练案18-19 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 7.1.2 复数的几何意义-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

=名，放B正确：因为sa=子且0<a<受.所以ma 所以5号0：咖a一号6×号-3放D sn号 正确.故选BCD, 2nc=2nB+2n(-B）=2smB+2(停mB+ 11.ACD因为(a+b):(a+c):(b+c)=9:10:11,所以可 ra+b=9x, ra=4x. mB）=3nB+5sB=23n(B+君）B+G 设{a+c=10x,(x>0),解得{b=5x,所以由正弦定理可得 [b+e=Ilx le=6x. Be(o,等）可得B+若e()m(B+ inA:sinB:inC=a:b:e=4:5:6.故A正确：易知c 最大，所以△ABC中角C最大，又csC=+2-c 君）（分小b+e=25m(B+君）e(5,2. 2ab 4如26=官>0，所以G为授角，所以△C 16()因为m(4-君)）m(4+君）=-子 2·4x·5x 为锐角三角形，故B错误；易知a最小，所以△ABC中角A最 小，又1.6，=子所 所以（停nA-mA)(-m4+A=- 2·6.x·5x 以s2A=2m3A-1=g,所以ms2A==C,由△ABC中 所以 3 4*in24- 角C最大且C为锐角可得21e(0,),Ce(0,号)，所以 1-m2-g1+m20=-整 24=C,故C正确：设△ABC的外接圆半径为R,由正弦定理 理可得月n21+ms2M=子 得2R=c又c=6,mC=V-sc- 8,所以2R= 所以可得血(24+)=之 立解得发：放D正商放选Am 因为4e0.m.可得24+名e(信岩）， 所以24+号-爱，可得4=号 6 12.ABC3(acsC+ccos A)=2 bsin B,∴由正弦定理可得 3(sin Acos C sin Ceos A)2sin'B..'.3sin(A +C)= A“Bmc且u=1,4=号 (2)由正弦定理，”， b 2 sin B.3sinB=2sim2a又mB≠0，imB=夏 n.nc. 所以6=23 ∠CB=号Be(0,等)B=号∠AGB=m 所以a+6+c=1+号2(smB+mC)=1+29. 23 3 ∠CAB-B=牙，因此A,B正确；S形mw=S4版+Sm= [mB+m(-B小=1+2m(B+君)月 夏4AC+分AD·Dc·mLA0c= 0<B< 因为△ABC为锐角三角形，所以 g(A0+DC-2D:c,m∠A0)+A0·Dc· sLA0C=得x(9+1-6aLAC)+7×3x1× 解得后<B<受所以号<B+君< nLAc=罗+3n(∠A0c-号）≤+3，当且仅当 所以1+2sin(B+石）e1+5.3], 上AC-号=号，即∠AC=爱时，等号成立，因此C正确， 即△ABC周长的取值范围是(1+5,3]. D错误故选ABC 练案[18] 13.5由2B=A+C,及A+B+C=m知，B=号在△ABD中， 1.A由复数的概念知，复数：=3-6i的虚部为-6故选A AB=1,BD=受=2.所以A0=AG+BD-24B:B0 2A复致-9+(m-3厅为地虚数，则90解得 m=-3,放选A =3.因此AD=√3 3.A3i-2的虚部为3,3i2+2i=-3+2i的实部为-3，故 选A. 14,2号2 sin Asin BosC=imC.2 beC=c=a+B4.B由题意得a-i=-2+i,由复数相等的充要条件知a= -2m6≥3当 -2,b=-1,故a-b=-1. 2 2ab 5.AB因为a2+1≥1，所以(a2+1)i(aeR)是纯虚数，故A正 且仅当a=b时取等号.：0<C<m,∴0<C≤牙，即角C的 确：2=-1，所以-=1，故B正确：复数不能比较大小，故C 错误：当：=i时，==-1<0，故D错误.故选AB. 最大值为受 6BCD复数集是实数集和虚数集的并集，A为假命题：当x= 2i时，x+2=0,B为真命题：两个复数1，满足，>，说 15.(,3,23],+c2-a2=bc,∴由余弦定理的推论得c0sA 明1，两都是实数，显然有1->0，C为真命题；根据虚数单 江：然=由4e0,,可得A子由正71-3对由已知可得 位i的定义，D为真命题.