练案16 6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

练案!!#" " ""第六章"#!4"#!4!/"!第四课时"余弦定理"正弦 定理应用举例# """""""""""""""" $组!基础巩固 !!若水平面上的点$在点#南偏东/*0方向上$ 则在点#处测得点$的方位角!指从某点的 正北方向起顺时针旋转到达目标方向的水平 夹角"是 !""" $!#*0 %!!.*0 &!!+*0 '!.!*0 "!一艘船向正北方向航行$看见正西方向有相距 !*海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上$ 继续航行半小时后$看见一灯塔在船的南偏西 #*0方向上$另一灯塔在船的南偏西;+0方向 上$则这艘船的速度是 !""" $!槡+ . 海里=时 %!+ 海里=时 &! 槡!* . 海里=时 '!!* 海里=时 #!某人从出发点#向正东走3-后到达$$然后 向左转!+*0再向前走/ -到达%$测得 ! #$% 的面积为槡/ / 4 - . $此人这时离出发点的距离为 !""" $!/ - %!槡. - &!槡.! - '!槡/ - $!为加快推进*+E2光网+双千兆城市建设$如 图$在东北某地地面有四个+E基站#$$$%$ &!已知%$&两个基站建在松花江的南岸$距 离为槡!* / ,-'基站#$$在江的北岸$测得 ' #%$(;+0$ ' #%&(!.*0$ ' #&%(/*0$ ' #&$(4+0$则#$$两个基站间的距离为 !""" $! 槡!* # ,- %!/*!槡/ 9!",- &!/*!槡. 9!",- '! 槡!* + ,- %!"多选#某货轮在#处看灯塔$在货轮北偏东 ;+0方向上$距离为槡!. # B -AFG'在#处看灯塔 %在货轮的北偏西/*0方向上$距离槡8 / B -AFG! 货轮由#处向正北航行到&处时$再看灯塔$ 在南偏东#*0方向上$则下列说法正确的是 !""" $!#处与&处之间的距离是.4 B -AFG %!灯塔%与&处之间的距离是!# B -AFG &!灯塔%在&处的西偏南#*0 '!&在灯塔$的北偏西/*0 &!"多选#如图所示$为了测量某湖泊两侧#$$ 间的距离$李宁同学首先选定了与#$$不共 线的一点%$然后给出了四种测量方案 ! ! #$%的角#$$$%所对的边分别记为7$8$ <"$则一定能确定#$$间距离的方案为 !""" $!测量#$$$8 %!测量7$8$% &!测量#$$$7 '!测量#$$$% '!如图$已知两座灯塔#$$与%的距 离都是槡/ ,-$灯塔#在%的北偏 东.*0$灯塔$在%的南偏东4*0$ 则灯塔#与灯塔$的距离为 """",-! (!如图$飞机的航线和山顶在 同一个铅垂面内$若飞机的 海拔为!1 ,-$ 速度为 /** ,-56$飞行员先在#处 看到山顶的俯角为4+0$经过. -AB后$又在$ 处看到山顶的俯角为;+0$则山顶的海拔约为 """",-!!结果精确到*!!$参考数据, 槡/1!!;/. & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & " &!)#& )!台风中心从#地以每小时.* ,-的速度向东 北方向移动$离台风中心/* ,-内的地区为危 险区$城市$在#的正东4* ,-处$$城市处 于危险区内的持续时间为""""6! !*!如图$游客从某旅游景区的 景点#处下山至%处有两 种路径,一种是从#沿直线 步行到%$另一种是先从#沿索道乘缆车到 $$然后从$沿直线步行到%!山路#%长为 ! .#* -$经测量$>?@#(!. !/ $>?@%( / + $求索 道#$的长! %组!综合运用 !!!如图$在山脚#处测得山顶.的仰角为/*0$ 沿倾斜角为!+0的斜坡向上走7 -到$$在$ 处测得山顶.的仰角为#*0$则山高> ( !""" $! 槡. . 7 - %! 7 . - &! 槡/ . 7 - '!7 - !"!"多选#如图$某人在一条水平公路旁的山顶 .处测得小车在#处的俯角为/*0$该小车在 公路上由东向西匀速行驶;!+分钟后$到达 $处$此时测得俯角为4+0!已知小车的速度 是.* ,-56$且>?@ ' #"$(9 槡/ / 8 $则!""" $!此山的高." 槡(/ ,- %!小车从#到$的行驶过程中观测.点的 最小仰角为/*0 &!.#(. ,- '!小车从#到$的行驶过程中观测.点的 最大仰角的正切值为槡.* !!! !!! !#!如图$为了测量$$%两点间的距离$选取同 一平面上的#$&两点$已知 ' #&%(1*0$#( #*0$#$(.$$& 槡(. # $%& 槡(4 / $则$%的长 为""""! & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &$)#& !$!