A°;¬ ；ｋ ＝ ０ A ， ²5;¬ ． （２）ｋ ³ ３６０ ‚… αa´K1F ＋Gµ¶，ｋ·３６０° － α·¸¹t ｋ·３６０° ＋（－ α）． （３） º"%W„6£A ： 6»%"%†„m]6£ ， -†„6£%" ~m]6» ； †„6£%"5¼* ， /06½ ３６０ ‚%ž*¾ ； †„~£¿ 23%"m]~£ ． 思考１：“锐角”，“第一 象限角”，“小于９０°的 角”三者有何不同？ 提示： À"(Ám€ "Ã(R ９０ ‚%"Ä -Ám€"·Å(À "Ä÷ÅQ ３６０ ‚Ä Æ·‘($"ÄR ９０ ‚%"·Å(À"Ä Ã·Å(ƒ"Ç$"È 思考２：终边相同的角 相等吗？相等的角终边 相同吗？ 提示： †„6£%"~ m]6»Ä/06½ ３６０ ‚%ž*¾É6»% "†„6£ ． $$% 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●/012 ５．与４０５°角终边相同的角是 （Ｂ ） Ａ． ｋ·３６０° － ４５°，ｋ∈Ｚ Ｂ． ｋ·３６０° ＋ ４５°，ｋ∈Ｚ Ｃ． ｋ·３６０° － ４０５°，ｋ∈Ｚ Ｄ． ｋ·１８０° ＋ ４５°，ｋ∈Ｚ ６．在０° ～ ３６０°范围内，找出与－ ６５０°角终边相同的角，并写出所有与－ ６５０°终边相同的角的集合． 3456%789 对应学生用书学案Ｐ００１ ●:;<%=>?@AB 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）概念是数学的重要组成部分，厘清新旧概念之间的关系对学习 数学十分重要．现有如下三个集合，Ａ ＝｛钝角｝，Ｂ ＝｛第二象限 角｝，Ｃ ＝｛小于１８０°的角｝，则下列说法正确的是 （　 ） Ａ． Ａ ＝ Ｂ　 　 　 Ｂ． Ｂ ＝ Ｃ　 　 　 Ｃ． ＡＢ　 　 　 Ｄ． ＢＣ （２）某线路两班地铁到站时间间隔为１０分钟，则１０分钟内，钟表 的分针走过的角度是 （　 ） Ａ． ３０° Ｂ． － ３０° Ｃ． ６０° Ｄ． － ６０° （３）将时钟拨快２０分钟，则分针转过的度数是　 　 　 　 ． ［归纳提升］ ●:;C%DEFG@?HIJ? ２．已知α ＝ － １ ９１０°． （１）把α写成β ＋ ｋ·３６０°（ｋ∈Ｚ，０°≤β ＜ ３６０°）的形式，并指出它 是第几象限的角； （２）求θ，使θ与α的终边相同，且－ ７２０°≤θ ＜ ０°． ［归纳提升］ 归纳提升：１．理解角的 概念的三个“明确” ÊË" α %|}：À" ０ ‚ ＜ ‹ ＜ ９０ ‚ ， Ì" ９０ ‚ ＜ α ＜ １８０‚． ２．判断角的概念型问题 的关键与技巧 （１） ÍÎ ： !M¸¹Â€ "…À "#Ï "#Ì "#Ð"#Ñ"»kl ． （２） ÒÓ ： >?mÔe Õ!MÖK×L ， -> ?mÔeÕØÙÚKÛ o7ÜÝ· ． Þß ： ¹àkláâã ， m(ä17ÜåæØÙ àç ， ÚÖÛm7Ü Ý· ， H(ä1]9Ï ¶>? ． 归纳提升：１． è8" é Ž α ＋ ｋ·３６０° （ｋ∈Ｚ，且０°≤α ＜ ３６０°） %vêÄÍÎ( M] ｋ Ä·Å1ëìÕ íα %ïRðÄ Ã·1æÕ ． ２． KñòˆóÔrôõ …ö÷"†„6£%" AÄøNÕ(ùño… ö÷"†„6£%"% m¢vêÄúrôû ü~»êño ｋ %Ÿ ． $$& 〉 /KL1 １．（１）（２０２３·广西钦州高一期中）与－ ３０°角终边相同的角的集合是 （　 ） Ａ．｛α ｜α ＝ ｋ·３６０° ＋ ３０°，ｋ∈Ｚ｝ Ｂ．｛α ｜α ＝ ｋ·３６０° ＋ ３３０°，ｋ∈Ｚ｝ Ｃ．｛α ｜α ＝ ｋ·３６０° － ３３０°，ｋ∈Ｚ｝ Ｄ．｛α ｜α ＝ ｋ·３６０° － ２６０°，ｋ∈Ｚ｝ （２）在角的集合Ｓ ＝｛α ｜α ＝ ｋ·９０° ＋ ４５°，ｋ∈Ｚ｝中， ①有几种终边不相同的角？ ②在集合Ｓ中有几个在［－ ３６０°，３６０°）内的角？ ●:;M%ｎα，αｎNOIJ@PQ ３．若角α是第一象限角，问－ α、２α、α３分别是第几象限角？ 【分析】　 解决这类问题有两种方法：分类讨论或几何法． ［归纳提升］ 〉 /KL1 ２．已知α为第二象限角，求２α，α２分别为第几象限角． 归纳提升：关于角ｎα 或αｎ象限的确定 （１） \ α %|}，23 o ｎα，αｎ %|}，\ ｎ %®ŸM]€ ． （２） —ýþ ， ñ α ｎ d= €A ， ·Å蛝 €»ÿŽ ｎ ! ， " ｘ # $$%# ，̄ A°NO ±&'(m#H#”# ) ， *+,€*IÝ · ． $$' ●:;R%ST?@UV ４．（１）（２０２４·济南高一检测）如图，阴影部分表示角α的终边所在的 位置，试写出角α的集合． （２）在直角坐标系中画出表示集合｛α ｜ ｋ·１８０° － ９０°≤α≤ｋ·１８０° ＋ ４５°，ｋ∈Ｚ｝的范围． ［归纳提升］ 〉 /KL1 ３．写出图中阴影区域所表示角α的集合（包括边界）． 归纳提升：表示区域角 的三个步骤 （１） ù«¯A°NO* +-.%VW/†0 „1 ． （２） «\R+Qÿý' oVW/†0„1šB % － ３６０ ‚ ～ ３６０ ‚2%" α / β，3o45-´ ｛ｘ ｜α ＜ ｘ ＜ β｝，øa β － α ＜ ３６０°． （３） VW#†0„1š B%" α，β6h ３６０‚ %ž*¾ ， Ý7-." 8ˆ ． WXYZ%[\] 对应学生用书学案Ｐ００３ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．下列各角中，与６０°角终边相同的角是（Ａ ） Ａ． － ３００° Ｂ． － ６０° Ｃ． ６００° Ｄ． １ ３８０° ２．集合Ｍ ＝｛α ｜ α ＝ ｋ·９０°，ｋ∈Ｚ｝中，各角的终 边都在 （Ｃ ） Ａ． ｘ轴正半轴上 Ｂ． ｙ轴正半轴上 Ｃ． ｘ轴或ｙ轴上 Ｄ． ｘ轴正半轴或ｙ轴正半轴上 ３．把－ １ ４８５°转化为α ＋ ｋ·３６０°（０°≤α ＜ ３６０°， ｋ∈Ｚ）的形式是 （Ｄ ） Ａ． ４５° － ４ × ３６０° Ｂ． － ４５° － ４ × ３６０° Ｃ． － ４５° － ５ × ３６０° Ｄ． ３１５° － ５ × ３６０° ４．若α是第三象限角，则－ α是 （Ｂ ） Ａ．第一象限角 Ｂ．第二象限角 Ｃ．第三象限角 Ｄ．第四象限角 ５．如图所示，终边落在阴影 部分（包括边界）的角α的 集合为｛α ｜ － ３０° ＋ ｋ· ３６０° ≤ α ≤ １３５° ＋ ｋ· ３６０°，ｋ∈Ｚ｝　 ． 请同学们认真完成练案［１                       ］ $$( 学案及练案部分 参考答案 [学案部分] 第七章 三角函数 【解析】(1)-30°=330°-360°，所以与-30°角终边相同的 角的集合是|axla=k·360°+330°，keZ.故选B 7.1任意角的概念与弧度制 (2)①在给定的角的集合中，终边不相同的角共有4种，分别 是与45°，135°，225°，315角的终边相同的角， 7.1.1角的推广 2玲-360≤·0°+45°<360，得-号≤k<子又因为 必备知识探新知 k∈Z,所以k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3.所以在[-360°， 360°)内的角共有8个 知识点1：1.旋转图形始边终边2.逆时针 顺时针 没有转角 例3：：4是第一象限角， ∴.k·360°<<k·360°+90°（春∈Z). 对应练习 1.(1)×(2)× (1)-k·360°-90°<-a<-k·360°(keZ). 提示：(1)图为是顺时针旋转，所以时针转过-30 .-x所在区域与(-90°，0°)范围相同， (2)终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z). 