故选BCD. -382 &23已知鸭将利之 6.AC1l=√(-1)+(-2)=5，A正确：复数：在复平面 13=-y, 内对应的点的坐标为(-1，-2)，在第三象限，B不正确：：的 9.km+受(keZ) 由题意知sin2=0,1-c0s2a≠0，，2a= 共轭复数为一1+2i,C正确：复数：在复平面内对应的点 (-1,-2)不在直线y=-2x上，D不正确.故选AC 2km+=(keZ).a=k+2(keZ). 7.-1-2i因为复数：对应的点的坐标是(-1,2)，所以：= -1+2i,因此：=-1-2i 10.由m2+5m+6=0,得m=-2或m=-3,由m2-2m-8=0, 8.1+2i或-1-2i依题意可设复数z=a+2ai(a∈R),由1zl 得m=4或m=-2 (1)当m2-2m-8=0时，复数：为实数∴m=4或m=-2 =5,得/a2+4a2=w5,解得a=±1，故z=1+2i或a= (2)当m2-2m-8≠0时，复数：为虚数，∴m≠4且m≠-2 -1-2i. (3)当-2m-840. 9.21zl=√/(cos8+1)+sin0=√2+2cs6,当cos0=1 时，复数：是纯虚数，∴，m=-3 1m2+5m+6=0 时，lzl=2. ④当C80时复：0a2 10.根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数：=2+a-2 +(a2-3n+2)i的点为Z(a2+n-2,a2-3n+2). 11.B由已知可得a2>2a+3,即a2-2a-3>0,解得a>3或a <-1,因此，实数a的取值范围是(-0，-1)U(3,+). (1)由点乙位于第二象限得口+a-2<0, 1a2-3a+2>0. 12.C复数a3-a-2+(1a-11-1)i(a后R)不是纯虚数，则有 解得-2<a<1. 4-4-2≠0或1a-11-1=0.解得u≠-1. 故满足条件的实数a的取值范围为(-2,1). 13.3-i由题意知(n2+mn)+2i=-2-2i,即 (2)由点2位于直线y=x上得a2+a-2=a2-3a+2,解得 0+m三-2解得-2.=3-i a=1. 12n=-2, 放满足条件的实数a的值为l. 14..MUP=P,..MCP. 11.A由题意知(z-3)(1:|+1)=0,即zl=3或1z=-1. ∴(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m）+(m2+m 1z≥0,1：=3，∴复数：对应的点的集合是以坐标原点 -2)i=4i 为圆心，3为半径的圆 (m2-2m)+(m+m-2i=-1得：20解得2c当a=-号时=m(-号）+(-号)小 m2+m-2=0. m=1; 由(m2-2m）+(m2+m-2)1=4i得m-2m=0, 方一，复平面内表示复数：的点位于第四象限，故A错 解得m m2+m-2=4 =2. 误：当a=受时=ms受+（万m受）i=5i,为纯虚数， 综上可知m=1或2 故B正确：1z|=√cos&+3sina=√1+2sin2a,最大值为 15.(1)为纯虚数， 5,故C正确：z的共轭复数为=csa-(3sina)i,故D错 了4-m=0解得m=-2 m-20. 误.故选BC (2)由=为，得4-m=A+2ina, 13.-6+8i设复数：=x+i,*yeR,则0=(x,y),复数： 1m-2=c0s8-2, 对应的向量02与a=(3,4)共线，.4x-3-0①，由1：l-10 .A=4-ems20-2sin0=sim20-2sin8+3=(sin0-1)2+2. 得x2+y2=100②，由①②可得x=6,y=8或x=-6,y= -1≤sin≤1， -8.:对应的点Z在第三象限，∴：=-6-8i,∴=-6 .当sin8=1时，Aw=2, +8i. 当sin0=-1时.A=6, 14.(1)由点A对应的复数为-1，AB对应的复数为2+2i: ,实数入的取值范围是「2,6] 得A(-1,0),A=(2,2),可得B(1,2) 练案[19] 又BC对应的复数为4-4i,得BC=(4,-4),可得C(5,-2). 1.A 因为复数：的实部为号所以a=号因为11=1，所以 设点D对应的复数为x+i,x,yeR得Ci=(x-5,y+2). B=(-2,-2) √（份）+(-=1.解得6-号或6竖（会去）.所 :ABCD为平行四边形.B=Ci,解得x=3,y=-4。 