海洋蓝洞是地球罕见的 自然地理现象$被喻为 *地球留给人类保留宇 宙秘密的最后遗产+$我 国拥有世界上最深的海洋蓝洞$要测量如图 所示的海洋蓝洞的口径#$$两点间的距离$ 现在珊瑚群岛上取两点%$&$测得%&(8*$ ' #&$(!/+0$ ' $&%( ' &%#(!+0$ ' #%$ (!.*0!求#$$两点间的距离! &组!拓展提升 !%!在以灯塔'为中心的#海里以内有暗礁$点 '的正北方向.*海里处有一个雷达观测站 #!观测站某时刻测得一艘匀速直线行驶的船 只位于点#北偏东4+0且与点#相距槡.* .海 里的位置$$经过+*分钟又测得该船已行驶 到点#北偏东4+02 # !其中>?@ # ( 槡/ !* !* $ *03 # 31*0"且与点#相距槡+ +海里的位 置%! !!"求该船的行驶速度!单位,海里=时"' !."若该船不改变行驶方向继续行驶$试判 断它有没有触礁的危险$并说明理由 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ! &%)#& 2abeC.即e2=16+25-2x4×5x号=21，c=五，所以 因为0<A<石，所以石<号-A<号，所以号<m(号 △ABC的周长为9+√2I.故选B. 12.A因为e0s2A+e%2B-cs2C>1,故1-in2A+1-inB-1 小 +simC>1,故sinC>sinA+sinB,故e>a2+b,故csC _+6-C<0,而C为三角形内角，故C为纯角，但若 则6<2,6m(号-4）<32， 2ab 所以迈a+6的取值范围为(、6.32) △48C为纯角三角形，比如取G=B=君A:,此时cwA 练案[16] +em2B-C=<1,故m2A+emB-m2C>1不成1.C如图所示，在点4处测得点B的方位角是 180°-30°=150°.故选C 立，故选A. 2.D如图，依题意有∠BAC=60P,∠BAD=75 13.号7由已知及正弦定理可得，2msA(sin Beos C+ 所以∠CAD=∠CDA=15°，从而CD=CA=10 sin Ceos B)=sinA,可得2 cos Asin(B+C)=sinA,即 (海里)，在R△ABC中，由正弦定理，可得AB 2 Asin A=血A.又nA40sA=子4e(0,m, =5(海里)，所以这艘船的速度是10海里/时. 故选D. A:号由面积公式可得，3尽=snA:c,即c 北牛东 158 60 12.由余弦定理a2=62+c2-2 bccos A,得13=(b+c)2-3hc =(b+c)2-36.解得6+c=7. D 10 C 14.(1)由三角形的面积公式及正弦定理得S=2 3.D如图所示，由题意得∠ABC=30°，AB=x,BC=3,S△ 3 =AB·BCsin乙ABC==3 ADn∠BAD,Sax=AC:ADin∠CD 4x=.由余弦定理得 AC=AB+BC2-24B·BCCs∠ABC=12-63eos30°=3， 由题意有S△=2S△e,∠BAD=∠CAD,故有AB=2AC .AC=3,即此人这时离出发点的距离为3m故选D. 由正弦定理可得mB-4C。1 sin C=AB=2 (2)因为S6:SAe=BD:DC. 所以BD=2. B 在△ABD和△ADC中，由余弦定理得： 4.D在△ACD中，∠ADC=30°，∠ACD=120°，所以∠CAD= AB=AD+BD-2AD·BDos∠ADB,① 30°，则有∠ADC=∠G4D,所以AC=CD=I03.又∠ACB= AC=ADP+DC-2.AD·DC0s∠ADC,② 75°，所以∠BCD=45°，在△BDC中，∠CBD=180°-(30+ 由①2式得AB+2AC=3AD+BD+2DC=6. 又由(1)知AB=24C.所以AC=1. 45°+45°)=60°，由正弦定理.得C=105n75°=52+ sin60° 15.(1)因为asin A+b(3sinA+sinB)-esin C=0. 56.在△ABC中，由余弦定理，得AB=AC+BC-2AC· 由正弦定理得2+3b+2-c2=0. 由余弦定理斜sC=+-心业：- BCes∠ACB=(10,3)2+(52+5,6)2-2×103×(5/2+ 2ub 2 56)×6:2=500,所以AB=105,即A,B两个基站之间 4 又0<G<m,所以C=5 6 的距离为10,5km.故选D. (2)因为D为AB的中点，所以C+C成=2C 5.AC由题意可知∠ADB=60°，∠BAD=75°，∠CAD=30°，所 则(C+C)2=(2C)2 以B=180°-60°-75°=45°.AB=126,AC=83,在△ABD 所以c+C亦+2C.C=4C亦 所以(23)2+2+2×23×2c0s5严=41C2. 中，由正弦定理得出m期5：所以A AB n6是 6 解得C⑦=1，所以CD的长为1. (n mile),故A正确：在△ACD中，由余弦定理得CD= AC+ADP-2AC·ADeo8∠CAD, 即 CD A D B √85)2+2#-2x85x24×号 =85(n mile),故B错误：因 (3)由正弦定理知a "s2. 