故-是第四象限角. (2)2k·360°<2a<2k·360°+180(k∈Z). 知识点2：1.逆时针2.顺时针 对应练习 ∴.2a所在区域与(0°，180°)范围相同， 2.-25°395°把35°角的终边按顺时针方向旋转60°得35 故2α是第一，二象限角或终边落在y轴的非负半轴 -60°=-25°：把35°角的终边按逆时针方向旋转一周后得 (3)k:120°<号<k·120°+30(keZ 35°+360°=395°. 方法一：（分类讨论）当k=3n(meZ)时， 知识点3：坐标原点终边第几象限角坐标轴上 对应练习 n360°<号<n…360°+30(n∈Z), 3.D,M∩N={aa<90°且k·360°<a<k·360°+90°.k= 0,-1,-2。-3,…, ÷号是第一象限角： ,M∩N不同于A、BC,故选D 当k=3n+1(n∈Z)时， 4.C2020°=5×360°+220°，220°是第三象限角..2020 是第三象限角 n360°+120°<号<n·360°+150(neZ). 知识点4：{B到B=a+素·360°，k∈Z 对应练习 号是第二象限角： 5.B4050=360°+45°，故与405角终边相同的角是4·360°+ 当k=3n+2(n∈Z)时 45°，k∈Z. 6..-650°=70°-2×360° n:360°+240°<号<n…360°+270(neZ), ÷在0°~360°范围内，与-650°角终边相同的角是70°角. “号是第三象限角， 所有与-650°角终边相同的角的集合为5=1ala=70°+k·360°， kEZl 综上可知：号是第一，二或第 关键能力攻重难 三象限角。 例1：(1)C(2)D(3)-120°(1)钝角是大于90°，且小于 方法二：（儿何法）如右图，先 180°的角，一定是第二象限角，故ACB:第二象限角的范围 将各象限分成3等份，再从x 是90°+k·360°<a<180°+k·360°，k∈Z,即第二象限 角不一定小于180°，故A.B.D错误，C正确。 轴的正向的上方起，依次将各 区域标上1、2,3、4，则标有1 (2)利用定义，分针是顺时针走的，形成的角是负角，又因 为周角为360°，所以有码×10=60，即分针走过的角度 的区域即为号终边所落在的 是-60 区城，故号为第一，二或第三 (3)由于顺时针旋转，分针每分钟转-6°，所以20分钟转 象限角 了-120°. 对点训练2：？a是第二象限角，90°+k·360°<a<180°+ 例2：(1)：-1910°=250°+(-6)×360°， k·360°，kcZ,∴.180°+2h·360°<2a<360°+2k·360°，kd a=250°+(-6)×360°， Z,∴.2是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴 :250°是第三象限角，角a是第三象限角. (2)令0=250°+k×360°(k∈Z). 上的角.同理45+号·360°<号<90°+号 ·360°.当k为 取k=-1、-2就得到适合-720°≤8<0°的角 250°-360°=-110°，250°-720°=-470. 偶数时，不妨令k=2n,neZ.则45°+·360°<号<90°+ ,0=-110°或-470°， 对点训练1：(1)B(2)见解析 n·360°.