故点D对应的复数为3-4i 以复数：的虚部为导故选 (2)由A=(22).BC=(4,-4),可得A2.B武=0 2.C由题意可知，点A的坐标为(-1，-2)，则点B的坐标为 .AB1B成，又M=22.1BC1=42. (1,-2),故向量0对应的复数为1-2i 故平行四边形ABCD的面积为22×42=16 3D≤1。+≤1点2的集合是以原点为圆心，115子由题意得0元=(1,2)，0元=(3.-).则10配1= 为半径的圆及其内部 4.A由题意得03=4解得a=-1故：=-1+万1放 √+2=5.10Z1=√3+(-1下=0，cs∠Z,02 la<0, 0沉.0%。3-2 选A. 0爱宽=5×0=6，m上3=72 10 5.CD由于复数=1-ai(a∈R)对应的点Z,满足1OZ1= 2,所以10Z1=√+(-a)=2,所以a=±1，Z,(1,1) △0，名的面积s=宁10210Z1snLZ,02,=方×5× 或Z,(1,-1),又点Z与Z,关于x轴对称，所以点Z(1,-1) 或Z(1,1),所以复数：为1-i或1+i枚选CD. vox2语-子 383 16.(1)由题意得1：l=√(x-2)2+(x+2)=2+8≥2,2， (4)(6-3i)+(3+2i)-(3-4i)-(-2+i)=[6+3-3 显然当x=0时，复数：的模最小，最小值为22. (-2)]+[-3+2-(-4)-1]i=8+2i (2)由(1)知当x=0时，复数：的模最小，则Z(-2,2). 1l.B设：=a+bi(a,beR).则la+il=√a+6由题意知a 因为点Z在一次函数y=-mx+n的图象上，所以2m+n +bi+√a+=5+5i,即a+√a+b+i=5+5i, =2. 11 又mn>0.所以m>0,n>0. [+√0+B=5,解得 a 11 5‘.= 5 5 所以+-（信+日）(+）2++≥ 3 lb=5, b=3 5i..-=25i +万.当且仅当丹=元即=2m时等号成立 2.A由复数的模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知 复数：对应的点P到△ABC的顶点A,B,C的距离相等，∴，P 又2m+m=2且mn>0,所以取等号时m=2-2,n=2、2 为△ABC的外心 -2. 13.10由题意可设1=a+i(u<0,b>0),则 练案[20] '.1=-1+2i,1+2=(2+i) 1.Bz=1-(3-4i)=-2+4i,所以z的虚部是4. :6082 1b=2, 2.D因为：+1-2i=-3+i,所以2=-4+3i,所以11= +(-1+2i)=1+3i,1,+4=10 √16+9=5.故选D. 14.(1)由题意得=1-(10-a)i. 3.D因为：为纯虚数，所以设：=i(b∈R且b≠0)，又因为 所以i+2=1-(10-w2)i+(2a-5)i=1+(a2+2a- 1z-1-il=2,则1bi-1-il=2,即1-1+(b-1)i1=2, 15)i. 所以(-1)2+(b-1)2=2.解得b=2或b=0(舍)，故：=2i 因为+eR,所以a2+2a-15=0,解得a=-5或a=3, 故选D. 因为a>0,所以4=3. 4.D因为复数：对应的点的坐标为(2，-3)，所以=2-3i (2)由(1)知2=i,所以满足条件1：-1=2的点的集合是 又因为复数：=+，=-1+2i,所以：=2-3i+(-1+ 以(0,1)为圆心，2为半径的圆，设为圆4，所以1：的取值范 2)=1-i.所以复数：对应的点的坐标为(1，-1)，位于第四 围即圆A上的点到坐标原点的距离的范围，所以2-1≤： 象限.故选D. ≤2+1，即1≤1：≤3. 5.BC如图，由题意，0(0,0)，A(1,1),B(1,2),AB=(0,1), 故1z的取值范围为[1,3] :0C为平行四边形0心=(0，，则c(0,1)=1,点1点.()：向量风对应的复数为1+2i,肉量C对应的复数为3 i. C位于虚轴上，故A错误：，+=(1+i)+i=1+2i=,故B 正确：l-31=11+i-i1=1=M心1，故C正确：l32+1= .向量A对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i 1(1+2i)+il=11+3i1=0,故D错误故选BC 又，0元=oi+AC .点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i. :A市=B武，向量A对应的复数为3-i 即=(3，-1).设D(x,y). 