为CD=AC.所以∠CDA=∠CAD=30°.所以打塔C在D处的 2 西偏南60°，故C正确：由∠ADB=60°，D在灯塔B的北偏西 60°，故D错误.故选AC. 所以a=23sinA,b=23sinB, 北 所以2a+6b=26(3sinB+simA)= 2,63m(石-A+mA -2a(分msA-mA+m小 =2.6(停mA-n4=26m(号-A) -379 6.ABC对于A,利用内角和定理先求出C=-A-B,再利用 正弦定现品B后C解出e:对于B,直接利用余孩定理C 平一，则最大饰角的正切值为只0严又0> 20 111 B0,所以最小仰角为30°.故选BCD a2+6-2absC即可解出c;对于C,先利用内角和定理求出 13.43 C=-A-B,再利用正弦定理品AC解出c:对于D,不 在△ABD中，由正弦定理得n∠ADB=Bsin4三 BD 知道长度，显然不能求心， 2in60°-2 26 ,LADC=90.cos∠BDc=2 ,在△BDC 7.3连接AB,由题意AC=BC=3,∠ACB=北 中，由余弦定理得BC=BD+CD2-2BD·CD·os∠BDC 120°，则AB2=AC2+BC2-2AC·BC·0s120° =3+3-2x3×(-）即=9，甲AB= 209 =24+48-4,6x45×2=48.BC=45(负值舍去). 4 东 14.因为∠ADB=135°， 3 km. ∠BDC=∠DCA=15° 8.5.3如图，过C点作直线AB的垂线，垂足为 40° 所以∠ADC=I50°，∠DAC=∠DGA D由题意得AB=300×0=10km,∠ACB= =150 BC 南 所以AD=CD=80,又因为∠ACB 、n∠4 CR"sin Z B4C所以BC=AB. 30°，因为，AB =120°， m∠BAC=102km,又因为sim75°=sim(45°+30)= 所以∠BCD=-135°，∠CBD=30°， sin∠ACB BD CD 在△BCD中，由正弦定理得：in BCDsin2D,即 6+2,所以cD=BC·m∠GBD=102×6+2=5(5+ 4 4 1)=13.66km.故山顶的海拔约为19-13.66=5.3km 2解得D=0万， A B D 745750PH 在△4BD中，由余弦定理得AB=AD2+BD2-2D· BDcos∠ADB. 所以Af=802+(8022-2x80×02x(-受） 解得AB=805 9.1设1h时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得(20)2+ 所以A,B两点间的距离为805. 40-2×201×40×e0s45°=302.化简，得42-82t+7=0, 15.(1)由已知得AB=202海里.AC=55海里. 4+=2,246=子从面6-61=VG+h)-44 ∠BAC=0,ems8=30 10· =1(h). 由余弦定理得BC= 0在△4C中，因为一A:号mC=} √AB+AC-2AB·AC·Os0=5/13海里， 所以血A言血C=子 所以船的行驶速度为压=63（海里/时）. 6 从而sinB=sin[T-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+ (2)如图所示，设直线AE与BC的延长线 北 m偏6=言x子+号×号器 相交于点Q.在△ABC中，由余弦定理的 由品 推论得osB=4R+BC-AC526 2AB·BC 26 459 B·mC=1260x4 得AB=AC 63 =1040(m). 从面血B=V个万：√厂名 65 s26 所以索道AB的长为1040m 26 11.A由题意知，∠PAQ=30°，∠BAQ=15°，∠PBC=60°，AB= am,在△PAB中，∠PB=15,LBP1=30°，六m30 所以sin∠AQB=sin(45°-B)= -(cos B sin 156,.PB=6- PB 622amh=Pc+c0=6,2a× -inB)=23 13 2 sim60°+asin150=g2。 a(m),故选A 在△ABQ中，由正弦定理得A0=ABisin B 202×26 26 sin∠AOB 12.BCD由题意可得∠OAP=30°，∠0BP=45°，设0P=xkm 2/③ /3 又OP⊥OA,0P⊥OB,则OA=3xkm,0B=xkm.因为AB= =10. ×0×20=(m),所以s∠40B=0mt0B4 7.5× 由于AE=20>10=AQ,所以点Q位于点A和点E之间，且 20A·0B QE=AE-A0=10. 4r2-25 过点E作EP⊥BC,交BC的延长线于点P.则EP为点E到 4 23x2- 3,解得=1，从面A=2如易知 直线BC的距离. 在Rt△OPE中，PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQB=10× 血∠40B=,所以由等面积法可得0到AB的距离有： 2飞_20下<6.所以该船有触礁的危险 13 13 380