此时，号为第一象限角：当k为奇数时，令k=2n+1, -141 n∈Z,则25°+n:360°<号<270°+n·360°，此时，号为第 -75 三象限角“号为第一或第三象限角 9-（号×9=110 例4：(1)①1a-30°+k·360°≤a≤k·360°，keZU{a1150 对点训练1：(1)20°=20×高=号 +k·360°≤a≤180°+k·360°，k∈Z=a1-30°+k: 40 180°≤a≤k·180°，k∈Z: (2)-800°=-800×10=-9m 21al-30°+k·360°<a<60°+k·360°，k∈Z (2)因为axlk·180°-90°≤a≤k· （68-侣×g=10s 450 180°+45，k后Z1=1x1k·360°- (4)--× 4.180 -=-144° 90°≤a≤k·360°+45°，keZU alk·360°+90°≤a≤k·360°+ 例2：(1)因为a=-920°=-3×360°+160° 225°，k∈Z}. 所以集合a1k·180°-90°≤a≤ 2259 160°-8g,所以a=-920°=(-3)×2m+8号 k·180°+45°，k∈Z表示的范围如 含边界 因为角。与终边相同，所以角。是第二象限角， 图所示： 对点训练3：(I)axlk·360°+30≤≤k·360°+90°，keZ引Uak (2)因为角y与a的终边相同，所以设y=2km+8西(keZ). ·360°+210°≤a≤k·360°+270°，keZ或写成xlk·180°+30 ≤≤k·I80°+90°.keZ. 因为ye(-4,-3m).由-4标<2m+g<-3,可得-号 9 (2)a1k·360°-45≤a≤k·360+45°.k∈Z. 课堂检测固双基 <c0 1.A与60°角终边相同的角《=k·360°+60°，EZ,令k= 又因为k∈Z,所以k=-2. -1,则a=-300°. 2.C令k=1,2,3,4,终边分别落在y轴正半轴上，x轴负半轴 所以y4m+=2g 9 上，y轴负半轴上，x轴正半轴上，又因为keZ,故选C 3.D-1485°=315°-5×360°. 对点调练2：-1125°=1125×高=-=-8m+号 4.B令=-120°是第三象限角，则-a=120°是第二象限角. (山)由受<<2，得是第四象限角，所以-1125”是第四 4 5.￥al-30°+k·360°≤a≤135°+k·360°，keZ 象限角。 终边落在OM位置上的角的集合为y1y=90°+45°+k· 360°，keZ=yy=135°+k·360°，k∈Z,终边落在0B位 (2)依题意与a终边相同的角为牙+2km,ke乙。 置上的角的集合为B1B=-30°+k·360°，k∈Z1.由题图可 由-4a≤7四+2hm≤4m,keZ.知k=-2,-1.0,1, 知，终边落在阴影部分的角的集合可表示为x」-30°+k· 4 360°≤a≤135°+k·360°，keZ. 所以所求角的集合为{-票-子，，} 7.1.2弧度制及其与角度制的换算 例3：(1)如图①，以01为终边的角为石+2云(keZ):以0B 必备知识探新知 知识点1：1.(1)度(2)360606060”2.(1)弧度 为终边的角为-2要+2m(kEZ。 3 (2)半径长(3) “阴影部分内的角的集合为{α 2红+2km<a<夏+ -3 6 对应练习 1.D根据一弧度角的定义可知选D. 2km.keZ 知识点2：2π360°T180 对应练习 (2)如图2，以01为终边的角为于+2km(keZ):以0B 2.C,1al=57.30° ∴-2md=-114.60°.故a的终边在第三象限， 为终边的角为+2kπ（长后Z):不妨设右边阴影部分所表 知识点3：1)m(2)宁方 示的集合为M,左边阴影部分所表示的集合为M2,则M 对应练习 ={a2hm≤a≤号+2mkeZ} 36m5am2:×号x62=6m 4={a停+2k=≤a≤m+26m,kez 关键能力攻重难 ∴阴影部分所表示的集合为： 例1：(1)①1°=0md,1230=10×112.5ad= M,UM={a2km≤a≤号+2ka或号+2m≤≤m+ rad. 2km.keZ ②-35=-35×7高=-7界 对点训练3：1)30和60°的终边分别对应-石和号，所表示的区 (2)心：1d=(9}4-受d=-(侣×19=域位于-君与号之间且跨越：轴的正半轴，所以终边落在阴影 -142