则Ai=(x-2,y-1)=(3,-1) 21o1234 31解得8 ly=0. .点D对应的复数为5. 6.AD因为复数：与其共轭复数：的实部相等，部互为相反 (2).BA.BC =IBA1IBCIcos B. 数，所以+∈R,A正确：当：为实数时，：也为实数，则。- B·BC 3-2 是实数，B错误：若：=m号+m则1： cos B = IBI1BC5x√o 10 √s号+m要1，C错误若5-i1=1,设复数：在复平 0<B<m sin B=2 10 面内对应的点为乙，由复数的儿何意义可知，在复平面内动点 六Smsm=lai1 BCtsin B=5×Vx2=7. Z的轨迹是以点(0,1)为圆心，半径为1的圆，而1：则表示圆 10 上的点到原点的距离，其最大值为2，D正确.故选AD. .平行四边形ABCD的面积为7. 7.±23-2i因为：+2i是实数，所以可设：=a-2i(aeR), 练案[21] 由1：=4得a2+4=16,所以：2=12，所以a=±23，所以：= 1.A:=i(2-i)=2i-子=1+2i,.复数对应的点的坐标为(1， ±23-21 2),位于第一象限 8.2由题意可知=i,与=2-i,1+32=i+(2-i)=2 5i 5i(2+i) 9.1+i(答案不唯一）：=a+所i,故：-2i=a+(b-2)i.由z 2B+51=+5i-1+71,被1=5瓦 2i1=1z知，√a+(b-2)=√云+6，化简得6=1，故只要故选B. b=1,即：=a+i(a可为任意实数)均满足题意，可取：=1+i3.C(1+i)尸=2i,(1+i)°=-4，又(1-i)2=-2i, 101)原式=(2+)-（分+2）=子- .(1-i)=-4,(1+i)0-(1-i)m=(-4)3-(-4) =0. (2)(3+2i)+(3-2)i=3+(2+3-2)i=3+3i 4.Az=(a+5i)(a-5i)=2+3=4,解得a=1或a= (3)(1+2i)+(i+)+13+4il=1+2i+i-1+5=5+3i -1,故选A 384练案!!8" """第七章";!!";!!!!"数系的扩充和复数的概念 """""""""""""""" $组!基础巩固 !!复数:(/9#A!A为虚数单位"的虚部为!""" $!9# %!# &!/ '!9#A "!已知复数:(5. 91 2!59/"A$其中A为虚数 单位$若复数:为纯虚数$则实数5( !""" $!9/ %!/ &!:/ '!* #!以 槡/A9 .的虚部为实部$以/A. 槡2.A的实部为 虚部的复数是 !""" $!/ 9/A %!/ 2A &! 槡槡9. 2 .A '!槡槡. 2 .A $!已知A为虚数单位$7 98A(A.!. 9A"$其中7$8 ( "$则7 98( !""" $!9. %!9! &!! '!/ %!"多选#下列命题正确的是 !""" $!!7 . 2!"A!7 ( ""是纯虚数 %!9A . (! &!! 24A7/A '!若: ( #$则:. + * &!"多选#下列命题为真命题的是 !""" $!复数集是实数集与纯虚数集的并集 %!3 槡(.A是方程3. 2. (*的解 &!已知复数: ! $: . $若: ! 7: . $则: ! 9: . 7* '!A是9!的一个平方根 '!已知复数:的实部为9!$虚部为9/$则 :(""""! (!已知!329" 2/A(!! 93" 99A!3$9 ( ""$则 3(""""$9(""""! )!若复数:(@AB . $ 9!! 9>?@. $ "A是纯虚数$则 $ (""""! !*!当实数5取什么值时$复数:(!5. 2+52 #" 2!5 . 9.598"A是下列数% !!"实数'!."虚数'!/"纯虚数'!4"*! %组!综合运用 !!!已知复数:(7. 2!.7 2/"A!7 ( ""的实部大 于虚部$则实数7的取值范围是 !""" $!! 9!$/" %!! 9 I $ 9!" 2 !/$ 2 I " &!! 9/$!" '!! 9 I $ 9/" 2 !!$ 2 I " !"!若复数7. 97 9. 2! )7 9!)9!"A!7 ( ""不 是纯虚数$则 !""" $!7 (9! %!7 % 9!且7 % . &!7 % 9! '!7 % . !#!已知关于3的方程!3. 253" 2.3A(9. 9.A !5 ( ""有实数根6$且:(526A$则复数:( """"! !$!已知,((!$!5. 9.5" 2!5. 259."A)$ .(( 9!$!$4A)$若, 2 .(.$求实数5 的值! &组!拓展提升 !%!已知复数: ! (4 95 . 2!59."A$: . ( ! 2 .@AB # 2!>?@ # 9."A!其中A是虚数单位$5$ ! $ #( ""! !!"若: ! 为纯虚数$求实数5的值' !."若: ! (: . $求实数 ! 的取值范围 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ! &"*#& 练案!!1" """"第七章";!!";!!!."复数的几何意义 """""""""""""""" $组!基础巩固 !!已知复数:(7 98A!7$8 ( "$83*"$满足):)( !$复数:的实部为槡. . $则复数:的虚部为 !""" $! 槡. . %!9 槡. . &! ! . '!9 ! . "!在复平面内$"为原点$向量"#"#对应的复数为 9! 9.A$若点#关于虚轴的对称点为$$则向 量"#"$对应的复数为 !""" $!9. 9A %!. 2A &!! 9.A '!9! 2.A #!复数:(7 28A!7$8 ( ""在复平面内对应的点 为?!7$8"$若):) , !$则满足条件的点?的集 合是 !""" $!直线 %!线段 &!圆 '!单位圆及其内部 $!已知复数:(7 槡2 /A!7(""在复平面内对应 的点位于第二象限$且):)(.$则复数:( !""" $! 槡9! 2 /A %! 槡! 2 /A &! 槡9! 2 /A或 槡! 2 /A '! 槡9. 2 /A %!"多选#在复平面内$复数: ! (! 97A!7 ( ""对 应的点? ! 满足)"?"# ! 槡)( .!点?与?! 关于3 轴对称!则点?对应的复数:( !""" $! 槡! 9 .A %! 槡! 2 .A &!! 9A '!! 2A &!"多选#设复数:满足:(9! 9.A$A为虚数单 位$则下列命题正确的是 !""" $!): 槡)(+ %!复数:在复平面内对应的点在第四象限 &!:的共轭复数为9! 2.A '!复数:在复平面内对应的点在直线9(9.3上 '!在复平面内$复数:对应的点的坐标是! 9!$ ."$则:(""""! (!若复数:对应的点在9(.3的图象上$且):)( 槡+ $则复数:(""""! )!若复数:(>?@ # 2! 2A@AB # $则):)的最大值为 """"! !*!实数7取什么值时$复平面内表示复数:( 7 . 27 9. 2! 7 . 9/7 2. " A的点满足下列 条件, !!"位于第二象限' !."位于直线9(3上! %组!综合运用 !!!已知复数:满足):). 9.):)9/ (*$则复数: 对应的点的集合是 !""" $!!个圆 %!线段 &!.个点 '!.个圆 !"!"多选#已知复数:(>?@ $ 2!槡/@AB $"A!$( "$A为虚数单位"$则下列说法正确的有 !""" $!当 $ (9 $ / 时$复平面内表示复数:的点位 于第二象限 %!当 $ ( $ . 时$:为纯虚数 &!):)的最大值为槡/ '!:的共轭复数为:(9>?@ $ 2!槡/@AB $" & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & A &(*#& !#!复数:对应的向量"#"?与! (!/$4"共线$对应 的点?在第三象限$且):)(!*$则:( """"! !$!如图$已知复平面内平行四 边形#$%&中$点#对应的 复数为9!$ "##$对应的复数 为. 2.A$ "#$%对应的复数为 4 94A! !!"求点&对应的复数' !."求平行四边形#$%&的面积! &组!拓展提升 !%!若复数: ! (! 2.A$: . (/ 9A!其中A为虚数单 位"所对应的向量分别为"?"# ! 和"?"# . !"为坐 标原点"$则 ! "? ! ? . 的面积为""""! !&!已知3为实数$复数:(39. 2!32."A! !!"当3为何值时$复数:的模最小% !."当复数:的模最小时$复数:在复平面内 对应的点?在一次函数9(95326的 图象上$其中56 7*$求! 5 2 ! 6 的最小值 及取得最小值时5$6的值 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ! &#*#&